数字电子技术基础阎石（第四版）
数字电子技术基础教材：数字电子技术基础阎石主编（第四版）
第一章 逻辑代数基础第二章 门电路第三章 组合逻辑电路第四章 触发器第五章 时序逻辑电路第六章 脉冲波形的产生和整形第一章 逻辑代数基础
§ 1-1 概述
§ 1-2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 1-3 逻辑代数的基本公式和常用公式
§ 1-4 逻辑代数的基本定理
§ 1-5 逻辑函数及其表示方法
§ 1-6 逻辑函数的公式化简法
§ 1-7 逻辑函数的卡诺图化简法
§ 1-8 具有无关项的逻辑函数及其化简
§ 1-1 概 述
1-1-1 数字量和模拟量模拟量时间上、数量变化上都是连续的物理量；
表示模拟量的信号叫做模拟信号；
工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。
数字量时间上、数量变化上都是离散的物理量；
表示数字量的信号叫做数字信号；
工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。
1-1-2 数制和码制多位数码中，每位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。数字电路中常用进制有十进制，二进制。
(i=0~n,n是整数部分的位数 )
2逢二进一0,1二
10逢十进一0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十基数计数规则数 码进制 N
n
oi
i
N NKiS
一、数制任意进制数表达式的普遍形式：
1,数制的基本知识式中,S为任意数,N为进制，
Ki 为第 i 位数码的 系数,Ni 为第 i 位的 权 。
31 1
21 0
10 1
0 0 0
十进制二进制
30 1 1
51 0 1
61 1 0
41 0 0
7 1 1 1
20 1 0
10 0 1
0 0 0 0
十进制二进制
2、不同位数的二进制数
10 1 0 1 0
9 1 0 0 1
81 0 0 0
70 1 1 1
6 0 1 1 0
50 1 0 1
40 1 0 0
3 0 0 1 1
20 0 1 0
1 0 0 0 1
00 0 0 0
151 1 1 1
141 1 1 0
131 1 0 1
121 1 0 0
111 0 1 1
十进制二进制
3,数制转换
1） 二 → 十
2 ） 十 → 二故,
210 1 0 1 111 ）（）（?
其它进制数转换为十进制数,用,表达式展开法”。
例,将（ 11） 10 化为二进制数，用 除 2 取 余 法 。
用,除 N取余法” 。
例,（ 1011） 2 + 0× 22 + 1× 21 + 1× 20=1× 23
112
5
…… 余 1 → K0
2
2
…… 余 1 → K1
2
1
…… 余 0 → K2
……………… K3
十进制转换成二进制，
= 8 + 0 + 2 + 1 =（ 11） 10
将代码为 1 的数权值相加，即得对应的十进制数。
二、码制内容见下表例如,一位十进制数 0~9十个数 码，用四位二进制数表示时，其代码称为二 —— 十进制代码，简称 BCD代码。
不同的数码不仅可以表示数量的大小，还可以表示不同的事物。用来表示不同事物的数码称为代码。
编制代码遵循的规则叫做“码制”。
BCD代码有多种不同的码制：
8421BCD 码,2421BCD码,余 3码等，
十进制编码种类
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
权
8421码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
8 4 2 1
余 3码
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
2421码
（ A）
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
2 4 2 1
2421码
（ B）
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
5211码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
余 3
循环码
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
步进码
00000
10000
11000
11100
11110
11111
01111
00111
00011
00001
2 4 2 1 5 2 1 1
对于恒权码，将代码为 1的数权值相加即可得代码所代表的十进制数。
余 3码 的编码规律：在依 次罗列的四位二进制的十六种态中去掉前三种和后三 种。所以叫“余 3码”。
余 3循环码 的主要特点：相邻两个代码之间仅有一位的状态不同。因此将余 3循环码计数器的输出状态译码时，不会产生竞争 -冒险现象。
余 3码、余 3循环码和步进码是 无权码
8421,2421和 5211BCD码是 恒权码例如
（ 1001） 8421BCD=
（ 1111） 2421BCD=
（ 0111,1001） 8421BCD=
（ 1011,1111） 2421BCD=
8+1=（ 9） 10
2+4+2+1=（ 9） 10
（ 79） 10
（ 59） 10
§ 1-2 逻辑代数中的几种基本运算在正逻辑中：
1 表示条件具备、开关接通、高电平等。
0 表示条件不具备、开关断开、低电平等。
逻辑代数 → 开关代数 → 布尔代数。
用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。
参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母 A,B…… 表示。
