第 4章梁的弯曲
§ 4-1
弯曲的概念梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容弯曲变形是工程构件最常见的基本变形
P
P PP PP P
P
工程实际中的弯曲问题弯曲的概念 P q M
RA RB
当直杆受 垂直其轴线的横向外力 或者在杆 轴平面内的外力偶 作用时，杆的轴线将由直线变成曲线，称为 弯曲 。
产生弯曲变形的杆称为 梁梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形平面弯曲的概念我们只研究矩形截面梁的平面弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为 平面弯曲 。
因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲梁的载荷与支座情况
a、梁的载荷
# 集中力
# 均布载荷
# 集中力矩正负号规定：
集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；
集中力矩逆时针为正、顺时针为负。
b、梁的支座反力滑动铰支 1 (Ry)
固定铰支 2 (Rx,Ry)
固 定 端 3 (M,Rx,Ry)
Ry
Rx M
Ry
图 示 法 反 力 未知反力数名 称
Rx
Ry
梁的支承方法及反力
c、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型简支梁一端固定铰支座一端活动铰支座悬臂梁一端固定一端自由外伸梁 一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置
d、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
0M,0Y,0X
举例说明
P
左边固定铰支座，有两个约束反力
A B x?y?
AyR
AxR
ByR
0X
右边活动铰支座,1个约束反力
0RAx?
0Y 0PRR ByAy
0M A
l
02/lPlR By
2/PR By? 2/PR Ay?
2/l
再以悬臂梁为例
x?
y?
假设该悬臂梁承受均布载荷
q
l固定端有 3个约束反力
Rx
Ry
A BMA
建立平衡方程求约束反力
0X 0Rx?
0Y 0lqR y qlR y?
0M A 02lqlM A 221 qlM A?
§ 4-2
梁的弯曲内力梁的内力、弯矩图
# 截面法求内力
# 弯矩概念
# 弯矩的正负号规定
# 弯矩图
a、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲 内力有两类,剪力和弯矩考察弯曲梁的某个横截面 仍使用截面法。
在截面形心建立直角坐标系。
剪力与截面平行，用 Q表示弯矩作用面在纵向对称面内，
方向沿 Z 轴方向，用 M 表示
x?
y?
z?
Q
M
在细长梁中，剪力对强度和刚度影响较小，可略去不计，
只考虑弯矩的影响
aPRM
MaPR
M
PRQ
QPR
Y
A
A
A
A
1
1
0
1
1
0
0
0
0
:
:
用截面法求弯曲时的内力
b、剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号对所截截面上任一点的 力矩顺时针为正，逆时针为负弯矩正负号
Q Q
M M M M
正负正 负使梁 下凹为正，向上凸为负
c、截面法求剪力和弯矩
x?
y? P1
P2
RAy
A BR
Ax
RB
x
P1
RAy
a
a MQ 对截面中心 建立力矩平衡方程
0M 0xRaxPM Ay1
axPxRM Ay 1
m
m
0Y 01 QPR Ay
1PRQ Ay
RAx
说明：
1、一般情况下,x 方向的约束反力为零。
2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的平衡方程。
3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。
举例：
x?
y?
l
q
x
求图示简支梁 x 截面的弯矩
q
RAy
M
A
B在 x 处截开，取左半部分分析画出外力、约束反力、弯矩
x 截面剪力、力矩平衡方程
0M
0xR2xqxM Ay
qx
2
2
1 qxxRM
Ay
Q0Y 0 QqxR Ay
qxRQ Ay
2
2
1 qxxRM
Ay
可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线 —— 抛物线弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有
2
lx?
由对称性，可以求得
2
qlR
Ay?
2ql
8
1M?
x?
y?
l
q
x
A
B
qxRQ Ay
d、剪力图和弯矩图将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示例如上面的受均布载荷的简支梁
x?
y?
l
q
x
A
BqxRQ Ay
2
2
1 qxxRM
Ay
x?
x?
Q
M
2
qlR
Ay?
2ql
8
1M?
