第 3章剪切、挤压与扭转
§ 3-1
剪切与挤压键连结和铆钉连接件应力计算本单元主要讨论：
一,剪切
1、剪切变形的特点两外力与连接件轴线垂直，距离很近连接件横截面发生错位我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接 焊接连接
3、受剪切构件的主要类型一、铆钉类铆钉连接 螺栓连接
P
P
螺栓受力情况受剪切面为两组力分界面内力外力要平衡二、键类单键连接 花键连接单键连接的受力分析
d
M
F
4、剪切强度的工程计算
P
P
以螺栓为例剪切面
F
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：
x?
0X
0PF PF?
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为 剪力
P
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的工程上往往采用实用计算的方法
A
F
可见，该实用计算方法认为剪切剪应力在剪切面上是 均匀分布 的。
许用剪应力上式称为剪切强度条件其中,F 为剪切力 —— 剪切面上内力的合力
A 为剪切面面积受剪切螺栓剪切面面积的计算：
d
4
dA 2
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析外力剪切面合力剪切力假设单键长?宽?高分别为 l? b? h l
b
h则受剪切单键剪切面面积：
lbA
设合外力为 P 剪切力为 Q
则剪应力为：
螺栓和单键剪应力及强度计算：
螺栓
22
d
P4
d
F4
单键
bl
P
bl
Q
PQ?
单剪切与双剪切
P
单剪切双剪切前面讨论的都是单剪切现象
P
出现两个剪切面中间段
P/2 P/2
P
P/2 P/2
左右两段 P/2
P/2
剪切力为 P
剪切面面积 2倍剪切力为 P/2
剪切面面积单倍结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
P
例 1 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知 P=80KN,b=80mm,t=10mm，
d=16mm,[τ]=100MPa,[σ]=160MPa。
P
P
拉杆危险截面
b
t
d
构件受力和变形分析：
假设下板具有足够的强度不予考虑上杆（蓝杆）受拉最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。
拉杆强度计算：
M P a1 2 5101680
1 0 0 080
tdb
P
A
N
铆钉受剪切工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4
铆钉强度计算,
M P a5.99161 00 080d 4/P4dQ4 222
P
P
拉杆危险截面
b
t
d
二、挤压
1、关于挤压现象一般来讲，承受剪切的构件在发生剪切变形的同时都伴随有挤压挤压破坏的特点是：在构件相互接触的表面，因承受了较大的压力，是接触处的局部区域发生显著的塑性变形或挤碎作用于接触面的压力称为 挤压力在挤压力作用下接触面的变形称为 挤压变形挤压面为上半个圆周面挤压面为下半个圆周面铆钉或螺栓连接挤压力的作用面称为 挤压面键连接 上半部分挤压面下半部分挤压面
l
2h
2、挤压强度的工程计算由挤压力引起的应力称为 挤压应力
bs?
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布也非常复杂，工程上往往采取实用计算的办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压面上
bs
bs
bs A
P
挤压力挤压面面积许用挤压应力关于挤压面面积的确定键连接
l
h
2hlAbs
b
铆钉或螺栓连接挤压力分布
h
d
hdAbs
剪切与挤压的主要区别剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直剪切应力为剪应力 挤压应力为正应力剪切面计算铆钉与螺栓键
2
4
1 dA
lbA
挤压面计算
2hlA bs
hdA bs
例 2 2.5m3挖掘机减速器齿轮轴为平键连接
b=28mm,h=16mm,
P=12.1kN,
l2=70mm,R=14mm,
键 [?]=87MPa,轮毂
[?j] = 100 Mpa，校核键连接强度,
解,（ 1） 校核剪切强度键的受力情况如图 2-10c所示，此时剪切面上的剪力（图 2-10d）为 Q=P=12.1kN=12100N
对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图 2-10e），
故剪切面面积为
242
2
m1076.11cm76.11
)4.127(8.2)2(
RlbblA p
所以，平键的工作剪应力为
M P a87][MP3.10
Pa103.10
1076.11
1 2 1 0 0 6
4
a
A
Q
满足剪切强度条件 。
（ 2） 校核 挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为 P=12100N
挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为 h/2，则挤压面面积（图 2-10f）为
24
2
m1036.3
cm36.3)4.120.7(
2
6.1
2
pj lhA
故轮毂的工作挤压应力为
M P a100][M P a36
Pa1036
1036.3
1 2 1 0 0 6
4
j
j
j A
P
也满足挤压强度条件。
所以，这一键连接的剪切强度和挤压强度都是足够的 。
例 3
高炉热风围管套环和吊杆通过销轴连接，
每个吊杆上承重
P=188kN,销轴直径
d=90mm,吊杆端部厚
1=110mm,套环厚
2=75mm,材料 皆为 A3
钢,[?]=90MPa，
[?j]=200MPa,试校核销轴连接强度。
解：（ 1）校核剪切强度用截面法求剪力,受力分析如图,用平衡方程求得剪力
KN9421 8 82 PQ
剪切面面积为
242
22
m106.63cm6.634 94 dA
销轴的工作剪应力为
M P a90][M P a8.14
Pa108.14
106.63
1 0 0 094 6
4
A
Q
故剪切强度是足够的。
KN188?P
挤压面的计算面积为
242
1 m1099cm99911
dA
j?
