第七章 凸轮机构
§ 7－ 1 凸轮机构的应用和类型
§ 7－ 2 从动件的常用运动规律
§ 7－ 3 凸轮机轮廓曲线的设计
§ 7－ 4 凸轮设计应注意的几个问题
§ 7－ 1 凸轮机构 的应用和分类结构,三个构件,盘 (柱 )状曲线轮廓,从动件呈杆状 。
作用,将连续回转 => 从动件 直线移动 或 摆动 。
优点,可精确实现任意运动规律,简单紧凑 。
缺点,高副,线接触,易磨损,传力不大 。
应用,内燃机,牙膏生产等自动线,补鞋机,配钥匙机等 。
分类,1)按凸轮形状分,盘形,移动,
圆柱凸轮 ( 端面 ) 。
2)按推杆形状分,尖顶,滚子,
平底 从动件 。特点：
尖顶－－构造简单,易磨损,用于仪表机构；
滚子 ―― 磨损小,应用广；
平底 ―― 受力好,润滑好,用于高速传动 。
实例
1
2
刀架
o
3).按推杆运动分：直动 (对心,偏置 ),摆动
4).按保持接触方式分：
力封闭 （ 重力,弹簧等 ）
内燃机气门机构 机床进给机构几何形状封闭 (凹槽、等宽、等径、主回凸轮 )
r1
r2
r1+r2 =const
W
凹槽凸轮主回凸轮等宽凸轮等径凸轮优点,只需要设计适当的轮廓曲线，从动件便可获得任意的运动规律，且结构简单、紧凑、设计方便。
缺点,线接触，容易磨损。
绕线机构
3
1
2 A
线应用实例：
3
皮带轮
5
卷带轮录音机卷带机构
1
放音键 摩擦轮
4
1 32
4放音键卷带轮皮带轮
13
2
送料机构
δ’0
δ’0
o tδ
s
§ 7－ 2 推杆的运动规律凸轮机构设计的基本任务,
1)根据工作要求选定凸轮机构的形式 ;
名词术语：
一,推杆的常用运动规律基圆,
推程运动角,
基圆半径,推程,
远休止角,
回程运动角,回程,
近休止角,行程 。 一个循环
rmin
h
ω
A
而根据工作要求选定推杆运动规律，是设计凸轮轮廓曲线的前提。
2)推杆运动规律 ;
3)合理确定结构尺寸 ;
4)设计轮廓曲线 。
δ01
δ01
δ02δ
02D
B
C
B’
δ0
δ0
运动规律：推杆在推程或回程时,其位移 S,速度 V、
和加速度 a 随时间 t 的变化规律 。
形式,多项式,三角函数 。
S=S(t)
V=V(t)
a=a(t) 位移曲线
o tδ
s
r0
h
B’
ω
A
δ01
δ01
δ0
δ0
δ’0
δ’0
δ02δ
02D
B
C
边界条件：
凸轮转过推程运动角 δ 0－ 从动件上升 h
一,多项式运动规律一般表达式,s=C0+ C1δ + C2δ 2+… +Cnδ n (1)
求一阶导数得速度方程：
v = ds/dt
求二阶导数得加速度方程：
a =dv/dt =2 C2ω2+ 6C3ω2δ …+n(n -1)Cnω2δ n-2
其中,δ － 凸轮转角,dδ /dt=ω－ 凸轮角速度,
Ci－ 待定系数 。
= C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
凸轮转过回程运动角 δ ’0－ 从动件下降 h
在推程起始点,δ =0,s=0
代入得,C0＝ 0,C1＝ h/δ 0
推程运动方程：
s ＝ hδ /δ 0
v ＝ hω/δ 0
s
δδ 0
v
δ
a
δ
h
在推程终止点,δ =δ 0,s=h
+∞
－ ∞
刚性冲击
s = C0+ C1δ + C2δ 2+…+C nδ n
v = C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
a = 2 C2ω2+ 6C3ω2δ … +n(n-1)Cnω2δ n-2
同理得回程运动方程：
s＝ h(1-δ /δ ’ 0 )
v＝ -hω/δ ’0
a＝ 0
a ＝ 0
1.等速运动 （ 一次多项式 ） 运动规律
2,等加等减速 （ 二次多项式 ） 运动规律位移曲线为一抛物线 。 加,减速各占一半 。
推程加速上升段边界条件：
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0
中间点,δ =δ 0 /2,s=h/2
求得,C0＝ 0,C1＝ 0,C2＝ 2h/δ 02
加速段推程运动方程为：
s ＝ 2hδ 2/δ 02
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
h/2
δ 0
h/2
推程减速上升段边界条件：
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0
中间点,δ =δ 0 /2,s=h/2
求得,C0＝－ h,C1＝ 4h/δ 0，
C2＝ -2h/δ 02
