第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第九章
1,能用重积分解决的实际问题的 特点所求量是 对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法 )
分布在有界闭域上的整体量
3,解题 要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2,用重积分解决问题的 方法一、立体体积
曲顶柱体 的顶为连续曲面则其体积为
D yxyxfV dd),(
占有 空间有界域?的立体的体积为
zyxV ddd
任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V,
解,曲面
1S
的切平面方程为
202000 122 yxyyxxz
它与曲面 的交线在 xoy面上的投影为
1)()( 2020 yyxx
yxV D dd 22 yx 202000 122 yxyyxx
yxD dd 12020 )()( yyxx
s in,c o s 00 ryyrxx令
2
(记所围域为 D)
在点
D rrr?dd2
例 1.求曲面
rr dd 10 320
x o y
z
a2
例 2.求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积,
解,在球坐标系下空间立体所占区域为
:?
则立体体积为
zyxV dddc o s20 2 da rr
dsinc o s316 0 3
3
a )c o s1(34 4
3
a
c o s20 ar
0
20
0 sin20 d
rrv ddds ind 2
r
M
二、曲面的面积
x y
z
S
o
设光滑曲面则面积 A可看成曲面上各点 ),,( zyxM
处小切平面的面积 dA无限积累而成,
设它在 D上的投影为
d?,Adc o sd
),(),(1
1c o s
22 yxfyxf
yx
d),(),(1d 22 yxfyxfA yx
(称为面积元素 )
则
M
Ad
z
d
n
M
n?
d
故有曲面面积公式
d),(),(1 22 D yx yxfyxfA
yxyzxzA D dd)()(1 22
若光滑曲面方程为,),(,),( zyDzyzygx 则有
zyD
即
xzxyzyA dd)()(1 22
若光滑曲面方程为,),(,),( xzDxzxzhy
若光滑曲面方程为隐式 则则有
yx
z
y
z
x Dyx
F
F
y
z
F
F
x
z
),(,,
A
yxD
xzD
z
zyx
F
FFF 222
且
yx dd
例 3.计算双曲抛物面 被柱面 所截解,曲面在 xoy面上投影为,,222 RyxD则
yxzzA D yx dd1 22
yxyxD dd1 22
rrrR d1d 0 220
])1)1([32 232 R?
出的面积 A.
例 4.计算半径为 a的球的表面积,
解,
设球面方程为 ar?
球面面积元素为
dds ind 2aA?
0202 ds indaA
24 a
sina
da
方法 2 利用直角坐标方程,(见书 P109)
方法 1 利用球坐标方程,
a
x
y
z
o
d
dsina
三、物体的质心设空间有 n个质点,,),,( kkk zyx 其质量分别
,),,2,1( nkm k由力学知,该质点系的质心坐标,
1
1
n
k
k
n
k
kk
m
mx
x,
1
1
n
k
k
n
k
kk
m
my
y
n
k
k
n
k
kk
m
mz
z
1
1
设物体占有空间域?,有连续密度函数 则其质心 公式,
分别位于为为即,
采用,大化小,常代变,近似和,取极限,可导出将?分成 n小块,
将第 k块看作质量集中于点例如,
n
k
kkkk
n
k
kkkkk
v
v
x
1
1
),,(
),,(
令各小区域的最大直径,0
zyxzyx
zyxzyxx
x
ddd),,(
ddd),,(
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标,
的质点,
即得此质点在第 k块上任取一点同理可得
zyxzyx
zyxzyxy
y
ddd),,(
ddd),,(
zyxzyx
zyxz
z
ddd),,(
d,,(
,),,( 常数时当?zyx? 则得形心坐标：
,
ddd
V
zyxx
x
,
ddd
V
zyx
y
V
zyxz
z
ddd
的体积为 zyxV ddd
若物体为占有 xoy面上区域 D的平面薄片,
yxyx
yxyxx
x
D
D
dd),(
dd),(
yxyx
yxyxy
y
D
D
dd),(
dd),(
,常数时
,
dd
A
yxx
x D
A
yxy
y D
dd
(A为 D的面积 )
得 D的 形心坐标,
则它的 质心坐标 为
M
M y?
M
M x?
其面密度
xM
yM
— 对 x轴的静矩
— 对 y轴的静矩
4
例 5.求位于两圆 和的质心,
2 D
解,利用对称性可知 0?x
而 D yxyAy dd1
D rr dds i n3 1 2
rr dsi n4si n2 2 ds i n956 0 4
2956
dsin2
9
56 2
0
4
3
7?