所以工作挤压应力为
M P a2 0 0][M P a19
Pa1019
1099
1 0 0 01 8 8 6
4
j
j
j
A
P
故挤压强度是足够的。
（ 2） 校核 挤压强度销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为小结
AQ
jj
1.剪切实用计算所作的主要假设是：
（ 1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布，
由此得出剪切强度条件为
（ 2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，
由此得出挤压强度条件为
2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。
在作外力和内力分析时，还须注意以下几点：
（ 1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确地辨明剪切面和挤压面。
（ 2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。
（ 3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。
挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。
§ 3-2
扭转的概念
1,扭转变形的概念和特点
A B
A'
B'
j
gM
n
Mn
特点,横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动概念,圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用 力偶矩方向沿圆杆的轴线
x?
扭转的概念
§ 3-3
外力偶矩和扭矩的计算直接计算,根据轴上零件所受的圆周力和力的作用半径求得
1,外力偶矩的计算按轴的转速和传递的功率求得转速,n (转 /分 )
输入功率,N(kW)
m
1分钟输入功,N6 0 0 0 01 0 0 0N60W
1分钟 m 作功：
'WW?
nm21n2mmW
Nm
n
N9 5 5 0m?
单位
2,扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为 扭转轴,扭转轴 扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为 扭矩 。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m m
m M
n
x?
0M X 0mM n
mM n?
3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手螺旋法则：
以右手 4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负指向截面 离开截面例 4 传动轴如图所示，转速 n = 500转 /分钟，主动轮 B输入功率 NB= 10KW,A,C
为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW,
NC= 6KW,试计算该轴的扭矩。
A B C
x?
A B C先计算外力偶矩
Nm4.765 0049 55 0nN9 55 0m AA
Nm1 9 15 0 0109 5 5 0nN9 5 5 0m BB
Nm6.11450069 5 50nN9 5 50m CC
计算扭矩：
AB段
mA
Mn1设为正的
x?
x?
Mn1
0M X
0mM A1n
Nm4.76mM A1n
BC段 Mn2设为正的 Nm6.1 1 4M
2n
mcM
n2
0M X
4、扭矩图将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
B C
A D
TB TC TDTA
例 2 已知 A轮输入功率为 65kW,B,C,D轮输出功率分别为 15,30,20kW，轴的转速为 300r/min，
画出该轴扭矩图。
477.5N·m
955N·m
计算外力偶矩
mN6 3 7
n
N
9 5 5 0T
mN5.4 7 7
n
N
9 5 5 0TT
mN1 5 9 2
n
N
9 5 5 0T
D
D
B
CB
A
A
作扭矩图
Tnmax=955N·m
B C
A D
TB TC TDTA
637N·m
Tn
§ 3-4
圆轴扭转时的强度和刚度计算一、圆轴受扭转时横截面上的应力及扭转强度计算
1,圆轴受扭转时 横截面上的应力分布规律在圆周中取出一个楔形体放大后见图（ b）
# 根据几何关系，有
dx
rd
AC
CC jg
dx
rd
AC
CC jg
上式中 g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量，称为剪应变 (即相对角度位移 )，单位为弧度。
上式说明剪应变 g 与点到圆轴中心的距离 r 成正比，
在圆轴表面剪应变最大，越向中心处越小，在轴心处为零。
g? G?
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正应变，故各横截面上只有剪应力而无正应力。
剪切虎克定律当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，
剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为 剪切虎克定律 。
剪切弹性模量
dx
d
EG
GG j?g
dx
rd
AC
CC jg
dx
dGG j?g?
