第 2章轴向拉伸和压缩
§ 2-1
轴向拉伸和压缩的概念可变形固体的若干概念
a,杆件材料力学主要研究 杆件横向尺寸远小于纵向尺寸的构件 横截面轴线截面形心弹性变形和塑性变形
弹性变形受力后产生的变形在撤除外力后能完全消失
塑性变形撤除外力后不能消失的变形称为塑性变形，又称为永久变形和残余变形。
机件正常工作时，只允许发生不过量的弹性变形，不允许发生塑性变形。
b、杆件变形的基本形式
# 轴向拉伸与压缩
# 剪切与挤压
# 扭转
# 弯曲
（ 1）轴向拉伸和压缩拉伸变细变长压缩变短变粗拉力与压力都是沿杆的轴线方向
（ 2）剪切和挤压剪切变形挤压变形剪切变形
（ 3）扭转
Me
Me
g j
（ 4）弯曲
Me Me
C、外力、内力与应力外力是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力内力是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力 ----可理解为材料颗粒之间因相对位置改变而产生的相互作用力外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正反向为负。
内力的正负号根据规定，不同变形的内力有不同的规定。
应力 是内力分布的密集度，可以理解为是 单位面积 的内力正应力 垂直于截面的应力剪应力 平行于截面的应力
>0?<0
>0?<0
正负号规定,正应力 拉为正，压为负。
剪应力 顺时针为正，逆时针为负
§ 2-2
轴向拉伸和压缩时的内力与应力拉、压杆的内力与应力轴向压缩构件 ----压杆? 轴向拉伸构件 ---拉杆受力特点,外力合力的作用线与 杆轴线重合； 变形特点,杆沿轴向伸长或缩短
1.轴向拉压杆举例曲柄连杆机构 连杆
ω
P
特点：
连杆为直杆外力大小相等方向相反沿杆轴线杆的变形为轴向伸长或缩短等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，
称为轴向拉压。
2,截面法与轴力
为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况
材料力学中，采用截面法研究杆的内力
1、截面法将杆件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，
保留另一部分，同时在该截面上用 内力 表示去掉部分对保留部分的作用，建立保留部分的 静力平衡方程 求出内力。
P I
PP I II
PII
N SX=0,+N-P=0
N=P
SX=0,-N'+P=0
N'=P
N'
x?
x?
截面法的步骤,注意,外力的正负号取决于坐标，与坐标轴同向为正,反之为负。
截面法求内力举例,求杆 AB段和 BC段的内力
A B C2P P P1
1 2
2
2P N1
N2
020 1?- PNX PN 21?
020 2?-+ PPNX PN?2
2P P
x?
2,应力的概念 拉压杆横截面上的应力
1、应力的概念为了描写内力的分布规律，我们将 单位面积的内力称为应力 。
在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为 正应力 。
与该截面平行的应力称为 剪应力 。
记为：
记为：
应力的单位,Pa
211 m/NPa?
工程上经常采用兆帕（ MPa）作单位
Pamm/NM P a 62 1011
2、拉压杆横截面上的应力杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律我们可以做一个实验
P P
P P
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横截面上每一点的伸长量是相同的
P?
N
如果杆的横截面积为,A
A
N
根据前面的实验，我们可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力
f20 f10
f30
2kN4kN 6kN
3kN
1
1
3
3
2
2
例 1：求各个截面应力
M P a8.2
)1030(
4102
A
N
M P a7.12
)1010(
4101
A
N
M P a9.15
)1020(
4105
A
N
23
3
3
3
3
23
3
2
2
2
23
3
1
1
1
-?
-
-
-
-f20 f10
f30
2kN4kN 6kN
3kN
例 2 图示矩形截面（ b? h）杆，已知 b = 2cm,h=4cm,
P1 = 20 KN,P2 = 40 KN,P3 = 60 KN，求 AB段和 BC
段的应力
A B C
P1 P
2
P3
P1 N1
x?
0PN 11?+ KN20PN 11 -?-?
M P a25mm/N25mm4020 N1 0 0 020AN 22
1
11 -?-?
- 压应力
P3N20PN
32?--
KN60PN 32 -?-?
压应力
MPaAN 75
2
2
2 -
例 3 图示为一悬臂吊车,BC为实心圆管，横截面积 A1 = 100mm2，
AB为矩形截面，横截面积
A2 = 200mm2，假设起吊物重为
Q = 10KN，求各杆的应力。
30
A
B
C
首先计算各杆的内力：
需要分析 B点的受力
Q
F1 F
2
x?
y?
0X 0F30c o sF 21?+-?
0Y 0Q60c o sF
1?-?
KN20Q2F 1 KN32.17F321F 12
30
A
B
C
Q
F1 F
2
x?
y?
KN20Q2F 1 KN32.17F321F 12
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1
AB杆的受力为压力，大小等于 F2
由作用力和反作用力可知：
最后可以计算的应力：
BC杆,MPa2 0 0mm1 0 0 KN20AFAN 2
1
1
1
1
1
AB杆,M P a6.86
mm2 0 0
KN32.17
A
F
A
N
2
2
2
2
2
2 -?