每个变量的取值非 0 即 1。 0,1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
2、与逻辑真值表 3、与逻辑函数式
4、与逻辑符号
5、与逻辑运算
&AB Y
0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1
Y = A B
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
逻辑代数的三种基本运算一、与逻辑运算
1、与逻辑定义当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。
这种决定事件的因果关系称为“与逻辑关系”。
二,或运算当决定某一事件的一个或多个条件满足时,事件便能发生。这种决定事件的因果关系称为,或逻辑关系,。
A B
0 1
1 0
1 1
Y
0
1
1
1
2、或逻辑真值表 3,或逻辑函数式
4,或逻辑符号
Y=A+B
0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=15、或逻辑运算
≥1AB Y
1,或逻辑 定义
0 0
三,非运算条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为,非逻辑关系,。
5,非逻辑运算
4,非逻辑符号
3,非逻辑函数式2、非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
Y = A
1A Y
0 = 1
1,非 逻辑 定义
1 = 0
四,几种最常见的复合逻辑运算
1,与非
Y = A B
&AB Y
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
1
1
0
2,或非
≥1A
B
Y
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
0
0
0
Y = A + B
3,同或 A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
0
0
1
Y= AB+A B =A⊙ B
A
B
Y
4,异或 A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
0
1
1
0
A
B
Y1
Y= AB+AB =A B
§ 1-3 逻辑代数的基本公式和常用公式序号 公式 序号 公式
10
1 0·A=0
1= 0 0 = 1
11
1+A=12 1·A=A 12
0+A=A
3 A·A=A 13 A+A=A
4 14
5 A·B=B·A 15 A+B=B+A
6 A·(B·C)=(A·B)·C 16 A+(B+C)=(A+B)+C
7 A·(B+C)=A·B+A·C 17 A+B·C=(A+B)·(A+C)
8 18
9
A·A=0 A+A=1
A·B=A+B A+B = A·B
A=A 19 A+A·B=A+B
试证明,A+AB=A
1) 列真值表证明
2) 利用基本公式证明
1,A+AB = A+B的推广
A+ABC = A+BC
AB+ABC = AB+C
A+AB = A+ B
AB+ABC = AB+C = A+B+C
2,AB = A+B的推广
ABC = A+B+C
同理,A+B+C = A B C
二,推广举例
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A+AB
0+0·0=0
0+0·1=0
1+1·0=1
1+1·1=1
A
0
0
1
1
A+AB=A(1+B)=A·1=A
常用公式的证明与推广一、证明举例
§ 1-5 逻辑函数及其表示方法
1-5-2 逻辑函数的表示方法例,某一逻辑电路，对输入两路信号 A,B进行比较，
一、真值表表示法 A B Y0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
真值表表示法,逻辑函数式表示法、
逻辑图表示法,波形图表示法,卡诺图表示法等。
试表示其逻辑关系。
A,B相异时，输出为 1；相同 时，输出 0。
输 入 输出
（状态表表示法）
1-5-1 逻辑函数二、逻辑函数式表示法
(一） 最小项
1、二变量的全部最小项
A B 最小项 编号
0 0
0 1
1 0
1 1 A B
m0A B
A B
A B
m1
m2
m3
2、三变量的全部最小项
A B C 最小项 编号
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
3、四变量的全部最小项编号为 m0~ m15
在 n 变量逻辑函数中，若 m 是包含 n 个因子的乘项积，而且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在 m
中出现一次，则称 m 为该组变量的最小项。
（略）
在真值表中，将为,1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，
即得对应的函数式。
（二） 逻辑函数式表示法 A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
Y= AB + AB
已知：
所以：
三,逻辑图表示法
1
1
&
&
≥1
A
B
Y
AB
AB
= m1 + m2 =?（ m1,m2 ）
四,波形图表示法
A
B
Y
五、卡诺图表示法 （ 在本章第七节中讲 ）
1-5-3 逻辑函数的两种标准形式最小项之和形式,最大项之积形式。
这里，重点介绍 最小项之和 形式。
一、最小项标准形式：
（已讲过）
最小项的性质：
2）全体最小项之和为 1； 3）任意两个最小项的乘积为 0；
1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为 1；
ABC+ABC =
