第四章 数字滤波器的结构
4-1 数字网络的信号流图表示
4-2 IIR数字滤波器的结构
4-3 FIR数字滤波器的结构
4-4 数字滤波器的格型结构
4-1 数字网络的信号流图表示
1,信号流图的基本概念信号流图 是一种有向图，它用带箭头的线段来代表一条支路，箭头的方向代表信号流动的方向。
下面对应 线性时不变系统的 3种基本运算单元的流图形式 来进一步说明信号流图的基本概念图 4-1-1线性时不变系统的基本运算单元及其流图形式与流图有关的常用术语还有：
通路 - 沿同一方向传输的连通支路环路 - 闭合的通路环路增益 - 环路种所有支路增益之积前向通路 - 从输入节点到输出节点通过任何节点仅一次的通路前向通路增益 - 前向通路中所有支路增益之积
2,计算信号流图的梅森公式梅森公式,若网络的信号流图已知，其系统函数 H(z)可由下式计算
k
kkgzH
1)(
为流图的特征多项式 且
=1-（所有环路增益之和） +（每两两不接触的环路增益乘积之和） -（每三三不接触的环路增益乘积之和）
+……
gk表示第 k条从源节点到输出节点的前向通路的增益，这里 k代表前向通路号
k 表示去掉第 k条前向通路后，剩下的流图的特征多项式
（ 4-1-1）
3,信号流图的转置定理信号流图的转置定理 —— 如果将信号流图中所有分支的方向反转，保持支路的增益不变，并将网络的输入与输出交换位置，那么网络的输入输出响应不变 。
例如，下图中的两个流图具有相同的系统函数
1
1
1
1
)(
)()(
az
bz
zX
zYzH
图 4-1-2 信号流图的转置
4-2 IIR数字滤波器的结构由 IIR数字滤波器的时域方程
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()(
（ 4-2-1）
其系统函数为
)()(
1
)(
)(
)(
0
0 zAzB
za
zb
zX
zY
zH
N
k
k
k
M
k
k
k
（ 4-2-2）
1,直接型由式（ 4-2-1）可直接画出如下图所示的流图直接
I
型图 4-2-1 IIR数字滤波器直接 I型结构直接
II
型交换上图中 B(z)和 A(z)的位置，得下图中的图 (a),
将图 (a)中间两部分的延时单元合并，得图 (b)。
图 4-2-2 IIR数字滤波器直接 II型结构图 4-2-3 IIR滤波器级联型结构
2,级联型式 (4-2-2)可化为以下形式
L
k
k
L
k kk
kkk
L
k
k
L
k kk
kk
N
k
k
M
k
k
zH
zz
zz
zH
zHA
zz
zz
AzH
zd
zc
AzH
11
2
2
1
1
2
2
1
10
11
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
)('
1
)(
)(
1
1
)(
)1(
)1(
)(
（ 4-2-3）
（ 4-2-4a）
（ 4-2-4b）
其中 N为偶数时,L=N/2
N为奇数时,L=? N/2?+1
其级联结构流图如下所示（ N=6）：
图 4-2-3 IIR滤波器级联型结构
3,并联型式 (4-2-2)可用分部分式展开为以下形式
P
k kk
kk
L
k k
k
NM
k
k
k
NM
k
k
k
N
k k
k
zaza
z
zz
A
zBzH
zB
zz
A
zH
1
2
2
1
1
1
10
1
1
0
01
1
11
)(
1
)(
（ 4-2-5）
（ 4-2-6）
（ 4-2-7）
其中 N=L+2P。 若 M<N,Bk=0;若 M=N,仅 B0存在。若
M≤N有
P
k
k
L
k
k zHzHBzH
1
2
1
10 )()()(
其并联结构流图如下所示,
图 4-2-4 IIR滤波器并联型结构
4,转置型根据信号流图的转置定理，可得相应的流图结构的转置型结构。
图 4-2-5 直接 II型结构中的 (a)图的转置结构
5,几种结构的比较
直接 I型和直接 II型 实现起来具有简单直观的特点。需要 (M+N)个加法器和 (M+N)
个乘法器，直接 II型比直接 I型节省 M个延时单元，在 M=N的情况下，需要 N个延时单元。
直接性的主要缺点在于差分方程的系数
ak,bk对滤波器的性能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定或产生较大误差。
级联结构 的特点是每个二阶节是相互独立的，
可分别通过调整个零极点对来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限字长效应。实现需要 (M+N)个加法器,(M+N)
个乘法器，和 N个延时单元。该结构应用最广泛。
