第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重 积 分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第九章解法,类似定积分解决问题的思想,
一、引例
1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体,
底,xoy面上的闭区域 D
顶,连续曲面侧面,以 D的边界为准线,母线平行于 z轴的柱面求其体积,
“大化小,常代变,近似和,求极限
”
D
D
1),大化小”
用 任意 曲线网分 D为 n个区域
n,,,21?
以它们为底把曲顶柱体分为 n个
2),常代变”
在每个
3),近似和”
n
k
kkkf
1
),(
),( kkf
),,2,1(),( nkfV kkkk
则中 任取 一点小曲顶柱体
k),( kk
4),取极限”
kk,PPPP 2121m a x)(
令)(m a x1 knk
n
k
kkkfV
10
),(lim
),( kf
k),( kk
2,平面薄片的质量有一个平面薄片,在 xoy平面上占有区域 D,
计算该薄片的质量 M.度为设 D的面积为?,则
M
若 非常数,仍可用其面密
“大化小,常代变,近似和,求极限,
解决,
1),大化小”
用任意曲线网分 D为 n个小区域,,,,21 n
相应把薄片也分为小区域,
D
y
x
2),常代变”
中任取一点 k在每个 ),,( kk
3),近似和”
n
k
kkk
1
),(
4),取极限”
)(m a x1 knk令
n
k
kkkM
10
),(lim
k),( kk
则第 k 小块的质量
y
x
两个问题的 共性：
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小,常代变,近似和,取极限,
n
k
kkkfV
10
),(lim
n
k
kkkM
10
),(lim
曲顶柱体体积,
平面薄片的质量,
二、二重积分的定义及可积性定义,),( yxf设将区域 D任意 分成 n个 小区域任取 一点 若存在一个常数 I,使可积,),( yxf则称 ),( yxfI 为称 在 D上 的二重积分,
称为积分变量yx,
积分和积分域 被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上 的有界函数,
D yxfV?d),(
引例 1中曲顶柱体体积,
D yxM d),(
引例 2中平面薄板的质量,
如果 在 D上可积,),( yxf
,dd yx 二重积分记作
.dd),( D yxyxf
这时分区域 D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划也常记作
D yxyxf dd),(
D yxyx dd),(?
二重积分存在定理,
若函数定理 2.
(证明略 )
定理 1.
在 D上可积,
除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续,
积,
在有界闭区域 D上连续,则若有界函数 在有界闭区域 D上例如,yx
yxyxf
22),(
在 D,10 x 10 y
上二重积分存在 ; yxyxf 1),(但 在 D 上 o
y
1 x
1
D
二重积分不存在,
三、二重积分的性质
D yxfk?d),(.1 ( k 为常数 )
21 d),(d),(d),(.3 DDD yxfyxfyxf
DD dd1
为 D的面积,则
D yxfk?d),(
特别,由于 ),(),(),( yxfyxfyxf
D yxf?d),(
则
D yxf?d),( D yx d),(
5.若在 D上 ),( yxf,),( yx
D yxf?d),(
6.设 D的面积为?,
Myxfm D d),(则有
7.(二重积分的中值定理 )
),(),( fdyxfD
证,由性质 6可知,
Myxfm D d),(1
由连续函数介值定理,至少有一点
D yxff d),(1),(
在闭区域 D上
为 D 的面积,则至少存在一点 使使连续,
因此例 1.比较下列积分的大小,
d)(,d)( 32 DD yxyx
其中 2)1()2(,22 yxD
解,积分域 D的边界为圆周
1 yx3
32 )()( yxyx
它与 x轴交于点 (1,0),而域 D位
,1 yx 从而
d)(d)( 32 DD yxyx
于直线的上方,故在 D上
1
y
2 xo
1 D
例 2.判断积分 的正负号,
解,分积分域为,,,321 DDD 则原式 = yxyxD dd11 3 22
yxyxD dd1
2
3 22
1 ddD yx
)34(23
2
3D
3
2D
1
1D
y
xo
0)21( 3
猜想结果为负但不好估计,
舍去此项例 3,估计下列积分之值
10:
c o sc o s100
ddI
22 yxDyx
yx
D
解,D的面积为 200)210( 2
由于
yx 22 c o sc o s1 0 0
1
积分性质 5
1 0 0
2 0 0I
1 0 2
2 0 0 即,1.96?I?2
10?
10
1010?
D
100
1
102
1 x
y
o
o D
8.设函数
D 位于 x轴上方的部分为 D1,
),,(),()1( yxfyxf
),,(),()2( yxfyxf
d),( D yxf
0d),(D yxf
当区域关于 y轴对称,函数关于变量 x有奇偶性时,仍
x
y
1D
在 D上
d),(2 1 D yxf
在闭区域上连续,域 D关于 x轴对称,
则则有类似结果,
在第一象限部分,则有
D yxyx dd)(
1 dd)(4 22D yxyx
0?
xba d] [
四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为
bxa
xyxyxD )()(),( 21
任取 平面故曲顶柱体体积为
D yxfV?d),(
截面积为
yyxfxx d),()( )(2
1?
ba xxA d)(
截柱体的
)(2 xy
)(1 xy
z
x
y
o a b0x
D
y
d
c
xo
)(2 yx)(
1 yx
y ydc d] [
dycyxyyxD ),()(),( 21
同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算
D yxfV?d),(
xyxfyy d),()( )(2
1?
