数字逻辑电路李中发 制作中国水利水电出版社第 2章 逻辑代数学习要点
掌握逻辑代数的基本运算法则,基本公式,基本定理和化简方法 。
了解不同类型逻辑表达式的相互转换以及最简与或表达式 。
能够熟练地运用真值表,逻辑表达式,
卡诺图,波形图和逻辑图表示逻辑函数 。
第 2章 逻辑代数
2.1 逻辑代数的基本概念
2.2 逻辑代数的公式、定理和规则
2.3 逻辑函数的化简
2.4 逻辑函数的表示方法及其相互转换退出
2.1 逻辑代数的基本概念事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1,称为逻辑 0状态和逻辑 1状态。
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有 ０ 和 １
两种逻辑值，有 与、或、非 三种基本逻辑运算，还有 与或、
与非、与或非、异或 几种导出逻辑运算。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。
逻辑变量的取值只有两种，即逻辑 0和逻辑 1,0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，
这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。
2.1.1 基本逻辑运算
1、与运算与逻辑的定义：仅当决定事件（ Y）发生的所有条件
（ A,B,C,… ）均满足时，事件（ Y）才能发生。表达式为：
开关 A,B串联控制灯泡 Y
电路图
L = A B
E
A B
Y
Ｙ＝ＡＢＣ …
E
A B
YE
A B
Y
E
A B
YE
A B
Y
两个开关必须同时接通，
灯才亮。逻辑表达式为,Ｙ＝ＡＢ
A,B都断开，灯不亮。 A断开,B接通，灯不亮。
A接通,B断开，灯不亮。 A,B都接通，灯亮。
这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做 真值表 。
将开关接通记作 1，断开记作 0；
灯亮记作 1，灯灭记作 0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号,YAB & Ｙ＝ＡＢ
真值表逻辑符号
2、或运算或逻辑的定义：当决定事件（ Y）发生的各种条件（ A,B,C,…) 中,只要有一个或多个条件具备，事件（ Y）就发生。表达式为：
开关 A,B并联控制灯泡 Y
Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋ …
电路图
L = A B
E
A
B
Y
E
A
B
Y
E
A
B
Y
两个开关只要有一个接通，
灯就会亮。逻辑表达式为,Ｙ＝Ａ +Ｂ
A,B都断开，灯不亮。 A断开,B接通，灯亮。
A接通,B断开，灯亮。 A,B都接通，灯亮。
E
A
B
YE
A
B
Y
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号,AB ≥ 1
Y=A+B
真值表开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表逻辑符号
3、非运算非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件
（ Y）发生的条件（ A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ
开关 A控制灯泡 Y
电路图
E A Y
R
A Y
0
1
1
0
实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号,YA 1 Y=A
E A Y
R
A断开，灯亮。
E A Y
R
A接通，灯灭。
真值表功能表逻辑符号开关 A 灯 Y
断开闭合亮灭
（ 1）与非运算：逻辑表达式为：
ABY?
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
真值表
Y
A
B
与非门的逻辑符号
L = A + B
&
（ 2）或非运算：逻辑表达式为：
BAY
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
真值表
Y
A
B
或非门的逻辑符号
L = A + B
≥ 1
2.1.2 复合逻辑运算
（ 3）异或运算：逻辑表达式为：
BABABAY
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
真值表
Y
A
B
异或门的逻辑符号
L = A + B
=1
CDABY
Y
≥ 1&A
B
C
D
与或非门的逻辑符号
A
B
C
D
&
&
≥ 1 Y
与或非门的等效电路
（ 4） 与或非运算：逻辑表达式为：
（ 1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非 3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母
A,B,C,D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母 Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。
（ 2） 逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量 A,B、
C,… 的每一组确定值,输出逻辑变量 Y就有唯一确定的值,
则称 Y是 A,B,C,… 的逻辑函数 。 记为
),,,(?CBAfY?
