第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用
kkkk v?),,(
),,( kkk
kv?
引例,设在空间有限闭区域?内分布着某种不均匀的 物质,,),,( Czyx 求分布在?
可得?
n
k 10
limM
“大化小,常代变,近似和,求极限”
解决方法,
内的物质的 质量 M.
密度函数为定义,设,),,(,),,(zyxzyxf
kkk
n
k
k vf
),,(lim
10
存在,),,( zyxf
vzyxf d),,(
称为 体积元素,vd,ddd zyx
若对?作 任意分割,
任意取点则称此极限为函数 在?上的 三重积分,
在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似,性质,例如下列中值定理,在有界闭域?上连续,
则存在,),,( 使得
vzyxf d),,( Vf ),,(
V为?的 体积,
“乘 积和式” 极限 记作二、三重积分的计算
1.利用直角坐标计算三重积分方法 1,投影法 (“先一后二,)方法 2,截面法 (“先二后一,)
方法 3,三次积分法
,0),,(?zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各最后,推广到一般可积函数的积分计算,
的密度函数,
计算 方法,
z
x yD
D yx dd
方法 1,投影法 (“先一后二,)
Dyx
yxzzyxz
),(
),(),(,21
yxzzyxfyxz yxz ddd),,(),( ),(2
1
该物体的质量为
vzyxf d),,(
),( ),(2
1
d),,(yxz yxz zzyxf
D yxz yxz zzyxfyx ),( ),(21 d),,(dd yxzyxf dd),,(
细长柱体微元的质量为
),(2 yxzz?
),(1 yxzz?
yxdd
微元线密度 ≈
记作
a
b
方法 2,截面法 (“先二后一,)
为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以
x y
z
该物体的质量为
ba
ZD
yxzyxf dd),,(
ZDba yxzyxfz dd),,(d
z zD
zzyxf d),,(面密度 ≈
zd
记作
投影法方法 3,三次积分法设区域,?
利用投影法结果,
bxa
xyyxyDyx )()(:),( 21 ),(),( 21 yxzzyxz
把二重积分化成二次积分即得,
),( ),(21 d),,(dd yxz yxzD zzyxfyx
),( ),(21 d),,(yxz yxz zzyxf? )( )(21 dxy xy y ba xd
当被积函数在积分域上变号时,因为
),,( zyxf
2
),,(),,( zyxfzyxf
),,(1 zyxf? ),,(2 zyxf?
均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算,
2
),,(),,( zyxfzyxf
小结,三重积分的计算方法方法 1.,先一后二”
方法 2.,先二后一”
方法 3.,三次积分”
),( ),(21 d),,(dd yxz yxzD zzyxfyx
ZDba yxzyxfz dd),,(d
),( ),()( )( 2121 d),,(dd yxz yxzxy xyba zzyxfyx
具体计算三种方法 (包含 12种形式 )各有特点,
时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择,
其中?为三个坐标例 1.计算三重积分,ddd zyxx
12 zyx 所围成的闭区域,
1x
y
z 1
21
解,,?
zyxx ddd
)1(010 21 d)21(d x yyxxx
yx z210 d
10 32 d)2(41 xxxx
yxz 210
)1(0 21 xy
10 x
48
1?
面及平面例 2.计算三重积分解,,?
zyxz ddd2
c c zczbaz d)1(2 2
2
2?
czc
2
2
2
2
2
2
1:
c
z
b
y
a
xD
z
zD yx ddcc zz d2
3
15
4 cba
a
用,先二后一,
b
c
x
y
z zD
z
o
x
y
z
2.利用柱坐标计算三重积分
,R),,( 3?zyxM设,,,代替用极坐标将yx ),,z（则就称为点 M的柱坐标,
z
20
0
s in?y zz?
c o s?x
直角坐标与柱面坐标的关系,
常数
坐标面分别为圆柱面常数 半平面常数?z 平面
z ),,( zyxM
)0,,( yx
如图所示,在柱面坐标系中体积元素为
z
zd
d
d
zv dddd
因此 zyxzyxf ddd),,(
其中 ),s in,c o s(),,( zfzF
适用范围,
1) 积分域 表面用柱面坐标表示时 方程简单 ;
2) 被积函数 用柱面坐标表示时 变量互相分离,
zddd
x
y
z
o
d
d
其中?为由例 3.计算三重积分
xyx 222 0),0(,0 yaazz 所围解,在柱面坐标系下,?
c o s20 2 d
dc o s34 20 3
2
a
c o s20
20 az0
及平面
2
a
x
y
z
o
zv dddd
20 d a zz0 d
zz ddd2原式
3
9
8a?