并联型结构 是用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。它只能独立的调整各极点的位置，不能单独调整零点的位置。但并联结构的误差比级联结构的运算误差小。
转置型 的性能与和它们对应的结构性能相同例 4-2-1 已知系统的传输函数为
2.018.04.0
02.03 6 2.044.0)(
23
2
zzz
zzzH
画出直接 II型，级联型和并联型结构流图。
解：将原式写成 z-1的有理分式，可得
321
321
2.018.04.01
02.0362.044.0)(
zzz
zzzzH
由此，可画出直接 II型结构的流图，如下图所示将上式写成级联的形式得
1
1
21
21
4.015.08.01
02.03 6 2.044.0)(
z
z
zz
zzzH
则得到级联结构的流图再将 H(z)部分分式分解得
21
1
1 5.08.01
2.05.0
4.01
6.01.0)(
zz
z
zzH
则得到并联结构的流图
4-3 FIR数字滤波器的结构设 FIR数字滤波器的单位脉冲响应为 h(n),
由于其长度是有限的,n=0,1,…,N-1,因此对于给定的输入信号 x(n),其滤波后的输出 y(n)
可直接由以下卷积公式求得对应的传输函数为
1
0
)()()(
N
k
knxkhny
（ 4-3-1）
1
0
)()(
N
k
kzkhzH
（ 4-3-2）
1,直接型直接型是卷积公式（ 4-3-1）的直接实现，其信号流图如下所示，其中图 (b)是图 (a)的转置结构。实现需要 N个乘法和 (N-1)个加法。
图 4-3-1 FIR滤波器直接型结构
2,级联型将 H(z)化为以下二阶因式乘积的形式，
则可得 FIR滤波器的级联结构。其流图如下
L
k
kkk zzzH
1
2
2
1
10 )()(
(4-3-3)
图 4-3-2 FIR滤波器级联结构
3,快速卷积型图 4-3-3 FIR滤波器快速卷积方框图
4,线性相位型 FIR滤波器的对称结构若 FIR滤波器的单位脉冲响应满足条件
1,1,0)1()(
1,1,0)1()(
NnnNhnh
NnnNhnh
或偶对称条件奇对称条件
（ 4-3-4a）
（ 4-3-4b）
则 FIR数字滤波器具有线性相位特性。
下面说明实现这种滤波器的流图结构当满足偶对称条件时，若 N为偶数，则式 (4-3-1)
可改写为
})1()(){(
)1()1()()(
)()()()(
)()()(
12/
0
12/
0
12/
0
1
2/
12/
0
1
0
N
k
N
k
N
k
N
Nk
N
k
N
k
kNnxknxkh
kNnxkNhknxkh
knxkhknxkh
knxkhny
（ 4-3-5）
若 N为奇数时，有
})1()(){(
)
2
1
()
2
1
()(
2/)1(
0
N
k
kNnxknxkh
N
nx
N
hny
（ 4-3-6）
同样，若滤波器的单位脉冲响应满足奇对称条件。
当 N为偶数时，式（ 4-3-1）可改写为
})1()(){()(
12/
0
N
k
kNnxknxkhny
当 N为奇数时，由于奇对称条件式 (4-3-1)可改写为
})1()(){()(
2/)1(
0
N
k
kNnxknxkhny
,0)2 1(Nh
（ 4-3-7）
（ 4-3-8）
由式（ 4-3-5）和式（ 4-3-7）可得如图所示的流图结构
+1对应偶对称情况,-1对应奇对称情况。
n为奇数时,支路断开)2 1(?Nh
图 4-3-4 线性相位 FIR滤波器对称结构由式（ 4-3-6）和式（ 4-3-8）可得如图所示的流图结构图 4-3-4 线性相位 FIR滤波器对称结构
5,采样频率型设 FIR数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)的长度为 N(n=0,1,…,N-1),由频域采样定理，
滤波器的传输函数可表示为
1
0
11
)(1)( N
k
k
N
N
zW
kH
N
zzH （ 4-3-9）
令
1
1
)(
)(
1)(
zW
kH
zH
zzH
k
N
k
N
c
则式（ 4-3-9）可写成如下形式
1
0
)()(1)(
N
k
kc zHzHNzH
（ 4-3-10）
（ 4-3-11）
（ 4-3-12）
其中 HK(z)为一阶谐振器其中 为由 N节延迟单元组成的全零点网络，其零点在 )(zHc
1,,0
2
0
NkWez k
N
N
kj
k
(4-3-13)
由式（ 4-3-10）可得 的频率特性为)(zH
c
Njj
c eeH
1)(
)2/s i n (2)( NeH jc?
