质点运动学本章内容
Contents
参照系 质点位置矢量 位移速度 加速度相对运动参照系球作曲线运动球垂直往返
1.1
为描述某物体的机械运动而被选来作为参考的其他物体称为 参照系机械运动的描述有相对性坐标系
r
φ
θ
τ法线切线运动质点
n
自然坐标系由运动曲线上任一点的法线和切线组成固联在参照系上的正交数轴组成的系统。
为了定量描述物体的位置及运动，而采用质点理想化的物理模型的 设立既是理论研究的一种科学方法也是有针对性地解决某种实际问题的常用手段物理模型的 应用 要结合具体 条件例如，地球公转可视为质点；地球自转就不行。
但可以将地球分割成无数个质点绕地轴运动进行研究，于是又开拓出一些新的物理模型 …
第二节1.2
位置矢量（位矢）
运动方程和轨迹方程位移位置矢量1.2
本节介绍三个概念：
位置矢量（位矢）
运动方程和轨迹方程位移
Y
X
Z
Ok
j i
y
x
z
质点某时刻位置长度是位矢置量
P ( x,y,z )
运动方程Y
X
Z
Ok
j i
y
x
z
质点某时刻位置长度是位矢置量
P ( x,y,z ) 随时间变化位矢任意时刻 的位置运动方程的 分量式运动方程的 直角坐标表达式这是用于描述三维空间运动的普遍方程例如则轨迹方程Y
X
Z
O
若 只描述空间轨迹 不考虑时间关系得到只含 x y z 关系的空间曲线方程称为联立消去时间参量运动方程可由 分量式的平面曲线得或例如简例轨迹方程轨迹方程,
x y2 2 = 16 z = 0
X
Y
O
R
X-Y 平面上半径 R = 4 m
的圆周运动
y = 4 cos t
x = 4 sin tπ32 22
π
3
2 22
x y2 2 = 16
一质点的运动
x = 4 sin t,π3
z = 0
y = 4 cos t,π3
方程的分量式为位移Y
X
Z
O
只在某种特殊情况中,才视为相等与单向直线运动时 0 时简例一质点在 X-Y 平面上作半径为 R 的圆周运动，
质点从图中 A 点走过四分之一圆周到达 B 点。
0R 0 R
R R
R R 0
2RR 2 2 R
4
1 2 π R π R
2
思考：若恰好走了一周，各答案？
0 ; 0 ; 0 ; 2 π R,
X
Y
O
R
rB
rA
A
B
平均速度1.3
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均显然，它不能精确描述质点在某处时的运动状态。
速度1.3
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均显然，它不能精确描述质点在某处时的运动状态。
简称标准单位 米? 秒 - 1（ m? s - 1）
速度分量式速率回顾平均现在定义例
t = 2 s 时的瞬时速度 的大小；
本题只有 X 分量
(5 t 2 + 1)
10 t t = 2 20 ( m·s -1 )
平均由 x = 5 t 2 + 1 以 t = 2 为 t 0
平均
1
0.1
0.001
0.000 01
25
2.05
0.020 005
0.000 200 000 5
25
20.5
20,005
20,000 05
用计算说明，平均速度的大小，随着时速度大小为极限。
的缩短而以瞬某质点的运动方程
x = 5 t 2 + 1
沿 X 轴运动的由 v 求 r
反之，如何由 求？
已知 只要对 t 求一阶微商很容易求得即如：已知因只有 X 分量，即求
2 ( m·s -1 )
( m )
续上要具备的已知条件：
速度方程 初始条件时的求法由速度定义式分离变量两边取积分 按初始条件 对应取积分限求积分 即例
2题意揭示 4 0 时 0 0
由
4
分离取积求积
X 分量：
例如 在 X-Y 平面上，匀速运动质点的速度方程为
4i + 2j (m·s-1) 0 时 (m)
运动方程
0
同理，对 Y 分量 可得
2
4 2 (m)
X (m)
Y (m)
O 4 8
2
4
加速度显然，它不能精确描述质点在某处的速度变化情况。
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均平均平均续上平均平均平均显然，它不能精确描述质点在某处的速度变化情况。
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念
0
a 指向特点例
v
a
v
a a v
a
va
v
a
v
a
v
v
gg
v
在曲线运动中加速度的方向总是指向轨迹的凹側。
原因：速度增量 Δv 必定指向轨迹的凹側。
g