注意,与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是 0或 1，并且这里的 0和 1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。
2.1.3 逻辑函数及其相等概念
（ 3） 逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
),,,( ),,,( 21 CBAgYCBAfY
它们的变量都是 A,B,C,…,如果对应于变量 A,B、
C,… 的任何一组变量取值,Y1和 Y2的值都相同，则称 Y1和 Y2
是相等的，记为 Y1=Y2。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，
若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，
要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，
看看它们的真值表是否相同即可。
A B AB AB A B A + B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
1
1
1
0
1 1
1 0
0 1
0 0
1
1
1
0
BAAB
证明等式：
2.2 逻辑代数的公式、定理和规则
2.2.1 逻辑代数的公式和定理与运算,111 001 010 000
（ 1）常量之间的关系
（ 2）基本公式
0 - 1 律：
AA
AA
1
0
00
11
A
A
或运算,111 101 110 000
非运算,10 01
互补律,0 1 AAAA
等幂律,AAAAAA
双重否定律,AA?
分别令 A=0及
A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。
（ 3）基本定理交换律：
ABBA
ABBA
结合律：
)()(
)()(
CBACBA
CBACBA
分配律：
)()(
)(
CABACBA
CABACBA
反演律 （摩根定律）,
BABA
BABA,
利用真值表很容易证明这些公式的正确性。
如证明 A·B=B·A：
A B A,B B,A
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
0
0
0
1
(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC 分配率A(B+C)=AB+AC
=A+AB+AC+BC 等幂率 AA=A
=A(1+B+C)+BC 分配率A(B+C)=AB+AC
=A+BC 0-1率 A+1=1
证明分配率,A+BA=(A+B)(A+C)
证明：
（ 4）常用公式还原律：
ABABA
ABABA
)()(
证明,))(( BAAABAA
吸收率：
BABAA
BABAA
ABAA
ABAA )(
)(
)(1 BA
BA
分配率
A+BC=(A+B)(A+C)
互补率 A+A=1
0-1率 A·1=1
冗余律,CAABBCCAAB
证明,BCCAAB
BCAA B CCAAB
BCAACAAB )(
互补率 A+A=1
分配率
A(B+C)=AB+AC
)1()1( BCACAB
CAAB 0-1率 A+1=1
例如，已知等式,用函数 Y=AC代替等式中的 A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
（ 1） 代入规则：任何一个含有变量 A的等式,如果将所有出现 A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立 。 这个规则称为代入规则 。
BAAB
CBABACBAC)(
2.2.2 逻辑代数运算的基本规则
（ 2） 反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成
,1”,,1”换成,0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数 Y（ 或称补函数 ） 。 这个规则称为反演规则 。 例如：
EDCBAY ))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
（ 3） 对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”换成,0”,而 变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y＇,
Y＇ 称为函数 Y的对偶函数 。 这个规则称为对偶规则 。 例如：
EDCBAY
对偶规则的意义在于,如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等 。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 。 例如：
注意,在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
ACABCBA )( ))(( CABABCA
ABABA ABABA )()(
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
2.2.3 逻辑函数的表达式
（ 1 ）与或表达式,ACBAY
（ 2 ）或与表达式,Y ))(( CABA
（ 3 ）与非 - 与非表达式,Y ACBA
（ 4 ）或非 - 或非表达式,Y CABA
（ 5 ）与或非表达式,Y
CABA
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、
与非 -与非表达式、或非 -或非表达式、与或非表达式 5种表示形式。
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。
1,逻辑函数的最小项及其性质
（ 1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量 A,B,C可组成 8个最小项：
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
（ 2）最小项的表示方法：通常用符号 mi来表示最小项。下标 i的确定：把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。
3个变量 A,B,C的 8个最小项可以分别表示为：
A B CmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
7654
3210
、、、
、、、
（ 3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表
A B C m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
① 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。
③ 全部最小项的和必为 1。
ABC ABC
② 任意两个不同的最小项的乘积必为 0。
2,逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋ A＝ 1
和 A(B+C)＝ AB＋ BC来配项展开成最小项表达式。
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
A B CBCACBACBACBA
BCAA B CCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