幅度特性为如下图所示图 4-3-5 梳状滤波器及其频率响应
FIR数字滤波器的频率采样型结构如图所示图 4-3-6 FIR滤波器的频率采样结构
6,修正的采样频率型结构令频率采样点不在 z的单位圆上，而是在 r<1
的圆上，如图所示，
此时 H(z)变为
1
0
1
1
0
1
1
)(1
1
)(1
)(
N
k
k
N
NN
N
k
k
N
r
NN
zrW
kH
N
zr
zrW
kH
N
zr
zH
（ 4-3-14） 图 4-3-7 采样点在 r<1的圆上利用 DFT的共轭对称性得
)()*(),(*)( kNNkN WWkNHkH
则上式可化为实系数的二阶谐振器表达式，即
221
1
10
11
1)(1
)
2
c o s (21
*)(1
)(*
1
)(
1
)(
1
)(
)(
zr
N
k
rz
z
zWr
kH
zrW
kH
zrW
kNH
zrW
kH
zH
kk
k
N
k
N
kN
N
k
N
k
（ 4-3-15）
为偶数为奇数
NNk
NNk
12/,,2,1
2/)1(,,2,1
其中
])(Re [2
)](Re [2
1
0
k
Nk
k
WkHr
kH
显然式（ 4-3-15）中的系数 r,β0k,β1k,cos(2πk/N)均为实数。
图 4-3-8 二阶谐振器结构的流图为可简化简化成一阶网络，此时和有一对实根：为实数，和点，和为偶数时，对应于当
)()()(
,z)()2/()0(
2/0
2/0 zHzHzH
rzHNHH
NkkN
N
（ 4-3-16）
12/
1 221
1
10
11
)
2
c o s (21
1
)2/(
1
)0(1
)(
N
k
kk
NN
zr
N
k
rz
z
rz
NH
rz
H
N
zr
zH
可简化为简化成一阶网络，此时仅有一个实根：
为实数，点的为奇数时，仅对应于当
)(
)(,z)(
)0(0
0
zH
zHrzH
HkN
（ 4-3-17）
2/)1(
1 221
1
10
1
)
2
c o s (21
1
)0(1
)(
N
k
kk
NN
zr
N
k
rz
z
rz
H
N
zr
zH
图 4-3-9 修正的频率采样结构
4-4 数字滤波器的格型结构
4.4.1 全零点型格型滤波器结构图 4-4-1 全零点型格型滤波器的网络流图图 4-4-2 全零点型格型滤波器的单元网络由上面两图可推导出它的传输函数为
)1()()(
)1()()(
11
11
nrnenr
knrnene
lll
llll
)()()(
)()()(
1
1
1
1
1
1
zRzzEzR
kzRzzEzE
lll
llll
对上式进行 Z变换，得
(4-4-1)
(4-4-2)
(4-4-3)
(4-4-4)
写成矩阵形式为
)(
)(1
)(
)(
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zR
zE
l
l
l
l
l
l
当 N级单元级联时，有
)(
)(111
)(
)(
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zk
kz
zk
kz
zR
zE
N
N
N
N
N
N
(4-4-5)
(4-4-6)
(4-4-8)
(4-4-7)
，其输出为因 )()()(),()( 00 zRzEzXzEzY N
)(
1
11
01
)(
)(
]01[)(
1
1
1
zX
zk
kz
zR
zE
zY
Nl l
l
N
N
1
11
01
)(
)()( 1
1
1
Nl l
l
zk
kz
zX
zYzH
对应的传输函数为全零点型格型结构参数与直接 FIR滤波器参数间可以相互转换，现在讨论由 h(k) 求 kl 的递推公式。
定义
)()(
)(
)(
)(
1
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
zHzzG
zk
zE
zR
zG
zk
zE
zE
zH
(4-4-9a)
(4-4-9b)
(4-4-9c)
由式（ 4-4-3）和式（ 4-4-4）可知
)()()(
)()()(
1
1
212
21
1
12
zRzkzEzR
kzRzzEzE
(4-4-10a)
(4-4-10b)
从而得到
)()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
2
2
2
1
1
12
0
2
2
1
1
21
0
2
2
zHzzG
zGzzHk
zE
zR
zG
zGzkzH
zE
zE
zH
(4-4-10c)
将式（ 4-4-9）代入式（ 4-4-10），可知 H2(z),G2(z)
是二阶 FIR传输函数。
类似的，定义
)(
)()(
)(
)()(
00 zE
zRzG
zE
zEzH l
l
l
l 和可得
)()(
)()()(
)()()(
11
1
1
1
1
1
1
zHzzG
zGzzHkzG
zGzkzHzH
ll
llll
llll
（ 4-4-11a）
（ 4-4-11b）
（ 4-4-11c）
成立。对所有的 Nl1
下面求 kl与 h(k)滤波器系数之间的关系对 N阶的 FIR传输函数
N
k
kzkhzH
0
)()(
将系数 h(k) 相对 h(0) 归一化，令 ak= h(k)/ h(0),
显然有
N
k
k
k
N
N zah
zH
zE
zEzH
10
1)0( )()( )()( (4-4-12)
对 l=N,从式（ 4-4-11）可求得
)()(
)1(
1
)(
)()(
)1(
1
)(
121
11
121
zGzHk
zk
zG
zGzkzHz
zk
zH
NNN
N
N
NNN
N
N
（ 4-4-13b）
（ 4-4-13a）
将式（ 4-4-12）和式（ 4-4-11c） 代入式（ 4-4-13a）
得
})()(
)()1{(
)1(
1
)(
)1(
11
1121
N
NN
N
NN
NNNN
N
N
zkazaka
akaak
k
zH
(4-4-14)
传输函数，即阶将变成并选择中的若令
F I RNzH
akaazH
N
N
NN
N
kkN
1)(
,,)(
1
)()(
的系数。为直接形式的 )(1 zH N?