减速段推程运动方程为：
s ＝ h-2h(δ -δ 0)2/δ 02
1 δ
s
δ
v
v ＝ -4hω(δ -δ 0)/δ 02
a ＝ -4hω2/δ 02
2 3 54 6
2hω/δ 0
柔性冲击
4hω2/δ 02
δ
a重写加速段推程运动方程为：
s ＝ 2hδ 2/δ 02
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
3.五次多项式运动规律位移方程：
s=10h(δ /δ 0)3－ 15h (δ /δ 0)4+6h (δ /δ 0)5
δ
sv
a
h
δ 0
无冲击,适用于高速凸轮 。
h
δ 0
δ
s
δ
a
二,三角函数运动规律
1.余弦加速度 (简谐 )运动规律推程：
s＝ h[1-cos(πδ/δ 0)]/2
v ＝ π hωsin(πδ/δ 0)δ /2δ 0
a ＝ π 2hω2 cos(πδ/δ 0)/2δ 02
回程：
s＝ h[1＋ cos(πδ/δ 0’)]/2
v＝ -π hωsin(πδ/δ 0’)δ /2δ 0’
a＝ -π 2hω2 cos(πδ/δ 0’)/2δ ’02
1 2 3 4 5 6
δ
v V
max=1.57hω/2δ 0
在起始和终止处理论上 a为有限值,产生柔性冲击 。
1
2
3
4 5
6
s
δ
δ
a
δ
v
h
δ 0
2.正弦加速度 （ 摆线 ） 运动规律推程：
s＝ h[δ /δ 0-sin(2πδ/δ 0)/2π]
v＝ hω[1-cos(2πδ/δ 0)]/δ 0
a＝ 2π hω2 sin(2πδ/δ 0)/δ 02
回程：
s＝ h[1-δ /δ 0’ +sin(2πδ/δ 0’)/2π]
v＝ hω[cos(2πδ/δ 0’)-1]/δ 0’
a＝ -2π hω2 sin(2πδ/δ 0’)/δ ’02
无冲击
v
s
a
δ
δ
δ
h
o
o
o
δ 0
正弦改进等速三,改进型运动规律将几种运动规律组合,以改善运动特性 。
+∞
-∞
1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 7－ 3 凸轮轮廓曲线的设计图解法设计凸轮的轮廓
2.用作图法设计凸轮廓线
1)对心直动尖顶从动件盘形凸轮
3)滚子直动从动件盘形凸轮
4)对心直动平底从动件盘形凸轮
2)偏置直动尖顶从动件盘形凸轮
5)摆动尖顶从动件盘形凸轮机构一,凸轮廓线设计方法的基本原理反转原理：
依据此原理可以用几何作图的方法设计凸轮的轮廓曲线,例如：
给整个凸轮机构施以 -ω时,不影响各构件之间的相对运动,此时,凸轮将静止,而从动件尖顶复合运动的轨迹即凸轮的轮廓曲线 。
尖顶凸轮绘制动画滚子凸轮绘制动画 O
-ω
3’
1’
2’
3 3
1
1
2
2
ω
-ω
ω
对心直动尖顶 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1.对心直动尖顶 从动件 盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
二,直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
10’
9 11 13 151 3 5 7 8
O
e
A
偏置直动尖顶 从动件 凸轮机构中，
已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度
ω和从动件的运动规律和偏心距 e，
设计该凸轮轮廓曲线。
2.偏置直动尖顶 从动件 盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
-ω
ω
15’
14’
13’
12’
11’
10’
9’
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin;
② 反向等分各运动角 ;
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 ;
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
15
14
13
12
11
10 9
k9k10
k11k12
k13k14k15
k1k
2k3
k5k4k6k7k8
动画
9 11 13 151 3 5 7 8
-ω
ω
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
理论轮廓实际轮廓
⑤ 作各位置滚子圆的内 (外 )包络线 。