A B C Y 最小项
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
1
0
1
0
0
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
m1＝ ABC
m5＝ ABC
m3＝ ABC
m1＝ ABC
CBACBACBACBA
mmmmmY
)5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
2.3 逻辑函数的化简逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。
2.3.1 逻辑函数的最简表达式
1,最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。
CABA
CBCABA
DCBCBECACABAEBAY
最简与或表达式
2,最简与非与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非
-与非表达式。
CABACABACABAY
① 在最简与或表达式的基础上两次取反
② 用摩根定律去掉下面的非号
3,最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
CABAY
ACBACBACBA
CABACABAY
))(( ))(( CABAY
① 求出反函数的最简与或表达式 ② 利用反演规则写出函数的最简或与表达式
4,最简或非或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非 -或非表达式。
CABACABA
CABACABAY
))((
))((
① 求最简或与表达式
② 两次取反
５,最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。
ACBACABACABAY
① 求最简或非 -或非表达式
③ 用摩根定律去掉下面的非号
②
用摩根定律去掉大非号下面的非号
2.3.2 逻辑函数的公式化简法
1、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。
利用公式Ａ＋Ａ＝ 1，将两项合并为一项，并消去一个变量。
BCCBCBBC
CBBCAACBBCAABCY
)(
)(1
ABCBCABCAABC
CBAABCCABAABCY
)(
)(2
若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量
，
而其他因子都相同时
，
则这两项可以合并成一项
，
并消去互为反变量的因子
。
运用摩根定律运用分配律运用分配律
2、吸收法
BAFEB C DABAY )(1
BAB C DBADA
BADB C DABADCDBAY
)()(
2
如果乘积项是另外一个乘积项的因子
，
则这另外一个乘积项是多余的
。
运用摩根定律
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。
CAB
CABAB
CBAAB
CBCAABY
)(
DCBA
DBACBA
DBACBA
DBACCBA
DCBDCACBAY
)(
)(
如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子
，
则这个因子是多余的
。
３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
CACBBA
BBCAACBCBA
CBABCACBACBACBBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAY
)()1()1(
)()(
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
BCACAB
BCAA B CCBAA B CCABA B C
BCACBACABA B CY
)()()(
４、消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，
将冗余项ＢＣ消去。
DCACBA
A D EDCACBA
DCA D EACBAY
)(
1
CBAB
FGDEACCBABY
)(2
例,化简函数
))()()()(( GEAGCECGADBDBY
解,①先求出 Y的对偶函数 Y＇,并对其进行化简。
GCCEDB
A E GGCCED A GBDBY
② 求 Y＇ 的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。
))()(( GCECDBY
2.3.3 逻辑函数的图形化简法
1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列,
这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。
（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
A
B 0 1
0 m 0 m 2
1 m 1 m 3
A B
C 00 01 11 10
0 m 0 m 2 m 6 m 4
1 m 1 m 3 m 7 m 5
2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个
2
变量的最小项有两个最小项与它相邻 每个
3
变量的最小项有
3
个最小项与它相邻
A B
CD 00 01 11 10
00
m
0
m
4
m
12
m
8
01
m
1
m
5
m
13
m
9
11
m
3
m
7
m
15
m
1 1
10 m
2
m
6 m 14 m 1 0
4 变量卡诺图每个 4变量的最小项有 4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量
BACCBACBACBA )(
DCADCBADCAB
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并
2、逻辑函数在卡诺图中的表示
（ 1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
AB
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
m1
m3
m4
m7 m6
m11
m15 m14
（ 2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
))(( CBDAY
CBDAY
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 0 0 1
10 1 1 0 1
变换为与或表达式
ＡＤ的公因子
ＢＣ的公因子说明,如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，
则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入 0，其余方格内填入 1。
3、卡诺图的性质
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 0 1
10 0 1 0 0
（ 1）任何两个（ 21个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
A B
C 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
CBACBA?
A B CBCA?
DBCADCBA?
CDBADCBA?
CB?
BC?
DBA?
DBA?
