第二节 弯曲表面的性质一．曲面附加压力
1．附加压力概念曲面和平面比较，表面受力情况不一样平面
p内 = p外任意区域表面张力合力 = 0
p外
p内凸面
p内 = p外 +p曲p内
p外表面张力合力 p曲指向液体内部p
曲曲面附加压力任意区域表面张力合力 = 0
p内 = p外平面 p外
p内凹液面受到指向液体外部的合力?p
p内 < p外凹 面
p内
p
p外
p
凸液面受到指向液体内部的合力?p
p内 > p外凸面
p内
p外
p
p
附加压力? p p内 = p外 +? p
21
11
rrp?
曲面在 O点的附加压力?p和表面张力?及曲率半径 r之间有如下关系：
此式即 杨 -拉普拉斯公式 （ Yong – Laplace equation）。
几种特殊形状的液面：
球形表面,r1 = r2 = r,则?p = 2? /r，
圆柱形曲面,r1= ∞,则?p =? /r；
平液面,r1= r2 = ∞,则?p = 0。
杨 -拉普拉斯公式一．曲面附加压力根据 杨 -拉普拉斯公式 可以得知：
（ 1）附加压力和曲率半径的大小成反比，液滴越小，液体受到的附加压力越大。
（ 2）凹液面的曲率半径为负值，因此附加压力也是负值，
凹液面下的液体受到的压力比平液面下的液体受到的压力小。
（ 3）附加压力的大小和表面张力有关，液体的表面张力大，产生的附加压力也较大。
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rrp?
一．曲面附加压力用 杨 -拉普拉斯公式 可以解释很多表面现象。
例如：为什么自由液滴和气泡都呈球形？
若液滴为不规则形状，液体表面各点的曲率半径不同，所受到的附加压力大小和方向都不同。
这些力的作用最终会使液滴成球形。球形液滴表面受到指向球心的大小相等的力，合力为０。
一．曲面附加压力毛细现象 （ capillary phenomenon）是证明表面张力存在的一个典型的例子，正是表面张力引起的弯曲液面的附加压力使得和毛细管壁润湿的液体沿毛细管上升。
gRh 液?
c o s2?
当液体可以润湿毛细管壁，即形成 凹形液面 时,?< 90?,h > 0，毛细管内 液面上升 ；
若液体不能润湿毛细管壁，即形成 凸液面 时,?> 90?,h < 0，毛细管内 液面下降,低于正常液面。
一．曲面附加压力二、曲面的蒸气压
（一）弯曲液面的蒸气压 ——开尔文公式用热力学的基本原理可以导出在指定温度下液体的蒸气压和曲率半径之间的关系。
曲率半径为 r 的球形液滴或气泡，在温度 T下的蒸气压为 pr*,液体在此温度下的正常蒸气压为 p*
*2ln
*
rpM
p R T r
s
r=
此式即开尔文公式。
根据开尔文公式可以得知：
液面的弯曲度越大即 曲率半径越小,其蒸气压相对正常 蒸气压变化越大 。
对于 凸液面 的液体（如小液滴）,r > 0，其蒸气压大于正常蒸气压,曲率半径越小，蒸气压越大 。
有 凹液面 的液体（如玻璃毛细管中水的液面）,r < 0，
其蒸气压小于正常蒸气压,曲率半径的绝对值越小，蒸气压越小 。
二、曲面的蒸气压液滴（气泡）半径与蒸气压关系
r /m 10?5 10?6 10?7 10?8 10?9
pr* / p*
小液滴 1.0001 1.001 1.011 1.114 2.937
小气泡 0.9999 0.9989 0.9897 0.8977 0.3405
从表中的数据可以看出：
当液体的曲率半径较大时，蒸气压的改变并不明显，
当曲率半径小于 10?8 m时，蒸气压的变化超过 10%；
当曲率半径减小至 10?9m时，蒸气压的变化已有三倍之多。
二、曲面的蒸气压
（ 二 ） 开尔公式应用举例
1,微小晶体的溶解度开尔文公式也可以用于固体。根据亨利公式，溶质的蒸气压和其在溶液中的活度成正比，代入开尔文公式，可得：