(4-4-15)
(4-4-16)
1
1
)1(
1 1)(
N
k
kN
kN zazH
11
1 2
)()(
)1(
Nk
k
akaa
N
N
kNN
N
NN
k
其中重复以上迭代过程，对 l=N,N-1,…,1,可得到如下递推公式
)1(,.,,,2,1
1
2
)()(
)1(
)(
)(
lk
k
aka
a
ak
aa
l
l
kll
l
kl
k
l
ll
N
kk （ 4-4-17a）
（ 4-4-17b）
（ 4-4-17c）
例 4-4-1 求下述 3次 FIR传输函数的直接形式和格型网络结构
3213 576.064.09.01)( zzzzH
解：直接结构如图 a所示。
下面求格型网络参数,利用式 (4-4-17)得
6 7 2 7 5 7 4 7.0
1
1 8 1 9 7 4 9 1.0
1 8 1 9 7 4 9 1.0
1
7 9 5 1 8 2 4 5.0
1
576.0
576.0,64.0,9.0
12
2
)2(
22
)2(
1)1(
1
)2(
22
2
3
)3(
13
)3(
2)2(
2
2
3
)3(
23
)3(
1)2(
1
)3(
33
)3(
3
)3(
2
)3(
1
k
k
aka
a
ak
k
aka
a
k
aka
a
ak
aaa
最后的格型网络结构如图 b所示
4.4.2 全极点型格型滤波器结构全极点滤波器是全零点滤波器的逆滤波器。因此按照网络的求逆规则，全极点网络的格型结构可由全零点型格型结构求得。
求逆规则：将输入到输出的无延迟的通路全部反向，将该通路的常数值支路增益变成原来的倒数，
再把指向这条新通路的各节点的其他支路增益乘以 -1，并交换输入输出的位置，即得原网络的逆网络,
按上述规则，可由图 4-4-1得图 4-4-4所示的全极点型格型结构。其单元网络如图 4-4-5所示图 4-4-4全极点型格型网络网络图 4-4-5全极点型格型网络单元由图 4-4-5所示的单元网格可推得全极点型格型滤波器的传输函数如下
)()()(
)()()(
1
1
1
1
1
1
zRzkzEzR
kzRzzEzE
llll
llll
(4-4-18a)
(4-4-18b)
写成矩阵形式为
)(
)(1
)(
)(
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zR
zE
l
l
l
l
l
l
(4-4-19)
(4-4-21)
(4-4-20)
))()()(
),()(
00 zRzEzY
zEzXN N
为（因级单元级联时，其输出当
)(
1
11
01
)(
)(
]01[)(
1
1
1
zY
zk
kz
zR
zE
zX
Nl l
l
N
N
1
11
01/1
)(
)()( 1
1
1
Nl l
l
zk
kz
zX
zYzH
由式 (4-4-20)可得全极点型格型网络的传输函数与全零点型格型网络的传输函数式（ 4-4-8）比较，正好是它的倒数。
例 4-4-2 考虑 IIR数字滤波器，其传输函数为例 4-4-1
的 FIR滤波器的倒数，即画出它的格型网络结构。
321 5 7 6.064.09.01
1)(
zzzzH
解：根据网络求逆原则，利用例 4-4-1的结果，可得该滤波器的格型网络结构，如图所示
4-1 数字网络的信号流图表示
4-2 IIR数字滤波器的结构
4-3 FIR数字滤波器的结构
4-4 数字滤波器的格型结构
4-1 数字网络的信号流图表示
1,信号流图的基本概念信号流图 是一种有向图，它用带箭头的线段来代表一条支路，箭头的方向代表信号流动的方向。
下面对应 线性时不变系统的 3种基本运算单元的流图形式 来进一步说明信号流图的基本概念图 4-1-1线性时不变系统的基本运算单元及其流图形式与流图有关的常用术语还有：
通路 - 沿同一方向传输的连通支路环路 - 闭合的通路环路增益 - 环路种所有支路增益之积前向通路 - 从输入节点到输出节点通过任何节点仅一次的通路前向通路增益 - 前向通路中所有支路增益之积
2,计算信号流图的梅森公式梅森公式,若网络的信号流图已知，其系统函数 H(z)可由下式计算
k
kkgzH
1)(
为流图的特征多项式 且