# 根据应力应变关系，即剪切虎克定律再根据静力学关系
TdAA
TdAdxdGdA
AA
j 2
TdAdxdG
A
2?j
是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为 横截面对形心的 极惯性矩 。
dAI Ap 2?令
PGI
T
dx
d
j
l
p
dx
GI
T
0
j
pGI
Tl
j
TdAdxdG
A
2?j dAI
Ap
2?
j
pp I
T
GI
TG
dx
dG
扭转角
Mn? 横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同，
并垂直于该点与圆心的连线
剪应力的大小与其和圆心的距离成正比
τ
τ
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用，但是，空心部分没有应力存在。
j
pp I
T
GI
TG
dx
dG
2、扭转剪应力的计算圆截面上任意一点剪应力
T
pI
T?
ρ
pI
极惯性矩圆截面上最大剪应力
R 剪应力具有最大值 R
I
T
p
m
定义：
R
IW p
t?
称之为 抗扭截面模量
t
m W
T
m?
3、抗扭截面模量实心圆截面
16
3d
W t
4、扭转轴内最大剪应力对于等截面轴，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上
t
m a x
m a x W
T
5、扭转强度条件
t
m a x
m a x W
T
空心圆截面43
116 DW t
D
d
6、强度条件的应用
t
m a x
m a x W
T
（ 1）校核强度
t
m a x
m a x W
T
（ 2）设计截面
m a x
t
TW?
（ 3）确定载荷
tm a x WT?
例 5 已知 A轮输入功率为 65kW,B,C,D轮输出功率分别为 15,30,20kW，轴的转速为
300r/min，试设计该轴直径 d。
B C
A D
TB TC TDTA
477.5N·m
955N·m
637N·m
Tn
由强度条件设计轴直径：
mm5.49][T16d
3 m a xn
选,d = 50 mm
Tnmax=955N·m
][dT16WT 3m a xn
p
m a xnm a x
例 6 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩 T=1930N·m,
传动轴用外径 D=89mm,壁厚?=2.5mm的钢管做成。材料为 20号钢,[?]=70MPa.校核此轴的强度。
（ 1）计算抗扭截面模量
29)945.01(9.82.0)1(2.0
945.0
4343
DW
D
d
T
cm3
（ 2） 强度校核
7 0 MP a][6 6,7 MP a
Pa10766
1029
1 9 3 0
6
6
.
W
T
T
m a x
满足强度要求二、圆轴扭转的变形及刚度计算
pGI
Tl
j
1、扭转变形 —— 扭转角 抗扭刚度为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念
pGI
T
l
j
单位 m/rad 或 m/?
2、扭转刚度条件
pGI
T
以每米弧度为单位时以每米度为单位时
1 8 0
pGI
T
许用单位长度扭转角例 7 5吨单梁吊车,NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴 CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用 45
号钢,[?]=40MPa,G=80× 103MPa,= 1o /m。
（ 1）计算扭矩
kW85.1
2
7.3
2
kk NN 轮轴 CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩 T轮,则
543
6.32
85.1
9 5 5 09 5 5 0
n
N
TT k 轮轮
N?m
马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，
故每个车轮所消耗的功率为
（ 2） 计算轴的直径
cm07.4m0 4 0 7.0
10402.0
543
][2.0
][
2.0
][
3
6
3
3
T
d
T
d
T
W
T
由强度条件得选取轴的直径 d=4.5cm。
（ 3）校核轴的刚度
m1][m945.014.3180045.01.01080 543180 49
pGI
T
例 8一传动轴，已知 d=4?5cm,n=300r/min。主动轮输入功率 NA=36?7kW,从动轮 B,C,D输出的功率 NB=14?7kw,
NC=ND=11kW。轴的材料为 45号钢,G=80?103MPa，
=40MPa,=2?/m,试校核轴的强度和刚度。
(1) 计算外力偶矩
mN3 5 1
3 0 0
11
9 5 5 09 5 5 0
mN4 6 8
3 0 0
7.14
9 5 5 09 5 5 0
mN1 1 7 0
3 0 0
7.36
9 5 5 09 5 5 0
n
N
TT
n
N
T
n
N
T
C
DC
B
B
A
A
(2) 画扭矩图,求最大扭矩用截面法求得 AB.AC.CD各段的扭矩分别为,
mN3 5 13 5 14 6 81 1 7 0
mN7 0 24 6 81 1 7 0
mN4 6 8
3
2
1
CBA
BA
B
TTTT
TTT
TT
mN702m a xT
(3) 强度校核
4 0 M P a][M P a8.38
Pa108.38
045.02.0
702
6
3
m a x
m a x
TW
T
满足强度条件,
(4) 刚度校核,
][m2m23.1
14.3
180
045.01.01080
702180
49
m a x
m a x
pGI
T
故满足刚度条件