sl2ln r Ma
a R T r
s
r=正 常式中 ar和分别为与微小晶体及普通晶体成平衡时溶液 (饱和溶液 )的活度,?sl为固液界面张力。
根据上式可以得知：
晶体溶解度和其粒子半径成反比，越小的晶体颗粒溶解度越大。
实验室中常采用陈化的方法来得到较大的晶体。
二、曲面的蒸气压
2,毛细管凝结（ capillary condensation）
多孔性物质内有很多毛细孔隙，和该固体相润湿的液体可以在这些孔隙内形成凹液面。
在一定温度下，液体的蒸气分压虽然低于其正常的饱和蒸气压，但对于这些凹液面已经是过饱和了，蒸气分子就会自发地在这些毛细孔内凝结成液体。
这就是硅胶作为干燥剂的工作原理。
二、曲面的蒸气压三,亚稳状态和新相的生成体系形成新相：
少数分子形成聚集体?以聚集体为中心长大成新相种子? 新相种子逐渐长大成为新相新相生成面临的困难：
要有足够的能量去克服把以前相对自由的分子束缚到一起所必须跃过的能垒；
新生相还将给系统带来巨大的表面能；
由于新生成相在初始阶段曲率半径很小，根据开尔文公式可以得知，这些新相粒子的蒸气压与正常状态有很大的不同，这将使新相生成更加困难。
（一）过热液体 （ super-heated liquid）
当液体加热时，新形成的气泡受到的压力远远大于气泡内的蒸气压，因此气泡不可能存在。必须升高温度使气泡内的蒸气压等于气泡所受到的压力时，水才开始沸腾。
形成 过热液体 。过热液体所引起的 暴沸 （ bumping）是十分危险的。
气泡受到大气压、
水的重压和指向球心的曲面附加压力。
三,亚稳状态和新相的生成新生成的凝聚相极其微小，
根据开尔文公式，微小颗粒的蒸气压远远大于该物质的正常蒸气压（相图中的虚线）。
当液体蒸气的分压已经大于液体正常蒸气压，但对于将要形成的微小新相颗粒来说仍未饱和，故不可能凝聚。
（ 二 ） 过饱和蒸气 （ super-saturated vapor）
当气体十分纯净时,往往其分压大于饱和蒸气压仍不能凝聚,形成 过饱和蒸气 。
三,亚稳状态和新相的生成
（ 三 ） 过冷液体 （ super-cooling liquid）
低于凝固点而不析出晶体的液体就是 过冷液体 。过冷液体的产生同样是由于新生相微粒具有较高蒸气压所致。
正常情况物质的熔点在液体蒸气压曲线 OC和固体的蒸气压曲线
OA的交点 O处，微小晶体的蒸气压高于正常值（相图中的虚线），
其蒸气压曲线和液体蒸气压曲线
OC的延长线交于 D,D点是微小晶体的熔点。
正常情况下的凝固点 O，对于有较高蒸气压的微小晶体来说，仍处于气液平衡区。
三,亚稳状态和新相的生成
（ 四 ） 过饱和溶液 (super-saturated solution)
根据开尔文公式可以知道，较小的晶体有较大的溶解度，已达到饱和浓度的溶液对于微小晶体来说并没有饱和，
也就不可能有晶体析出，这就形成了 过饱和溶液 。
较小的晶体有较大的溶解度三,亚稳状态和新相的生成过热、过冷、过饱和等现象都是热力学不稳定状态，
但是它们又能在一定条件下较长时间内稳定存在，这种状态被称为 亚稳定状态 （ metastable state）。
亚稳定状态出现在新相生成时，是由于新相种子生成困难而引起的。
为即将形成的新相提供新相种子或形成新相的核，可以解除系统所处的亚稳定状态。
三,亚稳状态和新相的生成例如：
加热前在液体中加入沸石或毛细管，加热时气体从沸石或毛细管中出来，在液体中生成小气泡。这些气泡作为新相种子有较大的直径，使液体沸腾时极大地降低了由于液面弯曲而带来的阻碍，可有效的防止暴沸的发生。
向云层中撒入固体颗粒，使已经饱和的水蒸气凝结成雨（雪），即人工降雨（雪）。
在溶液中加入晶种可以帮助结晶析出。
三,亚稳状态和新相的生成单击网页左上角,后退,退出本节