3.滚子直动从动件盘形凸轮滚子直动从动件凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
ρ a－工作轮廓的曲率半径,ρ －理论轮廓的曲率半径,
rT－滚子半径
ρ <rT
ρ a＝ ρ － rT<0
对于外凸轮廓，要保证正常工作，应使,ρ min> rT
轮廓失真滚子半径的确定
ρ a＝ ρ ＋ rT
ρ ＝ rT
ρ a＝ ρ － rT＝ 0
轮廓正常轮廓变尖
ρ
内凹
ρ a
rT
rT
ρ
rT
ρ
ρ > rT
ρ a＝ ρ － rT
轮廓正常外凸
rT ρ a
ρ
9 11 13 151 3 5 7 8
对心直动平底 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件平底直线在各等份点的位置 。
④ 作平底直线族的内包络线 。
4.对心直动平底 从动件 盘形凸轮
8’
7’
6’
5’
4’3’
2’1’
9’10’
11’
12’
13’
14’
-ω
ω
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
1 2 3
45
6
78151413
121110
9
对平底推杆凸轮机构，也有失真现象。
O rmin
可通过增大 rmin解决此问题。
rmin
120°
B’1
φ 1
rmin
摆动 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin，
角速度 ω,摆杆长度 l以及摆杆回转中心与凸轮回转中心的距离 d,摆 杆角位移方程,设计该凸轮轮廓曲线。
三,摆动 从动件 盘形凸轮机构
1’
2’
3’
4’
5 6 7 8
5’
6’
7’
8’
B1 B2 B
3
B4
B5
B6B7B8
60 °90 °
ω
-ω
d
A
B
l
1 2 3 4
B’2 φ 2
B’3
φ 3B’4
φ 4
B’5
φ 5
B’6
φ 6
B’7φ 7
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
ρ
θ
B0
O
B
δ
S0
S
解析法设计凸轮的轮廓 从图解法的缺点引出解析法的优点结果：求出轮廓曲线的解析表达式 ---
已知条件,e,rmin,rT,S=S(δ ),ω及其方向。
理论轮廓的极坐标参数方程：
ρ = (S+S0)2 + e2
原理,反转法。
θ =δ +β –β 0
其中,S0 = r2min– e2
tgβ 0 = e/ S0
tgβ = e/(S + S0)
-ω
即 B点的极坐标
rT
π– (θ +β 0) π–(δ +β)=
两对顶角相等 ω
e
rminβ
δ
参数方程。
S0
β 0
其中,tg?θ =
B0B
O
δ 1
-ω 1
ω 1
α θ
θ
n
n
实际轮廓方程是理论轮廓的等距曲线。由高等数学可知,等距线对应点具有公共的法线。
ρ T = ρ 2 + r2Tm-2ρ rTcosλ
θ T =θ +?θ
实际轮廓上对应点的 T 位置：
位于理论轮廓 B 点法线 n-n 与滚子圆的交线上。
λ βT
θ = arctg
T点的极坐标参数方程为：
由图有,λ =α +β
其中,tgα = S + r2
min + e2
ds/dδ ± e
rT sin λ
ρ - rT cos λ
直接引用前面的结论
θ T
ρ T
本章重点：
① 常用从动件运动规律：特性及作图法；
② 理论轮廓与实际轮廓的关系；
③ 凸轮压力角 α 与基圆半径 rmin的关系；
④ 掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的步骤与方法；
⑤ 掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。
直角坐标参数方程为：
x = ρ T cos θ T
y = ρ T sin θ T
§ 7－ 4 凸轮设计中应该注意的几个问题
1,凸轮机构的压力角
3,滚子推杆滚子半径的选择
4,平底推杆底尺寸的确定
2,凸轮基圆半径的确定
O
B
ω
设计凸轮机构时,除了要求从动件能实现预期的运动规律外,还希望凸轮机构结构紧凑,受力情况良好 。 而这与压力角有很大关系 。
定义,正压力与推杆上力作用点 B速度方向间的夹角 α
→ F”↑,
若 α 大到一定程度时,会有：
→ 机构发生自锁 。
凸轮机构的压力角
α
n
n
一、压力角与作用力的关系不考虑摩擦时，作用力沿法线方向。
F F’
F”
F’----有用分力,沿导路方向
F”----有害分力，垂直于导路