v
在这两个例子中
a ( 或 g ) 与 的夹角v
呈锐角时，运动变快；
呈钝角时，运动变慢；
呈直角时，快慢没变。
v
a
由 a 求 v
即已知 只要对 t 求一阶微商很容易求得
( 若已知 只要对 t 求二阶微商很容易求得 )
如：已知 求( m·s -1 )
因只有 X 分量，即
10 ( m·s -2 )
反之，如何由 求？
续上要具备的已知条件加速度方程 初始条件时的求法由速度定义式分离变量两边取积分 按初始条件 对应取积分限求积分 即匀变速则平面上面的结果 对各种变速运动都适用则最简单的情况,匀变速 运动,常矢量得结论,大小和方向都平面运动，质点任一时刻的速度 必在确定的恒定的恒加速度运动，是和恒矢 组成的平面内。 不考虑环境影响的抛物体运动匀变速各方程 运用早前的由 v 求 r 的一般式代入得
z z z
在直角坐标系中的分量式为
x x x
y y y
得 匀变速 运动的 运动方程
x xxx在直角坐标系中的分量式为 y yyy z zzz
为只在 X 轴作匀变速直线运动,
上述 匀变速 运动的 速度方程
x x x消去 t 还可导出运动叠加原理轴上的运动轴上的运动轴上的运动各自独立无依赖关系一个复杂的运动，可看成几个独立的运动的叠加。
称为 运动叠加原理应用,先分别求解各坐标分量的一维运动参量，
然后进行三维运动合成。方便易行。
p.11例
×
× ×
× ×
× ×
×
× ×
× ×
× ×
×
Y
XO
电子在磁场中运动方程为常量题中信息消去 得在 上的投影? 其中 故匀速率圆周运动恒与 反向,
指向圆心。
p.13例回顾任意时刻的 缩短 率斜长
t 时刻船的速度加速度设 h = 20m,u = 3m/s,l0 = 40m,t = 5s
得 5 m/s 10.7 m/s2
同沿 X 轴 负 方向。船运动加快。
求导积分小结求导法与积分法小结：以 X 轴上直线运动为例
x = A + B t + C t 3
（ A B C 均为大于零的常量 ）
a = = + 6C tdvdt
此结果为 a随 t 变，
即变加速直线运动。
（ +）,a 沿 X 轴正向
（ ）,a 沿 X 轴负向
v = = B + 3C t 2dxdt
用求导法求 v 和 a
用积分法求 v 和 x
dv
dta = = dta0tdv0v
=dv0v 0t dt(4 + 2 t )
a = 4 + 2 t t = 0 时 v = 0x = 0
dx
dtv = = dtv0tdx0
x
=dx0x 0t dt(4 t + t )2
v = 4 t + t 2
x= 2 t + t2 31 3
p.14例时 关机 且为常量时刻船速船停时位置 停停分离变量取积分及上下限求积分得即船停位置对应的船速为零。要找出 与的函数关系，可用高数中的换元法：
得分离变量并取积分停求积得 停得此后 反 方向，
换元法此外，本学期还要求学会用高等数学去思考解决物理问题的一种常用方法 换元法（今后在本课程中常会遇到）
例如熟知 而物理定义得已知的待求的都不是 的显函数而是 的显函数需将 按一定的关系换成 然后 进行积分求解或根据则 故随堂练习一 由运动学方程 投影式 消去得轨迹方程由 运动学方程 坐标式位矢运动学方程投影式质点的轨迹方程 ；
第 2 秒 末的位矢；
第 2 秒 末的速度和加速度 。
（备选例一）
随堂练习一随堂练习二跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 均为大于零的常量 式中任一时刻运动员下落速度大小 的表达式及 时对本题的一维情况有由分离变量求积分注意到得第一次课完切法向加速序若运用微积分概念，还可得到更深刻、更普遍的表达式。
直接相关。引,前述，运动变快或变慢，与 之间的方向作分解，人们将 沿 方向（切向）和 垂直于 方向（法向）
称切向加速度法向加速度矢量关系：
大小关系：
切法公式推导单位切向矢量单位法向矢量 大小是 1
运动曲线上任一点的速度 速率 单位切向矢量速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率任一运动曲线
A
续上单位切向矢量单位法向矢量 大小是 1
运动曲线上任一点的速度 速率 单位切向矢量速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率任一运动曲线
A
速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率很好理解 不太好理解将 A,B 取得无限靠近 !