4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。
ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。例如,
将它们合并，可消去因子,
二变量全部最小项有 m0~m3共 4个；
三变量全部最小项有 m0~m7共 8个；
四变量全部最小项有 m0~m15共 16个；
只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。
= BC（ A+A） BC
例 1,Y=AB+B 可化为二、逻辑函数的最小项之和形式利用基本公式 A+A=1 可以把任何逻辑函数化为最小项之和 的标准形式。
= AB
=∑（ m0,m2,m3）
例 2,Y=AB+C 可化为
Y=AB(C+C) + (A+A)(B+B)C
=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
= ∑（ m 1,m 3,m 5,m 6,m 7）
+AB +AB
= m 3 + m 2 + m 0
（ A+A） B+Y= AB
+ m 6 + m 7 + m 3 + m 5 + m 1= m 7
§ 1-6 逻辑函数的公式化简法一、最简标准二、常用的最简形式逻辑函数式中，包含的 或 运算的 项最少； 每一项中包含 与 运算的 因子最少,则此函数式为最简函数式有 与 -或 式和 与非 -与非 式。
Y=AB+(A+B)C = AB+ABC = AB+C
= AB+C AB·C
例,Y=AB+AC+BC 化为
= （最简与非 -与非式）
将 与 -或 式取两次非可得 与非 -与非 式。
（最简与或式）
二输入四或门 74LS32一片只需要：二输入四与非门 74LS00一片按与 -或式 AB+C设计此逻辑电路，
需两块芯片
≥1
&
Y
A B C
按与非 -与非式 设计此逻辑电路，AB·C
C
&
& &
A B
二输入四与门 74LS10一片三、逻辑函数的公式化简法 （自学）
常用的公式化简方法：
利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。
§ 1-7 逻辑函数的卡诺图化简法将 n 变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，所得图形叫 n 变量全部最小项的卡诺图。
一、卡诺图 （ n 变量全部最小项的卡诺图）
1、一变量全部最小项的卡诺图一变量 Y=F（ A），
Y A 0 1
AA
Y A 0 1
m0 m1
全部最小项,A,A
卡诺图：
A
BY
0
1
0 1
m0 m1
m2 m3
Y AB 00 01 11 10
A BA B A B A B
00 01 11 10Y AB
m0 m1 m3 m2
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
m0 m1
m4 m5
m3 m2
m7 m6
2、二变量全部最小项的卡诺图
Y= F（ A,B）
Y
AB C
00
01
11
10
0 1
m0 m1
m4 m5
m3m2
m7m6
3、三变量全部最小项的卡诺图
Y=F（ A,B,C）
Y
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
m0 m1
m4 m5
m3 m2
m7 m6
m12 m13
m8 m9
m15 m14
m11 m10
Y
ABC D
000
001
011
010
100
101
111
110
0 1
m0 m1
m3m2
m4 m5
m7m6
m8 m9
m11m10
m12 m13
m15m14
4、四变量全部最小项的卡诺图
Y= F（ A,B,C,D）
注意：
左右、上下；
在卡诺图中，
每一行的首尾；
每一列的首尾；
的最小项都是逻辑相邻的。
Y = AC + AC + BC + BC
卡诺图：
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 11
1 1 10
0
A(B+B)C + (A+A)BC Y=A(B+B)C + (A+A)BC +
=∑(m1,m2,m3,m4,m5,m6 )
二、用卡诺图表示逻辑函数
1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填 1，其余方格中填 0。
方法一：
解：
对于 AC有,对于 AC有：
对于 BC有,对于 BC有：
根据函数式直接填卡诺图方法二：
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1
例：
用卡诺图表示之。
1
1-7-2 逻辑函数的卡诺图化简法化简依据,逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则,能够合并在一起的最小项是 2 n 个如何最简,圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。
特别注意,卡诺图中所有的 1 都必须圈到，
不能合并的 1 必须单独画 圈。
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1 1
上两式的内容不相同，但函数值一定相同。
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1 1
Y1 = B + A BC+A C Y1 = C +A + BC AB
将 Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。
此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
例 1：
（画矩形圈）。
Y2 =
例 2,将 Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
