数字信号处理 第 1章?2004
数字信号处理课件第一章刘益成数字信号处理 第 1章?2004
第 一 章 离散的时间信号与系统
1-1 离散时间信号
1-2 离散时间系统
1-3 线性时不变系统的差分方程描述
1-4 连续时间信号的数字处理数字信号处理 第 1章?2004
1.1.1 离散时间信号及其时域表示
1-1 离散时间信号离散时间信号在物理上是指定义在离散时间上的信号 样品的集合,在数学上可用时间 序列 {x(n)}来表示。
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的
x(n)代表序列的第 n个样点的数字，
n代表时间的序号。
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离散时间信号的 时域表示
* 表示离散时间信号的方法可采用 枚举的方式 。
例如{x(n)}={…,-1.5,-8.7,2.53,0.0,6,7.2,…}
箭头表示时间的零点位置
*离散信号也可用 公式 表示例如
1,0
1,0
)(
s in)(
bnb
ana
nx
nnnx
n
n
数字信号处理 第 1章?2004
*离散信号还可用 图形的方式 表示图中横坐标 n表示离散的时间坐标，且仅在 n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。
许多时候为了方便，直接用 x(n)来代表序列全体 {x(n)}。 本书中,离散时间信号与序列 将不予区分。
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1.1.2 序列的基本运算
1,序列的加减序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，即
)()()( 21 nxnxny
示例见下数字信号处理 第 1章?2004
例：求 z(n)=x(n)+y(n)
解：
…
z(2)=x(2)+y(2)
z(1)=x(1)+y(1)
z(0)=x(0)+y(0)
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2,序列的乘积序列的乘积是指同序号的序列值对应相乘。即
)()()( nynxnz
示例见下数字信号处理 第 1章?2004
z(1)=x(1)·y(1)
解：
…
z(2)=x(2)·y(2)
z(0)=x(0)·y(0)
例：求 z(n)=x(n)·y(n)
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y(n)=x(n-n0)
n0 <0左移,n0>0右移如图,当 n0 =3时
3,序列的延时序列的延时是将序列全体在时间轴上移动 。
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4,序列乘常数序列乘以常数指将序列的每一个值都乘以常数，即
y(n)=ax(n)
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序列的反褶指将序列以 n=0为对称轴进行对褶。
5,序列的反褶
y(n)=x(-n)
如下图所示：
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6.序列的差分运算序列的差分运算指同一序列相邻的两个样点之差，分为前向差分和后向差分。
)()1()( nxnxnx前向差分：
)1()()( nxnxnx后向差分：
比较上面两式，显然有 )1()( nxnx
当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。
如二次差分
)2()1(2)(
)1()()]([)(2
nxnxnx
nnxnxnx
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7.序列的抽取与插值
y(-1)= x(-1·3)
y(0)= x(0·3)
y(1)= x(1·3)
解：
…
* 序列的抽取：指将原来的序列每隔 M个样点保留一个样点，去掉其中的 M-1个样点形成的新序列。 y(n)=x(nM)
如图所示,
取 M=3,则 y(n)=？
其分解过程见下例数字信号处理 第 1章?2004
* 序列的插值,指在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入 L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。
分解过程如下：
其他0
2,,0)/()( LLnLnxny
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例 1-1-1
)()()(3
)5()(2)()()1(
,5,5,
00
02
)(,
00
03
)(
12113
1221
2121
nyanxany
nxnynxny
aa
n
n
nx
n
n
nx
nn
）（
）（求：
02335
05
)()()(3 12113
n
n
nyanxany nn）（
00
02)()(1
21
n
nnxny n）（解：
50
53)5()()2( )5(
12
n
nnxny n
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0,0
0,1
)(
n
n
n?
mn
mn
mn
,0
,1
)(?
1
-2 -1 0 1 2
n?
n
-2 0 1 m n
1
-1
mn
…
1.1.3 一些常用序列
)(n?1,单位脉冲序列数字信号处理 第 1章?2004
2.单位阶跃序列 u(n)
0
)2()1()()()(
)1()()()(
m
nnnmnnu
nununun
与 u(n) 的关系)(n?
0,0
0,1
)(
n
n
nu,..
0 1 2 3 n
u(n)
1
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3.矩形序列 )(nR
N
)()()( NnununR N
与 u(n) 的关系)(nR
N
n
Nn
nR N
其他0
101
)(
0 1 2 3 n
)(nRN
1
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4.复指数序列
njenx )( 0)(
式中 ω0为数字频率
njenenx nn 00 s i nc o s)(
将复指数表示成实部与虚部其示意图如下：
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njenenx nn 00 s i nc o s)(
令中 σ = 0,则有 njnnx
00 s i nc o s)(
其实部与虚部分别为 余弦与正弦序列 。
余弦与正弦序列示意图如下：
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若虚列 x(n) 满足 x(n)=x(n+N)
,且 N是使其成立的最小正整数,则称序列 x(n)
为以 N为周期的周期序列。
1.1.4 序列的周期性下图为周期序列示意图
n
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按周期序列的定义，对正弦序列
x(n)=sin(ω0n+υ),因为
x(n)=sin(ω0n+υ)= sin(ω0n+υ+2kπ)
= sin[ω0 (n+ 2kπ / ω0)+ υ]
其中 k为整数，除非 p= 2kπ / ω0 为整数，
否则正弦序列没有周期数字信号处理 第 1章?2004
例 1-1-2 求 x(n)=sin(4πn/3)的周期 N。
解：因为 ω0n= 4π/3，
x(n)=sin(4πn/3+2kπ)
=sin[(4π/3)(n+6k/4)]，
所以 p= 2kπ / ω0= 6k/4，
取 k=2,得到 p的最小正周期数即 x(n)
的周期为 N=3。
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任意序列 x(n)都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
m
mnmxnx )()()(?
)(n?