（ 1）列剪力方程和弯矩方程
PxM
MPxM
PQ
PQY
得由得
00
00
0
,
,
（ 2）画剪力图和弯矩图例 2
例 3 图 4-14a 所示为一简支梁，在 C点受集中力 P 的作用，作此梁的剪力图和弯矩图 。
(1) 求支座反力
0,0 AMY
l
PaR
l
PbR
BA,
(2) 列剪力方程和弯矩方程
AC段,
l
PbRQ
A1
(0 < x < a)
xlPbxRM A1 )( ax0
CB段：
l
PaP
l
PbPRQ
A2
)( lxa
)(
)()(
xl
l
Pb
axPx
l
Pb
axPxRM
A
2
)( lxa
(3) 画剪力图和弯矩图集中力使剪力图突变集中力使弯矩图折曲
AC段,
l
PbRQ
A1
(0 < x < a)
xlPbxRM A1 )( ax0
CB段：
l
PaQ
2 )lxa(
)xl(lPbM2 )( lxa
（ 1）求支座反力
l
M
RMlR,M
l
M
RlRM,M
AAB
BBA
0
0
0
0
00
00
（ 2）列剪力方程和弯矩方程例 5
0
0
02
0
2:
Mx
l
M
MxRM
l
M
RQCB
A
A
段
)( lxa
（ 3）画剪力图和弯矩图集中力偶使弯矩图突变集中力偶不使剪力图变化
l
bMM 0?
m ax
x
l
M
xRM
l
M
RQAC
A
A
0
1
0
1:
段
)0( ax
（ 1）求支座反力
2
,
2
00
00 P
l
M
R
P
l
M
R
MM
BA
AB
可得和由
（ 2）列写弯矩方程例 6
)xl(
P
x
l
M
Pl
Pxx
P
x
l
M
)
l
x(PxRM
:CB
A
2
22
2
0
0
2
段
xPx
l
M
xRM
:AC
A 2
0
1
段
（ 3）画弯矩图 集中力偶使弯矩图突变集中力使弯矩图折曲叠加法,注意事项 1、不是简单形状叠加，是纵坐标值的叠加
2、要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同符号纵坐标的累加
3、按纵坐标方向划出有效区标志线，正负抵消的部分不可划标志线
4、标明有效区的正负符号
5、标注极值大小总结：弯矩图的形状和载荷之间的关系
1.在两个集中载荷之间的梁段内，弯矩图一般为斜直线，并且在集中力作用处弯矩线转折。
2.在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的值
3.在均布载荷作用的梁段内，弯矩图为抛物线。
如均布载荷方向向下，则抛物线开口向下，反之则向上
§ 4-2
弯曲时的正 应力与强度计算
1.纯弯曲时的正应力
# 纯弯曲与剪切弯曲
# 中性层和中性轴
# 弯曲正应力分布规律
# 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量各横截面上同时有弯矩 M和剪力 Q，称为 剪切弯曲 。
各横截面只有弯矩 M，而无剪力 Q，称为 纯弯曲 。
a,变形几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕 中性轴 转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。
中性层中性轴
# 中性层和中性轴
x?
y?
z?
中性层梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
中性轴 中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短
dyab
ddxab
dxdOO
)(
21
)()( ay
d
ddy
ab
abab
变形的几何关系为：
上式说明离中性轴越远 (y越大 )，则变形越大。
b、应力和变形的关系（物理关系）
y
EE
由虎克定律
)()( ay
d
ddy
ab
abab
C、弯曲正应力分布规律
M
与中性轴距离相等的点，正应力相等；
正应力大小与其到中性轴距离成正比；
弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；
弯矩为负时，正应力上拉下压； M
中性轴上，正应力等于零
yEE
d、静力学关系分析如图，取一微元进行分析
Z:中性轴
MdAyA
MdAyEdA)yE(y AA 2
z
z
A
z
EI
M
M
EI
dAyI
1
2
或令
yEE
抗弯刚度
zI
My
zI
My
横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离 (y)的最大值例 7 图 5-8所示,一受均布载荷的悬臂梁,其长 l=1m，
均布载荷集度 q=6kN/m；梁由 10号槽钢制成,由型钢表查得横截面的惯性矩 Iz=25.6cm4。 试求此梁的最大拉应力和最大压应力 。
（ 1）作弯矩图，求最大弯矩梁的弯矩图如图 5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为
mNqlM m a x 3 0 0 02 16 0 0 02
22
因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘 受最大拉应力，
其值为在截面的 下端 受最大压应力，其值为
M P a385Pa10385
0328.0
106.25
3000
6
82
m a x
m a x
y
I
M
z
C?
（ 2）求最大应力
M P a178Pa10178
0152.0
106.25
3000
6
81
m a x
m a x
y
I
M
z
T?
f、惯性矩的计算可直接记忆也可以查表
123
32
2
3
22 2
2
bhy
bb dyydAyI
h
hA
z
h
h
12
3bh
I z?
