数字信号处理 第 2章?2004
数字信号处理课件第 2章刘益成数字信号处理 第 2章?2004
2-1 序列的 Z变换
2-2 序列的傅里叶变换
2-3 离散时间系统变换域分析
2-4 希尔伯特变换第 二 章 离散时间信号与系统的变换域分析数字信号处理 第 2章?2004
2.1.1 Z变换的定义
2-1 序列的 Z变换对抽样信号进行拉氏变换得：
sTez?令
( ) [ ( ) ] ( ) ( ) st
aa
n
X s LT x t x n T t n T e d t?
n
s n TenTx )(
n
nznTxzX )()(得数字信号处理 第 2章?2004
*将 x(nT)记为 x(n),得
n
nznxzX )()(
上式为序列 x(n)的双边 z变换
*若信号 x(n)为因果序列,x(n)=0,n<0
则有
0
)()(
n
nznxzX
为序列 x(n)的单边 z变换数字信号处理 第 2章?2004
2.1.2 Z变换的收敛域对于任意给定的序列 x(n),使 Z
变换收敛的所有 z值得集合称为 X(z)
的 收敛域 。
其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即
n
nznx )(
数字信号处理 第 2章?2004
根据级数收敛的阿贝尔定理对于不同的序列 x(n),可求得相应的收敛域，下面分别予以说明。
发散不定收敛
1
1
1
lim
n
n
na?
数字信号处理 第 2章?2004
1.有限长序列
x(n)仅在有限长的时间间隔 n1≤n ≤ n2内，序列值不全为零，其它时间全为零，即
其他0
)()( 21 nnnnxnx
其 Z变换式为?
2
1
)()(
n
nn
nznxzX
收敛域为
zn
znn
zn
00
00,0
00
1
21
2
数字信号处理 第 2章?2004
2.右边序列
x(n)在 n ≥n1时，序列值不全为零，在 n <n1时序列值全为零，此时有
0
1
)()()()(
11 n
n
nn
n
nn
n znxznxznxzX
收敛域为
zR x
如为因果序列，其收敛域为
zR x
数字信号处理 第 2章?2004
3.左边序列
x(n)在 n >n2以外序列值全为零，仅在 n ≤ n2时有非零值，其 z变换为
22
0
1
)()()()(
n
n
n
n
n
n
n
n znxznxznxzX
收敛域为
x
x
Rzn
Rzn
00
00
2
2
数字信号处理 第 2章?2004
4.双边序列双边序列的序列值 n可取任何整数值,其 z变换为
0
1
)()()()(
n
n
n
n
n
n znxznxznxzX
xx RzR
收敛域为左边序列与右边序列的重叠部分，
如果,,则整个序列收敛域为
xx RR
如果 级数没有公共收敛域,则 Z变换不存在 。
xx RR
数字信号处理 第 2章?2004
如果序列 Z变换可表达成有理分式的形式,
)(
)()(
zQ
zPzX?
称分子多项式的零点为 X(z)的零点，分母多项式的零点为 X(z)的极点，因为极点 z变换不存在，因此在收敛域内应没有极点，故可通过取 X(z)的极点为边界来确定其收敛半径。
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例 2-1-1 求单位阶跃序列 u(n) 的 z变换，
并确定其收敛域。
解：
1
0 1
1)()()(
z
znuznxzX
n
n
n
n
由于 u(n)为因果序列，其 Z变换收敛域为,因函数在 z=1处有一极点，极点应在收敛域外，因此可取,求得 u(n)的 z变换收敛域为
。
zR x
1xR
1xRz
)1/(1 1 z
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-2 求序列解,这是一个双边序列，其 Z变换为
11
0
1
1
1
1
1
)()(
azbz
zazbznxzX
n
nn
n
nn
n
n
1
0)(
nb
nanx
n
n的 z变换及收敛域。
上式第二项为因果序列的 z变换，极点为 z=a,第一项为左边序列,z变换极点为,综合的 。bz? bza
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2.1.3 逆 Z变换从给定的 z变换表达式 (包括收敛域 )
求原程序的过程，称为 逆 z变换 。实质上是求 X(z)的幂级数展开式各项的系数。
求逆 z变换常用以下 3种基本方法：
* 围线积分法
* 部分分式展开法
* 长除法 (或幂级数展开法 )
数字信号处理 第 2章?2004
1,围线积分法根据复变函数中的柯西积分公式
0,0
0,1
2
1 1
k
kdzz
j c
k
式中 C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
在 Z变换的定义式中两边同乘以 zk-1,并作围线积分,得
dzznxjdzzzXj
c n
nk
c
k
11 )(
2
1)(
2
1
利用柯西积分公式，当 n=k时，得到 X(z)的逆 Z变换公式如下
dzzzXjnx
c
n 1)(
2
1)(
数字信号处理 第 2章?2004
],)([Re)( 1 k
k
n azzXsnx
若被积函数 X(z)zn-1是有理分式，一般采用留数定理 来计算围线积分 。
根据留数定理,x(n)等于围线 C内全部极点留数之和，即如果 X(z)zn-1还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有
z
],)([Re)( 1 k
k
n bzzXsnx
{ak}是被积函数 X(z)zn-1在围线 C内的一组极点
{bk}是被积函数 X(z)zn-1在围线 C外的一组极点数字信号处理 第 2章?2004
如果 zk为单阶极点，按留数定理
kzz
n
k
kk
k
n zzXzzzzzXs
11 )()(],)([Re
如果 zk为 m 阶极点，则其留数为
kzz
nm
km
m
k
n zzXzz
dz
d
m
zzzXs
])()[(
)!1(
1],)([Re 1
1
1
1
在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积函数的特点及 n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。
例如，在 n小于某一值时，在 z=0在围线内部可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。
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,求原序列 x(n)
例 2-1-3已知序列的 Z变换为
azazzX 11 )1()(
解,
dzz
azj
dzzaz
j
nx
c
n
c
n
1
2
1
)1(
2
1
)( 111
并且当 时,z=0处不是极点,被积函数仅有单阶极点
a,在收敛域内取围线 C包含极点 a,可求得
0?n
az?由于收敛域为,可知该序列必定是因果序列。
)()(
0],
1
[Re)(
nuanx
naaz
az
snx
n
nn
或数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-4已知序列的 Z变换为
||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX
))((
))(1(
)(
1
1
azaza
z
azaz
z
zzX
n
n
n
求原序列 x(n)
|||||| 1 aza解 由于收敛域 为环域,知 x(n)必为双边序列,其被积函数为例 2-1-4被积函数的极点数字信号处理 第 2章?2004
在收敛域 内,作包围原点的围线,
当 时,只有一个单阶极点 z=a,其围线积分为
aza ||||| 1
0?n
01],))(( 1[Re)( 21 naaazazazasnx
n
n
01],))(( 1[Re)( 211
na
aaz
azazasnx
n
n
2
||
1)( a
anx n
当 n<0时，被积函数在围线内除了在 z=a处有一个单阶极点，在 z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点 z=a-1,因此有综上可得数字信号处理 第 2章?2004
部分分式展开法用于求序列的 Z变换为下述有理分式形式时的逆 Z变换 。
2．部分分式展开法
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zA
zB
zX
1
0
1
)(
)(
)(
]m a x [1)(
1
10 k
N
k k
k zz
zz
AAzX?
若假定序列为因果序列,则一定有 N≥M。 当
X(z)的 N个极点都是单极点时,可以展开成以下的部分分式的形式数字信号处理 第 2章?2004
其中 zk为 X(z)的单极点,Ak(k=0,1…,N)为常数。
A0对应的序列为 δ (n),由例 2-1-3知，求和式中的各项所对应的序列为 。 因而 上 式的逆 Z变换为)(nuznk
)()()(
1
0 nuzAnAnx
n
kk
N
k
],
)(
[Re)()1(
]0,
)(
[Re)0(
1
0
kzzkk
N
N
z
z
zX
szXzzA
z
zX
s
a
b
XA
k
可按留数定理求得各系数 Ak(k=0,1…,N)如下,
为了方便通常利用 X(z)/z的形式求取数字信号处理 第 2章?2004
当上述有理分式中的 M≥N且具有高阶极点 时,若设除单极点外,在 zi处有一个 s阶的极点,则其展开式修改为
s
i
k
s
kk
k
sN
k
k
k
NM
k zz
C
zz
AzBzX
)1(1)( 11110
式中 Bk(k=0,1…,N)为 X(z)整式部分的系数,可用长除法求得 。 Ak仍按上面的方法计算,Ck的计算公式为
skz zXzzdzdksC
izz
s
iks
ks
k,,1]
)()[(
)!(
1
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-5 已知 求 X(z)的原序列。 2
)5.0)(2()(
2
zzz zzX
5.02)5.0)(2(
)( 21
z
A
z
A
zz
z
z
zX
3/1,3/4 21 AA
解：将 X(z)变为 X(z)/z的形式并化为部分分式由求系数 Ak的公式求得
)()5.0(31)()2(34)( nununx nn
因为 X(z)的收敛域为,为因果序列，
从而求得 2?z
数字信号处理 第 2章?2004
按定义 Z变换为 z-1的幂级数,只要在给定的收敛域内将 X(z)展开成幂级数形式,则级数中的系数就是原序列 x(n)。
3．长除法 (幂级数展开法 )
在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列
Z变换为 z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开，对于右边序列,Z变换为 z的负幂级数
，分子分母应按降幂排列进行展开。
数字信号处理 第 2章?2004
nn
n
zazaazzX?