例 4.求两个底圆半径为 R 的直角圆柱面所围的体积,
x
y
z
R
Ro
解,设两个直圆柱方程为
,222 Ryx
利用对称性,考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为则所求体积为
22
0 d
xR y
xxRR d)(8 0 22 3316?
22 Rzx
22 xRz
0
0:),( 22
Rx
xRyDyx
xxRR d8 0 22
内容小结
1,二重积分的定义
D yxf?d),( iii
n
i
f
),(l i m
10
)dd(d yx
2,二重积分的性质 (与定积分性质相似 )
3.曲顶柱体体积的计算 二次积分法被积函数相同,且非负,
思考与练习
yxyxI
yx
dd
1
2
yxyxI dd
1
1
1
1
3
解,
321,,III
由它们的积分域范围可知
312 III
1
1
x
y
o
1.比较下列积分值的大小关系,
2,设 D是第二象限的一个有界闭域,且 0<y <1,则
,d31
D
xyI
D
xyI?d32
1
3
的大小顺序为 ( )
.)(;)(;)(;)(
213123
312321
IIIDIIIC
IIIBIIIA
提示,因 0<y<1,故 ;212 yyy
D
故在 D上有,03?x又因
323321 xyxyxy
y
o x
1
D
3,计算解,
)c o s ( yx 02
20? yd
20 d]c o s[sin? yyy
yy s i nc o s
2?
0
2
4.证明,其中 D为解,利用题中 x,y位置的对称性,有
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD xyyx
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD yyxx
d)c o ss i n( 22 D xx
又 D的面积为 1,
故结论成立,
y
o x
1
D
1
5.04.0 I
5.估计 的值,其中 D为
D xyyx
I
162
d
22
.20,10 yx
解,被积函数 16)(
1),(
2 yxyxf
2D 的面积的最大值 ),( yxfD 上在
),( yxf 的最小值
,4252 I故
y
o x
2
D
1
220 yx
0)ln ( 22 yx
6.判断 的正负,)0(dd)l n (
1
22
yx
yxyx
解,1 yx?当 时，
故 0)ln ( 22 yx
又当 时,1 yx
于是
2)( yx 1?
0dd)l n (
1
22
yx
yxyx
1?
1
11? x
y
o D?
一、引例
1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体,
底,xoy面上的闭区域 D
顶,连续曲面侧面,以 D的边界为准线,母线平行于 z轴的柱面求其体积,
“大化小,常代变,近似和,求极限
”
D
D
1),大化小”
用 任意 曲线网分 D为 n个区域
n,,,21?
以它们为底把曲顶柱体分为 n个
2),常代变”
在每个
3),近似和”
n
k
kkkf
1
),(
),( kkf
),,2,1(),( nkfV kkkk
则中 任取 一点小曲顶柱体
k),( kk
4),取极限”
kk,PPPP 2121m a x)(
令)(m a x1 knk
n
k
kkkfV
10
),(lim
),( kf
k),( kk
2,平面薄片的质量有一个平面薄片,在 xoy平面上占有区域 D,
计算该薄片的质量 M.度为设 D的面积为?,则
M
若 非常数,仍可用其面密
“大化小,常代变,近似和,求极限,
解决,
1),大化小”
用任意曲线网分 D为 n个小区域,,,,21 n
相应把薄片也分为小区域,
D
y
x
2),常代变”
中任取一点 k在每个 ),,( kk
3),近似和”
n
k
kkk
1
),(
4),取极限”
)(m a x1 knk令
n
k
kkkM
10
),(lim
k),( kk
则第 k 小块的质量
y
x
两个问题的 共性：
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小,常代变,近似和,取极限,
n
k
kkkfV
10
),(lim
n
k
kkkM
10
),(lim
曲顶柱体体积,
平面薄片的质量,
二、二重积分的定义及可积性定义,),( yxf设将区域 D任意 分成 n个 小区域任取 一点 若存在一个常数 I,使可积,),( yxf则称 ),( yxfI 为称 在 D上 的二重积分,
称为积分变量yx,
积分和积分域 被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上 的有界函数,
D yxfV?d),(
引例 1中曲顶柱体体积,
D yxM d),(
引例 2中平面薄板的质量,
如果 在 D上可积,),( yxf
,dd yx 二重积分记作
.dd),( D yxyxf
这时分区域 D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划也常记作
D yxyxf dd),(
D yxyx dd),(?
二重积分存在定理,
若函数定理 2.
(证明略 )
定理 1.