矩形截面圆形与圆环截面实心圆
642
4dI
II Pyz
空心圆
44642 dDIII Pyz
44 1642 DIII Pyz Dd
g、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上,Zm a x W
M
WZ 称为抗弯截面模量,Z 为中性轴,
矩形截面
Z
b
h
6
bhW 2
Z?
实心圆截面
Z d
32
dW 3
Z
m a x
Z
Z y
IW?
2,弯曲强度计算
# 梁的最大正应力
# 梁的强度条件
# 举例
a、梁的最大正应力
梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部
梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处
Z
m a x
m a x W
M
b、梁的强度条件
Z
m a x
m a x W
M
Mmax 梁内最大弯矩
WZ 危险截面抗弯截面模量
[σ] 材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷例 8图示圆截面辊轴，中段 BC受均部载荷作用，
试确定辊轴 BC段截面的直径。已知 q = 1KN/mm，
许用应力 [σ] = 140MPa。
q
300 3001400
A B C D
q
RAy
M
700300
q
300 3001400
A B C D
危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩
q
RAy
M
700300
0M
07 003 00R27 007 00qM Ay
由对称性可求得：
N7 00 0 0 02 1 40 01 00 0ql21R Ay
K N m4552 7001000100070000M 2
Z
m a x
W
M
m axZ
MW? 140 1000100045532d
3
mm3 2 0d?
例 10 图示悬臂梁承受均布载荷 q，假设梁截面为 b?h的矩形,h = 2b,讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？
b
h
h
b
q注意,Z 轴为中性轴
b
h
h
b
q
根据弯曲强度条件
ZW
M
同样载荷条件下，工作应力越小越好因此,WZ 越大越好梁立置时：
3322
Z b3
2
6
b4
6
b2b
6
bhW
梁倒置时：
3
322
Z b3
1
6
b2
6
bb2
6
hbW
立置 比 倒置强度大一倍。
例 11 一矩形截面木梁如图 5-14a 所示，已知
P=10kN,a=1.2m，木材的许用应力
[?]=10MPa 。设梁横截面的高宽比为 h/b =2，
试选梁的截面尺寸。
mkN122.110m a x PaM
解,（ 1） 作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作出梁的弯矩图如图 5-14b所示，由图知最大弯矩为
mkN122.110m a x PaM
（ 2）选择截面尺寸
3
36
6
m a x
m a x
cm1 2 0 0
m101 2 0 0
1010
1 0 0 012
z
z
z
W
M
W
W
M
即得由强度条件
截面的抗弯截面模量
1 2 0 0
3
2
3
2
6
2
6
3
322
b
bbbbh
W z
最后选用 12.5?25cm2的截面。
cm4.242 bh
cm2.1221 2 0 033b由此得
§ 4-4
弯曲刚度计算本部分主要内容
梁的挠曲线近似微分方程
积分法求梁的变形
叠加法求梁的变形
梁的刚度校核
1 挠度和转角梁任一横截面的转角? 等于该截面处挠度 y对 x的一阶导数。
y
dx
dy
tg
y
dx
dy
tg
梁的挠曲线近似微分方程
（ 2） 角位移?
梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的 转角。
梁的挠曲线微分方程为
y=f(x)
梁弯曲后的轴线称为 挠曲线。
（ 1）线位移 y
梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的 挠度
2
2
)(
1
,)(
dx
yd
dx
d
x
dxdsdxds
得且由图可见
2 挠曲线的近似微分方程
)(
)(
)(
1
1
a
EI
xM
x
EI
M
非纯弯曲纯弯曲注意,y轴要向上，保证方程两边符号相同
EI
xM
dx
ydy )(
2
2
将上式代入式 (a),得梁的挠曲线近似微分方程
3,用积分法求梁的变形
DCxdxdxxMEI y
DdxCdxxMEI y
CdxxMEIyEI
xMyEI
)(
)(
)(
)(
或
简支梁,悬臂梁：
0,
0,0
B
A
ylx
yx 0,0
0,0
A
A
yx
yx
积分常数 C和 D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件 。
以 A为原点，取直角坐标系，
x轴向右,y轴向上。
（ 1） 求支座反力 列弯矩方程由平衡方程得：
PlMPR AA,
列弯矩方程为,xRMxM
AA)(
)( aPxPl
（ 2）列挠曲线近似微分方程
)( bPxPlyEI
例 12
（ 3） 积分
)(2 2 cCxPP l xyEI
)(62 32 dDCxxPxPlE I y
)( bPxPlyEI
（ 4）代入边界条件，确定积分常数在 x=0处,00
AAA yy?