其他0
1010
)(
na
nx
n如,
)()(
10
10
mnanx
m
m
可表示为数字信号处理 第 1章?2004
有界信号 x(n)（ ） 序列的 能量 E定义为
n
nxE 2)(
1.1.6 序列的能量与功率当 时，称信号为能量有限信号。
若序列的长度为有限长，且值为有限值，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。
E
bnx )(
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* 对非周期序列 x(n),若序列为无限长，
其平均功率定义为
*对周期为 N的周期序列 x(n),其平均功率定义为
EKnxKP
k
K
Knk 12
1lim)(
12
1lim 2
1
0
2)(~1 N
n
nxNP
能量为有限值，平均功率等于 0的信号称为能量信号。
能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。
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例 1-1-3 设离散信号 x(n)的表达式为
x(n)=6(-1)nu(n)
判断信号是能量信号还是功率信号。
解：信号的能量为
0
2 36)(
nn
nxE
1812 )1(36lim)136(12 1lim
0
K
K
KP k
K
nk
可见信号的能量为无限的，但其功率为数字信号处理 第 1章?2004
离散时间系统，是指将输入序列变换成输出序列的一种运算。
用 T[ ]表示变换关系，示意图如下。
y(n)=T[x(n)]
1-2 离散时间系统
1.2.1 线性时不变系统则有数字信号处理 第 1章?2004
若系统满足叠加原理
)()(
)()(
)()()(
,)()(,)()(
2211
2211
2211
2211
nyanya
nxTanxTa
nxanxaTny
nxTnynxTny
*线性时不变系统的性质
1,线性性那么该系统就是线性系统。
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若系统变换关系不随时间变化，亦即系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，
称作 时不变 系统。
2,时不变特性 （或移不变特性 ）
设 y(n) = T[x(n)]
则有 T[x(n-n0)]=y(n-n0),n0为常数用公式表示数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统,
n
m
mxnxTny )()]([)(证明：
线性性 设有序列 x1(n)和 x2(n)及常数 a1和 a2
则有
)()(
)]([)]([)()(
)]()([)]()([
2211
22112211
22112211
nyanya
mxTamxTamxamxa
mxamxanxanxaT
n
m
n
m
n
m
故知该系统为线性系统。
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时不变特性,由于
n
m
kmxknxT )()]([
在上式中令 i=m-k,则上式右边变为
)()()( knymxix
kn
m
kn
i
可见系统为时不变系统。
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1.2.2 线性时不变系统的基本元件线性时不变系统的由以下 3个元件组成
1) 加法器,用于实现序列的加法运算，其图形表示如图 a所示。
2) 系数乘法器,用于实现序列的乘以常数的运算，其图形表示如图 b所示。
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3) 延时器,用于实现序列的延时操作，其图形表示如图 c所示。
*如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学表达式为
y(n)=x(n)+ay(n-1)
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若给线性移不变系统输入单位脉冲 δ(n),则其输出 y(n)称为单位抽样响应，常用 h(n)表示,
即
1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统的卷积表示
)]([)( nTnh
若已知系统的 h(n),对于任意的输入 x(n)，
利用线性时不变特性可求得其输出 y(n)为数字信号处理 第 1章?2004
)()(
)()()]([)(
])()([)]([)(
nhnx
mnhmxmnTmx
mnmxTnxTny
mm
m
上式为 x(n)与 h(n)的线性卷积，它说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的卷积。
一般用 h(n)代表系统，示意图如下数字信号处理 第 1章?2004
*可交换性
)()()()()( nxnhnhnxny
)()(
)()()()()()(
)()()()(
2112
21
nhnx
nhnhnxnhnhnx
nhnhnxny
*结合性
1,卷积的性质若有两个级联系统 h1(n)和 h2(n),如图所示，
则有数字信号处理 第 1章?2004
)()()()(
)()()()(
21
21
nhnxnhnx
nhnhnxny
*分配性若有两个并联系统 h1(n)和 h2(n),如图所示，
则有以上两图中的系统分别等效数字信号处理 第 1章?2004
卷积的计算过程包括以下四个步骤：
反褶,移位,相乘,求和
2,卷积的运算
1) 反褶,先将 x(n)和 h(m)的变量 n换成 m,变成
x(m)和 h(m),再将 h(m)以 m=0为轴反褶成 h(-m)
。2) 移位，将 h(-m)移位 n,变成 h(n-m),n为正数，右移 n位,n为负数，左移 n位。
3) 相乘，将 h(n-m)与 x(m)在相同的对应点相乘。
4) 求和,将所有对应点乘积累加起来，就得到
n时刻的卷积值，对所有的 n重复以上步骤，
就可得到所有的卷积值 y(n)。
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-2 设
n
n
nh
n
n
n
nx
其他其他
0
201
)(
0
31
2)(
3
1
)()()()()(
m
mnhmxnhnxny
求：
下面举例说明数字信号处理 第 1章?2004
x(m)
0 1 2 3
1/2
1
3/2
m 0 1 2 m
1
h(m)
解,先给出 x(m)和 h(m)的图形数字信号处理 第 1章?2004
反褶,以 m=0为对称轴，
折叠 h(m) 得到 h(0-m)
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 1 2 m
1
h(m)
-1 0 1 2 3 4 5
y(n)
n
可见,当 n<1时,x(m)与
h(n-m)无交叠，相乘处 处为零，即 y(n)=0,n<1
0 m
h(0-m)
-2 -1
n=0反褶1
0 m
h(-1-m)
-2 -1
n=-1左移
-3
1
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可见 当 1 ≤ n≤2时,x(m)与
h(n-m) 有交叠，从 m=1到
m=n,即
)1(
2
1
2
1
2
1
)()()(
1
1
nnm
mnhmxny
n
m
n
m
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
移位得
2
3
111
2
1
)2(
2
1
101
2
1
)1(
y
y
0 m
h(1-m)
-1
n=1右移
0 m
h(2-m)
2
n=2右移
1
1
1
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当 3 ≤ n≤5时,x(m)与 h(n-m)
有交叠，上限为 3，下限为
n-2,即
3
2