Y2 = AD Y2 = AD
此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项。
=A+D
Y2
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1
1 1
1
0
0 0
0
1
1 1
1
1
1
1 1 1 1
Y2
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1 1
0
0 0
0
1 1
1
1例 3,用圈 0 法化简 Y2。
解：若卡诺图中 1的数目远远大于 0的数目，可用圈 0
的方法。
A D+
§ 1-8 具有无关项的逻辑函数的化简
1-8-1 无关项在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没有包含的某些最小项,写入 或 不写入 函数式,都不影响原函数的值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫,无关项”。
无关项 由,约束项” 和,任意项” 形成，这里只介绍由约束项形成的无关项,
例,一个计算机操作码形成电路，
当 ABC=000 时，输出停机码 00；
当只有 A=1时，输出加法操作码 01；
当只有 B=1时，输出减法操作码 10；
当只有 C=1时，输出乘法操作码 11；
其它输入状态不允许出现,试画电路的逻辑图。
有三个输入端 A B C,有两个输出端 Y1,Y0；
1,列真值表
ABC+ABC+ABC+ABC=0
1 1
1 0
0 1
X X
X X
X X
X X
0 0
∑（ m 3,m 5,m 6,m 7,） = 0
A B C Y1 Y0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
2、约束项 (无关项 )的表示当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最 小项恒等于 0来表示。
本例的约束项为或：
或：
ABC = 0
ABC = 0
ABC = 0
ABC = 0
3,写逻辑函数式
Y1= m1+ m2
Y0= m1+ m4
约束项,m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
无关项在卡诺图对应的方格中用 X 表示，为了化简逻辑函数,能利用到的 X 便认为是 1，利用不到的就认为是 0。
1,利用无关项化简上例逻辑函数
Y1 = B+C Y0=A+C
1-8-2 利用无关项化简逻辑函数
Y1
A
BC
0
1
00 01 11 10
0
X
X
0 1
X X
Y0
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 X
X
0
X X
1 0
已知
Y1= m1+ m2
Y0= m1+ m4
约束项,m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
2,画逻辑图利用无关项化简的逻辑函数是否符合原功能要求
Y1=B+C Y0=A+C
0 0
1 1
1 0
x x
0 1
x x
x x
x x
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
≥1
A
B Y1
≥1 Y0
C
验算
数字电子技术基础教材：数字电子技术基础阎石主编（第四版）
第一章 逻辑代数基础第二章 门电路第三章 组合逻辑电路第四章 触发器第五章 时序逻辑电路第六章 脉冲波形的产生和整形第一章 逻辑代数基础
§ 1-1 概述
§ 1-2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 1-3 逻辑代数的基本公式和常用公式
§ 1-4 逻辑代数的基本定理
§ 1-5 逻辑函数及其表示方法
§ 1-6 逻辑函数的公式化简法
§ 1-7 逻辑函数的卡诺图化简法
§ 1-8 具有无关项的逻辑函数及其化简
§ 1-1 概 述
1-1-1 数字量和模拟量模拟量时间上、数量变化上都是连续的物理量；
表示模拟量的信号叫做模拟信号；
工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。
数字量时间上、数量变化上都是离散的物理量；
表示数字量的信号叫做数字信号；
工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。
1-1-2 数制和码制多位数码中，每位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。数字电路中常用进制有十进制，二进制。
(i=0~n,n是整数部分的位数 )
2逢二进一0,1二
10逢十进一0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十基数计数规则数 码进制 N
n
oi
i
N NKiS
一、数制任意进制数表达式的普遍形式：
1,数制的基本知识式中,S为任意数,N为进制，
Ki 为第 i 位数码的 系数,Ni 为第 i 位的 权 。
31 1
21 0
10 1
0 0 0
十进制二进制
30 1 1
51 0 1
61 1 0
41 0 0
7 1 1 1
20 1 0
10 0 1
0 0 0 0
十进制二进制
2、不同位数的二进制数
10 1 0 1 0
9 1 0 0 1
81 0 0 0
70 1 1 1
6 0 1 1 0
50 1 0 1
40 1 0 0
3 0 0 1 1
20 0 1 0
1 0 0 0 1
00 0 0 0
151 1 1 1
141 1 1 0
131 1 0 1
121 1 0 0
111 0 1 1
十进制二进制
3,数制转换
1） 二 → 十
2 ） 十 → 二故,
210 1 0 1 111 ）（）（?