0
2211)(?
)()( nuanx n?
例 2-1-6 用长除法求 azazzX 11 )1()(
的逆 Z变换。
解：由收敛域知,这是一右边序列,用长除法将其展开成 z的负幂级数,将分母多项式按降幂排列
1
22
221
1
1
za
zaaz
az
az
221
1
1
11
zaaz
az
所以数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-7 用长除法求 Z变换
||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX
解 由于收敛域 为环域,知 x(n)必为双边序列,将 X(z)部分分式分解
|||||| 1 aza
]1 1[1 1)1)(1( 1)( 21 azaz aaazazzX
上式括弧中的第一项对应于右边序列,用长除法将其展开成 z的负幂级数,将分母多项式按降幂排列,第一项对应于左边序列,用长除法将其展开成 z的正幂级数,将分母多项式按升幂排列 。
的逆 Z变换 x(n)
数字信号处理 第 2章?2004
对右边序列
23
2312
12
12
za
zaza
za
zaa
33221 zazaaz
aaz
由此求得右边序列为
01)( 2 naanx n
对左边序列
az-1
33
3322
22
22
za
zaza
za
zaaz
az
33221
11
zazaaz
az
由此求得左边序列为
01)( 2 naanx n
综上可得
21)( a
anx n
数字信号处理 第 2章?2004
利用已知的 幂级数展开式 求序列的逆 Z变换。如下例所示。
例 2-1-8 求以下 Z变换的逆 Z变换 x(n)
||||)1l o g ()( 1 azazzX
az?
)1lo g( x?
解：由于收敛域为,知序列应为因果序列，
利用 的幂级数展开式
1
1
1||)1()1l o g (
n
nn
xn xx
||||)1()(
1
1
n
nnn
azn zazX
故有 及1 azx 1?x用 代入上式，因 az?
因此 x(n)为
00
1
)1(
)(
1
n
n
n
a
nx
nn
数字信号处理 第 2章?2004
一些常用序列的 Z变换见课本 P39页数字信号处理 第 2章?2004
2.1.4 Z变换的性质与定理
1,线性性
Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。
如果序列 x(n)和 y(n)的 Z变换分别用 X(z)和 Y(Z)
表示，即
yy
xx
RzRzYnyZ
RzRzXnxZ
)()]([
)()]([
则
RzRzbYzaXnbynaxZ )()()]()([
],m i n [],m a x [ yxyx RRRRRR其中数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-9 求序列 的 z变换，
并确定其收敛域。
)()c o s ()( 0 nunrnx n
解：
rrez
zre
nuerZ
rrez
zre
nuerZ
az
az
nuaZ
j
j
njn
j
j
njn
n
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
)]([
1
1
)]([
1
1
)]([
由 z变换的线性性，有
221
0
1
0
11
0
)c os2(1
)c os(1
]
1
1
1
1
[
2
1
)](
2
)(
[)]()c os ([
00
00
zrzr
zr
zrezre
nu
eer
ZnunrZ
jj
njnjn
n
rz?
数字信号处理 第 2章?2004
2.序列的移位如果则
n0为正 (右移 ),为负 (左移 )
xx RzRzXnxZ )()]([
xx
n RzRzXznnxZ )()]([ 0
0
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-10 设
xRznxZzXnunxnx )],([)(),()()(
求 的 z变换和收敛域。
n
m
mxny
0
)()(
解,由于
)1()()()()(
1
00
nynymxmxnx
n
m
n
m
)]1()([)]([ nynyZnxZ
由移位特性所以
)()()( 1 zYzzYzX
]1,m a x [)(1 1)( 1 xRzzXzzY
数字信号处理 第 2章?2004
3.序列乘指数序列 (z域尺度变换 )
xx
n RazRazaXnxaZ )()]([ 1
证明
xx
n
n
n
nnn
RazRazaX
zanx
znxanxaZ
,)(
))((
)()]([
1
1
数字信号处理 第 2章?2004
4.序列的反褶
xx RzRzXnxZ /1/1)()]([
1
5.序列的共轭
xx RzRzXnxZ *)(*)](*[
若 则
xx RzRzXnxZ )()]([
若 则
xx RzRzXnxZ )()]([
数字信号处理 第 2章?2004
6.微分性质
xx RzRdz
zdXznnxZ )()]([
证明
)]([)(
)(])([
)(
11
1
nnxZzznnxz
znnxznx
dz
d
dz
zdX
n
n
n
n
n
n
即
dz
zdXznnxZ )()]([
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-11 利用微分性质求下面 z变换的逆 z变换 x(n).
||)1l o g ()( 1 azazzX
解：首先将 X(z)对 z进行微分得
1
2
1
)(
az
az
dz
zdX
根据微分性质，有
1
1
1
)()]([
az
az
dz
zdXznnxZ
aznun anx
nn
)1()1()(
1
)1()(])(1[]1[ 11
1
1
1
1
1
nuaa
az
zaZ
az
azZ n但所以数字信号处理 第 2章?2004
7.初值定理如果 x(n)为因果序列，它的初值可由下式求得
)(lim)0( zXx
z
这是因为
)0(
])1()0([lim
)(lim)(lim
1
x
zxx
znxzX
z
n
n
zz
数字信号处理 第 2章?2004
8.终值定理若 x(n)为因果序列，且其 Z变换的极点除在 z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有
)()1(lim)(lim
1
zXznx
zn
数字信号处理 第 2章?2004
证,n
n
znxnxnxnxZzXz?
)]()1([)]()1([)()1(
对因果序列 x(n)=0,n<0,故有
)(lim)1(lim
)]}()1([)]0()1([]0)0({[lim
)]()1([lim)()1(lim
1
1
nxnx
nxnxxxx
zmxmxzXz
nn
n
m
n
m
nz
n
n
znxnxzXz?
)]()1([)()1(
1
m
n
mn
zmxmx?
)]()1([lim
1
由于假设 X(z)在单位圆上仅在 z=1处有一阶极点,因此
(z-1) X(z)在单位圆上无极点 。 即 (z-1) X(z)的收敛域为
>1,这样允许对上述等式的两端取 z→ 1的极限z
数字信号处理 第 2章?2004
9.卷积定理
yy RzRzHzXzYnyZ )()()()]([
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则
hh RzRzHnhZ )()]([
其中 ],m i n [],,m a x [
hxyhxy RRRRRR
)(*)()( nhnxny?
数字信号处理 第 2章?2004
证明：
n
mn
n
n
zmnhmxznhnxzY?
)]()([)]()([)(
)()()()( zHzmxzmnhmx m
m
n
nm
)()( zHzX? ],m in [],m a x [ hxhx RRzRR
由于 Y(z)=X(z)H(z),所以 Y(z)的收敛域是 X(z)和 H(z)
的重叠部分,一般来说要比原来的小,但如果其中一个 Z变换在收敛域边界上的极点被另一个的零点所抵消,则收敛域会扩大 。
卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一 。 按照卷积定理,显然有
)]()([)( 1 zHzXZny
数字信号处理 第 2章?2004
利用卷积定理可以很容易证明序列的相关定理。
已知序列 x(n)和 y(n)的互相关序列 为
n
xy mnynxmr )()()(
)/1()()( zXzYzR xy?
则 rxy(m)的 Z变换为若 y(n) = x(n)则自相关序列 rxx(m)的 Z变换为
)/1()()( zXzXzR xx?
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-12 设,,,
用卷积定理求
)()( nunx? )()( nuanh n? 1?a
)()()( nhnxny
|1|||1 1)]([)( 1 zznuZzX解,由于在围线内有两个极点 z=a和 z=1,从而求得按卷积定理得
||||1 1)]([)( 1 azaznuaZzH n
1||1 11 1)()()( 11 zazzzHzXzY
由于收敛域为,可知序列必定是因果序列。
用围线积分求逆 Z变换得
1||?z
dzazz zjzHzXZny
n
c ))(1(2
1)]()([)( 11
)(1111 1],))(1([Re]1,))(1([Re)(
1111
nuaaaaaaazz zsazz zsny
nnnn
数字信号处理 第 2章?2004
10.序列相乘（复卷积定理）
dvvvH
v
zX
j
nyZzY
c
1)()(
2
1)]([)(
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则 hh RzRzHnhZ )()]([
hxxh RRzRR
)()()( nhnxny?
其中 C是在 v平面上 与 公共收敛域中绕原点的一条闭合曲线,v的收敛域满足 以及将此两个不等式相乘即得
)(vH
xx RvzR /
)(vzX
hh RvR hxxh RRzRR
同时有 ]/,m i n []/,m a x [
xhxh RzRvRzR
数字信号处理 第 2章?2004
若序列都是因果序列，则由于,
hx RR
x
h R
zvR则有现证明 dvvvH
v
zX
jnyZzY c
1)()(
2
1)]([)(
dvvvH
v
z
X
j
dvv
v
z
nxvH
j
znxdvvvH
j
znhnxzY
c
n
n
c
nn
c
n
n
n
1
1
1
)()(
2
1
))(()(
2
1
)(])(
2
1
[
)]()([)(
hxxh RRzRR
按 Z变换定义得数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-13 已知 ),()( nuanx n? )()( nubnh n?