3
2 2
1)()()(
nmnm
mmnhmxny
得
2
3
1
2
3
)5(
2
5
101
2
3
110
2
1
)4(
31
2
3
111
2
1
)3(
y
y
y
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 m
h(3-m)
2
n=3右移
1 3
1
0 m
h(4-m)
2
n=4右移
1 3 4
1
0 m
h(5-m)
2
n=5右移
1 3 4 5
1
数字信号处理 第 1章?2004
当 n>5时,x(m)与 h(n-m)
无交叠，相乘处 处为零，
即 y(n)=0,n>5
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 1 2 m
1
h(m)
3 4 5 6
n>5右移数字信号处理 第 1章?2004
综上可得 y(n)如下
2
3
1
2
3
)5(
2
5
101
2
3
110
2
1
)4(
31
2
3
111
2
1
)3(
2
3
111
2
1
)2(
2
1
101
2
1
)1(
y
y
y
y
y
0 1 2 3 4 5
y(n)
n
1/2
3/2
3
5/2
3/2
n<1,n>5时 y(n)=0
数字信号处理 第 1章?2004
1.2.4 序列的线性相关定义两个序列 x(n)和 y(n)的线性互相关序列 rxy(m)为
nn
xy nymnxmnynxmr )()()()()(
式中 m代表两个序列的相对位移。
式中 rxy(m)的下标顺序 xy表示在上述互相关运算中,x(n)在时间上保持不变，而对
y(n)进行相对移位。
数字信号处理 第 1章?2004
)()()()()()( mrnxmkymnxnymr xy
kn
yx
如果反过来 y(n)在时间上保持不变，而对
x(n)进行相对移位,则结果 ryx(m)为若 x(n)=y(n),则称为 x(n)的线性自相关，即
n
xx mnxnxmr )()()(
显然，当 m=0时，有
Enxr
n
xx
)()0( 2
数字信号处理 第 1章?2004
卷积运算与相关运算的关系
n
nn
xy
mxmynmxny
mnxnymnynxmr
)()()]([)(
)()()()()(
上式说明序列 y(n)相对参考序列 x(n)的互相关运算，可以将 y(n)通过具有单位脉冲响应为 x(-n)的线性时不变系统得到。
数字信号处理 第 1章?2004
因果性 是指系统在 n时刻的输出只取决于 n时刻以及 n时刻以前的输入，而与 n时刻以后的输入无关。
1.2.5 系统的因果性与稳定性
1,系统的因果性线性时不变因果系统的充要条件为
h(n)=h(n)u(n)
因果性说明了系统的可实现性。
如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是不可实现的。
数字信号处理 第 1章?2004
证明,充分性 若 n<0,h(n)=0,则利用卷积公式，对于任何输入 x(n),其输出为
m
mnhmxny )()()(
对某个时刻 n0,其输出 y(n0)为
0
)()()( 00
n
m
mnhmxny
上式表明 n0时刻的输出 y(n0)只与 m≤ n0的所有 x(m)有关，而与 m>n0的 x(m)无关。
因此，该系统为因果性系统。
下面证明线性时不变因果系统的充要条件数字信号处理 第 1章?2004
1
000
0
0
)()()()()(
nm
n
m
mnhmxmnhmxny
必要性,采用反证法。假定系统为因果性系统，但在 n<0时 h(n)≠0,按卷积公式，对于任何输入 x(n),n0时刻的其输出 y(n0)为这样，由于 n<0时 h(n) ≠ 0,上式中右边的第二项和式中至少有一项不为零，也就是说，
n0时刻的输出 y(n0)只少于一个 m> n0的 x (m) 有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有 n<0时 h(n)=0。
证毕。
数字信号处理 第 1章?2004
2,系统的稳定性系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入 —有界输出 (BIBO)稳定性。
系统的稳定条件为
n
nh )(
数字信号处理 第 1章?2004
下面证明系统的稳定条件证明,充分性
KMihKmnhK
mnhmxmnhmxny
KnxMnh
im
mm
n
)()(
)()()()()(
)()(
则有界，，若信号设可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。
数字信号处理 第 1章?2004
必要性 采用反证法。
mmm
n
mhmhmhmxy
nh
nh
nx
nh
)()()()()0(
0)(1
0)(1
)(
)(
则现在令有界输入为
。且有假定系统为稳定系统，
即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。
因此必须要有条件式 。?
n
nh )(
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-3 若系统的单位脉冲响应为
h(n)=-anu(-n-1),讨论系统的因果性与稳定性。
解,因果性 因在 n<0时,h(n)≠0，
故系统为非因果系统稳定性
n n n
nn
a
a
aaanh
1
1 1
1
1
1
)(
不稳定稳定数字信号处理 第 1章?2004
N
k
M
m
mk mnxbknya
0 0
)()(
*表示法
1-3 线性时不变系统的差分方程描述
1.3.1 差分方程描述系数 ak(k=1,…,N),bk (k=1,…,N) 均为常数阶数 指方程中 y(n-k)的最高阶与最低阶之差线性 指方程中仅有 y(n-k)的一次幂，不含它们的相乘项数字信号处理 第 1章?2004
1.3.2 差分方程的求解解法：
1) 经典解法
2) 递推解法
3) Z变换方法本节仅举例说明零状态响应的递推解法数字信号处理 第 1章?2004
例 1-3-1 试求一阶差分方程 y(n)= ay(n-1) +x(n)
的单位脉冲响应，初始条件为 y(n)=0(n<0)。
解：对单位脉冲响应,x(n)=δ(n),y(n)=h(n),上式可变为 h(n)=ah(n-1)+ δ(n)
h(0)=1
h(1)=ah(0)+ 0=a
h(2)=ah(1)+ 0=a2
h(n)=ah(n-1)+ 0= an
写成一般形式为 h(n)= anu(n) 为因果系统数字信号处理 第 1章?2004
一个常系数线性差分方程是否因果系统，由 边界条件 （初始）所决定。
即初始条件具有 y(n)=0(n<0)的形式，
且有初始条件向 n>0方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。
注：
数字信号处理 第 1章?2004
为了利用数字系统来处理模拟信号，
必须先将模拟信号转换成数字信号，在数字系统中进行处理后在转换成模拟信号。其典型框图如下：
本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的基本数学原理。
1-4 连续时间信号的数字处理数字信号处理 第 1章?2004
1.4.1 抽样定理与 A/D转换器抽样 是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。
抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。
数字信号处理 第 1章?2004
1,理想抽样及其频谱理想抽样,当 τ 趋于零的极限情况时,
脉冲序列 p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。
抽样过程,均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，数学表示为 。
xa(t)为调制信号即输入的模拟信号,p(t)为载波信号是一串周期为 T,脉宽为 τ的矩形脉冲串,调制后输出的信号就是抽样信号 。)(? tx
a
)()()(? tptxtx aa?