F”=F’ tg α
F’一定时,α ↑
Ff > F’
Ff
为了保证凸轮机构正常工作,要求：
α < [α ]
O
B
ω
二、压力角与凸轮机构尺寸之间的关系
P点为速度瞬心,于是有：
v=lOPω
rmin ↑
[α ]= 30? ----直动从动件；
[α ]= 35° ～ 45° ----摆动从动件；
[α ]= 70° ～ 80° ----回程 。
n
n
P
→ l OP =v / ω
e
α
ds/dδ
= ds/dδ = lOC + lCP
lCP =
lOC = e lCP = ds/dδ - e
tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ - e
→ α ↓
C
(S+S0 )tg α S0= r2min-e2
若发现设计结果 α 〉 [α ],可增大 rmin
s0
sD
v
v
rmin
α
ds/dδ
O
B
ω
得,tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ + e
n
n
同理，当导路位于中心左侧时，有：
lOP =lCP- lOC → lCP = ds/dδ + e
于是,tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ ± e
e“+” 用于导路和瞬心位于中心两侧；
,-” 用于导路和瞬心位于中心同侧；
显然，导路和瞬心位于中心同侧时，压力角将减小。
注意,用偏置法可减小推程压力角，但同时增大了回程压力角，故偏距 e 不能太大。
PC
lCP = (S+S0 )tg α S0= rmin2-e2
rmins
0
s
D
n
n
提问：对于平底推杆凸轮机构：
α ＝？0 v
Oω
r0
2,凸轮基圆半径的确定
tanα＝ [(ds/dδ)－ e]/[r02－ e2)1/2＋ s]
在偏距一定，推杆的运动规律已知的条件下，
可减小压力角 α，
加大基圆半径 r0，
从而改善机构的传力特性。 但机构的尺寸会增大。
（ 2）凸轮基圆半径的确定凸轮基圆半径的确定的原则是：应在满足 αmax≤[α]的条件下，
合理的确定凸轮的基圆半径，使凸轮机构的尺寸不至过大。
先按满足推程压力角 α≤[α]的条件来确定基圆半径 r0,即
r0≥{[(ds/dδ-e)/tan[α]-s]2+e2}1/2
用上式计算得 r0随凸轮廓线上各点的 ds/dδ,s值的不同而不同，
故需确定 r0的极大值，即为凸轮基圆半径的最小半径。
（ 1） 凸轮机构的压力角与基圆半径的关系还要考虑满足凸轮的结构及强度的要求：
当凸轮和轴做成一体时，凸轮廓线的最小半径应大于轴的半径。
当凸轮和轴单独制作时，凸轮上要作出轮毂，此时凸轮工作廓线的最小半径应略大于轮毂的外径。可取凸轮工作廓线的最小直径等于或大于轴径的（ 1.6～ 2）倍。
3,滚子推杆滚子半径的选择采用滚子推杆时，滚子半径的选择，要考虑滚子的结构、强度及凸轮轮廓曲线的形状等多方面的因素。
（ 1）凸轮轮廓曲线与滚子半径的关系则 ρa＝ ρ＋ rr。
此时，无论滚子半径大小如何，凸轮的工作廓线总是可以平滑地作出来。
则 ρa＝ ρ－ rr。
若 ρ＝ rr时,则 ρa＝ 0，工作廓线出现变尖现象。
若 ρ <rr时,则 ρa<0,工作廓线出现交叉,推杆运动规律出现失真现象。
1） 当凸轮廓线内凹时,
2） 当凸轮廓线外凸时,
（ 2）滚子半径的选择首先，应使滚子半径 rr小于理论廓线的最小曲率半径 ρmin。
而 ρmin则可用解析法或作图法确定。
其次，要求凸轮工作廓线的最小曲率半径 ρamin一般不应小于
1～ 5mm。 若不满足此要求时,就应增大 r0，或减小 rr，或修改
s(δ)，或使其工作廓线出现尖点的地方代以合适曲线。
此外，滚子半径受其强度、结构限制而不能太小，应取 rr＝
(0.1～ 0.5)r0
4．平底推杆底尺寸的确定
l＝ 2lmax＋ (5～ 7)mm （ a）
1）用作图法确定
2）用计算公式确定：
l＝ 2|ds/dδ|max＋ (5～ 7)mm （ b）
当平底推杆凸轮机构出现失真现象时，可适当增大凸轮的基圆半径 r0来消除失真现象。
（ 1） 平底长度的确定
（ 2） 平底推杆凸轮机构的失真现象最大速度 vmax
(hω /δ0)×
最大加速度 amax
(hω2/δ02)×
最大跃度 jmax
(hω2/δ02)×运动规律等速运动等加速运动余弦加速度正弦加速度
5次多项式
1.00
2.00
1.57
2.00
1.88
适用场合
39.5
60.0
4.00
4.93
6.28
5.77
∞