)()()( nhnxny?,1||,1|| ba
用复卷积定理求 )]([)( nyZzY?
解 由于
||||1 1)]([)( 1 bzbznubZzH n
||||1 1)]([)( 1 azaznuaZzX n
dv
bvzav
az
j
dv
bv
v
v
z
a
j
nyZzY
c
c
))(/(
/
2
1
1
)(1
1
2
1
)]([)(
1
1
1
按复卷积定理有数字信号处理 第 2章?2004
在 v平面中,被积函数有 2个极点,即 v1=z/a
和 v2=b。 因 x(n)和 h(n)都是因果序列,其收敛域为故只有一个极点 v2=b在围线积分内 。 用留数定理求得
a
zvb
|]||,m a x [ |||
1
1
],
))(/(
/
[Re)(
1
baz
a bz
b
bvzav
az
szY
数字信号处理 第 2章?2004
11.帕思瓦定理 (Parseval)
dvv
v
YvX
j
nynx
cn
1
*
** )1()(
2
1)()(
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则
yy RzRzYnyZ )()]([
yxxy RRRR 1
且其中 C为在由下述不等式确定的收敛域内，绕原点的一条闭合曲线。
],m i n [],m a x [
y
x
y
x R
zRv
R
zR
数字信号处理 第 2章?2004
证明,按序列的共轭性质式有则由复卷积定理有由于假设条件规定,因此 =1
在收敛域内 。 因此可令 z=1,有帕思瓦定理实际上能量守恒定理在 Z域中的反映，其具体的物理意义将在序列的傅立叶变换中说明。
dvv
v
zYvX
j
znynx
c
n
n
1
*
*
** )()(
2
1)()(
)()]([ *** zYnyZ?
dvvvYvXjnynx
cn
1
*
** )1()(
2
1)()(
yxxy RRRR 1 z
数字信号处理 第 2章?2004
在 1.1.2节中曾介绍了对序列的抽取运算，
将序列 x(n)以 M,1抽取后形成的新序列 y(n)两者之间的关系为
12．重抽样序列的 Z变换
)(
1
)( )/2(/1
1
0
lMjM
M
l
ezX
M
zY
)()]([ zXnxZ?若
,2,1,0)()( nnMxny
则数字信号处理 第 2章?2004
证明：作函数
)(
1
}])[({
1
][
1
)(
),()()()(
,2,1,0),()()()(
/0
/1
1
11
][
1
),(
)/2(/1
1
0
/2/1
1
0
/2
1
0
/
/
/2
2
)/2(
1
0
lMjM
M
l
nMljM
n
M
l
nMlj
M
l
Mn
n
Mn
n
n
n
Mnj
nj
nlMj
M
l
ezX
M
eznx
M
e
M
znx
MnFznxznMxzY
nMnFnxnMxny
Mn
Mn
e
e
M
e
M
MnF
整数整数数字信号处理 第 2章?2004
2.1.5 Z变换与拉氏变换的关系
1,S平面到 Z平面的映射
Z变换与拉氏变换的关系,
)(?|)( sXzX aez sT
这个关系实际上是通过 将 S平面的函数映射到了 Z平面。
sTez?
若将 Z平面用极坐标表示,S平面用直角坐标表示,代入,得
jrez?
sTez js?
Ter T
也就是说 z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应,z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
数字信号处理 第 2章?2004
由式 ()s T j T jz e e r e
)(10
)(10
)(10
平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆
zr
zr
zr
而 z 的幅角 与 s 的虚部 的关系是线性关系。其映射关系为
Ter
T
zs
/
10
2,00
得到 z 的模 r 与 s 的实部 的关系为
(S平面实轴映射到 Z平面的正实轴 )
(S平面原点映射到 z=1点 )
(当由 - /T 增加到 + /T 时,对应于 由 - 增加到 + )
T
数字信号处理 第 2章?2004
但由于 是 的周期函数,S平面每增加一个宽为 2 /T 的水平条带时，对应于 Z平面从
- 到 + 旋转了一周。这样就有
jrez
1)~( z
即 S平面的整个虚轴都映射到了 Z平面 =1 的单位圆上,因此由 S平面到 Z平面的映射是多值映射,
这些关系示于下图
z
数字信号处理 第 2章?2004
2．抽样序列的 Z变换表示已知抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱 。
由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例,
按照前面的 S→Z 平面的映射关系,它映射到 Z平面
=1 的单位圆上,故有
jS
z
)(?)()( jXeXzX aTjez Tj
12( ) ( ) ( )j T j
a
n
X e X e X j j nTT
或
Z平面的角变量,称为数字频率,单位为弧度 。
sf
fT 2
数字信号处理 第 2章?2004
2-2 序列的傅里叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析 。 它是用 { }
作为基函数对序列进行正交展开,这与连续时间信号中的傅立叶变换用 { }对模拟信号进行展开相似 。
nje
tje
数字信号处理 第 2章?2004
1,序列傅立叶正变换
n
njj enxnxFeX )()]([)(
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
x(n)的傅立叶变换定义如下,
是 的连续函数。但由于 其中 M
为整数，故有
nMjnj ee )2(
)()()( )2()2( MjnMj
n
j eXenxeX
可见 还是 的周期函数，周期为 2 。)(?jeX?
数字信号处理 第 2章?2004
2．序列傅立叶变换与 Z变换的关系比较 傅立叶变换式与 Z变换的定义式
n
njj enxnxFeX )()]([)(
n
n
znxzX?
)()(
可见序列的傅立叶变换是 Z变换在 时的 Z变换,即 Z变换在的单位圆上 的特殊情况 。
故有
jez?
1?z
jezj zXeX )()(
数字信号处理 第 2章?2004
在 2.1.5节曾经指出，单位圆上的 Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此,序列的傅立叶变换也就是序列的频谱 。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。
数字信号处理 第 2章?2004
一般为 的复变函数，可表示为?)(?jeX
)(a r g|)(|)()()( jweXijj
I
j
R
j eeXejXeXeX
其中,分别为 的实部和虚部,通常称 为幅频特性或幅度谱,而称为相位谱,并且有
)(?jeX
),(?jR eX )(?jI eX )(?jeX
)(a r g)( jeX?
2/122 )]()([|)(| jIjRj eXeXeX
)](/)([)(a r g)( jRiIj eXeXa r c t geX
它们也都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-2-1 已知,求它的傅立叶变换。 )()( 5 nRnx?
)2/s i n (
2/5s i n
)(
)(
1
1
)]([)(
2
2/2/
2/52/5
2/
2/5
54
0
j
jj
jj
j
j
j
j
nj
n
j
e
ee
ee
e
e
e
e
enxFeX
,|)2/s in ( 2/5s in|)(jeX
解：
其幅度谱和相位谱分别为
])2/s in ( 2/5s ina r g [2)(
数字信号处理 第 2章?2004
其图形如下数字信号处理 第 2章?2004
3．序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换记为 )]([)( 1?jeXFnx
其公式为
deeX
dzzzX
j
eXFnx
jnj
ez
n
c
j
j
)(
2
1
|)(
2
1
)]([)(
1
1
数字信号处理 第 2章?2004
4．序列的傅立叶变换的收敛条件根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为
)()( nxenx
n
nj
n
*这要求序列满足绝对可和的条件
*该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件
*有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见例 2-2-2
*对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，例如 u(n),,一些周期序列等，若引入频域的冲击函数,它们的傅立叶变换也存在。见例 2-2-3。
nje?
)(
数字信号处理 第 2章?2004
||0
||01)(
c
cjeH
例 2-2-2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
deeHFnh njc
c
j?
2
1)]([)( 1
nn njnejne c
njnj cc
,s i n)(2 1
cjc
c
c
n
deHn nnh
22 |)(|
2
1|s i n|)(
*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦定理 (Parseval)。
数字信号处理 第 2章?2004
njenx 0)(例 2-2-3 证明复指数序列 的傅立叶变换为
)2(2)( 0 keX
k
j
证明,)(?jeX计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质，
有
)(
deknx nj
k
)2(22 1)( 0
njnj ede 0
0 )(
当 =0时,=1，由此得到 常数 1的傅里叶变换为nje 0?0?
)2(2]1[ kF
k
m
nmj
m eanx
)(若序列可表示成复指数和的形式，
数字信号处理 第 2章?2004
)2(2)( kaeX mm
mk
j
利用例 2-2-3的结果，可以得到它们的傅立叶变换表达式例 2-2-4 求余弦序列 的傅立叶变换 nnx 0c o s)(
)]2()2([ 00 kk
k
}]{21[][ c o s)( 000 njnjj eeFnFeX
解,][
2
1c o s)( 00
0
njnj eennx
利用上式的结果得
*可见 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，
强度为,它还以 2 为周期进行周期延拓。
n0cos? 0
数字信号处理 第 2章?2004
一些常用序列的傅立叶变换见课本 P51页数字信号处理 第 2章?2004
2.2.2 序列的傅立叶变换的性质下面列出这些性质，所有性质都可直接由 Z变换令 得到，可自行证明。
因序列的傅立叶变换是 Z变换在 的单位圆上的特例，故所有 Z变换的性质对傅立叶变换都成立。
jez?
1?z
数字信号处理 第 2章?2004
1.线性性则对任何常数 a和 b有如果 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeYnyF?