数字信号处理 第 1章?2004
理想抽样过程示意图数字信号处理 第 1章?2004
m
a
m
a
aa
mTtmTx
mTttx
tMtxtx
)()(
)()(
)()()(?
用 M(t)表示冲击函数串 M(t)=
m
mTt )(?
则因此 实际上是 xa(t)在离散时刻 mT的取值 xa(mT)的集合。
)(? txa
数字信号处理 第 1章?2004
(2) 抽样信号 的频谱
表示傅里叶变换其中 ][
)]([)()()(
FtxFjX
tMFjMtxFjX
aa
aa
)(? txa
设模拟信号 xa(t),冲击函数串 M(t),抽样脉冲串以及抽样信号 的傅里叶变换分别为)(? tx
a
)()(2 1)()()( jMjXtMtxFjX aaa?
由频域卷积定理得
dtetxtxFjX jtaaa )()()(其中
k
sstjk keTFtMFjM s )(]1[)]([)(?
数字信号处理 第 1章?2004
k
sa
k
sa
k
sa
m
assa
jkjX
T
dkjX
T
dkjX
T
jXkjX
)(
1
)(
1
)(
1
])()([
2
1
)(
将 Xa(jΩ)和 M(jΩ)带入 式中，得)(jx
a
数字信号处理 第 1章?2004
k
saa jkjXTjX )(
1)(?
可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为周期性信号，且以抽样频率 Ωs=2π/T
为间隔周期重复。
即数字信号处理 第 1章?2004
如图所示（图中仅为其幅度谱）：
也就是说，理想抽样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，周期为 Ωs,其频谱的幅度与原信号的普相差一个常数因子 1/T。
数字信号处理 第 1章?2004
如果 xa(t)的频谱 Xa(jΩ)为被限制在某一最高频率 Ωh范围内，其频谱如图 a所示，则称其为带限信号。
)( jX a 0
hjXa
h
数字信号处理 第 1章?2004
对带限信号的抽样满足 Ωh≤Ωs/2时,
原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,
如图 b所示,
如采用一个截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的连续信号。
数字信号处理 第 1章?2004
但如果信号的最高频率 Ωh超过 Ωs/2,
则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法不是真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如图 c所示 。
数字信号处理 第 1章?2004
* Ωs/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。
)( jX a 0
hjXa
h
称为基带谱。*
* 重要结论,要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率 (Ωh≤Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理,
数字信号处理 第 1章?2004
2,A/D转换器的基本原理
A/D转换器包括三个基本功能 ——
抽样，抽样保持，量化与编码。
其框图如下所示：
数字信号处理 第 1章?2004
如果抽样信号 或 通过一理想低通滤波器,就可恢复原信号 或 。
txajX a?
)2( s
txajX a
1.4.2 抽样信号的恢复与 D/A转换器
1,抽样信号的恢复数字信号处理 第 1章?2004
1）低通滤波器 的冲激响应 h(t)
由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原理
)
2
)((s i n
)/(
)/s i n (
2/
)2/s i n (
2
)(
2
1
)(
2/
2/
T
t
T
c
tT
tT
t
t
de
T
dejHth
s
s
stj
tj
s
s
其中，
数字信号处理 第 1章?2004
2）理想低通滤波器 (filter)的输出
m
a
m
a
m
a
m
a
aa
mTt
T
cmTx
mTthmTx
dthmTmTx
dthmTmTx
dthxty
][s i n
)(
*输出 =原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
数字信号处理 第 1章?2004
3）内插函数 的特性：
)]([s i n mTt
T
c
在 抽样点 mT上，其值为 1;其余抽样点上，
其值为 0。这保证了各抽样点上信号值不变。
内插函数波形数字信号处理 第 1章?2004
（ 1）在抽样点上，信号值不变；
（ 2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。
m
aa mTtTcmTxtx ][s in
4) 的说明
)(txa
T 2T 3T0 4T
数字信号处理 第 1章?2004
2,D/A转换器的基本原理
D/A转换器的框图如下：
译码将数字信号 x(n)转换成抽样信号
x(nT)=,零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号 。图形如下：
)(? tX a
)(' tX a
数字信号处理 第 1章?2004
数字信号处理 第 1章?2004
零阶保持器的单位冲击响应 h1(t)及其频率响应 H1(jΩ)分别为
h1(t)= 1 0 ≤t<T0 其他
2/
0
11
2/
)2/s i n (
)()(
Tj
T
tjtj
e
T
T
T
dtedtethtH
数字信号处理 第 1章?2004
其时域与频域幅度波形图分别如下：
由 H1(jΩ)的波形可见，它是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。
数字信号处理 第 1章?2004
1.4.3 带通信号的抽样带通信号 ——即频谱范围被限制在某一最低频率和某一最高频率范围内,Ω1≤Ω ≤ Ωh
的信号。其有效频带或带宽为 Ω= Ωh–Ω1 。
现假定信号的最高频率 Ωh=M? Ω
选择抽样频率 Ωs 满足条件 Ωs = 2 Ω=2Ωh/M
则抽样信号频谱为上式保证了各个延位后 的相加不会发生混叠。
k
aa kjjXTjX )2(
1)(?