柱面
c o s2?
成半圆柱体,
ox y
z
例 4.计算三重积分解,在柱面坐标系下
h
h z
4
2 d?
h dh20
2
2 )4(12?
h20 2 d120 d
zyx 422 )0( hhz 所围成,与平面其中?由抛物面
zv dddd
原式 =
3,利用球坐标计算三重积分
,R),,( 3?zyxM设 ),,,( z其柱坐标为就称为点 M的球坐标,
直角坐标与球面坐标的关系
, Z O M
M
o
x y
zz
r?
),,(r则
0
20
0 r
c o ss inrx?
s ins inry?
c o srz?
坐标面分别为常数?r 球面常数 半平面常数 锥面
rOM?令
),,(rM s inrc o srz?
x y
z
o
如图所示,在球面坐标系中体积元素为
d
d
r
rd
ddds ind 2 rrv?
因此有
zyxzyxf ddd),,(
),,(rF
其中 )c o s,s ins in,c o ss in(),,( rrrfrF?
适用范围,
1) 积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单 ;
2) 被积函数 用球面坐标表示时 变量互相分离,
ddds in2 rr
d
例 5.计算三重积分解,在球面坐标系下
:?
zyxzyx ddd)( 222
所围立体,
40
Rr0
20
其中?
与球面
ddds ind 2 rrv
R rr
0
4 d
)22(51 5 R?
40 dsi n20 d x
y
z
o
4?
Rr?
例 6.求 曲面 )0()( 32222 azazyx 所围立体体积,
解,由曲面方程可知,立体位于 xoy面上部,
,c o s0,3?ar
利用对称性,所求立体体积为
vV d
rra d3 c os0 2
dc o ss i n32 203 a 331 a
3 c o s?ar?
,20 20
20 dsi n 20 d4
yoz面对称,并与 xoy面相切,故在球坐标系下所围且关于 xoz
ddds ind 2 rrv?
y
z
x
a
r?
立体为内容小结
zyx ddd
zddd
ddds in2 rr
积分区域 多由坐标面被积函数 形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系
* 说明,
三重积分也有类似二重积分的 换元积分公式,
),,(
),,(
wvu
zyxJ
对应雅可比行列式为 * ddd),,(ddd),,( wvuJwvuFzyxzyxf
变量可分离,
围成 ;
2, zxz
1.将
.)(),,( Czyxf
用三次积分表示,
,2,0 xx,42,1 yxy
vzyxfI d),,( 其中?由所提示,xy 2121
I? 2 d),,(x zzyxf x y2
12
1 d?
2
0 dx
思考与练习六个平面围成,
:?
2.设 计算提示,利用对称性原式 =
122
dd
yx
yx
0?
奇函数
z
o
x
y
2
3.设?由锥面 和球面所围成,计算提示,
4?
利用对称性
vzyx d)( 222
vzxzyyxzyxI d)222( 222
用球坐标
rr d420
ds i n40 2
0 d2
21
5
64
4.计算所围成,
其中?由分析,若用“先二后一,则有计算较繁 ! 采用“三次积分”较好,
所围,故可思考,若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?
表为解,
5.计算 其中
.4,1),(21 22 围成由 zzyxz
解,
利用对称性
zyxyx ddd)(21 22
yxyxz
zD
dd)(d21 2241
z rrz 20 32041 ddd2121?
4
z
x
o y
1 zD
kkkk v?),,(
),,( kkk
kv?
引例,设在空间有限闭区域?内分布着某种不均匀的 物质,,),,( Czyx 求分布在?
可得?
n
k 10
limM
“大化小,常代变,近似和,求极限”
解决方法,
内的物质的 质量 M.