在 D上可积,
除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续,
积,
在有界闭区域 D上连续,则若有界函数 在有界闭区域 D上例如,yx
yxyxf
22),(
在 D,10 x 10 y
上二重积分存在 ; yxyxf 1),(但 在 D 上 o
y
1 x
1
D
二重积分不存在,
三、二重积分的性质
D yxfk?d),(.1 ( k 为常数 )
21 d),(d),(d),(.3 DDD yxfyxfyxf
DD dd1
为 D的面积,则
D yxfk?d),(
特别,由于 ),(),(),( yxfyxfyxf
D yxf?d),(
则
D yxf?d),( D yx d),(
5.若在 D上 ),( yxf,),( yx
D yxf?d),(
6.设 D的面积为?,
Myxfm D d),(则有
7.(二重积分的中值定理 )
),(),( fdyxfD
证,由性质 6可知,
Myxfm D d),(1
由连续函数介值定理,至少有一点
D yxff d),(1),(
在闭区域 D上
为 D 的面积,则至少存在一点 使使连续,
因此例 1.比较下列积分的大小,
d)(,d)( 32 DD yxyx
其中 2)1()2(,22 yxD
解,积分域 D的边界为圆周
1 yx3
32 )()( yxyx
它与 x轴交于点 (1,0),而域 D位
,1 yx 从而
d)(d)( 32 DD yxyx
于直线的上方,故在 D上
1
y
2 xo
1 D
例 2.判断积分 的正负号,
解,分积分域为,,,321 DDD 则原式 = yxyxD dd11 3 22
yxyxD dd1
2
3 22
1 ddD yx
)34(23
2
3D
3
2D
1
1D
y
xo
0)21( 3
猜想结果为负但不好估计,
舍去此项例 3,估计下列积分之值
10:
c o sc o s100
ddI
22 yxDyx
yx
D
解,D的面积为 200)210( 2
由于
yx 22 c o sc o s1 0 0
1
积分性质 5
1 0 0
2 0 0I
1 0 2
2 0 0 即,1.96?I?2
10?
10
1010?
D
100
1
102
1 x
y
o
o D
8.设函数
D 位于 x轴上方的部分为 D1,
),,(),()1( yxfyxf
),,(),()2( yxfyxf
d),( D yxf
0d),(D yxf
当区域关于 y轴对称,函数关于变量 x有奇偶性时,仍
x
y
1D
在 D上
d),(2 1 D yxf
在闭区域上连续,域 D关于 x轴对称,
则则有类似结果,
在第一象限部分,则有
D yxyx dd)(
1 dd)(4 22D yxyx
0?
xba d] [
四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为
bxa
xyxyxD )()(),( 21
任取 平面故曲顶柱体体积为
D yxfV?d),(
截面积为
yyxfxx d),()( )(2
1?
ba xxA d)(
截柱体的
)(2 xy
)(1 xy
z
x
y
o a b0x
D
y
d
c
xo
)(2 yx)(
1 yx
y ydc d] [
dycyxyyxD ),()(),( 21
同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算
D yxfV?d),(
xyxfyy d),()( )(2
1?
例 4.求两个底圆半径为 R 的直角圆柱面所围的体积,
x
y
z
R
Ro
解,设两个直圆柱方程为
,222 Ryx
利用对称性,考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为则所求体积为
22
0 d
xR y
xxRR d)(8 0 22 3316?
22 Rzx
22 xRz
0
0:),( 22
Rx
xRyDyx
xxRR d8 0 22
内容小结
1,二重积分的定义
D yxf?d),( iii
n
i
f
),(l i m
10
)dd(d yx
2,二重积分的性质 (与定积分性质相似 )
3.曲顶柱体体积的计算 二次积分法被积函数相同,且非负,
思考与练习
yxyxI
yx
dd
1
2
yxyxI dd
1
1
1
1
3
解,
321,,III
由它们的积分域范围可知
312 III
1
1
x
y
o
1.比较下列积分值的大小关系,
2,设 D是第二象限的一个有界闭域,且 0<y <1,则
,d31
D
xyI
D
xyI?d32
1
3
的大小顺序为 ( )
.)(;)(;)(;)(
213123
312321
IIIDIIIC
IIIBIIIA
提示,因 0<y<1,故 ;212 yyy
D
故在 D上有,03?x又因
323321 xyxyxy
y
o x
1
D
3,计算解,
)c o s ( yx 02
20? yd
20 d]c o s[sin? yyy
yy s i nc o s
2?
0
2
4.证明,其中 D为解,利用题中 x,y位置的对称性,有
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD xyyx
d)c o ss i n(d)c o ss i n( 222221 DD yyxx
d)c o ss i n( 22 D xx
又 D的面积为 1,
故结论成立,
y
o x
1
D
1
5.04.0 I
5.估计 的值,其中 D为
D xyyx
I
162
d
22
.20,10 yx
解,被积函数 16)(
1),(
2 yxyxf
2D 的面积的最大值 ),( yxfD 上在
),( yxf 的最小值
,4252 I故
y
o x
2
D
1
220 yx
0)ln ( 22 yx
6.判断 的正负,)0(dd)l n (
1
22
yx
yxyx
解,1 yx?当 时，
故 0)ln ( 22 yx
又当 时,1 yx
于是
2)( yx 1?
0dd)l n (
1
22
yx
yxyx
1?
1
11? x
y
o D?