)2( kjjX a
数字信号处理 第 1章?2004
下图给出了 Ωs = 2Ωh/M中用 M=4进行抽样后的频谱图。)(jX
a
数字信号处理 第 1章?2004
从图可见，将 通过一个频率特性为的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱
)(jX a
HP(jΩ)= T Ω1 ≤ Ω≤Ωh
0 其他
)(?jX a
如果 Ωh不是 的整数倍，可将 人为地向频率的低端或高端进行扩展，使 Ωh成为扩展后的带宽的整数倍。
Ω Ω
数字信号处理 第 1章?2004
如将带宽向频率的低端扩展到 Ω0，扩展后 Ωh 是新的带宽? Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按
Ωs = 2Ωh/M选择 M进行抽样。如令 M=3,则有这样做虽然带宽有所扩大，但比按 2Ωh的抽样频率进行抽样仍然要有效的多。
数字信号处理课件第一章刘益成数字信号处理 第 1章?2004
第 一 章 离散的时间信号与系统
1-1 离散时间信号
1-2 离散时间系统
1-3 线性时不变系统的差分方程描述
1-4 连续时间信号的数字处理数字信号处理 第 1章?2004
1.1.1 离散时间信号及其时域表示
1-1 离散时间信号离散时间信号在物理上是指定义在离散时间上的信号 样品的集合,在数学上可用时间 序列 {x(n)}来表示。
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的
x(n)代表序列的第 n个样点的数字，
n代表时间的序号。
数字信号处理 第 1章?2004
离散时间信号的 时域表示
* 表示离散时间信号的方法可采用 枚举的方式 。
例如{x(n)}={…,-1.5,-8.7,2.53,0.0,6,7.2,…}
箭头表示时间的零点位置
*离散信号也可用 公式 表示例如
1,0
1,0
)(
s in)(
bnb
ana
nx
nnnx
n
n
数字信号处理 第 1章?2004
*离散信号还可用 图形的方式 表示图中横坐标 n表示离散的时间坐标，且仅在 n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。
许多时候为了方便，直接用 x(n)来代表序列全体 {x(n)}。 本书中,离散时间信号与序列 将不予区分。
数字信号处理 第 1章?2004
1.1.2 序列的基本运算
1,序列的加减序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，即
)()()( 21 nxnxny
示例见下数字信号处理 第 1章?2004
例：求 z(n)=x(n)+y(n)
解：
…
z(2)=x(2)+y(2)
z(1)=x(1)+y(1)
z(0)=x(0)+y(0)
数字信号处理 第 1章?2004
2,序列的乘积序列的乘积是指同序号的序列值对应相乘。即
)()()( nynxnz
示例见下数字信号处理 第 1章?2004
z(1)=x(1)·y(1)
解：
…
z(2)=x(2)·y(2)
z(0)=x(0)·y(0)
例：求 z(n)=x(n)·y(n)
数字信号处理 第 1章?2004
y(n)=x(n-n0)
n0 <0左移,n0>0右移如图,当 n0 =3时
3,序列的延时序列的延时是将序列全体在时间轴上移动 。
数字信号处理 第 1章?2004
4,序列乘常数序列乘以常数指将序列的每一个值都乘以常数，即
y(n)=ax(n)
数字信号处理 第 1章?2004
序列的反褶指将序列以 n=0为对称轴进行对褶。
5,序列的反褶
y(n)=x(-n)
如下图所示：
数字信号处理 第 1章?2004
6.序列的差分运算序列的差分运算指同一序列相邻的两个样点之差，分为前向差分和后向差分。
)()1()( nxnxnx前向差分：
)1()()( nxnxnx后向差分：
比较上面两式，显然有 )1()( nxnx
当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。
如二次差分
)2()1(2)(
)1()()]([)(2
nxnxnx
nnxnxnx
数字信号处理 第 1章?2004
7.序列的抽取与插值
y(-1)= x(-1·3)
y(0)= x(0·3)
y(1)= x(1·3)
解：
…
* 序列的抽取：指将原来的序列每隔 M个样点保留一个样点，去掉其中的 M-1个样点形成的新序列。 y(n)=x(nM)
如图所示,
取 M=3,则 y(n)=？
其分解过程见下例数字信号处理 第 1章?2004
* 序列的插值,指在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入 L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。
分解过程如下：
其他0
2,,0)/()( LLnLnxny
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-1-1
)()()(3
)5()(2)()()1(
,5,5,
00
02
)(,
00
03
)(
12113
1221
2121
nyanxany
nxnynxny
aa
n
n
nx
n
n
nx
nn
）（
）（求：
02335
05
)()()(3 12113
n
n
nyanxany nn）（
00
02)()(1
21
n
nnxny n）（解：
50
53)5()()2( )5(
12
n
nnxny n
数字信号处理 第 1章?2004
0,0
0,1
)(
n
n
n?
mn
mn
mn
,0
,1
)(?
1
-2 -1 0 1 2
n?
n
-2 0 1 m n
1
-1
mn
…
1.1.3 一些常用序列
)(n?1,单位脉冲序列数字信号处理 第 1章?2004
2.单位阶跃序列 u(n)
0
)2()1()()()(
)1()()()(
m
nnnmnnu
nununun
与 u(n) 的关系)(n?
0,0
0,1
)(
n
n
nu,..
0 1 2 3 n
u(n)
1
数字信号处理 第 1章?2004
3.矩形序列 )(nR
N
)()()( NnununR N
与 u(n) 的关系)(nR
N
n
Nn
nR N
其他0
101
)(
0 1 2 3 n
)(nRN
1
数字信号处理 第 1章?2004
4.复指数序列
njenx )( 0)(
式中 ω0为数字频率
njenenx nn 00 s i nc o s)(
将复指数表示成实部与虚部其示意图如下：
数字信号处理 第 1章?2004
njenenx nn 00 s i nc o s)(
令中 σ = 0,则有 njnnx
00 s i nc o s)(
其实部与虚部分别为 余弦与正弦序列 。
余弦与正弦序列示意图如下：
数字信号处理 第 1章?2004
若虚列 x(n) 满足 x(n)=x(n+N)
,且 N是使其成立的最小正整数,则称序列 x(n)
为以 N为周期的周期序列。
1.1.4 序列的周期性下图为周期序列示意图
n
数字信号处理 第 1章?2004
按周期序列的定义，对正弦序列
x(n)=sin(ω0n+υ),因为
x(n)=sin(ω0n+υ)= sin(ω0n+υ+2kπ)
= sin[ω0 (n+ 2kπ / ω0)+ υ]
其中 k为整数，除非 p= 2kπ / ω0 为整数，
否则正弦序列没有周期数字信号处理 第 1章?2004
例 1-1-2 求 x(n)=sin(4πn/3)的周期 N。
解：因为 ω0n= 4π/3，
x(n)=sin(4πn/3+2kπ)
=sin[(4π/3)(n+6k/4)]，
所以 p= 2kπ / ω0= 6k/4，
取 k=2,得到 p的最小正周期数即 x(n)
的周期为 N=3。
数字信号处理 第 1章?2004
任意序列 x(n)都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即
1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
m
mnmxnx )()()(?
)(n?