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 1 0 0
（ 2）任何 4个（ 22个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去 2个变量。
A B
C 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0C
CBAABBABA
CBACABCBACBA
)(
BBACCACACAABCCABBCACBA )(
BA
DC
AB
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＢＤ
ＢＤ
ＢＤ ＢＤ
AB
CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0 A B
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
（ 3）任何 8个（ 23个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 3个变量。
Ｄ
Ｂ
小结
：
相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项
，
并消去一个变量
。
包含的最小项数目越多
，
即由这些最小项所形成的圈越大
，
消去的变量也就越多
，
从而所得到的逻辑表达式就越简单
。
这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
。
２ ｉ
4、图形法化简的基本步骤逻辑表达式或真值表卡诺图
)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,( mDCBAY
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
1
1
合并最小项
①
圈越大越好
，
但每个圈中标
１
的方格数目必须为个
。
②
同一个方格可同时画在几个圈内
，
但每个圈都要有新的方格
，
否则它就是多余的
。
③
不能漏掉任何一个标
１
的方格
。
i2
最简与或表达式
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
DCACDBDDCBAY ),,,(
ＢＤ
ＣＤ
ＡＣＤ
冗余项
2
2
3
3
将代表每个圈的乘积项相加
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1 00 1 1 0 1
01 0 1 1 1 01 0 1 1 1
11 0 0 1 1 11 0 0 1 1
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
不是最简
ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
最简
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 00 1 1 0 0
01 1 1 1 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 11 0 0 1 0
10 1 0 1 0 10 1 0 1 0
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
2.3.4 含随意项的逻辑函数的化简随意项,函数可以随意取值（可以为 0，也可以为 1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。
1,含随意项的逻辑函数例如：判断一位十进制数是否为偶数。
不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说 明
×1 1 1 100 1 1 1
×1 1 1 010 1 1 0
×1 1 0 100 1 0 1
×1 1 0 010 1 0 0
×1 0 1 100 0 1 1
×1 0 1 010 0 1 0
01 0 0 100 0 0 1
11 0 0 010 0 0 0
YA B C DYA B C D
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
输入变量 A,B,C,D取值为 0000～ 1001时，逻辑函数 Y有确定的值，根据题意，偶数时为 1，奇数时为 0。
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY
A,B,C,D取值为 1010 ～ 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号,φ”、,×,或,d”表示。
随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
0)15,14,13,12,11,10( d
含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：
)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,( dmDCBAF
2,含随意项的逻辑函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，
随意项的取值可视具体情况取 0或取 1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取 1；如果随意项对化简不利，则取 0。
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
不利用随意项的化简结果为：
DCADAY
利用随意项的化简结果为：
DY?
3,变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为 1，则其它变量的值就一定为 0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。
变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
×
1
×
×
×
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 × 1
1 1 × × ×
Y
A
B
C
1
1
1
简化真值表
CBAY
2.4 逻辑函数的表示方法及其相互转换
2.4.1 逻辑函数的表示方法
1,真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有 0,1两种取值,n个变量共有 2i种不同的取值，将这 2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，
便可得到逻辑函数的真值表。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
1
0
0
1
1
例如：当 A=B=1、或则 B=C=1时，
函数 Y=1；否则 Y=0。
2,逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非 3种运算符连接起来所构成的式子。
函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为
1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。
)7,6,3(m
ABCCABBCAY
3,卡诺图卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
逻辑函数卡诺图的填写方法：
在那些使函数值为 1的变量取值组合所对应的小方格内填入 1，其余的方格内填入 0，便得到该函数的卡诺图。
A B
C 00 01 11 10
0 0 0 1 0
1 0 1 1 0
4,逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Y
&
≥ 1
&
A
B
B
C
ＡＢ
ＢＣ
５、波形 图波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、
低电平所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｙ
０
０
０
０
０
０
１
０
０
１
０
０
０
１
１
１
１
０
０
０
１
０
１
０
１
１
０
１
１
１
１
１
０
０
０
０
Ｙ