其它进制数转换为十进制数,用,表达式展开法”。
例,将（ 11） 10 化为二进制数，用 除 2 取 余 法 。
用,除 N取余法” 。
例,（ 1011） 2 + 0× 22 + 1× 21 + 1× 20=1× 23
112
5
…… 余 1 → K0
2
2
…… 余 1 → K1
2
1
…… 余 0 → K2
……………… K3
十进制转换成二进制，
= 8 + 0 + 2 + 1 =（ 11） 10
将代码为 1 的数权值相加，即得对应的十进制数。
二、码制内容见下表例如,一位十进制数 0~9十个数 码，用四位二进制数表示时，其代码称为二 —— 十进制代码，简称 BCD代码。
不同的数码不仅可以表示数量的大小，还可以表示不同的事物。用来表示不同事物的数码称为代码。
编制代码遵循的规则叫做“码制”。
BCD代码有多种不同的码制：
8421BCD 码,2421BCD码,余 3码等，
十进制编码种类
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
权
8421码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
8 4 2 1
余 3码
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
2421码
（ A）
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1
2 4 2 1
2421码
（ B）
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
5211码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
余 3
循环码
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
步进码
00000
10000
11000
11100
11110
11111
01111
00111
00011
00001
2 4 2 1 5 2 1 1
对于恒权码，将代码为 1的数权值相加即可得代码所代表的十进制数。
余 3码 的编码规律：在依 次罗列的四位二进制的十六种态中去掉前三种和后三 种。所以叫“余 3码”。
余 3循环码 的主要特点：相邻两个代码之间仅有一位的状态不同。因此将余 3循环码计数器的输出状态译码时，不会产生竞争 -冒险现象。
余 3码、余 3循环码和步进码是 无权码
8421,2421和 5211BCD码是 恒权码例如
（ 1001） 8421BCD=
（ 1111） 2421BCD=
（ 0111,1001） 8421BCD=
（ 1011,1111） 2421BCD=
8+1=（ 9） 10
2+4+2+1=（ 9） 10
（ 79） 10
（ 59） 10
§ 1-2 逻辑代数中的几种基本运算在正逻辑中：
1 表示条件具备、开关接通、高电平等。
0 表示条件不具备、开关断开、低电平等。
逻辑代数 → 开关代数 → 布尔代数。
用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。
参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母 A,B…… 表示。
每个变量的取值非 0 即 1。 0,1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
2、与逻辑真值表 3、与逻辑函数式
4、与逻辑符号
5、与逻辑运算
&AB Y
0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1
Y = A B
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
逻辑代数的三种基本运算一、与逻辑运算
1、与逻辑定义当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。
这种决定事件的因果关系称为“与逻辑关系”。
二,或运算当决定某一事件的一个或多个条件满足时,事件便能发生。这种决定事件的因果关系称为,或逻辑关系,。
A B
0 1
1 0
1 1
Y
0
1
1
1
2、或逻辑真值表 3,或逻辑函数式
4,或逻辑符号
Y=A+B
0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=15、或逻辑运算
≥1AB Y
1,或逻辑 定义
0 0
三,非运算条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为,非逻辑关系,。
5,非逻辑运算
4,非逻辑符号
3,非逻辑函数式2、非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
Y = A
1A Y
0 = 1
1,非 逻辑 定义
1 = 0
四,几种最常见的复合逻辑运算
1,与非
Y = A B
&AB Y
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
1
1
0
2,或非
≥1A
B
Y
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
0
0
0
Y = A + B
3,同或 A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
1
0
0
1
Y= AB+A B =A⊙ B
A
B
Y
4,异或 A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Y
0
1
1
0
A
B
Y1
Y= AB+AB =A B
§ 1-3 逻辑代数的基本公式和常用公式序号 公式 序号 公式
10
1 0·A=0
1= 0 0 = 1
11
1+A=12 1·A=A 12
0+A=A
3 A·A=A 13 A+A=A
4 14
5 A·B=B·A 15 A+B=B+A
6 A·(B·C)=(A·B)·C 16 A+(B+C)=(A+B)+C