将边界条件代入 (c),(d)得,0,0 DC
将常数 C 和 D 代入 (c),(d)得：
)2(221 2 xlEIPxxPP l xEIy
)3(6621
232
xlEIPxxPxPlEIy
（ 6）求最大转角和最大挠度
EI
Pl
EI
Pl
B 2,2
2
m a x
2
即
EI
Ply
EI
Ply
B 3,3
3
m a x
3
即
（ 5） 确定转角方程和挠度方程
CxPP l xyEI 22
DCxxPxPlE I y 32 62
说明,转角为负,
说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为负,说明 B点位移向下 。
例 13 一简支梁如图 6-9所示,在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用,试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角 |θ|max 和最大挠度 |y|max
由对称关系得梁的两个支座反力为
2
qlRR
BA
以 A点为原点，取坐标如图，
列出梁的弯矩方程为：
)(22)( 2 axqxqlxM
（ 2） 列挠曲线近似微分方程并进行积分
(1) 求支座反力，列弯矩方程
bxqxqlvEI 2
22
)d(DCxx
q
x
ql
E I v
)c(Cx
q
x
ql
vEI
43
32
2412
64
bxqxqlvEI 2
22
简支梁的边界条件是：
在两支座处的挠度等于零在 x = 0 处,yA=0 ；
在 x = l 处,yB=0
（ 3） 确定积分常数
240
3ql
C,D
)d(DCxx
q
x
ql
E I v
)c(Cx
q
x
ql
vEI
43
32
2412
64
边界条件代入（ d），解得将积分常数 C,D代入式（ c）和（ d）得
（ 4）确定转角方程和挠度方程
)(2
24242412
1
)(46
242464
1
323
3
43
323
3
32'
fxlxl
EI
qx
x
ql
x
q
x
ql
EI
y
exlxl
EI
qql
x
q
x
ql
EI
y
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将 x=l/2代入（ f），得：
（ 5）求最大转角和最大挠度
EI
ql
y
EI
qlll
l
EI
l
q
y
C
384
5
384
5
8224
2
4
m ax
433
3
故又由图 6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。
由式（ e）
EI
ql
EI
ql
lx
EI
ql
x
B
A
24
24
,
24
,0
3
m ax
3
3
故处在处在
4.叠加法求梁的变形当梁上同时作用几个载荷时,
梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。
叠加原理、叠加法前提是小变形、线弹性
EI
ql
EI
ql
y
EI
Pl
EI
pl
y
BqBq
BPBP
68
23
34
23
EI
ql
EI
Plyyy
BqBPB 83
43
EI
ql
EI
pl
BqBPB 62
32
由叠加法得：
直接查表 2-3
例 14
5.梁的刚度校核
m a x
m a x
yy
弯曲构件的刚度条件,
ra d:,单位许用转角许用挠度
y
例 15
将主轴简化为如图例 6-13b所示的外伸梁,主轴横截面的惯性矩为
44444 cm1 8 8)48(
64)(64
dDI
材料的弹性模量：
26 N / c m1021G P a2 1 0E
（ 1）计算变形由表 2-3查出，因 P1在 C处引起的挠度和在 B引起的转角（图 c）为：
cm106.40)2040(1 8 810213 202 0 0 0)(3 46
22
1
1
al
EI
aPy
CP
r a d1054.13
18810213
4020200
3
5
6
1
1
EI
alP
BP?