-?-
§ 2-3,材料 拉伸压缩时的力学性能杆件的应力与外力和构件的几何形状有关，而杆件的变形却与材料的性质有关。
因此，有必要研究材料的力学性能 (如弹性模量、
屈服极限、抗拉强度、伸长率、断面收缩率、硬度、
冲击韧性等 )。这种研究可以通过实验进行。
1、低碳钢和铸铁 拉伸 \压缩 时的力学性能在工程上使用最广泛，力学性能最典型
# 实验用试件标点
L0
标距
d0
（ 1） 材料类型,
低碳钢,
灰铸铁,
2,标准试件,
塑性材料的典型代表；
脆性材料的典型代表 ；
（ 2） 标准试件,
标距,
用于测试的等截面部分长度；
尺寸符合国标的试件 ；
圆截面试件标距,L0=10d0或 5d0
# 低碳钢拉伸实验曲线
O
P
D L
Pe
PpPs
Pb
线弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段 屈服极限,
0A
Ps
s
0A
Pb
b
强度极限,冷作硬化
%1 0 0
0
01?-?
L
LL?延伸率,%100
0
10?-?
A
AA?断面收缩率,
弹性极限和比例极限
PP,Pe
a
E=tga
低碳钢拉伸应力应变曲线D(?
s下 )(?e) B
C(?s上 )
A(?p)
E(?b)
g
Ey= tga
(MPa)
200
400
e
0.1 0.2O
低碳钢压缩应力应变曲线
eO
bL
灰铸铁的拉伸曲线
by
灰铸铁的压缩曲线 a
a = 45o~55o
剪应力引起断裂
2.塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料 脆性材料断裂前有很大塑性变形 断裂前变形很小抗压能力与抗拉能力相近 抗压能力远大于抗拉能力延伸率 δ > 5% 延伸率 δ < 5%
可承受冲击载荷，适合于锻压和冷加工适合于做基础构件或外壳材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变
3.硬度及冲击韧性
1)硬度概念
硬度是材料抵抗较硬物质压入的能力，
即材料塑性变形的抵抗能力。工程上常采用布氏硬度和洛氏硬度。
一般材料硬度愈高，强度和耐磨性越高，但塑性较低。
布氏硬度和洛氏硬度
布氏硬度
其测定方法是用压头压入材料表面。载荷 F
与压痕面积 A之商即为布氏硬度。
常用 HBS(压头为钢球时 )和 HBW(压头为硬质合金 )表示
多用于测硬度较低材料 (HBS<450)
洛氏硬度
由压入处的塑性变形深度 h决定，可直接由洛氏硬度计读出。
常用 HRC(压头为金刚石锥体 ),HRB(用小钢球 )和 HRA表示
多用于测硬度较高材料 (HBS>450)
试件压痕球面面积
A所承受的平均压力表示材料的硬度值，
称为布氏硬度。用 HB
表示。
22
2
2
mm
k g f
dDD
D
A
DhA
A
P
HB
--?
D—— 钢球直径
d—— 压痕直径
h —— 压痕深度
a?布氏硬度
b、洛氏硬度洛氏硬度用 HR
表示
n
hcHR -?
h —— 位置压入深度之差；
n —— 常数，取值 0?002mm；
c —— 常数，
2)冲击韧性
衡量材料抵抗冲 击断裂能力的性能指标叫做冲击韧性。 用冲断试件消耗的功 W与试件缺口处断面积 A之比值表示。材料冲击韧性越高，代表其抗冲击破坏的能力越大。 计算式
Α
hhG 21 -?
a
k
W
A
a?
§ 2-4,拉（压）杆的强度计算
1、材料的极限应力塑性材料为屈服极限脆性材料为强度极限
b
s
0
材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。
所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。
屈服极限
s?
强度极限
b?
A3 钢,235 MPa 372-392 MPa
35 钢,314 529
45 钢,353 598
16Mn,343 510
2、工作应力
A
N？
工程实际中是否允许
b
s
0
不允许！
前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力 —— 工作应力。
工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。
只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。
对于同样的工作应力，为什麽有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。
原因：
# 实际与理想不相符生产过程、工艺不可能完全符合要求对外部条件估计不足数学模型经过简化某些不可预测的因素
# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备
# 考虑安全因素 许用应力
n
0?
b
b
s
s
n
n
脆性材料：
塑性材料：
一般来讲
sb nn?
因为断裂破坏比屈服破坏更危险
3、许用应力
4、强度条件
A
N工作应力轴力横截面积材料的许用应力
m a x
5、强度条件的工程应用
m in
m a x
m a x A
N
# 已知载荷 N 和横截面面积 A，可以校核强度
m a x
# 已知 N 和 [σ]，可以设计构件的截面 A（几何形状）
m a x
m in
NA?
