*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第九章一、利用直角坐标计算二重积分且在 D上连续时,
0),(?yxf当被积函数
bxa
xyxD )()(,21
D yxyxf dd),( yyxfxx d),()( )(21 ba xd
由曲顶柱体体积的计算可知,
若 D为 X – 型区域则
b )(1 xy
)(2 xy
xo
y
D
a x
若 D为 Y –型区域
dyc
yxyD )()(,21
o
y
)(1 yx
)(2 yx
x
d
c
y
xyxfyy d),()( )(2
1?
d
c yd则当被积函数 ),( yxf
2 ),(),(),( yxfyxfyxf 2 )(),( yxfyxf?
),(1 yxf ),(2 yxf 均非负在 D上 变号 时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效,
由于
y
说明,(1)若积分区域既是 X–型区域又是 Y –型区域,
D yxyxf dd),(
为计算方便,可 选择积分序,必要时还可以 交换积分 序,
)(2 xy
o
D )(1 yx
则有
x
)(1 xyy
yxfxx d),()( )(2
1?
b
a xd
xyxfyy d),()( )(2
1?
d
c yd x
y
ba
)(2 yxd
c
o x
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
1D
2D
3D
X-型域或 Y-型域,
321 DDDD
则
x
y
2
1
1
xy?
o
2
21 d y
例 1.计算,d D yxI?其中 D 是直线 y＝ 1,x＝ 2,及
y＝ x 所围的闭区域,
x
解法 1.将 D看作 X–型区域,则:D
I?21 dx? yyx d 21 d x
21 21321 d xxx89?
1221 xyx
解法 2.将 D看作 Y–型区域,则:D
I? xyx d?21 d y yyx 2221 21 321 d2 yyy89?
y1
x
y
2
xy1
21 x
2 xy
21 y
例 2.计算,d D yx?其中 D 是抛物线所围成的闭区域,
解,为计算简便,先对 x后对 y积分,
:D
xyx d D yx?d 21 d y
21 2221 d2 yyx yy 2 1 52 d])2([21 yyyy
D
xy?2
2 xy
2
1?
4
o
y
x
y
22 yxy
21 y
2y
2?y
及直线则例 3.计算,dds i n D yxx x其中 D 是直线所围成的闭区域,
o x
y
D
x
xy?解,由被积函数可知,
因此取 D 为 X – 型域,
x
xyD
0
0:
D yxx x dds in?x y0d
0 dsin xx 2?
0 ds i n xx
先对 x积分不行,
说明,有些二次积分为积分方便,还需交换积分顺序,
例 4.交换下列积分顺序
2
2
8
0
22
2
2
0
2
0
d),(dd),(d x
x
yyxfxyyxfxI
解,积分域由两部分组成,
,
20
0,221
1
x
xyD 822 yx
2D
222
y
xo
1D
221 xy?
2?
222
80,2
2 x
xyD
21 DDD将
:D
视为 Y–型区域,则
282 yxy
20 y
D yxyxfI dd),(
28
2 d),(
y
y xyxf
2
0 d y
例 5.计算 其中 D 由
,4 2xy 1,3 xxy 所围成,
1D
解,令 )1ln (),( 2yyxyxf
21 DDD (如图所示 )
显然,,1上在 D ),(),( yxfyxf
,2 上在 D ),(),( yxfyxf
yxyyxI D dd)1ln (
1
2
0? yxyyxD dd)1ln (
2
2
o
y
x1
24 xy
xy 3
2D
1?x
4
kkk rr
kkkkkk rr s i n,c o s
对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k
),,2,1( nkk
在 k ),,( kkr?
kkr 221
内取点
kkk rr 221 )(
及射线?=常数,分划区域 D 为
x
y
o
k
kk
krr?
k
kr
kr?k
kkr
kkkkkkk
n
k
rrrrf
)s i n,c o s(lim
10
D yxf?d),(?dd rr即 D rrf )s i n,c o s(
d r rd
dr?d
D
o
)(1r
)(2r
o )(1r?
)(2r?