2.4.2 逻辑函数表示方法之间的转换
1、由真值表到 逻辑图的转换真值表逻辑表达式或卡诺图
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
0
0
1
1
1
)7,6,5,2(m
ABCCABCBACBAY
1 1
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
最简与或表达式化简 2
或
ACBACBAY
2
&
画逻辑图
3 &
&
≥1
ABCA
最简与或表达式
ACBACBAY
&
C
B
B
A
A
C
AB
AC
Y
A
C
B
B
A
A
C
Y
&
&
&
ABC
AB
AC
若用与非门实现，将最简与或表达式变换乘最简与非 -
与非表达式
ACBACBAY
3
2、由 逻辑图 到真值表 的转换逻辑图逻辑表达式
1
1
最简与或表达式化简 2
&
A ≥1
C
B
B
A
A
C
Y≥1
≥1
CBAY1
BAY2
CAY3
1Y
2Y
3Y
))()((
321
CABACBA
YYYY
2
CAABCBA
CBACBACABACBAY
))(())()((
从输入到输出逐级写出
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
0
0
1
0
1
1
最简与或表达式
3
真值表
CAABCBAY
3
掌握逻辑代数的基本运算法则,基本公式,基本定理和化简方法 。
了解不同类型逻辑表达式的相互转换以及最简与或表达式 。
能够熟练地运用真值表,逻辑表达式,
卡诺图,波形图和逻辑图表示逻辑函数 。
第 2章 逻辑代数
2.1 逻辑代数的基本概念
2.2 逻辑代数的公式、定理和规则
2.3 逻辑函数的化简
2.4 逻辑函数的表示方法及其相互转换退出
2.1 逻辑代数的基本概念事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1,称为逻辑 0状态和逻辑 1状态。
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有 ０ 和 １
两种逻辑值，有 与、或、非 三种基本逻辑运算，还有 与或、
与非、与或非、异或 几种导出逻辑运算。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。
逻辑变量的取值只有两种，即逻辑 0和逻辑 1,0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，
这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。
2.1.1 基本逻辑运算
1、与运算与逻辑的定义：仅当决定事件（ Y）发生的所有条件
（ A,B,C,… ）均满足时，事件（ Y）才能发生。表达式为：
开关 A,B串联控制灯泡 Y
电路图
L = A B
E
A B
Y
Ｙ＝ＡＢＣ …
E
A B
YE
A B
Y
E
A B
YE
A B
Y
两个开关必须同时接通，
灯才亮。逻辑表达式为,Ｙ＝ＡＢ
A,B都断开，灯不亮。 A断开,B接通，灯不亮。
A接通,B断开，灯不亮。 A,B都接通，灯亮。
这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做 真值表 。
将开关接通记作 1，断开记作 0；
灯亮记作 1，灯灭记作 0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号,YAB & Ｙ＝ＡＢ
真值表逻辑符号
2、或运算或逻辑的定义：当决定事件（ Y）发生的各种条件（ A,B,C,…) 中,只要有一个或多个条件具备，事件（ Y）就发生。表达式为：
开关 A,B并联控制灯泡 Y
Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋ …
电路图
L = A B
E
A
B
Y
E
A
B
Y
E
A
B
Y
两个开关只要有一个接通，
灯就会亮。逻辑表达式为,Ｙ＝Ａ +Ｂ
A,B都断开，灯不亮。 A断开,B接通，灯亮。
A接通,B断开，灯亮。 A,B都接通，灯亮。
E
A
B
YE
A
B
Y
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号,AB ≥ 1
Y=A+B
真值表开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表逻辑符号
3、非运算非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件
（ Y）发生的条件（ A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ
开关 A控制灯泡 Y
电路图
E A Y
R
A Y
0
1
1
0
实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号,YA 1 Y=A
E A Y
R
A断开，灯亮。
E A Y
R
A接通，灯灭。
真值表功能表逻辑符号开关 A 灯 Y
断开闭合亮灭
（ 1）与非运算：逻辑表达式为：
ABY?
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
真值表
Y
A
B
与非门的逻辑符号
L = A + B
&
（ 2）或非运算：逻辑表达式为：
BAY
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
真值表
Y
A
B
或非门的逻辑符号
L = A + B
≥ 1
2.1.2 复合逻辑运算
（ 3）异或运算：逻辑表达式为：
BABABAY
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
真值表
Y
A
B
异或门的逻辑符号
L = A + B
=1
CDABY
Y
≥ 1&A
B
C
D
与或非门的逻辑符号
A
B
C
D
&
&
≥ 1 Y
与或非门的等效电路
（ 4） 与或非运算：逻辑表达式为：
（ 1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非 3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母
A,B,C,D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母 Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。
（ 2） 逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量 A,B、
C,… 的每一组确定值,输出逻辑变量 Y就有唯一确定的值,
则称 Y是 A,B,C,… 的逻辑函数 。 记为
),,,(?CBAfY?
注意,与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是 0或 1，并且这里的 0和 1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。
2.1.3 逻辑函数及其相等概念
（ 3） 逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
),,,( ),,,( 21 CBAgYCBAfY
它们的变量都是 A,B,C,…,如果对应于变量 A,B、
C,… 的任何一组变量取值,Y1和 Y2的值都相同，则称 Y1和 Y2
是相等的，记为 Y1=Y2。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，
若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，
要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，
看看它们的真值表是否相同即可。
A B AB AB A B A + B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
1
1
1
0
1 1
1 0
0 1
0 0
1
1
1
0
BAAB
证明等式：
2.2 逻辑代数的公式、定理和规则
2.2.1 逻辑代数的公式和定理与运算,111 001 010 000
（ 1）常量之间的关系
（ 2）基本公式
0 - 1 律：
AA
AA
1
0
00
11
A
A
或运算,111 101 110 000
非运算,10 01
互补律,0 1 AAAA
等幂律,AAAAAA
双重否定律,AA?