其他0
1010
)(
na
nx
n如,
)()(
10
10
mnanx
m
m
可表示为数字信号处理 第 1章?2004
有界信号 x(n)（ ） 序列的 能量 E定义为
n
nxE 2)(
1.1.6 序列的能量与功率当 时，称信号为能量有限信号。
若序列的长度为有限长，且值为有限值，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。
E
bnx )(
数字信号处理 第 1章?2004
* 对非周期序列 x(n),若序列为无限长，
其平均功率定义为
*对周期为 N的周期序列 x(n),其平均功率定义为
EKnxKP
k
K
Knk 12
1lim)(
12
1lim 2
1
0
2)(~1 N
n
nxNP
能量为有限值，平均功率等于 0的信号称为能量信号。
能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-1-3 设离散信号 x(n)的表达式为
x(n)=6(-1)nu(n)
判断信号是能量信号还是功率信号。
解：信号的能量为
0
2 36)(
nn
nxE
1812 )1(36lim)136(12 1lim
0
K
K
KP k
K
nk
可见信号的能量为无限的，但其功率为数字信号处理 第 1章?2004
离散时间系统，是指将输入序列变换成输出序列的一种运算。
用 T[ ]表示变换关系，示意图如下。
y(n)=T[x(n)]
1-2 离散时间系统
1.2.1 线性时不变系统则有数字信号处理 第 1章?2004
若系统满足叠加原理
)()(
)()(
)()()(
,)()(,)()(
2211
2211
2211
2211
nyanya
nxTanxTa
nxanxaTny
nxTnynxTny
*线性时不变系统的性质
1,线性性那么该系统就是线性系统。
数字信号处理 第 1章?2004
若系统变换关系不随时间变化，亦即系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，
称作 时不变 系统。
2,时不变特性 （或移不变特性 ）
设 y(n) = T[x(n)]
则有 T[x(n-n0)]=y(n-n0),n0为常数用公式表示数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统,
n
m
mxnxTny )()]([)(证明：
线性性 设有序列 x1(n)和 x2(n)及常数 a1和 a2
则有
)()(
)]([)]([)()(
)]()([)]()([
2211
22112211
22112211
nyanya
mxTamxTamxamxa
mxamxanxanxaT
n
m
n
m
n
m
故知该系统为线性系统。
数字信号处理 第 1章?2004
时不变特性,由于
n
m
kmxknxT )()]([
在上式中令 i=m-k,则上式右边变为
)()()( knymxix
kn
m
kn
i
可见系统为时不变系统。
数字信号处理 第 1章?2004
1.2.2 线性时不变系统的基本元件线性时不变系统的由以下 3个元件组成
1) 加法器,用于实现序列的加法运算，其图形表示如图 a所示。
2) 系数乘法器,用于实现序列的乘以常数的运算，其图形表示如图 b所示。
数字信号处理 第 1章?2004
3) 延时器,用于实现序列的延时操作，其图形表示如图 c所示。
*如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学表达式为
y(n)=x(n)+ay(n-1)
数字信号处理 第 1章?2004
若给线性移不变系统输入单位脉冲 δ(n),则其输出 y(n)称为单位抽样响应，常用 h(n)表示,
即
1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统的卷积表示
)]([)( nTnh
若已知系统的 h(n),对于任意的输入 x(n)，
利用线性时不变特性可求得其输出 y(n)为数字信号处理 第 1章?2004
)()(
)()()]([)(
])()([)]([)(
nhnx
mnhmxmnTmx
mnmxTnxTny
mm
m
上式为 x(n)与 h(n)的线性卷积，它说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的卷积。
一般用 h(n)代表系统，示意图如下数字信号处理 第 1章?2004
*可交换性
)()()()()( nxnhnhnxny
)()(
)()()()()()(
)()()()(
2112
21
nhnx
nhnhnxnhnhnx
nhnhnxny
*结合性
1,卷积的性质若有两个级联系统 h1(n)和 h2(n),如图所示，
则有数字信号处理 第 1章?2004
)()()()(
)()()()(
21
21
nhnxnhnx
nhnhnxny
*分配性若有两个并联系统 h1(n)和 h2(n),如图所示，
则有以上两图中的系统分别等效数字信号处理 第 1章?2004
卷积的计算过程包括以下四个步骤：
反褶,移位,相乘,求和
2,卷积的运算
1) 反褶,先将 x(n)和 h(m)的变量 n换成 m,变成
x(m)和 h(m),再将 h(m)以 m=0为轴反褶成 h(-m)
。2) 移位，将 h(-m)移位 n,变成 h(n-m),n为正数，右移 n位,n为负数，左移 n位。
3) 相乘，将 h(n-m)与 x(m)在相同的对应点相乘。
4) 求和,将所有对应点乘积累加起来，就得到
n时刻的卷积值，对所有的 n重复以上步骤，
就可得到所有的卷积值 y(n)。
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-2 设
n
n
nh
n
n
n
nx
其他其他
0
201
)(
0
31
2)(
3
1
)()()()()(
m
mnhmxnhnxny
求：
下面举例说明数字信号处理 第 1章?2004
x(m)
0 1 2 3
1/2
1
3/2
m 0 1 2 m
1
h(m)
解,先给出 x(m)和 h(m)的图形数字信号处理 第 1章?2004
反褶,以 m=0为对称轴，
折叠 h(m) 得到 h(0-m)
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 1 2 m
1
h(m)
-1 0 1 2 3 4 5
y(n)
n
可见,当 n<1时,x(m)与
h(n-m)无交叠，相乘处 处为零，即 y(n)=0,n<1
0 m
h(0-m)
-2 -1
n=0反褶1
0 m
h(-1-m)
-2 -1
n=-1左移
-3
1
数字信号处理 第 1章?2004
可见 当 1 ≤ n≤2时,x(m)与
h(n-m) 有交叠，从 m=1到
m=n,即
)1(
2
1
2
1
2
1
)()()(
1
1
nnm
mnhmxny
n
m
n
m
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
移位得
2
3
111
2
1
)2(
2
1
101
2
1
)1(
y
y
0 m
h(1-m)
-1
n=1右移
0 m
h(2-m)
2
n=2右移
1
1
1
数字信号处理 第 1章?2004
当 3 ≤ n≤5时,x(m)与 h(n-m)
有交叠，上限为 3，下限为
n-2,即
3
2
3
2 2
1)()()(
nmnm
mmnhmxny
得
2
3
1
2
3
)5(
2
5
101
2
3
110
2
1
)4(
31
2
3
111
2
1
)3(
y
y
y
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 m
h(3-m)
2
n=3右移