)(
)(
2
1
d)s in,c o s( rrrrf
设,)()(,21 rD 则
D rrrrf dd)s i n,c o s(
d
特别,对
20
)(0,rD
D rrrrf dd)s i n,c o s(
)(0 d)s in,c o s( rrrrf20 d
)(r
o
D
若 f ≡1 则可求得 D的面积
d)(21 20 2 D d
思考,下列各图中域 D分别与 x,y轴相切于原点,试答,;0)1(
)(r
Do
y
x
)(r
D
o
y
x
问?的变化范围是什么?
(1) (2)
22)2(
例 6.计算 其中,,222 ayxD
解,在极坐标系下,20
0:
arD
原式 D rer
a r d
0
2
)1( 2ae
2xe? 的原函数不是初等函数,故本题无法用
dd rr20 d
由于故直角坐标计算,
注,利用例 6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式
2d0
2 xe x
事实上,当 D 为 R2 时,
利用例 6的结果,得
①
故①式成立,
例 7.求球体 被圆柱面 xayx 222
所截得的 (含在柱面内的 )立体的体积,
解,设由对称性可知 2
0,c o s20, arD
dd44 22 rrraV D
co s20 22 d4a rrra
)322(332 3a
o
x
y
z
a2
ba xxf d)( ))(( tx tttf d)()][
定积分换元法
*三、二重积分换元法
),(
),(:
vuyy
vuxxT DDvu),(
满足 上在 Dvuyvux?),(,),()1( 一阶导数连续 ;
雅可比行列式 上在 D?)2(;0),( ),(),( vu yxvuJ
(3)变换 DDT:
则 D yxyxf dd),( D vuyvuxf )),(),,((
定理,,),( 上连续在闭域设 Dyxf 变换,
是一一对应的,
vuvuJ dd),(
o?
v
u
D?
o
y
x
D
T
o
y
x
D
o?
v
u
D?
证,根据定理条件可知变换 T可逆,
用平行于坐标轴的,坐标面上在 vou?
直线分割区域,D? 任取其中一个小矩
T
形,其顶点为
),,(,),( 21 vhuMvuM
1M?
u
4M? 3M?
2M?
hu?
vkv?
通过变换 T,在 xoy 面上得到一个四边形,其对应顶点为 )4,3,2,1(),(?iyxM iii 1M
4M 3M 2M
,22 kh令 则
12 xx? ),(),( vuxvhux
).,(,),( 43 kvuMkvhuM
)(),(?ohvuux
14 xx? ),(),( vuxkvux )(),(?okvuv
x?
12 yy? )(),(?ohvuu
y?
同理得
14 yy? )(),(?okvuv
y?
当 h,k充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四边形,故其面积近似为
4121 MMMM 1414
1212 yyxx yyxx
kh
kh
v
y
v
x
u
y
u
x
hk
v
y
u
y
v
x
u
x
hkvuJ ),(?
vuvuJ dd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式,
D yxyxf dd),(
D vuyvuxf )),(),,(( vuvuJ dd),(
例如,直角坐标转化为极坐标时, s in,c o s ryrx
),(
),(
r
yxJ
cos?sinr?
sin?cosr? r?
D yxyxf dd),(
D rrrrf dd)s in,c o s(
例 8.计算 其中 D 是 x轴 y轴和直线所围成的闭域,
解,令,,xyvxyu 则
2,2
uvyuvx
),(
),(
vu
yxJ
vue v
u
D
dd21
1 ee
2 yx
D
xo
y
2
1
2
1
2
1
2
1?
2
1
xy
xy
e?
,dd yx
)( DD
D?
o
2?v
vu?vu
u
v
ybx?2
yax?2
D
o
y
x
xqy?2
xpy?2
,,
22
y
xv
x
yu
例 9.计算由所围成的闭区域 D的面积 S.
解,令
D?
u
v
o p q
a
b
则
bva
qupD,
D
),(
),(
vu
yxJ
),(
),(
1
yx
vu
3
1
D yxS dd
baqp vu dd31 vuJD dd ))((31 abpq
例 10.试计算椭球体解,
yxc D byax dd12 2222
由对称性,1,2
2
2
2
b
y
a
xD取令,s in,c o s rbyrax 则 D 的原象为
20,1, rD
),(
),(
r
yxJ
c o ss i n
s i nc o s
rbb
raa
DcV 2
rrrcba d1d2 10 220cba?34?
rba?
