习题课一,重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第九章重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法
1,选择合适的坐标系使积分域多为坐标面 (线 )围成 ;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,
2,选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙,
图示法列不等式法 (从内到外,面、线、点 )
3,掌握确定积分限的方法
—— 累次积分法练习计算积分 其中 D 由所围成,
P124 2 (3) ; 6; 7 (1),(3)
补充题,
解答提示,(接下页 )
2(3).计算二重积分其中 D为圆周 所围成的闭区域,
提示,利用极坐标?co sRr?
原式
20 33 d)s i n1(32R
y
D R xo?
:D?c o s0 Rr
22
P124
6.把积分 化为三次积分,
其中?由曲面提示,积分域为
:?
原式?
22
0
d),,(
yx
zzyxf
及平面
1
2
d
x
y?
1
1
dx
所围成的闭区域,
P124
zD1
zD2
7(1).计算积分 其中?是 两个球
(R>0)的公共部分,
提示,由于被积函数缺 x,y,
原式 = zD yx1 dd
zzzRzR d)2(20 22
利用,先二后一,计算方便,zzR d2
0
2
zD
yx
2
ddzzRR d
2
2
zzRzRR d)(
2
222
5
480
59 R
Rz
yx o
2R
P124
7(3).计算三重积分 其中?是由
xoy平面上曲线所围成的闭区域,
提示,利用柱坐标?
si n
c o s
rz
ry
xx
原式?
5
2
2 dr x
绕 x轴旋转而成的曲面与平面
5221 xr
100 r
20
rr d100 320 d?3250?
:?
z
x y
o
5
P124
5?x
补充题,计算积分 其中 D 由所围成,
提示,如图所示
xy 22?4
2
4?6?
o
y
x
,\ 12 DDD?
内有定义且在 2),( Dyxyxf
D yx?d)(
2
d)(D yx
1
d)(D yx?
连续,所以
yy xyx12
2
2 d)( 46 dy?
y
y
xyx4
2
2 d)( 24 dy
15
11543
1D 2D D
二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性
1,交换积分顺序的方法
2,利用对称性或重心公式简化计算
3,消去被积函数绝对值符号练习题
4,利用重积分换元公式
P123 1 (总习题九 ); P124 4,7(2),9
解答提示,(接下页 )
a xamy xama xxfexaxxfey 0 )(0 )(0 d)()(d)(d
证明,
提示,左端积分区域如图,
D
o
y
x
xy?
a
交换积分顺序即可证得,
P124 4.
7(2).,d1
)1l n (
222
222
v
zyx
zyxz
求其中?是
1222 zyx 所围成的闭区域,
提示,被积函数在对称域?上关于 z为奇函数,利用对称性可知原式为 0,
由球面
P124
R
9,在均匀的半径为 R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,
使整个均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少?
22 xRy
b?
o R
y
x
提示,建立坐标系如图,,0?y由对称性知
D yxy dd0
22
dd xRbRR yyx
23
3
2 bRR
由此解得 Rb 32?
问接上去的即有
D
薄片的重心恰好落在圆心上,
b
例 1.计算二重积分,dd)( 222 yxeyxxI yxD 其中,
(1) D为圆域
(2) D由直线解,(1) 利用对称性,
y
o x1
D
yxxI D dd2
0dd)(21 22 yxyxD
10 320 dd21 rr4
yxeyxD yx dd22
围成,
yxeyxD yx dd
1
22
(2) 积分域如图,
o
1?
y
x1
1D
2D
xy
xy?
,xy 将 D 分为,,21 DD
yxeyxD yx dd
2
22
00dd 11 1 2 x yxx
添加辅助线利用对称性,得例 2.计算二重积分 其中 D是由曲所围成的平面域,
解,
222 3)2()1( yx
其形心坐标为,
面积为,
D yxxI dd5
9]23)1(5[ A
D yxy d3
积分区域线形心坐标
2,1 yx
D yxxAx dd1
D yxyAy dd1
AyAx 35
1?