7 A·(B+C)=A·B+A·C 17 A+B·C=(A+B)·(A+C)
8 18
9
A·A=0 A+A=1
A·B=A+B A+B = A·B
A=A 19 A+A·B=A+B
试证明,A+AB=A
1) 列真值表证明
2) 利用基本公式证明
1,A+AB = A+B的推广
A+ABC = A+BC
AB+ABC = AB+C
A+AB = A+ B
AB+ABC = AB+C = A+B+C
2,AB = A+B的推广
ABC = A+B+C
同理,A+B+C = A B C
二,推广举例
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A+AB
0+0·0=0
0+0·1=0
1+1·0=1
1+1·1=1
A
0
0
1
1
A+AB=A(1+B)=A·1=A
常用公式的证明与推广一、证明举例
§ 1-5 逻辑函数及其表示方法
1-5-2 逻辑函数的表示方法例,某一逻辑电路，对输入两路信号 A,B进行比较，
一、真值表表示法 A B Y0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
真值表表示法,逻辑函数式表示法、
逻辑图表示法,波形图表示法,卡诺图表示法等。
试表示其逻辑关系。
A,B相异时，输出为 1；相同 时，输出 0。
输 入 输出
（状态表表示法）
1-5-1 逻辑函数二、逻辑函数式表示法
(一） 最小项
1、二变量的全部最小项
A B 最小项 编号
0 0
0 1
1 0
1 1 A B
m0A B
A B
A B
m1
m2
m3
2、三变量的全部最小项
A B C 最小项 编号
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
m0
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
3、四变量的全部最小项编号为 m0~ m15
在 n 变量逻辑函数中，若 m 是包含 n 个因子的乘项积，而且这 n个变量均以原变量或反变量的形式在 m
中出现一次，则称 m 为该组变量的最小项。
（略）
在真值表中，将为,1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，
即得对应的函数式。
（二） 逻辑函数式表示法 A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
Y= AB + AB
已知：
所以：
三,逻辑图表示法
1
1
&
&
≥1
A
B
Y
AB
AB
= m1 + m2 =?（ m1,m2 ）
四,波形图表示法
A
B
Y
五、卡诺图表示法 （ 在本章第七节中讲 ）
1-5-3 逻辑函数的两种标准形式最小项之和形式,最大项之积形式。
这里，重点介绍 最小项之和 形式。
一、最小项标准形式：
（已讲过）
最小项的性质：
2）全体最小项之和为 1； 3）任意两个最小项的乘积为 0；
1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为 1；
ABC+ABC =
4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。
ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。例如,
将它们合并，可消去因子,
二变量全部最小项有 m0~m3共 4个；
三变量全部最小项有 m0~m7共 8个；
四变量全部最小项有 m0~m15共 16个；
只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。
= BC（ A+A） BC
例 1,Y=AB+B 可化为二、逻辑函数的最小项之和形式利用基本公式 A+A=1 可以把任何逻辑函数化为最小项之和 的标准形式。
= AB
=∑（ m0,m2,m3）
例 2,Y=AB+C 可化为
Y=AB(C+C) + (A+A)(B+B)C
=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
= ∑（ m 1,m 3,m 5,m 6,m 7）
+AB +AB
= m 3 + m 2 + m 0
（ A+A） B+Y= AB
+ m 6 + m 7 + m 3 + m 5 + m 1= m 7
§ 1-6 逻辑函数的公式化简法一、最简标准二、常用的最简形式逻辑函数式中，包含的 或 运算的 项最少； 每一项中包含 与 运算的 因子最少,则此函数式为最简函数式有 与 -或 式和 与非 -与非 式。
Y=AB+(A+B)C = AB+ABC = AB+C
= AB+C AB·C
例,Y=AB+AC+BC 化为
= （最简与非 -与非式）
将 与 -或 式取两次非可得 与非 -与非 式。
（最简与或式）
二输入四或门 74LS32一片只需要：二输入四与非门 74LS00一片按与 -或式 AB+C设计此逻辑电路，
需两块芯片
≥1
&
Y
A B C
按与非 -与非式 设计此逻辑电路，AB·C
C
&
& &
A B
二输入四与门 74LS10一片三、逻辑函数的公式化简法 （自学）
常用的公式化简方法：
利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。
§ 1-7 逻辑函数的卡诺图化简法将 n 变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，所得图形叫 n 变量全部最小项的卡诺图。
一、卡诺图 （ n 变量全部最小项的卡诺图）
1、一变量全部最小项的卡诺图一变量 Y=F（ A），
Y A 0 1
AA
Y A 0 1
m0 m1
全部最小项,A,A
卡诺图：
A
BY
0
1
0 1
m0 m1
m2 m3
Y AB 00 01 11 10
A BA B A B A B
00 01 11 10Y AB
m0 m1 m3 m2
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
m0 m1
m4 m5
m3 m2
m7 m6
2、二变量全部最小项的卡诺图
Y= F（ A,B）