=1-（所有环路增益之和） +（每两两不接触的环路增益乘积之和） -（每三三不接触的环路增益乘积之和）
+……
gk表示第 k条从源节点到输出节点的前向通路的增益，这里 k代表前向通路号
k 表示去掉第 k条前向通路后，剩下的流图的特征多项式
（ 4-1-1）
3,信号流图的转置定理信号流图的转置定理 —— 如果将信号流图中所有分支的方向反转，保持支路的增益不变，并将网络的输入与输出交换位置，那么网络的输入输出响应不变 。
例如，下图中的两个流图具有相同的系统函数
1
1
1
1
)(
)()(
az
bz
zX
zYzH
图 4-1-2 信号流图的转置
4-2 IIR数字滤波器的结构由 IIR数字滤波器的时域方程
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()(
（ 4-2-1）
其系统函数为
)()(
1
)(
)(
)(
0
0 zAzB
za
zb
zX
zY
zH
N
k
k
k
M
k
k
k
（ 4-2-2）
1,直接型由式（ 4-2-1）可直接画出如下图所示的流图直接
I
型图 4-2-1 IIR数字滤波器直接 I型结构直接
II
型交换上图中 B(z)和 A(z)的位置，得下图中的图 (a),
将图 (a)中间两部分的延时单元合并，得图 (b)。
图 4-2-2 IIR数字滤波器直接 II型结构图 4-2-3 IIR滤波器级联型结构
2,级联型式 (4-2-2)可化为以下形式
L
k
k
L
k kk
kkk
L
k
k
L
k kk
kk
N
k
k
M
k
k
zH
zz
zz
zH
zHA
zz
zz
AzH
zd
zc
AzH
11
2
2
1
1
2
2
1
10
11
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
)('
1
)(
)(
1
1
)(
)1(
)1(
)(
（ 4-2-3）
（ 4-2-4a）
（ 4-2-4b）
其中 N为偶数时,L=N/2
N为奇数时,L=? N/2?+1
其级联结构流图如下所示（ N=6）：
图 4-2-3 IIR滤波器级联型结构
3,并联型式 (4-2-2)可用分部分式展开为以下形式
P
k kk
kk
L
k k
k
NM
k
k
k
NM
k
k
k
N
k k
k
zaza
z
zz
A
zBzH
zB
zz
A
zH
1
2
2
1
1
1
10
1
1
0
01
1
11
)(
1
)(
（ 4-2-5）
（ 4-2-6）
（ 4-2-7）
其中 N=L+2P。 若 M<N,Bk=0;若 M=N,仅 B0存在。若
M≤N有
P
k
k
L
k
k zHzHBzH
1
2
1
10 )()()(
其并联结构流图如下所示,
图 4-2-4 IIR滤波器并联型结构
4,转置型根据信号流图的转置定理，可得相应的流图结构的转置型结构。
图 4-2-5 直接 II型结构中的 (a)图的转置结构
5,几种结构的比较
直接 I型和直接 II型 实现起来具有简单直观的特点。需要 (M+N)个加法器和 (M+N)
个乘法器，直接 II型比直接 I型节省 M个延时单元，在 M=N的情况下，需要 N个延时单元。
直接性的主要缺点在于差分方程的系数
ak,bk对滤波器的性能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定或产生较大误差。
级联结构 的特点是每个二阶节是相互独立的，
可分别通过调整个零极点对来对滤波器性能进行较好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限字长效应。实现需要 (M+N)个加法器,(M+N)
个乘法器，和 N个延时单元。该结构应用最广泛。
并联型结构 是用的加法器，乘法器，延时单元基本与级联结构相同。它只能独立的调整各极点的位置，不能单独调整零点的位置。但并联结构的误差比级联结构的运算误差小。
转置型 的性能与和它们对应的结构性能相同例 4-2-1 已知系统的传输函数为
2.018.04.0
02.03 6 2.044.0)(
23
2
zzz
zzzH
画出直接 II型，级联型和并联型结构流图。