1
1 x
y
o
例 3.计算二重积分
,dd)s g n ()1( 2 yxxyI D
,dd)22()2( 22 yxxyyxI D
在第一象限部分,
解,(1) 2xy?
21,DD 两部分,则
1 ddD yxI
111 2 dd x yx 32?
2D 2 ddD yx
2011 dd x yx
1011, yxD,
其中 D 为圆域把与 D分成 1D作辅助线
x
y
1o
1 xy?
(2) 提示,
21,DD 两部分
1D
yxyxD dd)(2
2
说明,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,
xy?作辅助线 2D将 D 分成
D yx dd2
yxxyyxI D dd)22( 22
2)12(3
2
xy sin?
x
y
o?2
例 4,
1 d),(D yxf?
yy xyxfa r c s i na r c s i n d),( 10 dy
I? x yyxfs i n0 d),(0 d x? 0s i n d),(x yyxf2 d x
yy xyxfa r c s i n2 a r c s i n d),( 01 d y
如图所示交换下列二次积分的顺序,
1D
2D
2 d),(D yxf?
解,
例 5.,求 )(
1lim
40 tFtt
)(tF
解,在球坐标系下
t rrrf0 2 d)(4?
40
)(lim
t
tF
t
利用洛必达法则与导数定义,得
3
2
0 4
)(4l i m
t
ttf
t?
t
tf
t
)(l i m
0?
)0(f?
0)0(?F
zyxzyxf
tzyx
ddd)(
2222
222
其中
0? )0(f
三、重积分的应用
1,几何方面面积 (平面域或曲面域 ),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等
2,物理方面
3,其它方面例 6,证明证,左端 yyfxxf baba d)(d)( yxyfxfD dd)()(
222 baab
利用
yxyfxfD dd)]()([ 2221
21? xxfy baba d)(d 2yyfx baba d)(d 2
2ab xdxfba )(2?
xdxfab ba )()( 2
bya
bxaD,
= 右端
ydyfba )(2
o
z
yt)(t?
x
)(tD
例 7,设函数 f(x)连续且恒大于零,
)(
22
)(
222
d)(
d)(
)(
tD
t
yxf
vzyxf
tF
t
t
tD
xxf
yxf
tG
d)(
d)(
)(
2
)(
22?
其中 },),,{()( 2222 tzyxzyxt
}.),{()( 222 tyxyxtD
(1) 讨论 F(t)在区间 (0,+∞)内的单调性 ;
(2) 证明 t >0时,.)(2)( tGtF
(03考研 )
解,(1) 因为
t
t
rrrf
rrrf
tF
0
22
0
0
22
0
2
0
d)(d
dsi n)(dd
)(
t
t
rrrf
rrrf
0
2
0
22
d)(
d)(2
两边对 t求导,得
2
0
2
0
22
d)(
d)()()(
2)(
t
t
rrrf
rrtrrftft
tF
,0)(),0( tF上在,),0()( 单调增加上在故tF
(2) 问题转化为证
t
t
rrf
rrrf
tG
0
2
0
22
0
d)(2
d)(d
)(
t
t
rrf
rrrf
0
2
0
2
d)(
d)(?
即证 0d)(d)(d)( 20 20 20 22 ttt rrrfrrfrrrf?)(tg
0d))(()()( 0 222 t rrtrftftg
,),0()( 单调增在故tg,0)( 连续在又因?ttg故有
)0()0()( tgtg 0?
因此 t > 0 时,.0)(2)( tGtF?
因利用“先二后一”计算,
zyxV ddd zDc yxz ddd2 0
abc?34
c z
c
zab
0 2
2
d)1(?
例 8.试计算椭球体 的体积 V.