1 3
1
0 m
h(4-m)
2
n=4右移
1 3 4
1
0 m
h(5-m)
2
n=5右移
1 3 4 5
1
数字信号处理 第 1章?2004
当 n>5时,x(m)与 h(n-m)
无交叠，相乘处 处为零，
即 y(n)=0,n>5
x(m)
0 1 2 3
1/21
3/2
m
0 1 2 m
1
h(m)
3 4 5 6
n>5右移数字信号处理 第 1章?2004
综上可得 y(n)如下
2
3
1
2
3
)5(
2
5
101
2
3
110
2
1
)4(
31
2
3
111
2
1
)3(
2
3
111
2
1
)2(
2
1
101
2
1
)1(
y
y
y
y
y
0 1 2 3 4 5
y(n)
n
1/2
3/2
3
5/2
3/2
n<1,n>5时 y(n)=0
数字信号处理 第 1章?2004
1.2.4 序列的线性相关定义两个序列 x(n)和 y(n)的线性互相关序列 rxy(m)为
nn
xy nymnxmnynxmr )()()()()(
式中 m代表两个序列的相对位移。
式中 rxy(m)的下标顺序 xy表示在上述互相关运算中,x(n)在时间上保持不变，而对
y(n)进行相对移位。
数字信号处理 第 1章?2004
)()()()()()( mrnxmkymnxnymr xy
kn
yx
如果反过来 y(n)在时间上保持不变，而对
x(n)进行相对移位,则结果 ryx(m)为若 x(n)=y(n),则称为 x(n)的线性自相关，即
n
xx mnxnxmr )()()(
显然，当 m=0时，有
Enxr
n
xx
)()0( 2
数字信号处理 第 1章?2004
卷积运算与相关运算的关系
n
nn
xy
mxmynmxny
mnxnymnynxmr
)()()]([)(
)()()()()(
上式说明序列 y(n)相对参考序列 x(n)的互相关运算，可以将 y(n)通过具有单位脉冲响应为 x(-n)的线性时不变系统得到。
数字信号处理 第 1章?2004
因果性 是指系统在 n时刻的输出只取决于 n时刻以及 n时刻以前的输入，而与 n时刻以后的输入无关。
1.2.5 系统的因果性与稳定性
1,系统的因果性线性时不变因果系统的充要条件为
h(n)=h(n)u(n)
因果性说明了系统的可实现性。
如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是不可实现的。
数字信号处理 第 1章?2004
证明,充分性 若 n<0,h(n)=0,则利用卷积公式，对于任何输入 x(n),其输出为
m
mnhmxny )()()(
对某个时刻 n0,其输出 y(n0)为
0
)()()( 00
n
m
mnhmxny
上式表明 n0时刻的输出 y(n0)只与 m≤ n0的所有 x(m)有关，而与 m>n0的 x(m)无关。
因此，该系统为因果性系统。
下面证明线性时不变因果系统的充要条件数字信号处理 第 1章?2004
1
000
0
0
)()()()()(
nm
n
m
mnhmxmnhmxny
必要性,采用反证法。假定系统为因果性系统，但在 n<0时 h(n)≠0,按卷积公式，对于任何输入 x(n),n0时刻的其输出 y(n0)为这样，由于 n<0时 h(n) ≠ 0,上式中右边的第二项和式中至少有一项不为零，也就是说，
n0时刻的输出 y(n0)只少于一个 m> n0的 x (m) 有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有 n<0时 h(n)=0。
证毕。
数字信号处理 第 1章?2004
2,系统的稳定性系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入 —有界输出 (BIBO)稳定性。
系统的稳定条件为
n
nh )(
数字信号处理 第 1章?2004
下面证明系统的稳定条件证明,充分性
KMihKmnhK
mnhmxmnhmxny
KnxMnh
im
mm
n
)()(
)()()()()(
)()(
则有界，，若信号设可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。
数字信号处理 第 1章?2004
必要性 采用反证法。
mmm
n
mhmhmhmxy
nh
nh
nx
nh
)()()()()0(
0)(1
0)(1
)(
)(
则现在令有界输入为
。且有假定系统为稳定系统，
即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。
因此必须要有条件式 。?
n
nh )(
数字信号处理 第 1章?2004
例 1-2-3 若系统的单位脉冲响应为
h(n)=-anu(-n-1),讨论系统的因果性与稳定性。
解,因果性 因在 n<0时,h(n)≠0，
故系统为非因果系统稳定性
n n n
nn
a
a
aaanh
1
1 1
1
1
1
)(
不稳定稳定数字信号处理 第 1章?2004
N
k
M
m
mk mnxbknya
0 0
)()(
*表示法
1-3 线性时不变系统的差分方程描述
1.3.1 差分方程描述系数 ak(k=1,…,N),bk (k=1,…,N) 均为常数阶数 指方程中 y(n-k)的最高阶与最低阶之差线性 指方程中仅有 y(n-k)的一次幂，不含它们的相乘项数字信号处理 第 1章?2004
1.3.2 差分方程的求解解法：
1) 经典解法
2) 递推解法
3) Z变换方法本节仅举例说明零状态响应的递推解法数字信号处理 第 1章?2004
例 1-3-1 试求一阶差分方程 y(n)= ay(n-1) +x(n)
的单位脉冲响应，初始条件为 y(n)=0(n<0)。
解：对单位脉冲响应,x(n)=δ(n),y(n)=h(n),上式可变为 h(n)=ah(n-1)+ δ(n)
h(0)=1
h(1)=ah(0)+ 0=a
h(2)=ah(1)+ 0=a2
h(n)=ah(n-1)+ 0= an
写成一般形式为 h(n)= anu(n) 为因果系统数字信号处理 第 1章?2004
一个常系数线性差分方程是否因果系统，由 边界条件 （初始）所决定。
即初始条件具有 y(n)=0(n<0)的形式，
且有初始条件向 n>0方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。
注：
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为了利用数字系统来处理模拟信号，
必须先将模拟信号转换成数字信号，在数字系统中进行处理后在转换成模拟信号。其典型框图如下：
本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的基本数学原理。
1-4 连续时间信号的数字处理数字信号处理 第 1章?2004
1.4.1 抽样定理与 A/D转换器抽样 是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。
抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。
数字信号处理 第 1章?2004
1,理想抽样及其频谱理想抽样,当 τ 趋于零的极限情况时,
脉冲序列 p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。
抽样过程,均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，数学表示为 。
xa(t)为调制信号即输入的模拟信号,p(t)为载波信号是一串周期为 T,脉宽为 τ的矩形脉冲串,调制后输出的信号就是抽样信号 。)(? tx
a
)()()(? tptxtx aa?