)()()]()([ jj ebYeaXnbynaxF
2.序列的移位则如果 ),()]([?jeXnxF?
)()]([ 00 jnj eXennxF
即时域的移位，导致频域的相移数字信号处理 第 2章?2004
3.频域的相移则如果 ),()]([?jeXnxF?
][)]([ )( 00 jnj eXnxeF
即频域的相移相当于对时域信号进行了调制。
4.序列的 反褶则如果 ),()]([?jeXnxF?
)()]([?jeXnxF
数字信号处理 第 2章?2004
5.序列的 共轭则如果 ),()]([?jeXnxF?
)(*)](*[?jeXnxF
6.微分性质
d
edXjnnxF j )()]([?
即对时域信号进行线形加权对应于频域的微分。
数字信号处理 第 2章?2004
7.时域卷积定理则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
)()()( jjj eHeXeY?
)()()( nhnxny
即两个序列在时域的卷积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的乘积。
数字信号处理 第 2章?2004
8.序列相乘 (频域卷积定理 )
则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
deHeX
eHeXeY
jj
jjj
][)(
2
1
)()(
2
1
)(
)(?
)()()( nhnxny?
即两个序列在时域的乘积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的卷积。
数字信号处理 第 2章?2004
9.序列相 关则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
)()()( jjjxy eYeXeR
n
xy mnynxmr )()()(
数字信号处理 第 2章?2004
下面证明性质 9
证明：
由时域卷积定理及反褶定理得
nn
xy mnxnymnynxmr )()()()()(
)()(])([)( mxmynmxny
n
)()()( jjjxy eYeXeR
当 x(n)=y(n)时，有
2)()()()( jjjj
xx eXeXeXeR
*上式说明序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱，这就是著名的维纳 -辛欠定理，
是序列的功率谱数字信号处理 第 2章?2004
10.帕思瓦定理 (Parseval)
则若 ),()]([?jeXnxF?
deXnx j
n
22 )(
2
1)(
数字信号处理 第 2章?2004
证明,由 Z变换的帕斯瓦定律
dvvvYvXjnynx c
n
1
*
* )1()(
2
1)(*)(
得令?jev?
deYeXnynx jj
n
)()(2 1)()( **
deXnx j
n
22 )(
2
1)(
*帕思瓦定理是说明了时域的能量等于频域中的能量。
例 2-2-2 就是使用帕思瓦定理的例子。
当 x(n)=y(n)时有数字信号处理 第 2章?2004
11.重抽样序列的傅立叶变换则若 ),()]([?jeXnxF?
)(1)( )
2(1
0
M
l
Mj
M
l
j eX
MeY
2,1,0)()( nnMxny
)(1)(
)2(1
0
M
ljM
l
Mj eX
M
eY
或
*重抽取序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了 M
倍,并将展宽后的频谱以 为周期 扩展了 M个,
幅度则下降到原来的 1/M。
M/2?
数字信号处理 第 2章?2004
2.2.3 序列傅里叶变换的对称性
1,序列的共轭对称性质
)(*)( nxnx oo
若序列 满足
)(*)( nxnx ee
)(nxe
)(nxe
则称 为共轭对称序列 。
)(nxo
)(nxo
类似地，若序列 满足则称 为共轭反对称序列数字信号处理 第 2章?2004
任何序列 均可表示成上述两个序列之和，即
)()()( nxnxnx oe
)}(*)({
2
1
)(
)}(*)({
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
)(nx
其中
)(nxe若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示。
)()()( njxnxnx eiere
因此有相应的 )()()(* njxnxnx eiere
)()()()( nxnxnxnx eieierer
*表明 的实部是 n的偶函数，而虚部是 n的奇函数。
的实部是 n的奇函数，而虚部是 n的偶函数。
)(nxe
)(nxo
数字信号处理 第 2章?2004
2,序列傅立叶变换的共轭对称性将序列 x(n)分成共轭对称与共轭反对称部分,即?
)()()( nxnxnx oe
对上式两边进行傅立叶变换，则
)]([)]([)( nxFnxFeX oej
)(?jeX若将 分成实部与虚部可知
)()()( jIjRj ejXeXeX
)()](I m [)}(*)({21)]([ jIjjjo ejXeXjeXeXnxF
)()](R e [)}(*)({21)]([ jRjjje eXeXeXeXnxF
*表明 的傅立叶变换对应于 的实部，
的傅立叶变换对应于 的虚部 (加上 j在内 ).
)(nxe
)(nxo
)(?jeX
)(?jeX
数字信号处理 第 2章?2004
将序列 x(n)分成实部与虚部?
)()()( njxnxnx ir
对上式两边进行傅立叶变换，则
)]([)]([)]([ nxjFnxFnxF ir
n
nj
rr
j
e enxnxFeX
)()]([)(
定义则
n
nj
ii
j
o enxjnxjFeX
)()]([)(
)()()( jojej eXeXeX
*表明 具有共轭对称性质，
具有共轭反对称性质,
)(?je eX
)(?jo eX
显然有 )(*)(,)(*)( j
ojojeje eXeXeXeX
数字信号处理 第 2章?2004
由以上性质，可得到以下推论：
*若序列为纯实数序列，即若 )()( nxnx r?
则有
)(*)( jj eXeX
由此得出：
所以实序列 x (n)的傅立叶变换的实部是?的偶函数，而虚部是?的奇函数。
)](I m [)](I m [ jj eXeX
)](R e [)](R e [ jj eXeX
数字信号处理 第 2章?2004
*如果将傅立叶变换表示成极坐标的形式,
]}
)](R e [
)](I m [
a r c t a n [e x p {)}({ I m [)]}({ R e [
)]}(a r g [e x p {|)(|)(
22
j
j
jj
jjj
eX
eX
jeXeX
eXjeXeX
可见,对 实序列 x (n)的 傅立叶变换来说,其幅度是?
的偶函数,而相位是?的奇函数?即
)](a r g [)](a r g [ jj eXeX
22 )}({ I m [)]}({ R e [|)(||)(| jjjj eXeXeXeX
同样若序列为纯虚数序列，即若,显然有 )()( njxnx i?
)(*)( jj eXeX
即纯虚数序列的傅立叶变换是?的奇函数。
数字信号处理 第 2章?2004
傅立叶变换的一些常用性质见课本 P56页数字信号处理 第 2章?2004
2-3 离散时间系统变换域分析本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法,它们分别是 h(n)的 Z变换和傅立叶变换 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,系统函数与系统的频率响应
)()()( nhnxny
2.3.1 系统函数已知系统单位脉冲响应为 h(n),那么线性时不变系统零状态响应的输入输出关系为两边取 Z变换得
)()()( zHzXzY?
则
)(
)()(
zX
zYzH?
称 H(z)为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的 Z变换,即
n
nznhnhZzH )()]([)(
数字信号处理 第 2章?2004
系统函数在单位圆上的 Z变换,即单位脉冲响应的傅立叶变换
n
njj enhnhFeH )()]([)(
这就是系统的 频率响应 。 又称为系统的 传输函数 。 频率响应有明显的物理意义,考虑给系统输入单频率的复信号,则系统的输出为表明,当输入为一个单频率的信号时,输出仍然是同一频率的信号,但它的幅度与相位都因为 的加权而发生了变化,且
| |的值是随频率的变化而变化的 。
)(?jeH
njenx 0)(
)(?jeH
)(?jeH
)()( 0000 jnj
m
mjnj eHeemhe
m
mnjemhnhnxny )(0)()()()(?
数字信号处理 第 2章?2004
2,系统的因果性与稳定性的 Z变换表示因果系统因果系统的系统函数 H(z)具有包括 ∞ 点的收敛域,
1|||)(||)(| zn
nn
znhnh
|| zR x
||1 z综上所述,稳定因果系统的收敛域为,
即 H(z)在 |z|=1的单位圆上收敛,这要求系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
稳定系统由稳定系统的充要条件式有
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-3-1 已知系统的系统函数如下式所示，
判断系统的因果性和稳定性。
2||)21)(21( 1)( 1 zzzzH
解,上式有 2个极点,和,给定的收敛域为,包括无穷远点
，故系统为因果系统，但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的。
21?z 2/12?z
z2
数字信号处理 第 2章?2004
在 上 题中，如果将收敛域改为 ( )，
这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，因此系统是稳定的但不是因果的。实际上这时系统的单位脉冲响应,显然不是因果的。
该例说明同一个系统函数，如果收敛域不同，
系统的特性是完全不同的。
由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。
22/1 z
nnh )2/1()(?
数字信号处理 第 2章?2004
例如在上例中,若将 截取从
（ ） 的一段,然后令
120,)2/1()()(' || NnNnhnh Nn
1 NnN
nnh )2/1()(?
来近似实现，如图所示。
显然 N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.2 离散时间系统的 Z变换解法当输入序列 x(n)为因果序列时,线性时不变系统的常系数差分方程描述为
1．零状态响应的解法
)()(
00
knxbknya k
M
k
k
N
k
在系统初始状态为零,即 y(n)=0(n<0)时,
对上式两边取双边 Z变换,由 Z变换的移位特性可得
k
k
M
k
k
k
N
k
zbzXzazY?