C B
方向 与 相同大小 1 ·
曲线在 A 处的曲率半径得 1
而 于是结论任一运动曲线
A
BC
曲线在 A 处的曲率半径将 A,B 取得无限靠近 !
速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率方向 与 相同大小 1 ·
得 1
而 于是切向加速度：
法向加速度：
凡例切向加速度：
法向加速度：
一般变速运动取决与该点的取决与该点的匀速率圆周运动 变速直线运动变速圆周运动若知 求 则要用例如，变速率圆周运动应用时注意 是 速率式中在平面直角坐标中此外再用上法公式求需先用若知 求得直接用若知 求平抛物体运动若知 求 则要用直接用若知 求例如，变速率圆周运动再用上法公式求需先用若知 求得应用时注意 是 速率式中在平面直角坐标中此外只知平抛 物体运动又如 可求易算甚至可求出
p.16例变 速 圆 周 运 动一 质 点 作切向加速度的大小切向加速度的大小初速率为圆半径为速率的时变规律路程的时变规律由题意分离变量并取积分求积得由 得得随堂练习二得 9.820× 30.6(m)
由法向加速度大小最高点处 cos30o
足球运动轨迹最高点处的曲率半径 ρ
30 o
（备选例一）
相对运动通式
X Y
Z
D
ζ
η
C
ξ
B
BD 标 对 地
（绝对）
（相对）
标 对 船
BC
CD
船 对 地
（牵连）
BD BC CD
BD BC CD
BD BC CD
BD BC CD
1.4
还可推广到 B
身上有 A 运动 CDBCAD AB 等凡例 激流的实际方向及流速水 对 地问题实质是求船对 地 船对 水 水 对 地水 对 地 船对 地 船对 水即船对 地船对 水
= 5 m/s
（ 静水 ）
北东水 对 地 = 5 m/s
指向东偏南 30o
来自北偏西 60o
船对 水
60o
= 5 m/s
船对 地
（ 突遇激流 ）
若也船对 水保持
60o
30o
p.18例雨对地 雨对车 车对地北 南地看雨 21.6o
88.2 m/s车看雨垂直雨对车雨对地车对地雨对地车对地
21.6 o
88,2 329,6 ( m · s –1 )
p.19例海船 航速,10 km / h 航向：北偏西 30oA
B海船 航速,20 km / h 航向：正西某时刻,A 发现 B 位于 北偏东 60o 的方向上。
是否需要采取措施避免相碰？
北南东西
A
B
30o
60o
分析 A,B 之间的 相对速度 是否会导致相碰
B-A
B-AB-地 A-地
B-A B-地 A-地
A
B
A-地
30o
B-地
30o
相对速度满足一定条件时就会相碰。
续上P.19 海船 航速,10 km / h 航向：北偏西 30oA
B海船 航速,20 km / h 航向：正西某时刻,A 发现 B 位于 北偏东 60o 的方向上。
是否需要采取措施避免相碰？
北南东西
A
B
30o
60o
分析 A,B 之间的 相对速度 是否会导致相碰
B-A
B-AB-地 A-地
B-A B-地 A-地
A
B
A-地
30o
B-地
30o
相对速度满足一定条件时就会相碰。
B-地
60o
A-地 B-A
60o
若按已知条件算得 始终保持 30o,则会发生相碰。
已知速率,10 km / hA 20 km / hB
B A A B A B 60o km10 3 h/
60oA B A
A 60oB A 30o
即在 A 船上看 B 船始终对着 A 船航行，势必相碰。可改变航向或航速来避免。
30o30o