之间均匀薄片
0 dsin31
43 21 2?
o
y
x
C
V
zyxz
z
ddd
例 6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为 h的均质钢液,
解,利用对称性可知质心在 z轴上，
,0 yx
采用柱坐标,则炉壁方程为,)3(9 22 zzr
zyxV ddd h zzz0 2 d)3(9 zDh yxz ddd0
因此故自重,求它的质心,
o x
z
若炉不计炉体的其坐标为
zyxdz dd
)51233(9 23 hhh
2
2
54090
43060
hh
hhhz
o x
z )4
12
2
9(
9
23 hhhV
四、物体的转动惯量设物体占有空间区域?,有连续分布的密度函数
.),,( zyx? 该物体位于 (x,y,z)处的 微元
vzyxyx d),,()( 22
因此物体对 z轴的转动惯量,
zyxzyxyxI z ddd),,()( 22?
zId
x
yo
z对 z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故 连续体的转动惯量可用积分计算,
类似可得,
zyxzyxI x ddd),,(?
zyxzyxI o ddd),,(?
)( 22 zy?
)( 22 zx?
)( 222 zyx
对 x轴的转动惯量对 y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面 密度为 Dyxyx?),(),,(?
Do yxyxI dd),(?
则转动惯量的表达式是二重积分,
x
D
y
o
2y
2x
)( 22 yx?
rra dds in 0 30 2
例 7.求半径为 a的均匀半圆薄片对其直径解,建立坐标系如图,
0
:
222
y
ayxD
yxyI Dx dd2 D rr dds in 23
2
4
1 aM?
半圆薄片的质量 221 aM?
o x
y
D
a? a
的转动惯量,
)s i ns i nc o ss i n( 222222 rr
解,取球心为原点,z轴为 l轴,
则
zyxyx ddd)( 22?
ddds in2 rr?
o
l
z
x
y
1322
20 d 球体的质量
334 aM?
ds i n0 3? rra0 4?
例 8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l的转动惯量,
设球所占域为
(用球坐标 )
222 zyxr
G 为 引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域?,
物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,
v
r
yzyxGF
y d
),,(d
3
v
r
zzyxGF
z d
),,(d
3
在?上 积分即得各引力分量,
其密度函数
r
z
x
vd
y
引力元素在三坐标轴上的投影分别为
v
r
xzyxGF
x d
),,(
3
v
r
yzyxGF
y d
),,(
3
v
r
zzyxGF
z d
),,(
3
对 xoy面上的平面薄片 D,它对原点处的单位质量质点 的引力分量为
,d),( 3 Dx xyxGF?
Dy
yyxGF?
d),(
3
)( 22 yx
x
y
z
o
R
例 9,设面密度为 μ,半径为 R的圆形薄片求它对位于点解,由对称性知引力
zFd
d
aG
D
z aGF?
aG
处的单位质量质点的引力,
2ddG
d
a
R
0
2
0
d
a 0M。
),0,0( zFF?
23222 )(
d
ayx
23222 )(
d
ayx
2322 )(
d
ar
rr
R
x y
z
o
例 10.求半径 R的均匀球 对位于的单位质量质点的引力,
解,利用对称性知引力分量 0 yx FF
zF
R
R
zazG d)(?
v
azyx
azG d
])([ 2
3222
R
R
zazG d)(?
2
0 0 2
322
22
])([
dd zR
azr
rr
点
zD azyx
yx
2
3222
])([
dd
0Ma
zD
R
R
zaz d )(
zF
G2 22 2
11
azaRza
2
0 0 2
322
22
])([
dd zR
azr
rr
R
R
zazG d)(?
G2?
R
R
az
a
)(1 22 2d aazR
2a
MG
R2?
3
4 3RM? 为球的质量
)(th (t为时间 )的雪堆在融化过程中,
其侧 面满足方程,)(
)(2)( 22
th
yxthz
设长度单位为厘米,时间单位为小时,
设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9),问高度为 130cm 的多少小时? (2001考研 )
练习题雪堆全部融化需要提示,
y
x
z
o
记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则
)(,221220 thyxD
])()([,22122 zththyxD z
V
zD
yx dd? )(0 dth z
)(0 221 d])()([th zzthth?
S
0D )( )(16 2 221 th yx
)(2 th? rrrth d16)( 22?