00
)()(
数字信号处理 第 2章?2004
于是
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zY
zH
0
0
)(
)(
)(
由于常系数的差分方程中的系数 ak和 bk是已知的,按上式可求得 H(z),这样由 Z变换的卷积定理,当 x(n)给定时就可由下式求得响应
y(n)，
这就是差分方程的零状态响应的 Z变换解法。
)]()([)( 1 zXzHZny
数字信号处理 第 2章?2004
当系统的初始状态不为零时,除了考虑 零状态响应外还必须考虑零输入响应 。 这时 差分方程的 Z变换解法需使用 单边 Z变换 。
由于序列移位的单边 Z变换与双边 Z
变换不同,下面先说明单边 Z变换的移位特性 。
2,初始状态不为零的解法数字信号处理 第 2章?2004
设 n
n
znynyZzY?
)()]([)(
0
则
])()([
])()([
)()(
)()]()([
1
1
0
)(
0
0
k
mk
m
k
mk
k
k
m
k
mk
mmn
n
m
n
n
zkyzYz
zkyzkyz
zkyzzmnyz
zmnynumnyZ
这 就是序列移位后的单边 Z变换。
数字信号处理 第 2章?2004
对式 两边进行单边 Z
变换,利用 单边 Z变换的移位特性,得到
k
k
M
k
l
kl
k
k
N
k
zzXbzlyzYza?
)(])()([
0
1
0
由此得到
k
k
N
k
l
kl
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zlyza
zX
za
zb
zY
0
1
0
0
0
)(
)()(
*上 式右边的第一项只与输入有关，与初始状态无关，即 零状态响应，它与用 双边 Z变换求得的结果相同。
*第二项 只与初始状态有关，与输入无关,称为零输入 响应。
)()(
00
knxbknya k
M
k
k
N
k
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-3-2 已知系统的输入输出满足以下差分方程，
求输入信号 x(n)=u(n)时系统的响应。
1,)()1()( anxnayny
解,对差分方程两边作单边 Z变换，得
1( ) ( ) ( 1 ) ( )Y z a z Y z a y X z
1||,1 1)]([)( 1 zznuZzX
111 1)1(
1
)1(
1)(
az
a
zazzY
初始条件 y(-1)=1
011)(
1
1?
n
a
aany nn
1]1|,m a x [ ||| az收敛域为,求逆 Z变换，得第一项为零输入 响应,第二项为零状态 响应。
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.3 系统函数的零极点与频率响应
1,零极点分布与系统的频率响应为两个的多项式之比，将其进行因式分解得
)(
)(
)1(
)1(
)(
1
1
1
1
1
1
k
N
k
k
M
kMN
k
N
k
k
M
k
dz
cz
Az
zd
zc
AzH
其中 ck和 dk分别为 H(z)的零点和极点。因此除了一个常数 A之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zYzH
0
0
)(
)()(
系统函数式数字信号处理 第 2章?2004
)(
)(
)(
1
1)(
k
j
N
k
k
j
M
kMNjj
de
ce
AeeH
对于一个稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，即单位圆包括在收敛域内，因此其傅立叶变换存在，将 代入 上 式，得到系统的频率响应
jez?
数字信号处理 第 2章?2004
.
,,
,,
,
模和相角别为分而模和相角分别为其中令
Bd
PBc
Q
ePBdde
eQBcce
k
kkk
kk
j
kkk
j
j
kkk
j
k
k
利用 H(z)的零点和极点可用几何的方法确定系统的频率响应。 (见下图 )
数字信号处理 第 2章?2004
)]()[(
1
1)( 2121)( NMj
k
N
k
k
M
kMNjj e
P
Q
AeeH
这样 有则系统的幅频响应为相位响应为
k
N
k
k
M
kj
P
Q
AeH
1
1|)(|?
)()()(]a r g [)](a r g [ 2121 NMj MNAeH
系统的频率特性见下图数字信号处理 第 2章?2004
由幅频响应可知 当频率点变到极点附近时,Pk就变小，
就会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，
峰值就越尖锐。同样，当频率点变到零点附近时,Qk就变小
，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响 。 零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。
而系统的相位响应对幅度特性没有影响。
数字信号处理 第 2章?2004
下面举例说明用几何的方法确定系统频率响应的方法。
例 2-3-3 已知系统的差分方程为,
指出系统函数的零极点并分析系统的频率响应。
10,)()1()( anxnayny
解 系统的传输函数为
azazzH ||1 1)( 1
系统的极点为，零点在实轴上为
，当 ejω在单位圆上从 ω=0逆时针旋转时，在 ω=0处，极点到单位圆的距离最短，因此 ω=0频率点幅度最大，成为波峰，而在 ω=π 时，极点到单位圆的距离最长，因而在 ω=π 频率点幅度最小，成为波谷。而在原点处的零点
，对幅度特性没有影响。
数字信号处理 第 2章?2004
幅度特性：
c o s21
1|)(|
2 aa
eH j
相位特性,)
c o s1
s i na r c t a n ()](a r g [
a
aeH j
系统频率特性表达式如下，
系统频率特性 为低通特性，见下图数字信号处理 第 2章?2004
2.3.4 系统的分类根据系统的单位脉冲响应 h(n)在时域中的长度可将它分为 两种类型,
可以根据系统函数的零极点来判断系统是 IIR
系统还是 FIR系统。
*当 h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为 FIR系统 。
*当 h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为 IIR系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,无限长单位脉冲响应 (IIR) 系统如果将系统函数式中系数 a0归一化为 a0 =1，
仍用 ak,bk表示分子分母中的其它系数,则可表示成
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zY
zH
1
0
1
)(
)(
)(
若系统函数式中分母多项式系数 ak只要有一个 ak≠ 0,则在有限 Z平面上将会出现极点 。 若该极点不被零点所抵消,H(z)的逆 Z变换 h(n)就会有无穷多项,也就是说系统的单位脉冲响应将无限长,因此这样的系统就是 IIR系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
对于 IIR系统由于 h(n)无限长,在实际计算中即使 x(n)已知,显然也无法通过卷积公式
)()()(*)()(
0
mnhmxnhnxny
m
求得系统的响应 y(n),只能从求解差分方程或 Z变换的方法求得 y(n),另一方面由于 IIR系统中至少有一个 ak≠ 0（ k=1,2,… ）,其差分方程表达式 (设
a0=1)为
)()()(
01
knxbknyany k
M
k
k
N
k
可以看出其输出不但与输入有关,还与以前的输出及其加权值有关,即系统中存在着输出对输入的反馈回路 。 这种结构常被称作为递归结构,在求解差分方程时需采用迭代的方法 。
数字信号处理 第 2章?2004
2．有限长单位脉冲响应 (FIR)系统若所有 ak全等于零,此时 H(z)在有限 Z平面上无极点,则 H(z)变为
k
k
M
k
zbzH?
0
)(
这时系统的单位脉冲响应 h(n)为其持续时间为有限长,因此这样的系统就是 FIR
系统 。
h(n)=bn n=0,1,...,M
数字信号处理 第 2章?2004
对于 FIR系统,由于它的 h(n)为有限长,若已知输入 x(n),显然可通过卷积的公式直接算出输出 y(n)。 例如假定 h(n)取值范围为 0≤ n≤ N-1 则
)()()(*)()(
1
0
mnhmxnynxny
N
m
另一方面,若直接由差分方程来求输出,由于所有 ak=0（ k=1,2,… ）,此时差分方程变为其输出仅与当前及以前的输入有关,与输出无关,不存在着输出对输入的反馈,这种结构通常又被称为非递归结构 。
)()(
0
knxbny k
M
k
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.5 全通系统与最小相位系统
0,1|)(| jeH
1．全通系统若系统的幅度特性为,
0,)( )(jj eeH
则称该系统为全通系统 。
全通系统的频率响应可表示为,
数字信号处理 第 2章?2004
1
)(
)(*
)(
0
1
0
*
0
0
*
0
a
zD
zD
z
za
za
z
za
za
zH
N
k
k
N
k
k
k
N
kN
k
k
N
k
kN
k
N
k
一个 N阶的全通系统的系统函数表达式为,
1|)(* )(||)(|
j
j
j
eD
eDeH
令,由于 故 )(*)( jj eDeDjez?
满足全通系统的定义 。
数字信号处理 第 2章?2004
N
i i
i
z
zzH
1
1
*1
1
)(
一个 N阶的全通系统的系统函数表达式为可化为一阶和二阶系统乘积的形式
2
2
1
1
2
1
1
22/
1 1
)(
zz
zzzH
kk
kk
N
k
其中,ai为系统函数的极点 。 若系统函数是实有理分式,则 a1k,a2k为实数 。
数字信号处理 第 2章?2004
全通系统的零极点具有以下特性,
设 为 H(z)的极点,则 一定为零点,对实有理分式的 H(z),zk,pk还应为共轭成对
。 这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成对的,零点全部在单位圆外,如图所示 。
jk repjkk erpz 11 )*(
数字信号处理 第 2章?2004
1||1
1||1
1||1
|)(|
z
z
z
zH
稳定的全通系统函数的幅度具有以下性质：
数字信号处理 第 2章?2004
0)(dd
现在讨论全通系统函数的相位特性性质 2 对实稳定全通系统,当频率 ω从 0变化到 π 时,N阶全通系统的相位的改变为 Nπ 。
性质 1 全通系统的相位特性 随频率单调下降,即有
)(
数字信号处理 第 2章?2004
现说明性质 1
先考虑最简单的由 和 构成的一阶系统函数 (r<1)
jrep?1?jerpz 1111 )(
1
1
1
1
1
1 1)(?
zp
zzzH
其频率响应为
j
j
ez
j
ep
zezHeH
j?