解：将原式写成 z-1的有理分式，可得
321
321
2.018.04.01
02.0362.044.0)(
zzz
zzzzH
由此，可画出直接 II型结构的流图，如下图所示将上式写成级联的形式得
1
1
21
21
4.015.08.01
02.03 6 2.044.0)(
z
z
zz
zzzH
则得到级联结构的流图再将 H(z)部分分式分解得
21
1
1 5.08.01
2.05.0
4.01
6.01.0)(
zz
z
zzH
则得到并联结构的流图
4-3 FIR数字滤波器的结构设 FIR数字滤波器的单位脉冲响应为 h(n),
由于其长度是有限的,n=0,1,…,N-1,因此对于给定的输入信号 x(n),其滤波后的输出 y(n)
可直接由以下卷积公式求得对应的传输函数为
1
0
)()()(
N
k
knxkhny
（ 4-3-1）
1
0
)()(
N
k
kzkhzH
（ 4-3-2）
1,直接型直接型是卷积公式（ 4-3-1）的直接实现，其信号流图如下所示，其中图 (b)是图 (a)的转置结构。实现需要 N个乘法和 (N-1)个加法。
图 4-3-1 FIR滤波器直接型结构
2,级联型将 H(z)化为以下二阶因式乘积的形式，
则可得 FIR滤波器的级联结构。其流图如下
L
k
kkk zzzH
1
2
2
1
10 )()(
(4-3-3)
图 4-3-2 FIR滤波器级联结构
3,快速卷积型图 4-3-3 FIR滤波器快速卷积方框图
4,线性相位型 FIR滤波器的对称结构若 FIR滤波器的单位脉冲响应满足条件
1,1,0)1()(
1,1,0)1()(
NnnNhnh
NnnNhnh
或偶对称条件奇对称条件
（ 4-3-4a）
（ 4-3-4b）
则 FIR数字滤波器具有线性相位特性。
下面说明实现这种滤波器的流图结构当满足偶对称条件时，若 N为偶数，则式 (4-3-1)
可改写为
})1()(){(
)1()1()()(
)()()()(
)()()(
12/
0
12/
0
12/
0
1
2/
12/
0
1
0
N
k
N
k
N
k
N
Nk
N
k
N
k
kNnxknxkh
kNnxkNhknxkh
knxkhknxkh
knxkhny
（ 4-3-5）
若 N为奇数时，有
})1()(){(
)
2
1
()
2
1
()(
2/)1(
0
N
k
kNnxknxkh
N
nx
N
hny
（ 4-3-6）
同样，若滤波器的单位脉冲响应满足奇对称条件。
当 N为偶数时，式（ 4-3-1）可改写为
})1()(){()(
12/
0
N
k
kNnxknxkhny
当 N为奇数时，由于奇对称条件式 (4-3-1)可改写为
})1()(){()(
2/)1(
0
N
k
kNnxknxkhny
,0)2 1(Nh
（ 4-3-7）
（ 4-3-8）
由式（ 4-3-5）和式（ 4-3-7）可得如图所示的流图结构
+1对应偶对称情况,-1对应奇对称情况。
n为奇数时,支路断开)2 1(?Nh
图 4-3-4 线性相位 FIR滤波器对称结构由式（ 4-3-6）和式（ 4-3-8）可得如图所示的流图结构图 4-3-4 线性相位 FIR滤波器对称结构
5,采样频率型设 FIR数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)的长度为 N(n=0,1,…,N-1),由频域采样定理，
滤波器的传输函数可表示为
1
0
11
)(1)( N
k
k
N
N
zW
kH
N
zzH （ 4-3-9）
令
1
1
)(
)(
1)(
zW
kH
zH
zzH
k
N
k
N
c
则式（ 4-3-9）可写成如下形式
1
0
)()(1)(
N
k
kc zHzHNzH
（ 4-3-10）
（ 4-3-11）
（ 4-3-12）
其中 HK(z)为一阶谐振器其中 为由 N节延迟单元组成的全零点网络，其零点在 )(zHc
1,,0
2
0
NkWez k
N
N
kj
k
(4-3-13)
由式（ 4-3-10）可得 的频率特性为)(zH
c
Njj
c eeH
1)(
)2/s i n (2)( NeH jc?