1 rdd rrba
的体积 V.
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形,
若积分区域为则
)(
)(
2
1
d),(dd),( xy xybaD yyxfxyxf?
若积分区域为则 x
y
)(1 yxx?
D
d
c
)(2 yxx?
)( )(21 d),(dd),( yx yxdcD xyxfyyxf?
)(1 xyy?
)(2 xyy?
x
y
ba
D
DD rrfyxf )s i n,c o s(d),(则
(2) 一般换元公式
),(
),(
vuyy
vuxx
Dyx?),( 0),(
),(?
vu
yxJ
且则 DD vuvuyvuxfyxf dd )],(),,([d),(?J
极坐标系情形,若积分区域为
dd rr
o?
D
)(1r
)(2r
在变换 下
(3) 计算步骤及注意事项
画出积分域
选择坐标系
确定积分序
写出积分限
计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式 (先积一条线,后扫积分域 )
充分利用对称性应用换元公式思考与练习
1.设 且求,d)()(d 110 yyfxfxI x
提示,交换积分顺序后,x,y互换
o
y
x
1
xy?
1
y
x
I xyfxfy d)()(010dy 10 d x
I2 yyfxfx x d)()(d 110?10dx
10 d x yyfxf d)()(10 1010 d)(d)( yyfxxf 2A?
2.交换积分顺序
a
ra r c c o s
c o sar?
o a
提示,积分域如图
xr
r
a r0 d? a
rarc co s
ara rc c o s?
I d),( rf
axy 2?解：
原式
a y0 d aa y2 d
22 xaxy
22 yaax
3,给定改变积分的次序,
a y0 d
a
yx
2
2
a2
a2
a
o x
y
32
61
s in4 r
yxyxD dd)( 22si n4 si n2 2 d rrr )32(15
yyx 422
yyx 222
03 yx
4.计算 其中 D 为由圆所围成的
,dd)( 22 yxyxD,222 yyx
yyx 422 03 xy及直线,03 yx
解：
平面闭区域,
03 xy
s in2 r
2
4
o x
y
3
6
d
0),(?yxf当被积函数
bxa
xyxD )()(,21
D yxyxf dd),( yyxfxx d),()( )(21 ba xd
由曲顶柱体体积的计算可知,
若 D为 X – 型区域则
b )(1 xy
)(2 xy
xo
y
D
a x
若 D为 Y –型区域
dyc
yxyD )()(,21
o
y
)(1 yx
)(2 yx
x
d
c
y
xyxfyy d),()( )(2
1?
d
c yd则当被积函数 ),( yxf
2 ),(),(),( yxfyxfyxf 2 )(),( yxfyxf?
),(1 yxf ),(2 yxf 均非负在 D上 变号 时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效,
由于
y
说明,(1)若积分区域既是 X–型区域又是 Y –型区域,
D yxyxf dd),(
为计算方便,可 选择积分序,必要时还可以 交换积分 序,
)(2 xy
o
D )(1 yx
则有
x
)(1 xyy
yxfxx d),()( )(2
1?
b
a xd
xyxfyy d),()( )(2
1?
d
c yd x
y
ba
)(2 yxd
c
o x
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
1D
2D
3D
X-型域或 Y-型域,
321 DDDD
则
x
y
2
1
1
xy?
o
2
21 d y
例 1.计算,d D yxI?其中 D 是直线 y＝ 1,x＝ 2,及
y＝ x 所围的闭区域,
x
解法 1.将 D看作 X–型区域,则:D
I?21 dx? yyx d 21 d x
21 21321 d xxx89?
1221 xyx
解法 2.将 D看作 Y–型区域,则:D
I? xyx d?21 d y yyx 2221 21 321 d2 yyy89?
y1
x
y
2
xy1
21 x
2 xy
21 y
例 2.计算,d D yx?其中 D 是抛物线所围成的闭区域,
解,为计算简便,先对 x后对 y积分,
:D
xyx d D yx?d 21 d y
21 2221 d2 yyx yy 2 1 52 d])2([21 yyyy
D
xy?2
2 xy
2
1?