第二次课完补充题集本章小结和补充例题物理量小结两类问题由初始条件定积分常量随堂小议一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 1）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 2）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 3）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 4）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
（备选例三）
t = 0.5 s 时 v 和 a 的 大小
t = 0.5 s 时 v = 8 × 0.5 2 2 m s
64 t 2
2
16 t 8 m s
2 m s 8.25 m s
32
2 × 2 4 v = 8 t
2
半径 R = 2 m 的圆周运动 速率 v = K R t 2 m s
已知 t = 2s 时 v = 32 m sK 为常数
（备选例二）
（备选例二）
（备选例四）
（续选例四）
（备选例五）
随堂练习一质点作圆周运动半径 R = 0.1 m
其运动学方程为
θ = 2 + 4 t 3 (SI)
t = 2 s 时,质点的切向加速度法向加速度
τa
na
关键是设法求 线速率若由 τa na
关键是设法求 角速率若由 aτ na
本题很易求
12 t t = 2 48 (rad·s -1)
12 t
24 t t = 2 48 (rad·s -2)
aτ 4.8 ( m · s-2 )
na 230.4 ( m · s-2 )
随堂练习续练习
45°
（相）
（牵）
（绝）
45°
7.07 2.07 ( m s )
大小,7.07 2.07
( m s )7.37
方向,
7.07
2.07arctg 16.32
即来自西偏北（吹向东偏南） 16.32
α
5
-10 22
10 22
-2.07
7.07
作业作业：
独立认真完成作业！
Contents
参照系 质点位置矢量 位移速度 加速度相对运动参照系球作曲线运动球垂直往返
1.1
为描述某物体的机械运动而被选来作为参考的其他物体称为 参照系机械运动的描述有相对性坐标系
r
φ
θ
τ法线切线运动质点
n
自然坐标系由运动曲线上任一点的法线和切线组成固联在参照系上的正交数轴组成的系统。
为了定量描述物体的位置及运动，而采用质点理想化的物理模型的 设立既是理论研究的一种科学方法也是有针对性地解决某种实际问题的常用手段物理模型的 应用 要结合具体 条件例如，地球公转可视为质点；地球自转就不行。
但可以将地球分割成无数个质点绕地轴运动进行研究，于是又开拓出一些新的物理模型 …
第二节1.2
位置矢量（位矢）
运动方程和轨迹方程位移位置矢量1.2
本节介绍三个概念：
位置矢量（位矢）
运动方程和轨迹方程位移
Y
X
Z
Ok
j i
y
x
z
质点某时刻位置长度是位矢置量
P ( x,y,z )
运动方程Y
X
Z
Ok
j i
y
x
z
质点某时刻位置长度是位矢置量
P ( x,y,z ) 随时间变化位矢任意时刻 的位置运动方程的 分量式运动方程的 直角坐标表达式这是用于描述三维空间运动的普遍方程例如则轨迹方程Y
X
Z
O
若 只描述空间轨迹 不考虑时间关系得到只含 x y z 关系的空间曲线方程称为联立消去时间参量运动方程可由 分量式的平面曲线得或例如简例轨迹方程轨迹方程,
x y2 2 = 16 z = 0
X
Y
O
R
X-Y 平面上半径 R = 4 m
的圆周运动
y = 4 cos t
x = 4 sin tπ32 22
π
3
2 22
x y2 2 = 16
一质点的运动
x = 4 sin t,π3
z = 0
y = 4 cos t,π3
方程的分量式为位移Y