1．附加压力概念曲面和平面比较，表面受力情况不一样平面
p内 = p外任意区域表面张力合力 = 0
p外
p内凸面
p内 = p外 +p曲p内
p外表面张力合力 p曲指向液体内部p
曲曲面附加压力任意区域表面张力合力 = 0
p内 = p外平面 p外
p内凹液面受到指向液体外部的合力?p
p内 < p外凹 面
p内
p
p外
p
凸液面受到指向液体内部的合力?p
p内 > p外凸面
p内
p外
p
p
附加压力? p p内 = p外 +? p
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曲面在 O点的附加压力?p和表面张力?及曲率半径 r之间有如下关系：
此式即 杨 -拉普拉斯公式 （ Yong – Laplace equation）。
几种特殊形状的液面：
球形表面,r1 = r2 = r,则?p = 2? /r，
圆柱形曲面,r1= ∞,则?p =? /r；
平液面,r1= r2 = ∞,则?p = 0。
杨 -拉普拉斯公式一．曲面附加压力根据 杨 -拉普拉斯公式 可以得知：
（ 1）附加压力和曲率半径的大小成反比，液滴越小，液体受到的附加压力越大。
（ 2）凹液面的曲率半径为负值，因此附加压力也是负值，
凹液面下的液体受到的压力比平液面下的液体受到的压力小。
（ 3）附加压力的大小和表面张力有关，液体的表面张力大，产生的附加压力也较大。
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一．曲面附加压力用 杨 -拉普拉斯公式 可以解释很多表面现象。
例如：为什么自由液滴和气泡都呈球形？
若液滴为不规则形状，液体表面各点的曲率半径不同，所受到的附加压力大小和方向都不同。
这些力的作用最终会使液滴成球形。球形液滴表面受到指向球心的大小相等的力，合力为０。
一．曲面附加压力毛细现象 （ capillary phenomenon）是证明表面张力存在的一个典型的例子，正是表面张力引起的弯曲液面的附加压力使得和毛细管壁润湿的液体沿毛细管上升。
gRh 液?
c o s2?
当液体可以润湿毛细管壁，即形成 凹形液面 时,?< 90?,h > 0，毛细管内 液面上升 ；
若液体不能润湿毛细管壁，即形成 凸液面 时,?> 90?,h < 0，毛细管内 液面下降,低于正常液面。
一．曲面附加压力二、曲面的蒸气压
（一）弯曲液面的蒸气压 ——开尔文公式用热力学的基本原理可以导出在指定温度下液体的蒸气压和曲率半径之间的关系。
曲率半径为 r 的球形液滴或气泡，在温度 T下的蒸气压为 pr*,液体在此温度下的正常蒸气压为 p*
*2ln
*
rpM
p R T r
s
r=
此式即开尔文公式。
根据开尔文公式可以得知：
液面的弯曲度越大即 曲率半径越小,其蒸气压相对正常 蒸气压变化越大 。
对于 凸液面 的液体（如小液滴）,r > 0，其蒸气压大于正常蒸气压,曲率半径越小，蒸气压越大 。
有 凹液面 的液体（如玻璃毛细管中水的液面）,r < 0，
其蒸气压小于正常蒸气压,曲率半径的绝对值越小，蒸气压越小 。
二、曲面的蒸气压液滴（气泡）半径与蒸气压关系
r /m 10?5 10?6 10?7 10?8 10?9
pr* / p*
小液滴 1.0001 1.001 1.011 1.114 2.937
小气泡 0.9999 0.9989 0.9897 0.8977 0.3405
从表中的数据可以看出：
当液体的曲率半径较大时，蒸气压的改变并不明显，
当曲率半径小于 10?8 m时，蒸气压的变化超过 10%；
当曲率半径减小至 10?9m时，蒸气压的变化已有三倍之多。
二、曲面的蒸气压
（ 二 ） 开尔公式应用举例
1,微小晶体的溶解度开尔文公式也可以用于固体。根据亨利公式，溶质的蒸气压和其在溶液中的活度成正比，代入开尔文公式，可得：