4
o
y
x
y
22 yxy
21 y
2y
2?y
及直线则例 3.计算,dds i n D yxx x其中 D 是直线所围成的闭区域,
o x
y
D
x
xy?解,由被积函数可知,
因此取 D 为 X – 型域,
x
xyD
0
0:
D yxx x dds in?x y0d
0 dsin xx 2?
0 ds i n xx
先对 x积分不行,
说明,有些二次积分为积分方便,还需交换积分顺序,
例 4.交换下列积分顺序
2
2
8
0
22
2
2
0
2
0
d),(dd),(d x
x
yyxfxyyxfxI
解,积分域由两部分组成,
,
20
0,221
1
x
xyD 822 yx
2D
222
y
xo
1D
221 xy?
2?
222
80,2
2 x
xyD
21 DDD将
:D
视为 Y–型区域,则
282 yxy
20 y
D yxyxfI dd),(
28
2 d),(
y
y xyxf
2
0 d y
例 5.计算 其中 D 由
,4 2xy 1,3 xxy 所围成,
1D
解,令 )1ln (),( 2yyxyxf
21 DDD (如图所示 )
显然,,1上在 D ),(),( yxfyxf
,2 上在 D ),(),( yxfyxf
yxyyxI D dd)1ln (
1
2
0? yxyyxD dd)1ln (
2
2
o
y
x1
24 xy
xy 3
2D
1?x
4
kkk rr
kkkkkk rr s i n,c o s
对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k
),,2,1( nkk
在 k ),,( kkr?
kkr 221
内取点
kkk rr 221 )(
及射线?=常数,分划区域 D 为
x
y
o
k
kk
krr?
k
kr
kr?k
kkr
kkkkkkk
n
k
rrrrf
)s i n,c o s(lim
10
D yxf?d),(?dd rr即 D rrf )s i n,c o s(
d r rd
dr?d
D
o
)(1r
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o )(1r?
)(2r?
)(
)(
2
1
d)s in,c o s( rrrrf
设,)()(,21 rD 则
D rrrrf dd)s i n,c o s(
d
特别,对
20
)(0,rD
D rrrrf dd)s i n,c o s(
)(0 d)s in,c o s( rrrrf20 d
)(r
o
D
若 f ≡1 则可求得 D的面积
d)(21 20 2 D d
思考,下列各图中域 D分别与 x,y轴相切于原点,试答,;0)1(
)(r
Do
y
x
)(r
D
o
y
x
问?的变化范围是什么?
(1) (2)
22)2(
例 6.计算 其中,,222 ayxD
解,在极坐标系下,20
0:
arD
原式 D rer
a r d
0
2
)1( 2ae
2xe? 的原函数不是初等函数,故本题无法用
dd rr20 d
由于故直角坐标计算,
注,利用例 6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式
2d0
2 xe x
事实上,当 D 为 R2 时,
利用例 6的结果,得
①
故①式成立,
例 7.求球体 被圆柱面 xayx 222
所截得的 (含在柱面内的 )立体的体积,
解,设由对称性可知 2
0,c o s20, arD
dd44 22 rrraV D
co s20 22 d4a rrra
)322(332 3a
o
x
y
z
a2
ba xxf d)( ))(( tx tttf d)()][
定积分换元法
*三、二重积分换元法
),(
),(:
vuyy
vuxxT DDvu),(
满足 上在 Dvuyvux?),(,),()1( 一阶导数连续 ;
雅可比行列式 上在 D?)2(;0),( ),(),( vu yxvuJ
(3)变换 DDT:
则 D yxyxf dd),( D vuyvuxf )),(),,((
定理,,),( 上连续在闭域设 Dyxf 变换,
是一一对应的,
vuvuJ dd),(
o?
v
u
D?
o
y
x
D
T
o
y
x
D
o?
v
u
D?
证,根据定理条件可知变换 T可逆,
用平行于坐标轴的,坐标面上在 vou?
直线分割区域,D? 任取其中一个小矩
T
形,其顶点为
),,(,),( 21 vhuMvuM
1M?
u
4M? 3M?
2M?
hu?
vkv?