幅度特性为如下图所示图 4-3-5 梳状滤波器及其频率响应
FIR数字滤波器的频率采样型结构如图所示图 4-3-6 FIR滤波器的频率采样结构
6,修正的采样频率型结构令频率采样点不在 z的单位圆上，而是在 r<1
的圆上，如图所示，
此时 H(z)变为
1
0
1
1
0
1
1
)(1
1
)(1
)(
N
k
k
N
NN
N
k
k
N
r
NN
zrW
kH
N
zr
zrW
kH
N
zr
zH
（ 4-3-14） 图 4-3-7 采样点在 r<1的圆上利用 DFT的共轭对称性得
)()*(),(*)( kNNkN WWkNHkH
则上式可化为实系数的二阶谐振器表达式，即
221
1
10
11
1)(1
)
2
c o s (21
*)(1
)(*
1
)(
1
)(
1
)(
)(
zr
N
k
rz
z
zWr
kH
zrW
kH
zrW
kNH
zrW
kH
zH
kk
k
N
k
N
kN
N
k
N
k
（ 4-3-15）
为偶数为奇数
NNk
NNk
12/,,2,1
2/)1(,,2,1
其中
])(Re [2
)](Re [2
1
0
k
Nk
k
WkHr
kH
显然式（ 4-3-15）中的系数 r,β0k,β1k,cos(2πk/N)均为实数。
图 4-3-8 二阶谐振器结构的流图为可简化简化成一阶网络，此时和有一对实根：为实数，和点，和为偶数时，对应于当
)()()(
,z)()2/()0(
2/0
2/0 zHzHzH
rzHNHH
NkkN
N
（ 4-3-16）
12/
1 221
1
10
11
)
2
c o s (21
1
)2/(
1
)0(1
)(
N
k
kk
NN
zr
N
k
rz
z
rz
NH
rz
H
N
zr
zH
可简化为简化成一阶网络，此时仅有一个实根：
为实数，点的为奇数时，仅对应于当
)(
)(,z)(
)0(0
0
zH
zHrzH
HkN
（ 4-3-17）
2/)1(
1 221
1
10
1
)
2
c o s (21
1
)0(1
)(
N
k
kk
NN
zr
N
k
rz
z
rz
H
N
zr
zH
图 4-3-9 修正的频率采样结构
4-4 数字滤波器的格型结构
4.4.1 全零点型格型滤波器结构图 4-4-1 全零点型格型滤波器的网络流图图 4-4-2 全零点型格型滤波器的单元网络由上面两图可推导出它的传输函数为
)1()()(
)1()()(
11
11
nrnenr
knrnene
lll
llll
)()()(
)()()(
1
1
1
1
1
1
zRzzEzR
kzRzzEzE
lll
llll
对上式进行 Z变换，得
(4-4-1)
(4-4-2)
(4-4-3)
(4-4-4)
写成矩阵形式为
)(
)(1
)(
)(
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zR
zE
l
l
l
l
l
l
当 N级单元级联时，有
)(
)(111
)(
)(
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zk
kz
zk
kz
zR
zE
N
N
N
N
N
N
(4-4-5)
(4-4-6)
(4-4-8)
(4-4-7)
，其输出为因 )()()(),()( 00 zRzEzXzEzY N
)(
1
11
01
)(
)(
]01[)(
1
1
1
zX
zk
kz
zR
zE
zY
Nl l
l
N
N
1
11
01
)(
)()( 1
1
1
Nl l
l
zk
kz
zX
zYzH
对应的传输函数为全零点型格型结构参数与直接 FIR滤波器参数间可以相互转换，现在讨论由 h(k) 求 kl 的递推公式。
定义
)()(
)(
)(
)(
1
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
zHzzG
zk
zE
zR
zG
zk
zE
zE
zH
(4-4-9a)
(4-4-9b)
(4-4-9c)
由式（ 4-4-3）和式（ 4-4-4）可知
)()()(
)()()(
1
1
212
21
1
12
zRzkzEzR
kzRzzEzE
(4-4-10a)
(4-4-10b)
从而得到
)()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
2
2
2
1
1
12
0
2
2
1
1
21
0
2
2
zHzzG
zGzzHk
zE
zR
zG
zGzkzH
zE
zE
zH
(4-4-10c)
将式（ 4-4-9）代入式（ 4-4-10），可知 H2(z),G2(z)
是二阶 FIR传输函数。
类似的，定义
)(
)()(
)(
)()(
00 zE
zRzG
zE
zEzH l
l
l
l 和可得
)()(
)()()(
)()()(
11
1
1
1
1
1
1
zHzzG
zGzzHkzG
zGzkzHzH
ll
llll
llll
（ 4-4-11a）
（ 4-4-11b）
（ 4-4-11c）
成立。对所有的 Nl1
下面求 kl与 h(k)滤波器系数之间的关系对 N阶的 FIR传输函数
N
k
kzkhzH
0
)()(
将系数 h(k) 相对 h(0) 归一化，令 ak= h(k)/ h(0),
显然有
N
k
k
k
N
N zah
zH
zE
zEzH
10
1)0( )()( )()( (4-4-12)
对 l=N,从式（ 4-4-11）可求得
)()(
)1(
1
)(
)()(
)1(
1
)(
121
11
121
zGzHk
zk
zG
zGzkzHz
zk
zH
NNN
N
N
NNN
N
N
（ 4-4-13b）
（ 4-4-13a）
将式（ 4-4-12）和式（ 4-4-11c） 代入式（ 4-4-13a）
得
})()(
)()1{(
)1(
1
)(
)1(
11
1121
N
NN
N
NN
NNNN
N
N
zkazaka
akaak
k
zH
(4-4-14)
传输函数，即阶将变成并选择中的若令
F I RNzH
akaazH
N
N
NN
N
kkN
1)(
,,)(
1
)()(
的系数。为直接形式的 )(1 zH N?