sl2ln r Ma
a R T r
s
r=正 常式中 ar和分别为与微小晶体及普通晶体成平衡时溶液 (饱和溶液 )的活度,?sl为固液界面张力。
根据上式可以得知：
晶体溶解度和其粒子半径成反比，越小的晶体颗粒溶解度越大。
实验室中常采用陈化的方法来得到较大的晶体。
二、曲面的蒸气压
2,毛细管凝结（ capillary condensation）
多孔性物质内有很多毛细孔隙，和该固体相润湿的液体可以在这些孔隙内形成凹液面。
在一定温度下，液体的蒸气分压虽然低于其正常的饱和蒸气压，但对于这些凹液面已经是过饱和了，蒸气分子就会自发地在这些毛细孔内凝结成液体。
这就是硅胶作为干燥剂的工作原理。
二、曲面的蒸气压三,亚稳状态和新相的生成体系形成新相：
少数分子形成聚集体?以聚集体为中心长大成新相种子? 新相种子逐渐长大成为新相新相生成面临的困难：
要有足够的能量去克服把以前相对自由的分子束缚到一起所必须跃过的能垒；
新生相还将给系统带来巨大的表面能；
由于新生成相在初始阶段曲率半径很小，根据开尔文公式可以得知，这些新相粒子的蒸气压与正常状态有很大的不同，这将使新相生成更加困难。
（一）过热液体 （ super-heated liquid）
当液体加热时，新形成的气泡受到的压力远远大于气泡内的蒸气压，因此气泡不可能存在。必须升高温度使气泡内的蒸气压等于气泡所受到的压力时，水才开始沸腾。
形成 过热液体 。过热液体所引起的 暴沸 （ bumping）是十分危险的。
气泡受到大气压、
水的重压和指向球心的曲面附加压力。
三,亚稳状态和新相的生成新生成的凝聚相极其微小，
根据开尔文公式，微小颗粒的蒸气压远远大于该物质的正常蒸气压（相图中的虚线）。
当液体蒸气的分压已经大于液体正常蒸气压，但对于将要形成的微小新相颗粒来说仍未饱和，故不可能凝聚。
（ 二 ） 过饱和蒸气 （ super-saturated vapor）
当气体十分纯净时,往往其分压大于饱和蒸气压仍不能凝聚,形成 过饱和蒸气 。
三,亚稳状态和新相的生成
（ 三 ） 过冷液体 （ super-cooling liquid）
低于凝固点而不析出晶体的液体就是 过冷液体 。过冷液体的产生同样是由于新生相微粒具有较高蒸气压所致。
正常情况物质的熔点在液体蒸气压曲线 OC和固体的蒸气压曲线
OA的交点 O处，微小晶体的蒸气压高于正常值（相图中的虚线），
其蒸气压曲线和液体蒸气压曲线
OC的延长线交于 D,D点是微小晶体的熔点。
正常情况下的凝固点 O，对于有较高蒸气压的微小晶体来说，仍处于气液平衡区。
三,亚稳状态和新相的生成
（ 四 ） 过饱和溶液 (super-saturated solution)
根据开尔文公式可以知道，较小的晶体有较大的溶解度，已达到饱和浓度的溶液对于微小晶体来说并没有饱和，
也就不可能有晶体析出，这就形成了 过饱和溶液 。
较小的晶体有较大的溶解度三,亚稳状态和新相的生成过热、过冷、过饱和等现象都是热力学不稳定状态，
但是它们又能在一定条件下较长时间内稳定存在，这种状态被称为 亚稳定状态 （ metastable state）。
亚稳定状态出现在新相生成时，是由于新相种子生成困难而引起的。
为即将形成的新相提供新相种子或形成新相的核，可以解除系统所处的亚稳定状态。
三,亚稳状态和新相的生成例如：
加热前在液体中加入沸石或毛细管，加热时气体从沸石或毛细管中出来，在液体中生成小气泡。这些气泡作为新相种子有较大的直径，使液体沸腾时极大地降低了由于液面弯曲而带来的阻碍，可有效的防止暴沸的发生。
向云层中撒入固体颗粒，使已经饱和的水蒸气凝结成雨（雪），即人工降雨（雪）。
在溶液中加入晶种可以帮助结晶析出。
三,亚稳状态和新相的生成单击网页左上角,后退,退出本节