通过变换 T,在 xoy 面上得到一个四边形,其对应顶点为 )4,3,2,1(),(?iyxM iii 1M
4M 3M 2M
,22 kh令 则
12 xx? ),(),( vuxvhux
).,(,),( 43 kvuMkvhuM
)(),(?ohvuux
14 xx? ),(),( vuxkvux )(),(?okvuv
x?
12 yy? )(),(?ohvuu
y?
同理得
14 yy? )(),(?okvuv
y?
当 h,k充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四边形,故其面积近似为
4121 MMMM 1414
1212 yyxx yyxx
kh
kh
v
y
v
x
u
y
u
x
hk
v
y
u
y
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x
u
x
hkvuJ ),(?
vuvuJ dd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式,
D yxyxf dd),(
D vuyvuxf )),(),,(( vuvuJ dd),(
例如,直角坐标转化为极坐标时, s in,c o s ryrx
),(
),(
r
yxJ
cos?sinr?
sin?cosr? r?
D yxyxf dd),(
D rrrrf dd)s in,c o s(
例 8.计算 其中 D 是 x轴 y轴和直线所围成的闭域,
解,令,,xyvxyu 则
2,2
uvyuvx
),(
),(
vu
yxJ
vue v
u
D
dd21
1 ee
2 yx
D
xo
y
2
1
2
1
2
1
2
1?
2
1
xy
xy
e?
,dd yx
)( DD
D?
o
2?v
vu?vu
u
v
ybx?2
yax?2
D
o
y
x
xqy?2
xpy?2
,,
22
y
xv
x
yu
例 9.计算由所围成的闭区域 D的面积 S.
解,令
D?
u
v
o p q
a
b
则
bva
qupD,
D
),(
),(
vu
yxJ
),(
),(
1
yx
vu
3
1
D yxS dd
baqp vu dd31 vuJD dd ))((31 abpq
例 10.试计算椭球体解,
yxc D byax dd12 2222
由对称性,1,2
2
2
2
b
y
a
xD取令,s in,c o s rbyrax 则 D 的原象为
20,1, rD
),(
),(
r
yxJ
c o ss i n
s i nc o s
rbb
raa
DcV 2
rrrcba d1d2 10 220cba?34?
rba?
1 rdd rrba
的体积 V.
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形,
若积分区域为则
)(
)(
2
1
d),(dd),( xy xybaD yyxfxyxf?
若积分区域为则 x
y
)(1 yxx?
D
d
c
)(2 yxx?
)( )(21 d),(dd),( yx yxdcD xyxfyyxf?
)(1 xyy?
)(2 xyy?
x
y
ba
D
DD rrfyxf )s i n,c o s(d),(则
(2) 一般换元公式
),(
),(
vuyy
vuxx
Dyx?),( 0),(
),(?
vu
yxJ
且则 DD vuvuyvuxfyxf dd )],(),,([d),(?J
极坐标系情形,若积分区域为
dd rr
o?
D
)(1r
)(2r
在变换 下
(3) 计算步骤及注意事项
画出积分域
选择坐标系
确定积分序
写出积分限
计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式 (先积一条线,后扫积分域 )
充分利用对称性应用换元公式思考与练习
1.设 且求,d)()(d 110 yyfxfxI x
提示,交换积分顺序后,x,y互换
o
y
x
1
xy?
1
y
x
I xyfxfy d)()(010dy 10 d x
I2 yyfxfx x d)()(d 110?10dx
10 d x yyfxf d)()(10 1010 d)(d)( yyfxxf 2A?
2.交换积分顺序
a
ra r c c o s
c o sar?
o a
提示,积分域如图
xr
r
a r0 d? a
rarc co s
ara rc c o s?
I d),( rf
axy 2?解：
原式
a y0 d aa y2 d
22 xaxy
22 yaax
3,给定改变积分的次序,
a y0 d
a
yx
2
2
a2
a2
a
o x
y
32
61
s in4 r
yxyxD dd)( 22si n4 si n2 2 d rrr )32(15
yyx 422
yyx 222
03 yx
4.计算 其中 D 为由圆所围成的
,dd)( 22 yxyxD,222 yyx
yyx 422 03 xy及直线,03 yx
解：
平面闭区域,
03 xy
s in2 r
2
4
o x
y
3
6
d