(4-4-15)
(4-4-16)
1
1
)1(
1 1)(
N
k
kN
kN zazH
11
1 2
)()(
)1(
Nk
k
akaa
N
N
kNN
N
NN
k
其中重复以上迭代过程，对 l=N,N-1,…,1,可得到如下递推公式
)1(,.,,,2,1
1
2
)()(
)1(
)(
)(
lk
k
aka
a
ak
aa
l
l
kll
l
kl
k
l
ll
N
kk （ 4-4-17a）
（ 4-4-17b）
（ 4-4-17c）
例 4-4-1 求下述 3次 FIR传输函数的直接形式和格型网络结构
3213 576.064.09.01)( zzzzH
解：直接结构如图 a所示。
下面求格型网络参数,利用式 (4-4-17)得
6 7 2 7 5 7 4 7.0
1
1 8 1 9 7 4 9 1.0
1 8 1 9 7 4 9 1.0
1
7 9 5 1 8 2 4 5.0
1
576.0
576.0,64.0,9.0
12
2
)2(
22
)2(
1)1(
1
)2(
22
2
3
)3(
13
)3(
2)2(
2
2
3
)3(
23
)3(
1)2(
1
)3(
33
)3(
3
)3(
2
)3(
1
k
k
aka
a
ak
k
aka
a
k
aka
a
ak
aaa
最后的格型网络结构如图 b所示
4.4.2 全极点型格型滤波器结构全极点滤波器是全零点滤波器的逆滤波器。因此按照网络的求逆规则，全极点网络的格型结构可由全零点型格型结构求得。
求逆规则：将输入到输出的无延迟的通路全部反向，将该通路的常数值支路增益变成原来的倒数，
再把指向这条新通路的各节点的其他支路增益乘以 -1，并交换输入输出的位置，即得原网络的逆网络,
按上述规则，可由图 4-4-1得图 4-4-4所示的全极点型格型结构。其单元网络如图 4-4-5所示图 4-4-4全极点型格型网络网络图 4-4-5全极点型格型网络单元由图 4-4-5所示的单元网格可推得全极点型格型滤波器的传输函数如下
)()()(
)()()(
1
1
1
1
1
1
zRzkzEzR
kzRzzEzE
llll
llll
(4-4-18a)
(4-4-18b)
写成矩阵形式为
)(
)(1
)(
)(
1
1
1
1
zR
zE
zk
kz
zR
zE
l
l
l
l
l
l
(4-4-19)
(4-4-21)
(4-4-20)
))()()(
),()(
00 zRzEzY
zEzXN N
为（因级单元级联时，其输出当
)(
1
11
01
)(
)(
]01[)(
1
1
1
zY
zk
kz
zR
zE
zX
Nl l
l
N
N
1
11
01/1
)(
)()( 1
1
1
Nl l
l
zk
kz
zX
zYzH
由式 (4-4-20)可得全极点型格型网络的传输函数与全零点型格型网络的传输函数式（ 4-4-8）比较，正好是它的倒数。
例 4-4-2 考虑 IIR数字滤波器，其传输函数为例 4-4-1
的 FIR滤波器的倒数，即画出它的格型网络结构。
321 5 7 6.064.09.01
1)(
zzzzH
解：根据网络求逆原则，利用例 4-4-1的结果，可得该滤波器的格型网络结构，如图所示