分别令 A=0及
A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。
（ 3）基本定理交换律：
ABBA
ABBA
结合律：
)()(
)()(
CBACBA
CBACBA
分配律：
)()(
)(
CABACBA
CABACBA
反演律 （摩根定律）,
BABA
BABA,
利用真值表很容易证明这些公式的正确性。
如证明 A·B=B·A：
A B A,B B,A
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
0
0
0
1
(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC 分配率A(B+C)=AB+AC
=A+AB+AC+BC 等幂率 AA=A
=A(1+B+C)+BC 分配率A(B+C)=AB+AC
=A+BC 0-1率 A+1=1
证明分配率,A+BA=(A+B)(A+C)
证明：
（ 4）常用公式还原律：
ABABA
ABABA
)()(
证明,))(( BAAABAA
吸收率：
BABAA
BABAA
ABAA
ABAA )(
)(
)(1 BA
BA
分配率
A+BC=(A+B)(A+C)
互补率 A+A=1
0-1率 A·1=1
冗余律,CAABBCCAAB
证明,BCCAAB
BCAA B CCAAB
BCAACAAB )(
互补率 A+A=1
分配率
A(B+C)=AB+AC
)1()1( BCACAB
CAAB 0-1率 A+1=1
例如，已知等式,用函数 Y=AC代替等式中的 A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
（ 1） 代入规则：任何一个含有变量 A的等式,如果将所有出现 A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立 。 这个规则称为代入规则 。
BAAB
CBABACBAC)(
2.2.2 逻辑代数运算的基本规则
（ 2） 反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成
,1”,,1”换成,0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数 Y（ 或称补函数 ） 。 这个规则称为反演规则 。 例如：
EDCBAY ))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
（ 3） 对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y,如果将表达式中的所有,·”换成,＋,,,＋,换成,·”,,0”换成,1”,,1”换成,0”,而 变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y＇,
Y＇ 称为函数 Y的对偶函数 。 这个规则称为对偶规则 。 例如：
EDCBAY
对偶规则的意义在于,如果两个函数相等,则它们的对偶函数也相等 。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 。 例如：
注意,在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
ACABCBA )( ))(( CABABCA
ABABA ABABA )()(
))(( EDCBAY
EDCBAY EDCBAY
2.2.3 逻辑函数的表达式
（ 1 ）与或表达式,ACBAY
（ 2 ）或与表达式,Y ))(( CABA
（ 3 ）与非 - 与非表达式,Y ACBA
（ 4 ）或非 - 或非表达式,Y CABA
（ 5 ）与或非表达式,Y
CABA
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、
与非 -与非表达式、或非 -或非表达式、与或非表达式 5种表示形式。
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。
1,逻辑函数的最小项及其性质
（ 1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量 A,B,C可组成 8个最小项：
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
（ 2）最小项的表示方法：通常用符号 mi来表示最小项。下标 i的确定：把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。
3个变量 A,B,C的 8个最小项可以分别表示为：
A B CmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
7654
3210
、、、
、、、
（ 3）最小项的性质：
3 变量全部最小项的真值表
A B C m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
① 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。
③ 全部最小项的和必为 1。
ABC ABC
② 任意两个不同的最小项的乘积必为 0。
2,逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋ A＝ 1
和 A(B+C)＝ AB＋ BC来配项展开成最小项表达式。
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
A B CBCACBACBACBA
BCAA B CCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
A B C Y 最小项
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
1
0
1
0
0
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
m1＝ ABC
m5＝ ABC
m3＝ ABC
m1＝ ABC
CBACBACBACBA
mmmmmY
)5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
2.3 逻辑函数的化简逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。
2.3.1 逻辑函数的最简表达式
1,最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。
CABA
CBCABA
DCBCBECACABAEBAY
最简与或表达式