∞
∞ 中速轻载低速轻载中低速重载中高速轻载高速中载表 7-1
§ 7－ 1 凸轮机构的应用和类型
§ 7－ 2 从动件的常用运动规律
§ 7－ 3 凸轮机轮廓曲线的设计
§ 7－ 4 凸轮设计应注意的几个问题
§ 7－ 1 凸轮机构 的应用和分类结构,三个构件,盘 (柱 )状曲线轮廓,从动件呈杆状 。
作用,将连续回转 => 从动件 直线移动 或 摆动 。
优点,可精确实现任意运动规律,简单紧凑 。
缺点,高副,线接触,易磨损,传力不大 。
应用,内燃机,牙膏生产等自动线,补鞋机,配钥匙机等 。
分类,1)按凸轮形状分,盘形,移动,
圆柱凸轮 ( 端面 ) 。
2)按推杆形状分,尖顶,滚子,
平底 从动件 。特点：
尖顶－－构造简单,易磨损,用于仪表机构；
滚子 ―― 磨损小,应用广；
平底 ―― 受力好,润滑好,用于高速传动 。
实例
1
2
刀架
o
3).按推杆运动分：直动 (对心,偏置 ),摆动
4).按保持接触方式分：
力封闭 （ 重力,弹簧等 ）
内燃机气门机构 机床进给机构几何形状封闭 (凹槽、等宽、等径、主回凸轮 )
r1
r2
r1+r2 =const
W
凹槽凸轮主回凸轮等宽凸轮等径凸轮优点,只需要设计适当的轮廓曲线，从动件便可获得任意的运动规律，且结构简单、紧凑、设计方便。
缺点,线接触，容易磨损。
绕线机构
3
1
2 A
线应用实例：
3
皮带轮
5
卷带轮录音机卷带机构
1
放音键 摩擦轮
4
1 32
4放音键卷带轮皮带轮
13
2
送料机构
δ’0
δ’0
o tδ
s
§ 7－ 2 推杆的运动规律凸轮机构设计的基本任务,
1)根据工作要求选定凸轮机构的形式 ;
名词术语：
一,推杆的常用运动规律基圆,
推程运动角,
基圆半径,推程,
远休止角,
回程运动角,回程,
近休止角,行程 。 一个循环
rmin
h
ω
A
而根据工作要求选定推杆运动规律，是设计凸轮轮廓曲线的前提。
2)推杆运动规律 ;
3)合理确定结构尺寸 ;
4)设计轮廓曲线 。
δ01
δ01
δ02δ
02D
B
C
B’
δ0
δ0
运动规律：推杆在推程或回程时,其位移 S,速度 V、
和加速度 a 随时间 t 的变化规律 。
形式,多项式,三角函数 。
S=S(t)
V=V(t)
a=a(t) 位移曲线
o tδ
s
r0
h
B’
ω
A
δ01
δ01
δ0
δ0
δ’0
δ’0
δ02δ
02D
B
C
边界条件：
凸轮转过推程运动角 δ 0－ 从动件上升 h
一,多项式运动规律一般表达式,s=C0+ C1δ + C2δ 2+… +Cnδ n (1)
求一阶导数得速度方程：
v = ds/dt
求二阶导数得加速度方程：
a =dv/dt =2 C2ω2+ 6C3ω2δ …+n(n -1)Cnω2δ n-2
其中,δ － 凸轮转角,dδ /dt=ω－ 凸轮角速度,
Ci－ 待定系数 。
= C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
凸轮转过回程运动角 δ ’0－ 从动件下降 h
在推程起始点,δ =0,s=0
代入得,C0＝ 0,C1＝ h/δ 0
推程运动方程：
s ＝ hδ /δ 0
v ＝ hω/δ 0
s
δδ 0
v
δ
a
δ
h
在推程终止点,δ =δ 0,s=h
+∞
－ ∞
刚性冲击
s = C0+ C1δ + C2δ 2+…+C nδ n
v = C1ω + 2C2ωδ +… +nCnωδ n-1
a = 2 C2ω2+ 6C3ω2δ … +n(n-1)Cnω2δ n-2
同理得回程运动方程：
s＝ h(1-δ /δ ’ 0 )
v＝ -hω/δ ’0
a＝ 0
a ＝ 0
1.等速运动 （ 一次多项式 ） 运动规律
2,等加等减速 （ 二次多项式 ） 运动规律位移曲线为一抛物线 。 加,减速各占一半 。
推程加速上升段边界条件：
起始点,δ =0,s=0,v＝ 0
中间点,δ =δ 0 /2,s=h/2
求得,C0＝ 0,C1＝ 0,C2＝ 2h/δ 02
加速段推程运动方程为：
s ＝ 2hδ 2/δ 02
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
h/2
δ 0
h/2
推程减速上升段边界条件：
终止点,δ =δ 0,s=h,v＝ 0
中间点,δ =δ 0 /2,s=h/2
求得,C0＝－ h,C1＝ 4h/δ 0，
C2＝ -2h/δ 02
减速段推程运动方程为：
s ＝ h-2h(δ -δ 0)2/δ 02
1 δ
s
δ
v
v ＝ -4hω(δ -δ 0)/δ 02
a ＝ -4hω2/δ 02