解法 1
*解法 2 利用三重积分换元法,令
c o s,s ins in,c o ss in rczrbyrax
则
),,(
),,(
r
zyxJ
,s in2?rcba?,
zyxV ddd rJ ddd
abc? abc?34?
rrabc ddds i n2
rr d10 20 dsin20 d
20
0
10
r
1,选择合适的坐标系使积分域多为坐标面 (线 )围成 ;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,
2,选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙,
图示法列不等式法 (从内到外,面、线、点 )
3,掌握确定积分限的方法
—— 累次积分法练习计算积分 其中 D 由所围成,
P124 2 (3) ; 6; 7 (1),(3)
补充题,
解答提示,(接下页 )
2(3).计算二重积分其中 D为圆周 所围成的闭区域,
提示,利用极坐标?co sRr?
原式
20 33 d)s i n1(32R
y
D R xo?
:D?c o s0 Rr
22
P124
6.把积分 化为三次积分,
其中?由曲面提示,积分域为
:?
原式?
22
0
d),,(
yx
zzyxf
及平面
1
2
d
x
y?
1
1
dx
所围成的闭区域,
P124
zD1
zD2
7(1).计算积分 其中?是 两个球
(R>0)的公共部分,
提示,由于被积函数缺 x,y,
原式 = zD yx1 dd
zzzRzR d)2(20 22
利用,先二后一,计算方便,zzR d2
0
2
zD
yx
2
ddzzRR d
2
2
zzRzRR d)(
2
222
5
480
59 R
Rz
yx o
2R
P124
7(3).计算三重积分 其中?是由
xoy平面上曲线所围成的闭区域,
提示,利用柱坐标?
si n
c o s
rz
ry
xx
原式?
5
2
2 dr x
绕 x轴旋转而成的曲面与平面
5221 xr
100 r
20
rr d100 320 d?3250?
:?
z
x y
o
5
P124
5?x
补充题,计算积分 其中 D 由所围成,
提示,如图所示
xy 22?4
2
4?6?
o
y
x
,\ 12 DDD?
内有定义且在 2),( Dyxyxf
D yx?d)(
2
d)(D yx
1
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连续,所以
yy xyx12
2
2 d)( 46 dy?
y
y
xyx4
2
2 d)( 24 dy
15
11543
1D 2D D
二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性
1,交换积分顺序的方法
2,利用对称性或重心公式简化计算
3,消去被积函数绝对值符号练习题
4,利用重积分换元公式
P123 1 (总习题九 ); P124 4,7(2),9
解答提示,(接下页 )
a xamy xama xxfexaxxfey 0 )(0 )(0 d)()(d)(d
证明,
提示,左端积分区域如图,
D
o
y
x
xy?
a
交换积分顺序即可证得,
P124 4.
7(2).,d1
)1l n (
222
222
v
zyx
zyxz
求其中?是
1222 zyx 所围成的闭区域,
提示,被积函数在对称域?上关于 z为奇函数,利用对称性可知原式为 0,
由球面
P124
R
9,在均匀的半径为 R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,
使整个均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少?
22 xRy
b?
o R
y
x
提示,建立坐标系如图,,0?y由对称性知
D yxy dd0
22
dd xRbRR yyx
23
3
2 bRR
由此解得 Rb 32?
问接上去的即有
D
薄片的重心恰好落在圆心上,
b
例 1.计算二重积分,dd)( 222 yxeyxxI yxD 其中,
(1) D为圆域
(2) D由直线解,(1) 利用对称性,
y
o x1
D
yxxI D dd2
0dd)(21 22 yxyxD
10 320 dd21 rr4
yxeyxD yx dd22
围成,
yxeyxD yx dd
1
22
(2) 积分域如图,
o
1?
y
x1
1D
2D
xy
xy?
,xy 将 D 分为,,21 DD
yxeyxD yx dd
2
22
00dd 11 1 2 x yxx
添加辅助线利用对称性,得例 2.计算二重积分 其中 D是由曲所围成的平面域,
解,
222 3)2()1( yx
其形心坐标为,
面积为,
D yxxI dd5
9]23)1(5[ A
D yxy d3
积分区域线形心坐标
2,1 yx
D yxxAx dd1
D yxyAy dd1
AyAx 35
1?