2,最简与非与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非
-与非表达式。
CABACABACABAY
① 在最简与或表达式的基础上两次取反
② 用摩根定律去掉下面的非号
3,最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
CABAY
ACBACBACBA
CABACABAY
))(( ))(( CABAY
① 求出反函数的最简与或表达式 ② 利用反演规则写出函数的最简或与表达式
4,最简或非或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非 -或非表达式。
CABACABA
CABACABAY
))((
))((
① 求最简或与表达式
② 两次取反
５,最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。
ACBACABACABAY
① 求最简或非 -或非表达式
③ 用摩根定律去掉下面的非号
②
用摩根定律去掉大非号下面的非号
2.3.2 逻辑函数的公式化简法
1、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。
利用公式Ａ＋Ａ＝ 1，将两项合并为一项，并消去一个变量。
BCCBCBBC
CBBCAACBBCAABCY
)(
)(1
ABCBCABCAABC
CBAABCCABAABCY
)(
)(2
若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量
，
而其他因子都相同时
，
则这两项可以合并成一项
，
并消去互为反变量的因子
。
运用摩根定律运用分配律运用分配律
2、吸收法
BAFEB C DABAY )(1
BAB C DBADA
BADB C DABADCDBAY
)()(
2
如果乘积项是另外一个乘积项的因子
，
则这另外一个乘积项是多余的
。
运用摩根定律
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。
CAB
CABAB
CBAAB
CBCAABY
)(
DCBA
DBACBA
DBACBA
DBACCBA
DCBDCACBAY
)(
)(
如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子
，
则这个因子是多余的
。
３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
CACBBA
BBCAACBCBA
CBABCACBACBACBBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAY
)()1()1(
)()(
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
BCACAB
BCAA B CCBAA B CCABA B C
BCACBACABA B CY
)()()(
４、消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，
将冗余项ＢＣ消去。
DCACBA
A D EDCACBA
DCA D EACBAY
)(
1
CBAB
FGDEACCBABY
)(2
例,化简函数
))()()()(( GEAGCECGADBDBY
解,①先求出 Y的对偶函数 Y＇,并对其进行化简。
GCCEDB
A E GGCCED A GBDBY
② 求 Y＇ 的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。
))()(( GCECDBY
2.3.3 逻辑函数的图形化简法
1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列,
这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。
（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
A
B 0 1
0 m 0 m 2
1 m 1 m 3
A B
C 00 01 11 10
0 m 0 m 2 m 6 m 4
1 m 1 m 3 m 7 m 5
2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个
2
变量的最小项有两个最小项与它相邻 每个
3
变量的最小项有
3
个最小项与它相邻
A B
CD 00 01 11 10
00
m
0
m
4
m
12
m
8
01
m
1
m
5
m
13
m
9
11
m
3
m
7
m
15
m
1 1
10 m
2
m
6 m 14 m 1 0
4 变量卡诺图每个 4变量的最小项有 4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量
BACCBACBACBA )(
DCADCBADCAB
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并
2、逻辑函数在卡诺图中的表示
（ 1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
AB
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
m1
m3
m4
m7 m6
m11
m15 m14
（ 2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。
))(( CBDAY
CBDAY
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 0 0 0 0
11 1 0 0 1
10 1 1 0 1
变换为与或表达式
ＡＤ的公因子
ＢＣ的公因子说明,如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，
则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入 0，其余方格内填入 1。
3、卡诺图的性质
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 0 0 1
11 0 0 0 1
10 0 1 0 0
（ 1）任何两个（ 21个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
A B
C 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
CBACBA?
A B CBCA?
DBCADCBA?
CDBADCBA?
CB?
BC?
DBA?
DBA?