2 3 54 6
2hω/δ 0
柔性冲击
4hω2/δ 02
δ
a重写加速段推程运动方程为：
s ＝ 2hδ 2/δ 02
v ＝ 4hωδ /δ 02
a ＝ 4hω2/δ 02
3.五次多项式运动规律位移方程：
s=10h(δ /δ 0)3－ 15h (δ /δ 0)4+6h (δ /δ 0)5
δ
sv
a
h
δ 0
无冲击,适用于高速凸轮 。
h
δ 0
δ
s
δ
a
二,三角函数运动规律
1.余弦加速度 (简谐 )运动规律推程：
s＝ h[1-cos(πδ/δ 0)]/2
v ＝ π hωsin(πδ/δ 0)δ /2δ 0
a ＝ π 2hω2 cos(πδ/δ 0)/2δ 02
回程：
s＝ h[1＋ cos(πδ/δ 0’)]/2
v＝ -π hωsin(πδ/δ 0’)δ /2δ 0’
a＝ -π 2hω2 cos(πδ/δ 0’)/2δ ’02
1 2 3 4 5 6
δ
v V
max=1.57hω/2δ 0
在起始和终止处理论上 a为有限值,产生柔性冲击 。
1
2
3
4 5
6
s
δ
δ
a
δ
v
h
δ 0
2.正弦加速度 （ 摆线 ） 运动规律推程：
s＝ h[δ /δ 0-sin(2πδ/δ 0)/2π]
v＝ hω[1-cos(2πδ/δ 0)]/δ 0
a＝ 2π hω2 sin(2πδ/δ 0)/δ 02
回程：
s＝ h[1-δ /δ 0’ +sin(2πδ/δ 0’)/2π]
v＝ hω[cos(2πδ/δ 0’)-1]/δ 0’
a＝ -2π hω2 sin(2πδ/δ 0’)/δ ’02
无冲击
v
s
a
δ
δ
δ
h
o
o
o
δ 0
正弦改进等速三,改进型运动规律将几种运动规律组合,以改善运动特性 。
+∞
-∞
1.凸轮廓线设计方法的基本原理
§ 7－ 3 凸轮轮廓曲线的设计图解法设计凸轮的轮廓
2.用作图法设计凸轮廓线
1)对心直动尖顶从动件盘形凸轮
3)滚子直动从动件盘形凸轮
4)对心直动平底从动件盘形凸轮
2)偏置直动尖顶从动件盘形凸轮
5)摆动尖顶从动件盘形凸轮机构一,凸轮廓线设计方法的基本原理反转原理：
依据此原理可以用几何作图的方法设计凸轮的轮廓曲线,例如：
给整个凸轮机构施以 -ω时,不影响各构件之间的相对运动,此时,凸轮将静止,而从动件尖顶复合运动的轨迹即凸轮的轮廓曲线 。
尖顶凸轮绘制动画滚子凸轮绘制动画 O
-ω
3’
1’
2’
3 3
1
1
2
2
ω
-ω
ω
对心直动尖顶 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1.对心直动尖顶 从动件 盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’
二,直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制
1 3 5 7 8 9 11 13 15
9’
11’
13’
12’
14’
10’
9 11 13 151 3 5 7 8
O
e
A
偏置直动尖顶 从动件 凸轮机构中，
已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度
ω和从动件的运动规律和偏心距 e，
设计该凸轮轮廓曲线。
2.偏置直动尖顶 从动件 盘形凸轮
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
-ω
ω
15’
14’
13’
12’
11’
10’
9’
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin;
② 反向等分各运动角 ;
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 ;
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
15
14
13
12
11
10 9
k9k10
k11k12
k13k14k15
k1k
2k3
k5k4k6k7k8
动画
9 11 13 151 3 5 7 8
-ω
ω
设计步骤小结：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件尖顶在各等份点的位置 。
④ 将各尖顶点连接成一条光滑曲线 。
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
理论轮廓实际轮廓
⑤ 作各位置滚子圆的内 (外 )包络线 。