数字信号处理 第 1章?2004
理想抽样过程示意图数字信号处理 第 1章?2004
m
a
m
a
aa
mTtmTx
mTttx
tMtxtx
)()(
)()(
)()()(?
用 M(t)表示冲击函数串 M(t)=
m
mTt )(?
则因此 实际上是 xa(t)在离散时刻 mT的取值 xa(mT)的集合。
)(? txa
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(2) 抽样信号 的频谱
表示傅里叶变换其中 ][
)]([)()()(
FtxFjX
tMFjMtxFjX
aa
aa
)(? txa
设模拟信号 xa(t),冲击函数串 M(t),抽样脉冲串以及抽样信号 的傅里叶变换分别为)(? tx
a
)()(2 1)()()( jMjXtMtxFjX aaa?
由频域卷积定理得
dtetxtxFjX jtaaa )()()(其中
k
sstjk keTFtMFjM s )(]1[)]([)(?
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k
sa
k
sa
k
sa
m
assa
jkjX
T
dkjX
T
dkjX
T
jXkjX
)(
1
)(
1
)(
1
])()([
2
1
)(
将 Xa(jΩ)和 M(jΩ)带入 式中，得)(jx
a
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k
saa jkjXTjX )(
1)(?
可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为周期性信号，且以抽样频率 Ωs=2π/T
为间隔周期重复。
即数字信号处理 第 1章?2004
如图所示（图中仅为其幅度谱）：
也就是说，理想抽样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，周期为 Ωs,其频谱的幅度与原信号的普相差一个常数因子 1/T。
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如果 xa(t)的频谱 Xa(jΩ)为被限制在某一最高频率 Ωh范围内，其频谱如图 a所示，则称其为带限信号。
)( jX a 0
hjXa
h
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对带限信号的抽样满足 Ωh≤Ωs/2时,
原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,
如图 b所示,
如采用一个截止频率为 Ωs/2的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的连续信号。
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但如果信号的最高频率 Ωh超过 Ωs/2,
则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法不是真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如图 c所示 。
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* Ωs/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。
)( jX a 0
hjXa
h
称为基带谱。*
* 重要结论,要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率 (Ωh≤Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理,
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2,A/D转换器的基本原理
A/D转换器包括三个基本功能 ——
抽样，抽样保持，量化与编码。
其框图如下所示：
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如果抽样信号 或 通过一理想低通滤波器,就可恢复原信号 或 。
txajX a?
)2( s
txajX a
1.4.2 抽样信号的恢复与 D/A转换器
1,抽样信号的恢复数字信号处理 第 1章?2004
1）低通滤波器 的冲激响应 h(t)
由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原理
)
2
)((s i n
)/(
)/s i n (
2/
)2/s i n (
2
)(
2
1
)(
2/
2/
T
t
T
c
tT
tT
t
t
de
T
dejHth
s
s
stj
tj
s
s
其中，
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2）理想低通滤波器 (filter)的输出
m
a
m
a
m
a
m
a
aa
mTt
T
cmTx
mTthmTx
dthmTmTx
dthmTmTx
dthxty
][s i n
)(
*输出 =原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
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3）内插函数 的特性：
)]([s i n mTt
T
c
在 抽样点 mT上，其值为 1;其余抽样点上，
其值为 0。这保证了各抽样点上信号值不变。
内插函数波形数字信号处理 第 1章?2004
（ 1）在抽样点上，信号值不变；
（ 2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。
m
aa mTtTcmTxtx ][s in
4) 的说明
)(txa
T 2T 3T0 4T
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2,D/A转换器的基本原理
D/A转换器的框图如下：
译码将数字信号 x(n)转换成抽样信号
x(nT)=,零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号 。图形如下：
)(? tX a
)(' tX a
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零阶保持器的单位冲击响应 h1(t)及其频率响应 H1(jΩ)分别为
h1(t)= 1 0 ≤t<T0 其他
2/
0
11
2/
)2/s i n (
)()(
Tj
T
tjtj
e
T
T
T
dtedtethtH
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其时域与频域幅度波形图分别如下：
由 H1(jΩ)的波形可见，它是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。
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1.4.3 带通信号的抽样带通信号 ——即频谱范围被限制在某一最低频率和某一最高频率范围内,Ω1≤Ω ≤ Ωh
的信号。其有效频带或带宽为 Ω= Ωh–Ω1 。
现假定信号的最高频率 Ωh=M? Ω
选择抽样频率 Ωs 满足条件 Ωs = 2 Ω=2Ωh/M
则抽样信号频谱为上式保证了各个延位后 的相加不会发生混叠。
k
aa kjjXTjX )2(
1)(?
)2( kjjX a
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下图给出了 Ωs = 2Ωh/M中用 M=4进行抽样后的频谱图。)(jX
a
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从图可见，将 通过一个频率特性为的理想带通滤波器时,可恢复原来的频谱
)(jX a
HP(jΩ)= T Ω1 ≤ Ω≤Ωh
0 其他
)(?jX a
如果 Ωh不是 的整数倍，可将 人为地向频率的低端或高端进行扩展，使 Ωh成为扩展后的带宽的整数倍。
Ω Ω
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如将带宽向频率的低端扩展到 Ω0，扩展后 Ωh 是新的带宽? Ω1 = Ωh -Ω0的整数倍。再按
Ωs = 2Ωh/M选择 M进行抽样。如令 M=3,则有这样做虽然带宽有所扩大，但比按 2Ωh的抽样频率进行抽样仍然要有效的多。