1
1
1
11 1|)()(
])}
)c o s (1
)s i n (a r c t a n [2(e x p {
r
rj
数字信号处理 第 2章?2004
显然其幅度响应为 1)(
1?
jeH
而相位为 ]
)c o s (1
)s i n (a r c t a n [2)](a r g [)(
11
r
reH j
上式对 ω微分，得
0|1| )1()c o s (21 )1()( 2)(
2
2
2
1?
jre
r
rr
r
d
d
由于 r<1,因而对任何频率 ω恒有 小于零。
d
d )(1
对于 N阶系统，总的相位是所有的 总和
，因而 性质 1成立。
Nnn 2,1),(
通常定义系统的群延时为 0)()(
d
d
数字信号处理 第 2章?2004
现说明性质 2
先考虑 N=1时的一阶系统 。 对实 一阶系统,零极点应为实数,此时,当频率 ω从 0变化到
π 时,其相位改变为
0,1jrep
2
21
1
11
21
1
11
2
1*
1
*1
1
1
1
1
11
2 1)1
)()(
1()(
1
zz
zz
zp
zz
zp
zzzH
)()0()( 111
再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的 二阶系统
]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [22
)](a r g [)( 22
r
r
r
r
eH j其相位响应为
2)()0()( 222
当频率 ω从 0变化到 π 时，其相位改变为数字信号处理 第 2章?2004
2/
1
2/
1
]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2
)](a r g [)(
N
i ii
ii
N
i ii
ii
j
NN
r
r
r
r
N
eH
*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积,其相位为这些一阶和二阶系统的相位之和,可表示为
NNNN )()0()(
当频率 ω从 0变化到 π 时，其相位改变为或
Ndd NNNN )()0()()( 00
式中 )(N 代表 N阶全通系统的群延时数字信号处理 第 2章?2004
2．最小相位系统零极点都在单位圆内的系统这就是所谓的最小相位系统 。
与此相对应,当系统函数的零点都在单位圆外,称为最大相位系统,在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
当频率 ω 由 0变到 2π 时,单位圆内的每个零点对相位变化的贡献为 +2π,极点为 -2π 。 而 单位圆外的每个零极点对相位变化的贡献为 0。 设系统具有
M个零点,单位圆内有 mi个,单位圆外有 mo个,有
N个极点,单位圆内有 ni个,单位圆外有 no个 。 对稳定系统 no=0,N=ni。 当频率 ω 由零变到 2π 时,
由式 （ 2-3-16）,稳定系统的相位改变量为当系统函数的所有零点也在单位圆内时，
mo =0,因此当 ω由零变到 2π 时：
最小相位系统的 相位改变量为零。
oi
i
j
mMm
NmMNeH
2)(2
)(2)(2)](a r g [
数字信号处理 第 2章?2004
式中 H(z)为非 最小相位系统
Hmin(z)最小相位系统
HA(z)全通系统的传输函数最小相位系统具有以下特性：
)()()( m i n zHzHzH A?
性质 1 任何非最小相位系统都可以由最小相位系统和全通系统相级联构成 。 即数字信号处理 第 2章?2004
)1)(()( 11 zzzHzH o
设 H(z)仅有一个零点 zo在单位圆外部，这样可将它写成
)()(]
1
)][)(([
)1)(()(
m i n1
1
1
1
1
1
1
1
zHzH
zz
zz
zzzH
zz
zz
zzzHzH
A
o
o
o
o
o
o
式中,H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的最小相位部分，上式可改写成
*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。
数字信号处理 第 2章?2004
性质 2 最小相位系统的具有最小群延时和最小相位滞后特性 。
假设已知 Hmin(z) 和 H(z),且 Hmin(z) 和 H(z)有 相同的幅度响应,即 。 其相位响应分别为 。
令 全通系统的传输函数,其相位响应为因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有先说明最小群延时性质
)()( m i n jj eHeH?
)],(a rg [ jeH? )](a r g [ m i nm i n jeH?
)(/)()( m i n zHzHzH A?
)](a r g [)](a r g [)()()](a r g [ m i nm i n jjjAA eHeHeH
0)()()]()([)()( m i nm i n dddd AA
)()( m i n或 说明最小相位系统具有最小的群延时。
数字信号处理 第 2章?2004
假设已知 Hmin(z),其频率响应为其中再说明最小相位滞后特性
)(m i nm i n |)(|)( Mjjj eeHeH
)](a r g [ m i n jM eH
)()1()( 1m i n zFzzzH i
设 zi是它在单位圆中的一个零点,Hmin(z)可表示为：
其中 F(z)仍然是最小相位系统 。
表示信号通过最小相位系统 Hmin(z)后产生的相位滞后。
数字信号处理 第 2章?2004
)](a r g [ jBB eH其中表示信号通过系统 HB(z)后产生的相位滞后,
)(|)(|)( BjjBjB eeHeH
由于 HB(z)的零点 z=(1/zi)*是 zi的共轭倒数,在单位圆外,因此 HB(z)是非最小相位的稳定系统 。 它的 频率响应 HB(ejω)为将因子 (1-ziz-1)用 因子 (-zi*+z-1)代替，得到系统 HB(z)，
)()*()( 1 zFzzzH iB
数字信号处理 第 2章?2004
比较 Hmin(ejω)与 HB(ejω)可得
jij
i
j
i
j
j
i
j
i
j
ez
B
MB
j
j
B
j
j
B
j
eee
ze
ze
ez
ez
zH
zH
e
eH
eH
eH
eH
2m i n
][m i nm i n
**
1
)(
)(
|)(|
|)(|
)(
)(
]a r g [ ij ze
其中如图所示数字信号处理 第 2章?2004
02)(22)()( MB
上式表明 Hmin(ejω)与 HB(ejω)具有相同的幅度响应特性它们的相位响应的差别为
)()(m i n jBj eHeH?
*表明，对 [0,?]中的任何?恒有,
也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。
)()( MB?
数字信号处理 第 2章?2004
推论 全通系统的相位在 [0,?]范围内为非正值 。
因任何系统的相位可表示成最小相位系统的相位与全通系统的相位之和，故有
)](a r g [)](a r g [)](a r g [ m i n jjjA eHeHeH
由于相位滞后是相位的负值，因此由式若用 HB(ejω)代替 H (ejω)得到
0)}()({)](a r g [ MjA eH
02)(22)()( MB
这说明在 [0,?]范围内全通系统的相位为非正值,
数字信号处理 第 2章?2004
|)(||)(|
1
0
2
m i n
1
0
nhnh
N
n
N
n
若最小相位系统的单位脉冲响应为 hmin(n)
,与之具有相同幅度响应的系统的 单位脉冲响应为 h(n),若系统的输入为 δ (n),系统的输出就是 单位脉冲响应,因此最小能量延时的特性可以表示为性质 3 最小相位系统具有能量延时最小的特性数字信号处理 第 2章?2004
由式 知,可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。
2
0
2
m i n
0
|)(||)(| nhnh
nn
)()()( m i n zHzHzH A?
可以证明信号经过全通系统后能量不变，
因此对因果系统有数字信号处理 第 2章?2004
)()()(*)()( m i n
0
m i n mnhmhnhnhnh a
m
a
设全通系统的单位脉冲响应为 ha(n),则有
nmnhmhnhnxny a
N
m
a 0)()()(*)()( m i n
1
0
取 hmin(n)的前 N项,x(n)= hmin(n)RN(n)作为全通系统 ha(n)的输入,那么 ha(n)的输出为由于信号经过 ha(n)后能量不变，因此
|)(||)(||)(|
|)(||)(|
2
1
0
2
0
2
m i n
1
0
2
0
mymymy
mhmx
Nm
N
mm
N
mm
数字信号处理 第 2章?2004
1,,0)()()()( m i n
1
0
Nnnymnhmhnh a
N
m
考虑 n=0,…,N-1时 h(n)的前 N项,由于因果性,h(n)与所有 n≥N -1后的输入 hmin(n)无关,
因此有
2
1
0
22
1
0
2
m i n
1
0
|)(||)(||)(|)( mhmymhmh
N
mNm
N
m
N
m
这样可得
|)0(||)0(| m i n hh?
从而证明了式 成立,
若令 N=1,可得
|)(||)(|
1
0
2
m i n
1
0
nhnh
N
n
N
n
数字信号处理 第 2章?2004
2-4 希尔伯特 (Hilbert)变换
Hilbert 变换是信号分析中的重要工具 。 Hilbert变换可以用来构造解析信号
,使信号仅含正频率成分,从而可降低信号的抽样率 。 Hilbert变换关系还可以用来表示带通信号,从而为无线电通信中的信号调制提供了一种方法 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,连续时间信号
ttxd
txd
t
xtx
1*)()(1)(1)(
2.4.1 Hilbert变换与解析信号给定一实连续时间信号 x(t),其 Hilbert变换定义为可以看成是 x(t)通过一单位冲激响应为
)(? tx
的变换器的输出,如图所示
)(? tx
/1)(?th
数字信号处理 第 2章?2004
0
0)s g n ()(
j
jjjH
由连续时间傅里叶变换的理论可知,
的傅里叶变换是符号函数,
因此,其频率响应为
tjtjh?/)(? )sgn(?