X
Z
O
只在某种特殊情况中,才视为相等与单向直线运动时 0 时简例一质点在 X-Y 平面上作半径为 R 的圆周运动，
质点从图中 A 点走过四分之一圆周到达 B 点。
0R 0 R
R R
R R 0
2RR 2 2 R
4
1 2 π R π R
2
思考：若恰好走了一周，各答案？
0 ; 0 ; 0 ; 2 π R,
X
Y
O
R
rB
rA
A
B
平均速度1.3
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均显然，它不能精确描述质点在某处时的运动状态。
速度1.3
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均显然，它不能精确描述质点在某处时的运动状态。
简称标准单位 米? 秒 - 1（ m? s - 1）
速度分量式速率回顾平均现在定义例
t = 2 s 时的瞬时速度 的大小；
本题只有 X 分量
(5 t 2 + 1)
10 t t = 2 20 ( m·s -1 )
平均由 x = 5 t 2 + 1 以 t = 2 为 t 0
平均
1
0.1
0.001
0.000 01
25
2.05
0.020 005
0.000 200 000 5
25
20.5
20,005
20,000 05
用计算说明，平均速度的大小，随着时速度大小为极限。
的缩短而以瞬某质点的运动方程
x = 5 t 2 + 1
沿 X 轴运动的由 v 求 r
反之，如何由 求？
已知 只要对 t 求一阶微商很容易求得即如：已知因只有 X 分量，即求
2 ( m·s -1 )
( m )
续上要具备的已知条件：
速度方程 初始条件时的求法由速度定义式分离变量两边取积分 按初始条件 对应取积分限求积分 即例
2题意揭示 4 0 时 0 0
由
4
分离取积求积
X 分量：
例如 在 X-Y 平面上，匀速运动质点的速度方程为
4i + 2j (m·s-1) 0 时 (m)
运动方程
0
同理，对 Y 分量 可得
2
4 2 (m)
X (m)
Y (m)
O 4 8
2
4
加速度显然，它不能精确描述质点在某处的速度变化情况。
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念平均平均平均续上平均平均平均显然，它不能精确描述质点在某处的速度变化情况。
可找到精确的描述方法。
但在此基础上，运用极限概念
0
a 指向特点例
v
a
v
a a v
a
va
v
a
v
a
v
v
gg
v
在曲线运动中加速度的方向总是指向轨迹的凹側。
原因：速度增量 Δv 必定指向轨迹的凹側。
g
v
在这两个例子中
a ( 或 g ) 与 的夹角v
呈锐角时，运动变快；
呈钝角时，运动变慢；
呈直角时，快慢没变。
v
a
由 a 求 v
即已知 只要对 t 求一阶微商很容易求得
( 若已知 只要对 t 求二阶微商很容易求得 )
如：已知 求( m·s -1 )
因只有 X 分量，即
10 ( m·s -2 )
反之，如何由 求？
续上要具备的已知条件加速度方程 初始条件时的求法由速度定义式分离变量两边取积分 按初始条件 对应取积分限求积分 即匀变速则平面上面的结果 对各种变速运动都适用则最简单的情况,匀变速 运动,常矢量得结论,大小和方向都平面运动，质点任一时刻的速度 必在确定的恒定的恒加速度运动，是和恒矢 组成的平面内。 不考虑环境影响的抛物体运动匀变速各方程 运用早前的由 v 求 r 的一般式代入得
z z z
在直角坐标系中的分量式为
x x x
y y y
得 匀变速 运动的 运动方程
x xxx在直角坐标系中的分量式为 y yyy z zzz