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 1 0 0
（ 2）任何 4个（ 22个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，
并消去 2个变量。
A B
C 00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0C
CBAABBABA
CBACABCBACBA
)(
BBACCACACAABCCABBCACBA )(
BA
DC
AB
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 1 0 0 1
A B
CD 00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
ＢＤ
ＢＤ
ＢＤ ＢＤ
AB
CD 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0 A B
CD 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
（ 3）任何 8个（ 23个）标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去 3个变量。
Ｄ
Ｂ
小结
：
相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项
，
并消去一个变量
。
包含的最小项数目越多
，
即由这些最小项所形成的圈越大
，
消去的变量也就越多
，
从而所得到的逻辑表达式就越简单
。
这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
。
２ ｉ
4、图形法化简的基本步骤逻辑表达式或真值表卡诺图
)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,( mDCBAY
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
1
1
合并最小项
①
圈越大越好
，
但每个圈中标
１
的方格数目必须为个
。
②
同一个方格可同时画在几个圈内
，
但每个圈都要有新的方格
，
否则它就是多余的
。
③
不能漏掉任何一个标
１
的方格
。
i2
最简与或表达式
A B
CD 00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
DCACDBDDCBAY ),,,(
ＢＤ
ＣＤ
ＡＣＤ
冗余项
2
2
3
3
将代表每个圈的乘积项相加
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1 00 1 1 0 1
01 0 1 1 1 01 0 1 1 1
11 0 0 1 1 11 0 0 1 1
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0
两点说明：
① 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。
ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
不是最简
ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ
最简
A B
CD 00 01 11 10
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 00 1 1 0 0
01 1 1 1 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 11 0 0 1 0
10 1 0 1 0 10 1 0 1 0
② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤ ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ
2.3.4 含随意项的逻辑函数的化简随意项,函数可以随意取值（可以为 0，也可以为 1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。
1,含随意项的逻辑函数例如：判断一位十进制数是否为偶数。
不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说 明
×1 1 1 100 1 1 1
×1 1 1 010 1 1 0
×1 1 0 100 1 0 1
×1 1 0 010 1 0 0
×1 0 1 100 0 1 1
×1 0 1 010 0 1 0
01 0 0 100 0 0 1
11 0 0 010 0 0 0
YA B C DYA B C D
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
输入变量 A,B,C,D取值为 0000～ 1001时，逻辑函数 Y有确定的值，根据题意，偶数时为 1，奇数时为 0。
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY
A,B,C,D取值为 1010 ～ 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号,φ”、,×,或,d”表示。
随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
0)15,14,13,12,11,10( d
含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：
)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,( dmDCBAF
2,含随意项的逻辑函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，
随意项的取值可视具体情况取 0或取 1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取 1；如果随意项对化简不利，则取 0。
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
不利用随意项的化简结果为：
DCADAY
利用随意项的化简结果为：
DY?
3,变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为 1，则其它变量的值就一定为 0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。
变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
×
1
×
×
×
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 × 1
1 1 × × ×
Y
A
B
C
1
1
1
简化真值表
CBAY
2.4 逻辑函数的表示方法及其相互转换
2.4.1 逻辑函数的表示方法
1,真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。
真值表列写方法：每一个变量均有 0,1两种取值,n个变量共有 2i种不同的取值，将这 2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，
便可得到逻辑函数的真值表。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
1
0
0
1
1
例如：当 A=B=1、或则 B=C=1时，
函数 Y=1；否则 Y=0。
2,逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非 3种运算符连接起来所构成的式子。
函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为
1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。
)7,6,3(m
ABCCABBCAY
3,卡诺图卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
逻辑函数卡诺图的填写方法：
在那些使函数值为 1的变量取值组合所对应的小方格内填入 1，其余的方格内填入 0，便得到该函数的卡诺图。
A B
C 00 01 11 10
0 0 0 1 0
1 0 1 1 0
4,逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Y
&
≥ 1
&
A
B
B
C
ＡＢ
ＢＣ
５、波形 图波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、
低电平所构成的图形。
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｙ
０
０
０
０
０
０
１
０
０
１
０
０
０
１
１
１
１
０
０
０
１
０
１
０
１
１
０
１
１
１
１
１
０
０
０
０
Ｙ
2.4.2 逻辑函数表示方法之间的转换
1、由真值表到 逻辑图的转换真值表逻辑表达式或卡诺图
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
1
0
0
1
1
1
)7,6,5,2(m
ABCCABCBACBAY
1 1
A B
C 00 01 11 10
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
最简与或表达式化简 2
或
ACBACBAY
2
&
画逻辑图
3 &
&
≥1
ABCA
最简与或表达式
ACBACBAY
&
C
B
B
A
A
C
AB
AC
Y
A
C
B
B
A
A
C
Y
&
&
&
ABC
AB
AC
若用与非门实现，将最简与或表达式变换乘最简与非 -
与非表达式
ACBACBAY
3
2、由 逻辑图 到真值表 的转换逻辑图逻辑表达式
1
1
最简与或表达式化简 2
&
A ≥1
C
B
B
A
A
C
Y≥1
≥1
CBAY1
BAY2
CAY3
1Y
2Y
3Y
))()((
321
CABACBA
YYYY
2
CAABCBA
CBACBACABACBAY
))(())()((
从输入到输出逐级写出
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
0
0
1
0
1
1
最简与或表达式
3
真值表
CAABCBAY
3