02/
02/
)(
若记,那么 得 )(|)(|)(jejHjH 1|)(|jH
数字信号处理 第 2章?2004
其幅频,相频特性如图这就是说,Hilbert变换器是幅频特性为 1的全通滤波器。信号 x(t)通过 Hilbert变换器后，其负频率成分作 +90°相移，而正频率成分作 -
90°相移。
数字信号处理 第 2章?2004
)s g n ()()]s g n ()[(
)()()(?
jjXjjX
jHjXjX
由 及时域卷积定理
tthttxtx
1)(,1)()(
即由 此可以得到 Hilbert反变换的公式
)(?)s g n ()( jXjjX
drtxtxttx
)(?1)(?*1)(
有数字信号处理 第 2章?2004
)(?)()( txjtxtz
解析信号,
设 为 x(t)的 Hilbert变换,定义称为信号的解析信号 (analytic signal)。 对上式两边进行傅里叶变换得
)(? tx
)()()()(?)()( jXjjHjXjXjjXjz
0
0)s g n ()(
j
jjjH由有
00
0)(2
)(
jX
jZ
数字信号处理 第 2章?2004
这样,由 Hilbert变换构成的解析信号,只含有正频率成分,且是原信号正频率分量的 2倍
,如图所示
*与抽样定理相比,将 x(t)构成解析信号后,由于 z(t)只含正频率成分,最高频率仍为 Ω h,这时只需 Ω s≥ Ω h即可保证由 x(n)恢复出 x(t),从而可降低抽样频率 。
)()(?),( jZjXjX 及数字信号处理 第 2章?2004
例 2-4-1 给出,求其 Hilbert变换及解析信号 。
)2c o s ()( 0 tfAtx
解,,因为令 00 2 f
)()([
2
)]()([
2
)(?
)]()([
2
)(
00
00
00
A
j
jj
A
jX
A
jX
这样 )(jX 对应的是正弦信号，所以余弦信号的
)2s in ()(? 0 tfAtxHilbert变换是：
)()(?)()( 0AjXjjXjZ又因为
tfjAetz 02)(所以解析函数为
)2s in ()( 0 tfAtx可以证明，若
)2c o s ()(? 0 tfAtx则其 Hilbert变换数字信号处理 第 2章?2004
2．离散时间信号
0
0)(
j
jeH j
类似于连续时间信号,可定义离散时间信号
x(n)的 Hilbert变换是 。 设 Hilbert变换器的单位抽样响应为 h(n),与连续信号 Hilbert变换器的频率响应 H(jΩ )对应,h(n)的频率响应 H(ejω )为
)(? tx
作 H(ejω )的傅里叶反变换,求 h(n)得
dejdjedeeHnh njnjnjj 02 12 1)(2 1)(
则
为奇数为偶数
n
n
n
n
nh
n
2
0
)1(1)(
数字信号处理 第 2章?2004
m m
mnxnhnxnx
)12(
)12(2)(*)()(?
由此求得 x(n)的 Hilbert变换 为)(? tx
0)(
0)()()()(?
j
j
jjj
ejX
ejXeHeXeX
求得 后,即可构成 x(n)的解析信号)(? tx
)(?)()( nxjnxnz
数字信号处理 第 2章?2004
3,Hilbert变换的性质此性质可由 Hilbert变换器的频率特性直接得到,因为 Hilbert变换器是全通滤波器,对信号频谱的幅度不产生影响,只改变信号频谱的相位 。 即有
|)(?||)(?)s g n (||)(| jXjXjjX
性质 1 信号 x(t)或 x(n)通过 Hilbert变换器后,信号频谱的幅度不发生变化 。
数字信号处理 第 2章?2004
证明：由 Parseval定理,有
0|)(|
2
|)(|
2
*)](?)[(
2
1
)(?)(
2
0
2
0
djX
j
djX
j
djXjXdttxtx
性质 2 实信号与它的 Hilbert变换信号是相互正交的,即 x(t) 与,x(n) 与是相互正交的 。 )(? tx )(? nx
由于 x(t)是实信号,其频谱的幅度谱为偶函数,所以上式的积分为 0,故 x(t)和 是正交的 。)(?tx
数字信号处理 第 2章?2004
对 x(n),同样可以证明
0|)(|
2
|)(|
2
)](*)[(
2
1
)](*)[(
2
1
*)](?)[(
2
1
)(?)(
0
2
0
2
0
0
deX
j
deX
j
dejXeXdejXeX
deXeXnxnx
jj
jjjj
jj
n
数字信号处理 第 2章?2004
证明：由定义性质 3 )(),(),(
21 txtxtx
)(?)()()(?)( 2121 txtxtxtxtx
)()()( 21 txtxtx)(?),(?),(? 21 txtxtx
若 的 Hilbert变换分别是
，且则
ttxtxttxtx
1*)](*)([1*)()(?
21
由于卷积的交换性和分配性,即可得到
)(]1)([]1)([)()(? 2121 txttxttxtxtx
同样可以证明,若 )(),(),( 21 txtxtx
)()(?)(?)()( 2121 txtxtxtxtx
)()()( 21 txtxtx)(?),(?),(? 21 txtxtx
的 Hilbert变换
，且,则分别是数字信号处理 第 2章?2004
2.4.2 实因果信号傅里叶变换的实部与虚部、
对数幅度与相位的 Hilbert变换关系若序列为因果序列,即有 )()()( nunxnx?
令 )()()( nxnxnx
oe
其中
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
由于 )()( nxnx ee 和 )()( nxnx oo
分别称为 x(n)的偶对称序列和奇对称序列。
，因此数字信号处理 第 2章?2004
因为 x(n)为实数因果序列,由
0,0)(0,0)( nnxnnx
可得故有
0)()()(
0),(2)(
nxnxnx
nnxnx
ooo
e
0),()(
0),()(
0),()(
nnxnx
nnxnx
nnxnx
oe
oe
e
数字信号处理 第 2章?2004
其分解图形如图所示 因此可将实因果序列用它们的偶对称序列或奇对称序列表示如下：
0)(2
0)(
00
)(
nnx
nnx
n
nx
e
e
即
)()0()()(2)( nxnunxnx e
或即
0)(2
0)(
00
)(
nnx
nnx
n
nx
o
)()0()()(2)( nxnunxnx o
数字信号处理 第 2章?2004
若引用记号
0,2
0,1
0,0
)(
n
n
n
nu
则 x(n)可分别表示为
)()()( nunxnx e或以上两式说明,对于实因果信号 x(n),可单独由其偶对称序列恢复出来；除了 n=0这一点外,x(n)也可由其奇对称序列单独恢复 。
)()0()()()( nxnunxnx o
数字信号处理 第 2章?2004
如果将 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)分成实部与虚部,即 )()()( j
IjRj ejXeXeX
对
)()](I m [)]()([
2
1
)]([
)()](R e [)]()([
2
1
)]([
j
I
jjj
o
j
R
jjj
e
ejXeXjeXeXnxF
eXeXeXeXnxF
)]()([21)()],()([21)( nxnxnxnxnxnx oe
两边进行傅立叶变换,并利用实序列傅立叶变换的共轭对称性,得到数字信号处理 第 2章?2004
也就是说,XR(ejω)在是 xe(n)的傅里叶变换,而 XI(ejω)也正是 xo(n)的傅里叶变换
。 既然能由 xe(n)或 xo(n)单独地恢复出 x(n)
,那么就也可用 XR(ejω)或 XI(ejω)单独恢复出 x(n)。
这说明了实因果信号的傅里叶变换的实部和虚部并不是独立的,它们之间存在某种关系 。
数字信号处理 第 2章?2004
对
)0()()(
1
)0()(*)(2)(
)( xdeUeX
xeUeXeX
jj
R
jj
R
j
两边取傅立叶变换,)()0()()(2)( nxnunxnx e
有
k
j jkeU
2c o t22
1)2()(
式中 U(ejω)是单位阶跃信号 u(n)的傅里叶变换将 U(ejω)代入，有
)0(
2
c o t)(
2
)(
2
1
)(
)()()(
xdeX
j
deXeX
ejXeXeX
j
R
j
R
j
R
j
I
j
R
j
数字信号处理 第 2章?2004
因为
deXeX jRjI 2c o t)(2 1)(
deXx jR )(2 1)0(
令上式两边的实部和虚部分别相等，得对
)0(2c o t)(2 1)( xdeXeX jIjR
)()0()()(2)( nxnunxnx o
同样可得两边取傅立叶变换,
上面两个式子就是实因果信号的傅里叶变换的实部和虚部的 Hilbert变换关系。
数字信号处理 第 2章?2004
进一步,将 X(ejω)表成其幅度谱与相位谱,
)](/)(a r c t a n [)](a r g [)( jRjIj eXeXeX
)()()( jjj eeXeX?