为只在 X 轴作匀变速直线运动,
上述 匀变速 运动的 速度方程
x x x消去 t 还可导出运动叠加原理轴上的运动轴上的运动轴上的运动各自独立无依赖关系一个复杂的运动，可看成几个独立的运动的叠加。
称为 运动叠加原理应用,先分别求解各坐标分量的一维运动参量，
然后进行三维运动合成。方便易行。
p.11例
×
× ×
× ×
× ×
×
× ×
× ×
× ×
×
Y
XO
电子在磁场中运动方程为常量题中信息消去 得在 上的投影? 其中 故匀速率圆周运动恒与 反向,
指向圆心。
p.13例回顾任意时刻的 缩短 率斜长
t 时刻船的速度加速度设 h = 20m,u = 3m/s,l0 = 40m,t = 5s
得 5 m/s 10.7 m/s2
同沿 X 轴 负 方向。船运动加快。
求导积分小结求导法与积分法小结：以 X 轴上直线运动为例
x = A + B t + C t 3
（ A B C 均为大于零的常量 ）
a = = + 6C tdvdt
此结果为 a随 t 变，
即变加速直线运动。
（ +）,a 沿 X 轴正向
（ ）,a 沿 X 轴负向
v = = B + 3C t 2dxdt
用求导法求 v 和 a
用积分法求 v 和 x
dv
dta = = dta0tdv0v
=dv0v 0t dt(4 + 2 t )
a = 4 + 2 t t = 0 时 v = 0x = 0
dx
dtv = = dtv0tdx0
x
=dx0x 0t dt(4 t + t )2
v = 4 t + t 2
x= 2 t + t2 31 3
p.14例时 关机 且为常量时刻船速船停时位置 停停分离变量取积分及上下限求积分得即船停位置对应的船速为零。要找出 与的函数关系，可用高数中的换元法：
得分离变量并取积分停求积得 停得此后 反 方向，
换元法此外，本学期还要求学会用高等数学去思考解决物理问题的一种常用方法 换元法（今后在本课程中常会遇到）
例如熟知 而物理定义得已知的待求的都不是 的显函数而是 的显函数需将 按一定的关系换成 然后 进行积分求解或根据则 故随堂练习一 由运动学方程 投影式 消去得轨迹方程由 运动学方程 坐标式位矢运动学方程投影式质点的轨迹方程 ；
第 2 秒 末的位矢；
第 2 秒 末的速度和加速度 。
（备选例一）
随堂练习一随堂练习二跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 均为大于零的常量 式中任一时刻运动员下落速度大小 的表达式及 时对本题的一维情况有由分离变量求积分注意到得第一次课完切法向加速序若运用微积分概念，还可得到更深刻、更普遍的表达式。
直接相关。引,前述，运动变快或变慢，与 之间的方向作分解，人们将 沿 方向（切向）和 垂直于 方向（法向）
称切向加速度法向加速度矢量关系：
大小关系：
切法公式推导单位切向矢量单位法向矢量 大小是 1
运动曲线上任一点的速度 速率 单位切向矢量速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率任一运动曲线
A
续上单位切向矢量单位法向矢量 大小是 1
运动曲线上任一点的速度 速率 单位切向矢量速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率任一运动曲线
A
速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率很好理解 不太好理解将 A,B 取得无限靠近 !
C B
方向 与 相同大小 1 ·
曲线在 A 处的曲率半径得 1
而 于是结论任一运动曲线
A
BC
曲线在 A 处的曲率半径将 A,B 取得无限靠近 !