Y
AB C
00
01
11
10
0 1
m0 m1
m4 m5
m3m2
m7m6
3、三变量全部最小项的卡诺图
Y=F（ A,B,C）
Y
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
m0 m1
m4 m5
m3 m2
m7 m6
m12 m13
m8 m9
m15 m14
m11 m10
Y
ABC D
000
001
011
010
100
101
111
110
0 1
m0 m1
m3m2
m4 m5
m7m6
m8 m9
m11m10
m12 m13
m15m14
4、四变量全部最小项的卡诺图
Y= F（ A,B,C,D）
注意：
左右、上下；
在卡诺图中，
每一行的首尾；
每一列的首尾；
的最小项都是逻辑相邻的。
Y = AC + AC + BC + BC
卡诺图：
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 11
1 1 10
0
A(B+B)C + (A+A)BC Y=A(B+B)C + (A+A)BC +
=∑(m1,m2,m3,m4,m5,m6 )
二、用卡诺图表示逻辑函数
1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填 1，其余方格中填 0。
方法一：
解：
对于 AC有,对于 AC有：
对于 BC有,对于 BC有：
根据函数式直接填卡诺图方法二：
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1
例：
用卡诺图表示之。
1
1-7-2 逻辑函数的卡诺图化简法化简依据,逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则,能够合并在一起的最小项是 2 n 个如何最简,圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。
特别注意,卡诺图中所有的 1 都必须圈到，
不能合并的 1 必须单独画 圈。
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1 1
上两式的内容不相同，但函数值一定相同。
Y
A
BC
0
1
00 01 11 10
1 1
1 1
1 0
0
1
1 1
Y1 = B + A BC+A C Y1 = C +A + BC AB
将 Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。
此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
例 1：
（画矩形圈）。
Y2 =
例 2,将 Y2=Σ (m0 m2 m4 m6 m8 ~ m15 )化简为最简与或式。
Y2 = AD Y2 = AD
此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项。
=A+D
Y2
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1
1 1
1
0
0 0
0
1
1 1
1
1
1
1 1 1 1
Y2
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1
1
1 1
0
0 0
0
1 1
1
1例 3,用圈 0 法化简 Y2。
解：若卡诺图中 1的数目远远大于 0的数目，可用圈 0
的方法。
A D+
§ 1-8 具有无关项的逻辑函数的化简
1-8-1 无关项在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没有包含的某些最小项,写入 或 不写入 函数式,都不影响原函数的值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫,无关项”。
无关项 由,约束项” 和,任意项” 形成，这里只介绍由约束项形成的无关项,
例,一个计算机操作码形成电路，
当 ABC=000 时，输出停机码 00；
当只有 A=1时，输出加法操作码 01；
当只有 B=1时，输出减法操作码 10；
当只有 C=1时，输出乘法操作码 11；
其它输入状态不允许出现,试画电路的逻辑图。
有三个输入端 A B C,有两个输出端 Y1,Y0；
1,列真值表
ABC+ABC+ABC+ABC=0
1 1
1 0
0 1
X X
X X
X X
X X
0 0
∑（ m 3,m 5,m 6,m 7,） = 0
A B C Y1 Y0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
2、约束项 (无关项 )的表示当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最 小项恒等于 0来表示。
本例的约束项为或：
或：
ABC = 0
ABC = 0
ABC = 0
ABC = 0
3,写逻辑函数式
Y1= m1+ m2
Y0= m1+ m4
约束项,m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
无关项在卡诺图对应的方格中用 X 表示，为了化简逻辑函数,能利用到的 X 便认为是 1，利用不到的就认为是 0。
1,利用无关项化简上例逻辑函数
Y1 = B+C Y0=A+C
1-8-2 利用无关项化简逻辑函数
Y1
A
BC
0
1
00 01 11 10
0
X
X
0 1
X X
Y0
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
1 X
X
0
X X
1 0
已知
Y1= m1+ m2
Y0= m1+ m4
约束项,m 3+m 5+m 6+m 7 = 0
2,画逻辑图利用无关项化简的逻辑函数是否符合原功能要求
Y1=B+C Y0=A+C
0 0
1 1
1 0
x x
0 1
x x
x x
x x
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
≥1
A
B Y1
≥1 Y0
C
验算