1
1 x
y
o
例 3.计算二重积分
,dd)s g n ()1( 2 yxxyI D
,dd)22()2( 22 yxxyyxI D
在第一象限部分,
解,(1) 2xy?
21,DD 两部分,则
1 ddD yxI
111 2 dd x yx 32?
2D 2 ddD yx
2011 dd x yx
1011, yxD,
其中 D 为圆域把与 D分成 1D作辅助线
x
y
1o
1 xy?
(2) 提示,
21,DD 两部分
1D
yxyxD dd)(2
2
说明,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,
xy?作辅助线 2D将 D 分成
D yx dd2
yxxyyxI D dd)22( 22
2)12(3
2
xy sin?
x
y
o?2
例 4,
1 d),(D yxf?
yy xyxfa r c s i na r c s i n d),( 10 dy
I? x yyxfs i n0 d),(0 d x? 0s i n d),(x yyxf2 d x
yy xyxfa r c s i n2 a r c s i n d),( 01 d y
如图所示交换下列二次积分的顺序,
1D
2D
2 d),(D yxf?
解,
例 5.,求 )(
1lim
40 tFtt
)(tF
解,在球坐标系下
t rrrf0 2 d)(4?
40
)(lim
t
tF
t
利用洛必达法则与导数定义,得
3
2
0 4
)(4l i m
t
ttf
t?
t
tf
t
)(l i m
0?
)0(f?
0)0(?F
zyxzyxf
tzyx
ddd)(
2222
222
其中
0? )0(f
三、重积分的应用
1,几何方面面积 (平面域或曲面域 ),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等
2,物理方面
3,其它方面例 6,证明证,左端 yyfxxf baba d)(d)( yxyfxfD dd)()(
222 baab
利用
yxyfxfD dd)]()([ 2221
21? xxfy baba d)(d 2yyfx baba d)(d 2
2ab xdxfba )(2?
xdxfab ba )()( 2
bya
bxaD,
= 右端
ydyfba )(2
o
z
yt)(t?
x
)(tD
例 7,设函数 f(x)连续且恒大于零,
)(
22
)(
222
d)(
d)(
)(
tD
t
yxf
vzyxf
tF
t
t
tD
xxf
yxf
tG
d)(
d)(
)(
2
)(
22?
其中 },),,{()( 2222 tzyxzyxt
}.),{()( 222 tyxyxtD
(1) 讨论 F(t)在区间 (0,+∞)内的单调性 ;
(2) 证明 t >0时,.)(2)( tGtF
(03考研 )
解,(1) 因为
t
t
rrrf
rrrf
tF
0
22
0
0
22
0
2
0
d)(d
dsi n)(dd
)(
t
t
rrrf
rrrf
0
2
0
22
d)(
d)(2
两边对 t求导,得
2
0
2
0
22
d)(
d)()()(
2)(
t
t
rrrf
rrtrrftft
tF
,0)(),0( tF上在,),0()( 单调增加上在故tF
(2) 问题转化为证
t
t
rrf
rrrf
tG
0
2
0
22
0
d)(2
d)(d
)(
t
t
rrf
rrrf
0
2
0
2
d)(
d)(?
即证 0d)(d)(d)( 20 20 20 22 ttt rrrfrrfrrrf?)(tg
0d))(()()( 0 222 t rrtrftftg
,),0()( 单调增在故tg,0)( 连续在又因?ttg故有
)0()0()( tgtg 0?
因此 t > 0 时,.0)(2)( tGtF?
因利用“先二后一”计算,
zyxV ddd zDc yxz ddd2 0
abc?34
c z
c
zab
0 2
2
d)1(?
例 8.试计算椭球体 的体积 V.
解法 1
*解法 2 利用三重积分换元法,令
c o s,s ins in,c o ss in rczrbyrax
则
),,(
),,(
r
zyxJ
,s in2?rcba?,
zyxV ddd rJ ddd
abc? abc?34?
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20
0
10
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