0
2)(th )(
12
13 2 th
)(4 3 th
yxdd (用极坐标 )
)(1213 2 thS,)(4 3 thV
由题意知 StV 9.0dd
令,0)(?th 得 100?t (小时 )
因此高度为 130cm的雪堆全部融化所需的时间为
100 小时,
1,能用重积分解决的实际问题的 特点所求量是 对区域具有可加性
从定积分定义出发 建立积分式
用微元分析法 (元素法 )
分布在有界闭域上的整体量
3,解题 要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2,用重积分解决问题的 方法一、立体体积
曲顶柱体 的顶为连续曲面则其体积为
D yxyxfV dd),(
占有 空间有界域?的立体的体积为
zyxV ddd
任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V,
解,曲面
1S
的切平面方程为
202000 122 yxyyxxz
它与曲面 的交线在 xoy面上的投影为
1)()( 2020 yyxx
yxV D dd 22 yx 202000 122 yxyyxx
yxD dd 12020 )()( yyxx
s in,c o s 00 ryyrxx令
2
(记所围域为 D)
在点
D rrr?dd2
例 1.求曲面
rr dd 10 320
x o y
z
a2
例 2.求半径为 a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积,
解,在球坐标系下空间立体所占区域为
:?
则立体体积为
zyxV dddc o s20 2 da rr
dsinc o s316 0 3
3
a )c o s1(34 4
3
a
c o s20 ar
0
20
0 sin20 d
rrv ddds ind 2
r
M
二、曲面的面积
x y
z
S
o
设光滑曲面则面积 A可看成曲面上各点 ),,( zyxM
处小切平面的面积 dA无限积累而成,
设它在 D上的投影为
d?,Adc o sd
),(),(1
1c o s
22 yxfyxf
yx
d),(),(1d 22 yxfyxfA yx
(称为面积元素 )
则
M
Ad
z
d
n
M
n?
d
故有曲面面积公式
d),(),(1 22 D yx yxfyxfA
yxyzxzA D dd)()(1 22
若光滑曲面方程为,),(,),( zyDzyzygx 则有
zyD
即
xzxyzyA dd)()(1 22
若光滑曲面方程为,),(,),( xzDxzxzhy
若光滑曲面方程为隐式 则则有
yx
z
y
z
x Dyx
F
F
y
z
F
F
x
z
),(,,
A
yxD
xzD
z
zyx
F
FFF 222
且
yx dd
例 3.计算双曲抛物面 被柱面 所截解,曲面在 xoy面上投影为,,222 RyxD则
yxzzA D yx dd1 22
yxyxD dd1 22
rrrR d1d 0 220
])1)1([32 232 R?
出的面积 A.
例 4.计算半径为 a的球的表面积,
解,
设球面方程为 ar?
球面面积元素为
dds ind 2aA?
0202 ds indaA
24 a
sina
da
方法 2 利用直角坐标方程,(见书 P109)
方法 1 利用球坐标方程,
a
x
y
z
o
d
dsina
三、物体的质心设空间有 n个质点,,),,( kkk zyx 其质量分别
,),,2,1( nkm k由力学知,该质点系的质心坐标,
1
1
n
k
k
n
k
kk
m
mx
x,
1
1
n
k
k
n
k
kk
m
my
y
n
k
k
n
k
kk
m
mz
z
1
1
设物体占有空间域?,有连续密度函数 则其质心 公式,
分别位于为为即,
采用,大化小,常代变,近似和,取极限,可导出将?分成 n小块,
将第 k块看作质量集中于点例如,
n
k
kkkk
n
k
kkkkk
v
v
x
1
1
),,(
),,(
令各小区域的最大直径,0
zyxzyx
zyxzyxx
x
ddd),,(
ddd),,(
系的质心坐标就近似该物体的质心坐标,
的质点,
即得此质点在第 k块上任取一点同理可得
zyxzyx
zyxzyxy
y
ddd),,(
ddd),,(
zyxzyx
zyxz
z
ddd),,(
d,,(
,),,( 常数时当?zyx? 则得形心坐标：
,
ddd
V
zyxx
x
,
ddd
V
zyx
y
V
zyxz
z
ddd
的体积为 zyxV ddd
若物体为占有 xoy面上区域 D的平面薄片,
yxyx
yxyxx
x
D
D
dd),(
dd),(
yxyx
yxyxy
y
D
D
dd),(
dd),(
,常数时
,
dd
A
yxx
x D
A
yxy
y D
dd
(A为 D的面积 )
得 D的 形心坐标,
则它的 质心坐标 为
M
M y?
M
M x?
其面密度
xM
yM
— 对 x轴的静矩
— 对 y轴的静矩
4
例 5.求位于两圆 和的质心,
2 D
解,利用对称性可知 0?x
而 D yxyAy dd1
D rr dds i n3 1 2
rr dsi n4si n2 2 ds i n956 0 4
2956
dsin2
9
56 2
0
4
3
7?