速度 大小的时间变化率速度 方向的时间变化率方向 与 相同大小 1 ·
得 1
而 于是切向加速度：
法向加速度：
凡例切向加速度：
法向加速度：
一般变速运动取决与该点的取决与该点的匀速率圆周运动 变速直线运动变速圆周运动若知 求 则要用例如，变速率圆周运动应用时注意 是 速率式中在平面直角坐标中此外再用上法公式求需先用若知 求得直接用若知 求平抛物体运动若知 求 则要用直接用若知 求例如，变速率圆周运动再用上法公式求需先用若知 求得应用时注意 是 速率式中在平面直角坐标中此外只知平抛 物体运动又如 可求易算甚至可求出
p.16例变 速 圆 周 运 动一 质 点 作切向加速度的大小切向加速度的大小初速率为圆半径为速率的时变规律路程的时变规律由题意分离变量并取积分求积得由 得得随堂练习二得 9.820× 30.6(m)
由法向加速度大小最高点处 cos30o
足球运动轨迹最高点处的曲率半径 ρ
30 o
（备选例一）
相对运动通式
X Y
Z
D
ζ
η
C
ξ
B
BD 标 对 地
（绝对）
（相对）
标 对 船
BC
CD
船 对 地
（牵连）
BD BC CD
BD BC CD
BD BC CD
BD BC CD
1.4
还可推广到 B
身上有 A 运动 CDBCAD AB 等凡例 激流的实际方向及流速水 对 地问题实质是求船对 地 船对 水 水 对 地水 对 地 船对 地 船对 水即船对 地船对 水
= 5 m/s
（ 静水 ）
北东水 对 地 = 5 m/s
指向东偏南 30o
来自北偏西 60o
船对 水
60o
= 5 m/s
船对 地
（ 突遇激流 ）
若也船对 水保持
60o
30o
p.18例雨对地 雨对车 车对地北 南地看雨 21.6o
88.2 m/s车看雨垂直雨对车雨对地车对地雨对地车对地
21.6 o
88,2 329,6 ( m · s –1 )
p.19例海船 航速,10 km / h 航向：北偏西 30oA
B海船 航速,20 km / h 航向：正西某时刻,A 发现 B 位于 北偏东 60o 的方向上。
是否需要采取措施避免相碰？
北南东西
A
B
30o
60o
分析 A,B 之间的 相对速度 是否会导致相碰
B-A
B-AB-地 A-地
B-A B-地 A-地
A
B
A-地
30o
B-地
30o
相对速度满足一定条件时就会相碰。
续上P.19 海船 航速,10 km / h 航向：北偏西 30oA
B海船 航速,20 km / h 航向：正西某时刻,A 发现 B 位于 北偏东 60o 的方向上。
是否需要采取措施避免相碰？
北南东西
A
B
30o
60o
分析 A,B 之间的 相对速度 是否会导致相碰
B-A
B-AB-地 A-地
B-A B-地 A-地
A
B
A-地
30o
B-地
30o
相对速度满足一定条件时就会相碰。
B-地
60o
A-地 B-A
60o
若按已知条件算得 始终保持 30o,则会发生相碰。
已知速率,10 km / hA 20 km / hB
B A A B A B 60o km10 3 h/
60oA B A
A 60oB A 30o
即在 A 船上看 B 船始终对着 A 船航行，势必相碰。可改变航向或航速来避免。
30o30o
第二次课完补充题集本章小结和补充例题物理量小结两类问题由初始条件定积分常量随堂小议一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 1）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 2）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 3）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
一质点作曲线运动，
r 表示位矢，
s 表示路程，
v 表示速度，
aτ 表示切向加速度，
下列四种表达式中，
正确的是
（请点击你要选择的项目）
（链接 4）
（ 1）
（ 2）
（ 4）
（ 3）
（备选例三）
t = 0.5 s 时 v 和 a 的 大小
t = 0.5 s 时 v = 8 × 0.5 2 2 m s
64 t 2
2
16 t 8 m s
2 m s 8.25 m s
32
2 × 2 4 v = 8 t
2
半径 R = 2 m 的圆周运动 速率 v = K R t 2 m s
已知 t = 2s 时 v = 32 m sK 为常数
（备选例二）
（备选例二）
（备选例四）
（续选例四）
（备选例五）
随堂练习一质点作圆周运动半径 R = 0.1 m
其运动学方程为
θ = 2 + 4 t 3 (SI)
t = 2 s 时,质点的切向加速度法向加速度
τa
na
关键是设法求 线速率若由 τa na
关键是设法求 角速率若由 aτ na
本题很易求
12 t t = 2 48 (rad·s -1)
12 t
24 t t = 2 48 (rad·s -2)
aτ 4.8 ( m · s-2 )
na 230.4 ( m · s-2 )
随堂练习续练习
45°
（相）
（牵）
（绝）
45°
7.07 2.07 ( m s )
大小,7.07 2.07
( m s )7.37
方向,
7.07
2.07arctg 16.32
即来自西偏北（吹向东偏南） 16.32
α
5
-10 22
10 22
-2.07
7.07
作业作业：
独立认真完成作业！