3.滚子直动从动件盘形凸轮滚子直动从动件凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
ρ a－工作轮廓的曲率半径,ρ －理论轮廓的曲率半径,
rT－滚子半径
ρ <rT
ρ a＝ ρ － rT<0
对于外凸轮廓，要保证正常工作，应使,ρ min> rT
轮廓失真滚子半径的确定
ρ a＝ ρ ＋ rT
ρ ＝ rT
ρ a＝ ρ － rT＝ 0
轮廓正常轮廓变尖
ρ
内凹
ρ a
rT
rT
ρ
rT
ρ
ρ > rT
ρ a＝ ρ － rT
轮廓正常外凸
rT ρ a
ρ
9 11 13 151 3 5 7 8
对心直动平底 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin,角速度 ω和从动件的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
设计步骤：
① 选比例尺 μ l作基圆 rmin。
② 反向等分各运动角 。 原则是：陡密缓疏 。
③ 确定反转后,从动件平底直线在各等份点的位置 。
④ 作平底直线族的内包络线 。
4.对心直动平底 从动件 盘形凸轮
8’
7’
6’
5’
4’3’
2’1’
9’10’
11’
12’
13’
14’
-ω
ω
1’
3’
5’
7’
8’ 9’
11’
13’
12’
14’
1 2 3
45
6
78151413
121110
9
对平底推杆凸轮机构，也有失真现象。
O rmin
可通过增大 rmin解决此问题。
rmin
120°
B’1
φ 1
rmin
摆动 从动件 凸轮机构中，已知凸轮的基圆半径 rmin，
角速度 ω,摆杆长度 l以及摆杆回转中心与凸轮回转中心的距离 d,摆 杆角位移方程,设计该凸轮轮廓曲线。
三,摆动 从动件 盘形凸轮机构
1’
2’
3’
4’
5 6 7 8
5’
6’
7’
8’
B1 B2 B
3
B4
B5
B6B7B8
60 °90 °
ω
-ω
d
A
B
l
1 2 3 4
B’2 φ 2
B’3
φ 3B’4
φ 4
B’5
φ 5
B’6
φ 6
B’7φ 7
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
ρ
θ
B0
O
B
δ
S0
S
解析法设计凸轮的轮廓 从图解法的缺点引出解析法的优点结果：求出轮廓曲线的解析表达式 ---
已知条件,e,rmin,rT,S=S(δ ),ω及其方向。
理论轮廓的极坐标参数方程：
ρ = (S+S0)2 + e2
原理,反转法。
θ =δ +β –β 0
其中,S0 = r2min– e2
tgβ 0 = e/ S0
tgβ = e/(S + S0)
-ω
即 B点的极坐标
rT
π– (θ +β 0) π–(δ +β)=
两对顶角相等 ω
e
rminβ
δ
参数方程。
S0
β 0
其中,tg?θ =
B0B
O
δ 1
-ω 1
ω 1
α θ
θ
n
n
实际轮廓方程是理论轮廓的等距曲线。由高等数学可知,等距线对应点具有公共的法线。
ρ T = ρ 2 + r2Tm-2ρ rTcosλ
θ T =θ +?θ
实际轮廓上对应点的 T 位置：
位于理论轮廓 B 点法线 n-n 与滚子圆的交线上。
λ βT
θ = arctg
T点的极坐标参数方程为：
由图有,λ =α +β
其中,tgα = S + r2
min + e2
ds/dδ ± e
rT sin λ
ρ - rT cos λ
直接引用前面的结论
θ T
ρ T
本章重点：
① 常用从动件运动规律：特性及作图法；
② 理论轮廓与实际轮廓的关系；
③ 凸轮压力角 α 与基圆半径 rmin的关系；
④ 掌握用图解法设计凸轮轮廓曲线的步骤与方法；
⑤ 掌握解析法在凸轮轮廓设计中的应用。
直角坐标参数方程为：
x = ρ T cos θ T
y = ρ T sin θ T
§ 7－ 4 凸轮设计中应该注意的几个问题
1,凸轮机构的压力角
3,滚子推杆滚子半径的选择
4,平底推杆底尺寸的确定
2,凸轮基圆半径的确定
O
B
ω
设计凸轮机构时,除了要求从动件能实现预期的运动规律外,还希望凸轮机构结构紧凑,受力情况良好 。 而这与压力角有很大关系 。
定义,正压力与推杆上力作用点 B速度方向间的夹角 α
→ F”↑,
若 α 大到一定程度时,会有：
→ 机构发生自锁 。
凸轮机构的压力角
α
n
n
一、压力角与作用力的关系不考虑摩擦时，作用力沿法线方向。
F F’
F”
F’----有用分力,沿导路方向
F”----有害分力，垂直于导路