由表 2-3查得，因 P2在 C处引起的挠度和在 B处引起的转角（ d）
为：
cm1006.5201053.2
r a d1053.2
188102116
401 0 0 0
16
45
5
6
22
2
22
2
ay
EI
lP
BPCP
BP
r a d1001.111053.21054.13
:B
cm105.351006.5106.40
:
555
444
21
21
BPBPB
CPCPC
yyyC
处的总转角为处的总挠度为则主轴的许用挠度和许用转角为：
r ad10001.0
cm1040400001.00001.0
3
4
ly
r a d10r a d1001.11
cm1040cm105.35
3-5
-44
B
c yy
故主轴满足刚度条件
（ 2）校核刚度
§ 4-5
组合变形时的强度条件一、概述叠加原理应用的基本步骤,(1)将载荷进行分解，
得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形 ;（ 2）
分析每种载荷的内力，确定危险截面；（ 3）分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（ 4）将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；（ 5）选择强度理论，对危险点进行强度校核 。
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是 组合变形二,弯曲与拉伸的组合
载荷与杆件轴线平行，但不通过横截面的形心，杆件的变形也是弯曲与拉伸（或压缩）的组合，称为 偏心拉伸
（压缩） 。
载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为 偏心距 。
s i n,co s pppp yx
A
S
yIM
xlPM
z
y
)(
3
在 Px作用下：
在 Py作用下：
z
T W
M
A
S m a x
m a x
z
C W
M
A
S m a x
m a x
T
z
T W
M
A
S m a x
m a x
c
z
C W
M
A
S m a x
m a x
危险截面处的弯矩例 16 悬臂吊车,横梁由 25a号 工字钢制成，
l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量
Q2=20kN,?=30o,[?]=100MPa，试校核强度。
抗弯截面模量
4
强度条件为：
yIMAS
z
根据叠加原理，可得横截面上的总应力为：
解,（ 1）外力计算 取横梁 AB
为研究对象，受力如图 b所示。
梁 上载荷为 P=Q1+Q2=24kN，斜杆的拉力 S可分解为 XB和 YB。
横梁在横向力 P和 YA,YB作用下产生弯曲；
同时在 XA和 XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。
当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件
kN8.20
kN12
kN8.20
577.0
12
30
kN12
2
0
2
,0
A
A
B
B
B
BA
X
Y
tg
Y
X
P
Y
l
PlYM
得
（ 2）内力和应力计算 绘出横梁的弯矩图如图 c所 示。在梁中点截面上的弯矩最大，
其值为
m2 4 0 0 0 N4 42 4 0 0 04m ax PlM
从型钢表上查 25a号工字钢，得：
363
242
m10402cm402
m105.48cm5.48
zW
A
5
6 0 M P aPa1060
10402
2 4 0 0 0
6
6
m ax
m ax
zW
M?故其分布如图 e所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力，下边缘处受最大拉应力作用。
横梁所受的轴向压力为
BXS?
则危险截面上的压应力为
Pa103.40 0 4 8 5.0 2 0 8 0 0 6 AXAS BC?
并均匀分布于横截面上，如图 d所示。
故梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为；
M P a7.55603.4
m a x
M P a3.64603.4
m a x
m a x
m a x
z
T
z
C
W
M
A
S
W
M
A
S
（ 3）强度校核 M P a3.64m a xC
由计算可知,此悬臂吊车的横梁是安全的 。 6
例 17 钻床 P=15kN,e=40cm,[?T]=35MPa,[?C]=120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径 。
解,（ 1）计算内力 将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，
求出立柱的轴力和弯矩分别为：
mN6 0 0 0
4.01 5 0 0 0
N1 5 0 0 0
PeM
PS
（ 2）选择立柱直径
6
32
m ax
1035
32
6000
4
1 5 0 0 0
dd
W
Pe
A
S
T
z
T
求解 d的三次方程
7
M P a35M P a4.32104.32
32
1 2 5.014.3
6 0 0 0
4
1 2 5.014.3
1 5 0 0 0
6
32m ax
T
满足强度条件，最后选用立柱直径 d=12.5cm。
解得立柱的近似直径 m12.0?d
取 d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核，
得
6
3
1035
32
6 0 0 0
d
W
M
z
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸
8
9
解,由于钢板在截面 1-1处有一半圆槽,因而外力 P对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为
cm5.021222 rrbbe
截面 1-1的轴力和弯矩分别为：
mN400005.08 0 0 0 0
8 0 0 0 0 k NkN80
PeM
PS
轴力 S和弯矩在半圆槽底部的 a点处都引起拉应力（图 b),a点 即为危险点。最大应力为
1 6 3,3 M P aPa103.1 6 3
)01.008.0(1`0.0
4 0 06
)01.008.0(01.0
8 0 0 0 0
6
)()(
6
2
2m a x
rb
Pe
rb
P
T
例 18 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm,厚度?=1cm,槽半径 r=1cm,
P=80kN,钢板许用应力 [?]=140MPa。试对此钢板进行强度校核。
计算结果表明，钢板在截面 1-1处的强度不够。
由分析知,造成钢板强度不够的原因,
是由于偏心拉伸而引起的弯矩 Pe,使截面 1-1的应力显著增加 。 为了保证钢板具有足够的强度,在允许的条件下,可在槽的对称位置再开一槽如图 c。 这样就避免了偏心拉伸 。
M P a140M P a3.133
)01.0208.0(01.0
80 0 00
)2(
rb
P
此时钢板在截面 1-1处满足强度条件。
10
此时截面 1-1上的应力 (如图 d)为三,弯曲与扭转的组合
1,弯扭组合是工程中常见的变形组合形式
11
22
3
1 )
2(2 T
BB
02?