之间均匀薄片
0 dsin31
43 21 2?
o
y
x
C
V
zyxz
z
ddd
例 6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为 h的均质钢液,
解,利用对称性可知质心在 z轴上，
,0 yx
采用柱坐标,则炉壁方程为,)3(9 22 zzr
zyxV ddd h zzz0 2 d)3(9 zDh yxz ddd0
因此故自重,求它的质心,
o x
z
若炉不计炉体的其坐标为
zyxdz dd
)51233(9 23 hhh
2
2
54090
43060
hh
hhhz
o x
z )4
12
2
9(
9
23 hhhV
四、物体的转动惯量设物体占有空间区域?,有连续分布的密度函数
.),,( zyx? 该物体位于 (x,y,z)处的 微元
vzyxyx d),,()( 22
因此物体对 z轴的转动惯量,
zyxzyxyxI z ddd),,()( 22?
zId
x
yo
z对 z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,
故 连续体的转动惯量可用积分计算,
类似可得,
zyxzyxI x ddd),,(?
zyxzyxI o ddd),,(?
)( 22 zy?
)( 22 zx?
)( 222 zyx
对 x轴的转动惯量对 y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面 密度为 Dyxyx?),(),,(?
Do yxyxI dd),(?
则转动惯量的表达式是二重积分,
x
D
y
o
2y
2x
)( 22 yx?
rra dds in 0 30 2
例 7.求半径为 a的均匀半圆薄片对其直径解,建立坐标系如图,
0
:
222
y
ayxD
yxyI Dx dd2 D rr dds in 23
2
4
1 aM?
半圆薄片的质量 221 aM?
o x
y
D
a? a
的转动惯量,
)s i ns i nc o ss i n( 222222 rr
解,取球心为原点,z轴为 l轴,
则
zyxyx ddd)( 22?
ddds in2 rr?
o
l
z
x
y
1322
20 d 球体的质量
334 aM?
ds i n0 3? rra0 4?
例 8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l的转动惯量,
设球所占域为
(用球坐标 )
222 zyxr
G 为 引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域?,
物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,
v
r
yzyxGF
y d
),,(d
3
v
r
zzyxGF
z d
),,(d
3
在?上 积分即得各引力分量,
其密度函数
r
z
x
vd
y
引力元素在三坐标轴上的投影分别为
v
r
xzyxGF
x d
),,(
3
v
r
yzyxGF
y d
),,(
3
v
r
zzyxGF
z d
),,(
3
对 xoy面上的平面薄片 D,它对原点处的单位质量质点 的引力分量为
,d),( 3 Dx xyxGF?
Dy
yyxGF?
d),(
3
)( 22 yx
x
y
z
o
R
例 9,设面密度为 μ,半径为 R的圆形薄片求它对位于点解,由对称性知引力
zFd
d
aG
D
z aGF?
aG
处的单位质量质点的引力,
2ddG
d
a
R
0
2
0
d
a 0M。
),0,0( zFF?
23222 )(
d
ayx
23222 )(
d
ayx
2322 )(
d
ar
rr
R
x y
z
o
例 10.求半径 R的均匀球 对位于的单位质量质点的引力,
解,利用对称性知引力分量 0 yx FF
zF
R
R
zazG d)(?
v
azyx
azG d
])([ 2
3222
R
R
zazG d)(?
2
0 0 2
322
22
])([
dd zR
azr
rr
点
zD azyx
yx
2
3222
])([
dd
0Ma
zD
R
R
zaz d )(
zF
G2 22 2
11
azaRza
2
0 0 2
322
22
])([
dd zR
azr
rr
R
R
zazG d)(?
G2?
R
R
az
a
)(1 22 2d aazR
2a
MG
R2?
3
4 3RM? 为球的质量
)(th (t为时间 )的雪堆在融化过程中,
其侧 面满足方程,)(
)(2)( 22
th
yxthz
设长度单位为厘米,时间单位为小时,
设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9),问高度为 130cm 的多少小时? (2001考研 )
练习题雪堆全部融化需要提示,
y
x
z
o
记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则
)(,221220 thyxD
])()([,22122 zththyxD z
V
zD
yx dd? )(0 dth z
)(0 221 d])()([th zzthth?
S
0D )( )(16 2 221 th yx
)(2 th? rrrth d16)( 22?
0
2)(th )(
12
13 2 th
)(4 3 th
yxdd (用极坐标 )
)(1213 2 thS,)(4 3 thV
由题意知 StV 9.0dd
令,0)(?th 得 100?t (小时 )
因此高度为 130cm的雪堆全部融化所需的时间为
100 小时,