密度函数为定义,设,),,(,),,(zyxzyxf
kkk
n
k
k vf
),,(lim
10
存在,),,( zyxf
vzyxf d),,(
称为 体积元素,vd,ddd zyx
若对?作 任意分割,
任意取点则称此极限为函数 在?上的 三重积分,
在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似,性质,例如下列中值定理,在有界闭域?上连续,
则存在,),,( 使得
vzyxf d),,( Vf ),,(
V为?的 体积,
“乘 积和式” 极限 记作二、三重积分的计算
1.利用直角坐标计算三重积分方法 1,投影法 (“先一后二,)方法 2,截面法 (“先二后一,)
方法 3,三次积分法
,0),,(?zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各最后,推广到一般可积函数的积分计算,
的密度函数,
计算 方法,
z
x yD
D yx dd
方法 1,投影法 (“先一后二,)
Dyx
yxzzyxz
),(
),(),(,21
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1
该物体的质量为
vzyxf d),,(
),( ),(2
1
d),,(yxz yxz zzyxf
D yxz yxz zzyxfyx ),( ),(21 d),,(dd yxzyxf dd),,(
细长柱体微元的质量为
),(2 yxzz?
),(1 yxzz?
yxdd
微元线密度 ≈
记作
a
b
方法 2,截面法 (“先二后一,)
为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以
x y
z
该物体的质量为
ba
ZD
yxzyxf dd),,(
ZDba yxzyxfz dd),,(d
z zD
zzyxf d),,(面密度 ≈
zd
记作
投影法方法 3,三次积分法设区域,?
利用投影法结果,
bxa
xyyxyDyx )()(:),( 21 ),(),( 21 yxzzyxz
把二重积分化成二次积分即得,
),( ),(21 d),,(dd yxz yxzD zzyxfyx
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当被积函数在积分域上变号时,因为
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均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算,
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小结,三重积分的计算方法方法 1.,先一后二”
方法 2.,先二后一”
方法 3.,三次积分”
),( ),(21 d),,(dd yxz yxzD zzyxfyx
ZDba yxzyxfz dd),,(d
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具体计算三种方法 (包含 12种形式 )各有特点,
时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择,
其中?为三个坐标例 1.计算三重积分,ddd zyxx
12 zyx 所围成的闭区域,
1x
y
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21
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)1(010 21 d)21(d x yyxxx
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10 x
48
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面及平面例 2.计算三重积分解,,?
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2.利用柱坐标计算三重积分
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z
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适用范围,
1) 积分域 表面用柱面坐标表示时 方程简单 ;
2) 被积函数 用柱面坐标表示时 变量互相分离,
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y
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其中?为由例 3.计算三重积分
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柱面
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例 4.计算三重积分解,在柱面坐标系下
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2
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zyx 422 )0( hhz 所围成,与平面其中?由抛物面
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原式 =
3,利用球坐标计算三重积分
,R),,( 3?zyxM设 ),,,( z其柱坐标为就称为点 M的球坐标,
直角坐标与球面坐标的关系
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如图所示,在球面坐标系中体积元素为
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因此有
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其中 )c o s,s ins in,c o ss in(),,( rrrfrF?
适用范围,
1) 积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单 ;
2) 被积函数 用球面坐标表示时 变量互相分离,
ddds in2 rr
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例 5.计算三重积分解,在球面坐标系下
:?
zyxzyx ddd)( 222
所围立体,
40
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20
其中?
与球面
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40 dsi n20 d x
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例 6.求 曲面 )0()( 32222 azazyx 所围立体体积,
解,由曲面方程可知,立体位于 xoy面上部,
,c o s0,3?ar
利用对称性,所求立体体积为
vV d
rra d3 c os0 2
dc o ss i n32 203 a 331 a
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,20 20
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yoz面对称,并与 xoy面相切,故在球坐标系下所围且关于 xoz
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y
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x
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r?
立体为内容小结
zyx ddd
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ddds in2 rr
积分区域 多由坐标面被积函数 形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系
* 说明,
三重积分也有类似二重积分的 换元积分公式,
),,(
),,(
wvu
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对应雅可比行列式为 * ddd),,(ddd),,( wvuJwvuFzyxzyxf
变量可分离,
围成 ;
2, zxz
1.将
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用三次积分表示,
,2,0 xx,42,1 yxy
vzyxfI d),,( 其中?由所提示,xy 2121
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12
1 d?
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思考与练习六个平面围成,
:?
2.设 计算提示,利用对称性原式 =
122
dd
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奇函数
z
o
x
y
2
3.设?由锥面 和球面所围成,计算提示,
4?
利用对称性
vzyx d)( 222
vzxzyyxzyxI d)222( 222
用球坐标
rr d420
ds i n40 2
0 d2
21
5
64
4.计算所围成,
其中?由分析,若用“先二后一,则有计算较繁 ! 采用“三次积分”较好,
所围,故可思考,若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?
表为解,
5.计算 其中
.4,1),(21 22 围成由 zzyxz
解,
利用对称性
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