F”=F’ tg α
F’一定时,α ↑
Ff > F’
Ff
为了保证凸轮机构正常工作,要求：
α < [α ]
O
B
ω
二、压力角与凸轮机构尺寸之间的关系
P点为速度瞬心,于是有：
v=lOPω
rmin ↑
[α ]= 30? ----直动从动件；
[α ]= 35° ～ 45° ----摆动从动件；
[α ]= 70° ～ 80° ----回程 。
n
n
P
→ l OP =v / ω
e
α
ds/dδ
= ds/dδ = lOC + lCP
lCP =
lOC = e lCP = ds/dδ - e
tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ - e
→ α ↓
C
(S+S0 )tg α S0= r2min-e2
若发现设计结果 α 〉 [α ],可增大 rmin
s0
sD
v
v
rmin
α
ds/dδ
O
B
ω
得,tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ + e
n
n
同理，当导路位于中心左侧时，有：
lOP =lCP- lOC → lCP = ds/dδ + e
于是,tgα = S + r2
min - e2
ds/dδ ± e
e“+” 用于导路和瞬心位于中心两侧；
,-” 用于导路和瞬心位于中心同侧；
显然，导路和瞬心位于中心同侧时，压力角将减小。
注意,用偏置法可减小推程压力角，但同时增大了回程压力角，故偏距 e 不能太大。
PC
lCP = (S+S0 )tg α S0= rmin2-e2
rmins
0
s
D
n
n
提问：对于平底推杆凸轮机构：
α ＝？0 v
Oω
r0
2,凸轮基圆半径的确定
tanα＝ [(ds/dδ)－ e]/[r02－ e2)1/2＋ s]
在偏距一定，推杆的运动规律已知的条件下，
可减小压力角 α，
加大基圆半径 r0，
从而改善机构的传力特性。 但机构的尺寸会增大。
（ 2）凸轮基圆半径的确定凸轮基圆半径的确定的原则是：应在满足 αmax≤[α]的条件下，
合理的确定凸轮的基圆半径，使凸轮机构的尺寸不至过大。
先按满足推程压力角 α≤[α]的条件来确定基圆半径 r0,即
r0≥{[(ds/dδ-e)/tan[α]-s]2+e2}1/2
用上式计算得 r0随凸轮廓线上各点的 ds/dδ,s值的不同而不同，
故需确定 r0的极大值，即为凸轮基圆半径的最小半径。
（ 1） 凸轮机构的压力角与基圆半径的关系还要考虑满足凸轮的结构及强度的要求：
当凸轮和轴做成一体时，凸轮廓线的最小半径应大于轴的半径。
当凸轮和轴单独制作时，凸轮上要作出轮毂，此时凸轮工作廓线的最小半径应略大于轮毂的外径。可取凸轮工作廓线的最小直径等于或大于轴径的（ 1.6～ 2）倍。
3,滚子推杆滚子半径的选择采用滚子推杆时，滚子半径的选择，要考虑滚子的结构、强度及凸轮轮廓曲线的形状等多方面的因素。
（ 1）凸轮轮廓曲线与滚子半径的关系则 ρa＝ ρ＋ rr。
此时，无论滚子半径大小如何，凸轮的工作廓线总是可以平滑地作出来。
则 ρa＝ ρ－ rr。
若 ρ＝ rr时,则 ρa＝ 0，工作廓线出现变尖现象。
若 ρ <rr时,则 ρa<0,工作廓线出现交叉,推杆运动规律出现失真现象。
1） 当凸轮廓线内凹时,
2） 当凸轮廓线外凸时,
（ 2）滚子半径的选择首先，应使滚子半径 rr小于理论廓线的最小曲率半径 ρmin。
而 ρmin则可用解析法或作图法确定。
其次，要求凸轮工作廓线的最小曲率半径 ρamin一般不应小于
1～ 5mm。 若不满足此要求时,就应增大 r0，或减小 rr，或修改
s(δ)，或使其工作廓线出现尖点的地方代以合适曲线。
此外，滚子半径受其强度、结构限制而不能太小，应取 rr＝
(0.1～ 0.5)r0
4．平底推杆底尺寸的确定
l＝ 2lmax＋ (5～ 7)mm （ a）
1）用作图法确定
2）用计算公式确定：
l＝ 2|ds/dδ|max＋ (5～ 7)mm （ b）
当平底推杆凸轮机构出现失真现象时，可适当增大凸轮的基圆半径 r0来消除失真现象。
（ 1） 平底长度的确定
（ 2） 平底推杆凸轮机构的失真现象最大速度 vmax
(hω /δ0)×
最大加速度 amax
(hω2/δ02)×
最大跃度 jmax
(hω2/δ02)×运动规律等速运动等加速运动余弦加速度正弦加速度
5次多项式
1.00
2.00
1.57
2.00
1.88
适用场合
39.5
60.0
4.00
4.93
6.28
5.77
∞
∞
∞ 中速轻载低速轻载中低速重载中高速轻载高速中载表 7-1