# 已知 A和 [σ]，可以确定许用载荷
（ N?P）m inm ax AN?
三个方面的应用举例例 4 上料小车，每根钢丝绳的拉力 Q=105kN，拉杆的面积 A=60?100mm2 材 料为 Q235钢，安全系数 n=4。试校核拉杆的强度。
N N
由于钢丝绳的作用，拉杆轴向受拉，每根拉杆的轴力
NQN 310105
横截面积
23106 mmA
根据强度条件，有
M P aM P a.
A
N 60517
106
101 0 5
3
3
查表,Q235号钢的屈服极限为 M P a
s 240
许用应力
M P a
n s
s 60
拉杆符合强度要求例 5
这是一个设计拉杆截面的问题，根据
m a x
m in
N
A?
首先需要计算拉杆的轴力对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力
G + Q
NBC
NBA0Y
0?+- QGs inN BC a
最大轴力出现在点葫芦位于 B
3 5 20451 51 22,.,lls i n
BC
AC?
+a
kN.N BC 856?
2
3
406140 10856 mm.NA m a xm in
求圆钢杆 BC 的直径
22 4 0 6
4
1 mmAd
m in
mm.d 822?
可以选取
mmd 25?
例 6 一起重用吊环，侧臂 AC和 AB有两个横截面为矩形的锻钢杆构成。 h=120mm,b=36mm,
许用应力为 80MPa。求吊环的最大起重量 。
问题是确定载荷
m inm ax AN?
先求出侧臂所能承受的最大内力，再通过静力平衡条件确定吊环的载荷
N N
N
AN m inm ax
6 9 1 2 0 0
80361202
静力平衡条件
0 Y
02- ac o sNP 9204 2 09 6 0 9 6 0 22,c o s?+?a
N
.co sNP
1 2 7 1 8 0 8
9206 9 1 2 0 022
a kNP 127 1?
补充 应力集中的概念构件内局部区域应力突然增大的现象称为应力集中由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、
沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大应力集中系数
m
m a xk
平均应力课堂练习
1、拉伸试验机原理如图所示，假设试验机的 CD杆与试件 AB的材料同为低碳钢，
且,试验机最大拉力为 100 kN，
（ 1）利用该试验机做拉断试验时，
试件直径最大可达多少？
（ 2）若试验机的安全系数为 n = 2，
则 CD杆的横截面积为多大？
（ 3）若试件直径为 d =10 mm，现测量其弹性模量 E，则所加载荷最大值为多少？
M P a,M P a,M P a bsP 400240200
A
B
C
D
A
B
C
D
1、拉断,采用强度极限 b?
4400
10100 23 m
b
m
dNA?
mm.d m 817?
2,CD杆不变形,采用屈服极限
1202240 nA N s
m in
m a x
2
3
8 3 31 2 0101 0 0 mmA
3,在线弹性范围,采用比例极限
A
B
C
D
PA
N
N.AN P 32 107152001041
载荷不能超过 15.7 kN
B
C
D
F
P
x
l
2、设横梁 CF为刚性,BC为铜杆,DF为钢杆，两杆长度分别为 l1,l2,横截面积为 A1,A2,弹性模量为 E1,E2,如果要求 CF始终保持水平，试确定 x。
保持水平的含义是两根拉杆的变形量、即伸长量相同
2
22
22
11
11
1 lAE
lN
AE
lNl DD
B
C
D
P
x
l
P
F
1N? 2
N?
x
l
对横梁做受力分析两根拉杆均为二力杆
O
0 OM 012-- xNxlN
21 Nx
xlN?-
22
22
11
11
AE
lN
AE
lN?
112221
221
AElAEl
AEllx
+
§ 2-5,拉（压）杆的变形细长杆受拉会变长变细，
受压会变短变粗
dL
P
P
d-Dd
L+DL长短的变化，沿轴线方向，
称为纵向变形粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P P
P
P
1、纵向变形
l
l?
lll -D
实验表明
A
Pll?D
变形和拉力成正比引入比例系数 E，又拉压杆的轴力等于拉力
EA
Nll?D
EA
Nll?D
E 体现了材料的性质,称为材料的 拉伸弹性模量,单位与应力相同称为胡克（虎克）定律显然，纵向变形与 E 成反比，也与横截面积 A 成反比
EA 称为抗拉刚度为了说明变形的程度，令
l
l
l
ll De?-
称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩短为负号
EA
Nll?D
l
l
l
ll De?-e
EEA
N 1
e? E?
也称为胡克定律称为胡克（虎克）定律
e
θ
tgE?
2、横向变形 P
P
P
P
l
l?
h
h?
hhh -D
同理，令
h
h
h
hh De?- 为横向线应变实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：
e
e
e
e 称为泊松比，是一个材料常数
ee -
负号表示纵向与横向变形的方向相反
e
EEA
N 1
E
e -
E 最重要的两个材料弹性常数，可查表