W
TM
W
TM
ep
TBep
ep
TBep
22
4
22
4
22
3
22
3
75.0
3
4 TxBxy,,0
2,弯扭组合常用计算公式的建立
12
将力 P向 A端面形心平移，得到一横向力 P和矩为 TA=PR的力偶，杆 AB受力情况如图 b。
圆杆的弯矩图和扭矩图如图 c,d。
T
TB W
T
W
M
PLMMM yz 22
圆轴复合弯曲的弯矩
x
y
z
P
x
Py
Pz
P
Mz
My
L
s i nPLLPM yz
c o sPLLPM zy
注意,
1 公式仅对圆轴复合弯曲适用
2 公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分
3 平面弯曲可看成它的特例
Py
Pz
M=PL
13
z
y
例 19 手摇绞车 d=3cm,D=36cm,l =80cm，
[?]=80MPa.按第三强度理论计算最大起重量 Q.解,（ 1） 外力分析 将载荷 Q向轮心平移,得到作用于轮心的横向力 Q和一个附加的力偶,其矩为 TC=QD/2 。 轴的计算简图如图 b所示 。
mN18.036.0
2
1
2
1
mN2.08.0
4
1
4
1
QQQDT
QQQlM
（ 3）求最大安全载荷
14
（ 2）作内力图 绞车轴的弯矩图和扭矩图如图 c,d所示。
由图可见危险截面在轴的中点 C处,
此截面的弯矩和扭矩分别为：
N7 9 0
1080
32
03.0
)18.0()2.0(
6
3
22
22
3
Q
W
TM
eq
即最大安全载荷为 790N。
15
（ 3）求最大安全载荷例 20 齿轮轴,n=265r/min,NK=10kW,D1=396mm,D2=168mm,? =20o,
d=50mm,[?]= 50MPa。校核轴的强度。
解,（ 1） 计算外力 取一空间坐标系 Oxyz,将啮合力 P1,P2分解为切向力
P1z,P2y和径向力 P1y,
P2z,它们分别平行于 y轴和 z轴 。 再将两个切向力分别向齿轮中心平移,亦即将 P1z,P2y平行移至轴上,
同时加一附加力偶,其矩分别为：
2;2 2211
DPTDPT
yDzC
16
简化结果，轴的计算简图如图 b所示。 由图可见,TC和 TD使轴产生扭转，
P1y,P2y和 P1z,P2z则分别使轴在平面 Oxy和 Oxz内发生弯曲。
N4 3 0 01 6 8.0 3 6 1222 2222 DTPDPT DyyD?
又由图 a所示切向力和径向力的三角关系,
N1 5 6 5364.04 3 0 020
N664364.01 8 2 320
22
11
tgPP
tgPP
yz
zy
（ 2） 作内力图,并确定危险截面平面在 Oxz内,由平衡条件可求得轴承 A、
B处的支座反力为：
N1638N,1750 BA ZZ
同样，可求得在平面 Oxy内轴承 A,B处的支座反力为：
N33 00N,16 64 BA YY
在平面 Oxy内的弯矩 Mz图，如图 d中的铅垂图形。画出轴的扭矩图如图 c所示。 17
N1823396.0 361222T
mN3612651095509550
1
111C?
D
TPDP
n
NTT
Czz
kDC
画出平面 Oxz内的弯矩 My图，如图 d中的水平图形。
22 xy MMM
求得截面 C和 D的合成弯矩分别为：
mN2 942 641 31
mN1 931 331 40
22
22
D
C
M
M
由比较知，在截面 D上的合成弯矩最大。
又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：
mN3 6 1T
（ 3）强度校核
M P a55M P a4.37Pa104.3705.01.0 361294 63 22223 W TM Deq
故轴满足强度条件 。 18
M P a55M P a4.3405.01.0 36 175.029 475.0 3 22224 W TM Deq
若采用第三强度理论，则若采用第四强度理论，则求出合成弯矩 M的数值。
小 结