式中即对 X(ejω)取对数,得
)](a r g [|)(|ln)( jjj eXjeXeX
记 对应的时域信号为,称为
x(n)的复倒谱（ complex cepstrum）。
)(?jeX )(nx
数字信号处理 第 2章?2004
如果保证 也是因果的，由)(nx
deXeX jRjI 2c o t)(2 1)(
)0(2c o t)(2 1)( xdeXeX jIjR
deXeX jj 2c o t|)(|ln2 1)](a r g [
)0(2c o t)](a r g [2 1|)(|ln xdeXeX jj
)(?jeX则 的实部和虚部将满足下面两式给出的 Hilbert变换的关系：
其中
deXx j |)(|ln2 1)0(
数字信号处理 第 2章?2004
上面的结论揭示了实因果信号傅里叶变换实部与虚部、对数幅度谱与相位谱是相互联系的，我们只要知道了其中的一个，就可通
Hilbert变换关系求的另一个，从而求得信号的所有信息。
为了保证式存在,x(n)的 Z变换 X(z)在单位圆上既不能有极点，也不能有零点。 X(z)的极点与零点都必须在单位圆内，也就是说 x(n)必须是 2.3.3节中所述的最小相位信号。
)](a r g [|)(|ln)( jjj eXjeXeX
数字信号处理课件第 2章刘益成数字信号处理 第 2章?2004
2-1 序列的 Z变换
2-2 序列的傅里叶变换
2-3 离散时间系统变换域分析
2-4 希尔伯特变换第 二 章 离散时间信号与系统的变换域分析数字信号处理 第 2章?2004
2.1.1 Z变换的定义
2-1 序列的 Z变换对抽样信号进行拉氏变换得：
sTez?令
( ) [ ( ) ] ( ) ( ) st
aa
n
X s LT x t x n T t n T e d t?
n
s n TenTx )(
n
nznTxzX )()(得数字信号处理 第 2章?2004
*将 x(nT)记为 x(n),得
n
nznxzX )()(
上式为序列 x(n)的双边 z变换
*若信号 x(n)为因果序列,x(n)=0,n<0
则有
0
)()(
n
nznxzX
为序列 x(n)的单边 z变换数字信号处理 第 2章?2004
2.1.2 Z变换的收敛域对于任意给定的序列 x(n),使 Z
变换收敛的所有 z值得集合称为 X(z)
的 收敛域 。
其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即
n
nznx )(
数字信号处理 第 2章?2004
根据级数收敛的阿贝尔定理对于不同的序列 x(n),可求得相应的收敛域，下面分别予以说明。
发散不定收敛
1
1
1
lim
n
n
na?
数字信号处理 第 2章?2004
1.有限长序列
x(n)仅在有限长的时间间隔 n1≤n ≤ n2内，序列值不全为零，其它时间全为零，即
其他0
)()( 21 nnnnxnx
其 Z变换式为?
2
1
)()(
n
nn
nznxzX
收敛域为
zn
znn
zn
00
00,0
00
1
21
2
数字信号处理 第 2章?2004
2.右边序列
x(n)在 n ≥n1时，序列值不全为零，在 n <n1时序列值全为零，此时有
0
1
)()()()(
11 n
n
nn
n
nn
n znxznxznxzX
收敛域为
zR x
如为因果序列，其收敛域为
zR x
数字信号处理 第 2章?2004
3.左边序列
x(n)在 n >n2以外序列值全为零，仅在 n ≤ n2时有非零值，其 z变换为
22
0
1
)()()()(
n
n
n
n
n
n
n
n znxznxznxzX
收敛域为
x
x
Rzn
Rzn
00
00
2
2
数字信号处理 第 2章?2004
4.双边序列双边序列的序列值 n可取任何整数值,其 z变换为
0
1
)()()()(
n
n
n
n
n
n znxznxznxzX
xx RzR
收敛域为左边序列与右边序列的重叠部分，
如果,,则整个序列收敛域为
xx RR
如果 级数没有公共收敛域,则 Z变换不存在 。
xx RR
数字信号处理 第 2章?2004
如果序列 Z变换可表达成有理分式的形式,
)(
)()(
zQ
zPzX?
称分子多项式的零点为 X(z)的零点，分母多项式的零点为 X(z)的极点，因为极点 z变换不存在，因此在收敛域内应没有极点，故可通过取 X(z)的极点为边界来确定其收敛半径。
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-1 求单位阶跃序列 u(n) 的 z变换，
并确定其收敛域。
解：
1
0 1
1)()()(
z
znuznxzX
n
n
n
n
由于 u(n)为因果序列，其 Z变换收敛域为,因函数在 z=1处有一极点，极点应在收敛域外，因此可取,求得 u(n)的 z变换收敛域为
。
zR x
1xR
1xRz
)1/(1 1 z
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-2 求序列解,这是一个双边序列，其 Z变换为
11
0
1
1
1
1
1
)()(
azbz
zazbznxzX
n
nn
n
nn
n
n
1
0)(
nb
nanx
n
n的 z变换及收敛域。
上式第二项为因果序列的 z变换，极点为 z=a,第一项为左边序列,z变换极点为,综合的 。bz? bza
数字信号处理 第 2章?2004
2.1.3 逆 Z变换从给定的 z变换表达式 (包括收敛域 )
求原程序的过程，称为 逆 z变换 。实质上是求 X(z)的幂级数展开式各项的系数。
求逆 z变换常用以下 3种基本方法：
* 围线积分法
* 部分分式展开法
* 长除法 (或幂级数展开法 )
数字信号处理 第 2章?2004
1,围线积分法根据复变函数中的柯西积分公式
0,0
0,1
2
1 1
k
kdzz
j c
k
式中 C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
在 Z变换的定义式中两边同乘以 zk-1,并作围线积分,得
dzznxjdzzzXj
c n
nk
c
k
11 )(
2
1)(
2
1
利用柯西积分公式，当 n=k时，得到 X(z)的逆 Z变换公式如下
dzzzXjnx
c
n 1)(
2
1)(
数字信号处理 第 2章?2004
],)([Re)( 1 k
k
n azzXsnx
若被积函数 X(z)zn-1是有理分式，一般采用留数定理 来计算围线积分 。
根据留数定理,x(n)等于围线 C内全部极点留数之和，即如果 X(z)zn-1还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有
z
],)([Re)( 1 k
k
n bzzXsnx
{ak}是被积函数 X(z)zn-1在围线 C内的一组极点
{bk}是被积函数 X(z)zn-1在围线 C外的一组极点数字信号处理 第 2章?2004
如果 zk为单阶极点，按留数定理
kzz
n
k
kk
k
n zzXzzzzzXs
11 )()(],)([Re
如果 zk为 m 阶极点，则其留数为
kzz
nm
km
m
k
n zzXzz
dz
d
m
zzzXs
])()[(
)!1(
1],)([Re 1
1
1
1
在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积函数的特点及 n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。
例如，在 n小于某一值时，在 z=0在围线内部可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。
数字信号处理 第 2章?2004
,求原序列 x(n)
例 2-1-3已知序列的 Z变换为
azazzX 11 )1()(
解,
dzz
azj
dzzaz
j
nx
c
n
c
n
1
2
1
)1(
2
1
)( 111
并且当 时,z=0处不是极点,被积函数仅有单阶极点
a,在收敛域内取围线 C包含极点 a,可求得
0?n
az?由于收敛域为,可知该序列必定是因果序列。
)()(
0],
1
[Re)(
nuanx
naaz
az
snx
n
nn
或数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-4已知序列的 Z变换为
||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX
))((
))(1(
)(
1
1
azaza
z
azaz
z
zzX
n
n
n
求原序列 x(n)
|||||| 1 aza解 由于收敛域 为环域,知 x(n)必为双边序列,其被积函数为例 2-1-4被积函数的极点数字信号处理 第 2章?2004
在收敛域 内,作包围原点的围线,
当 时,只有一个单阶极点 z=a,其围线积分为
aza ||||| 1
0?n
01],))(( 1[Re)( 21 naaazazazasnx
n
n
01],))(( 1[Re)( 211
na
aaz
azazasnx
n
n
2
||
1)( a
anx n
当 n<0时，被积函数在围线内除了在 z=a处有一个单阶极点，在 z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点 z=a-1,因此有综上可得数字信号处理 第 2章?2004
部分分式展开法用于求序列的 Z变换为下述有理分式形式时的逆 Z变换 。
2．部分分式展开法
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zA
zB
zX
1
0
1
)(
)(
)(
]m a x [1)(
1
10 k
N
k k
k zz
zz
AAzX?
若假定序列为因果序列,则一定有 N≥M。 当
X(z)的 N个极点都是单极点时,可以展开成以下的部分分式的形式数字信号处理 第 2章?2004
其中 zk为 X(z)的单极点,Ak(k=0,1…,N)为常数。
A0对应的序列为 δ (n),由例 2-1-3知，求和式中的各项所对应的序列为 。 因而 上 式的逆 Z变换为)(nuznk
)()()(
1
0 nuzAnAnx
n
kk
N
k
],
)(
[Re)()1(
]0,
)(
[Re)0(
1
0
kzzkk
N
N
z
z
zX
szXzzA
z
zX
s
a
b
XA
k
可按留数定理求得各系数 Ak(k=0,1…,N)如下,
为了方便通常利用 X(z)/z的形式求取数字信号处理 第 2章?2004
当上述有理分式中的 M≥N且具有高阶极点 时,若设除单极点外,在 zi处有一个 s阶的极点,则其展开式修改为
s
i
k
s
kk
k
sN
k
k
k
NM
k zz
C
zz
AzBzX
)1(1)( 11110
式中 Bk(k=0,1…,N)为 X(z)整式部分的系数,可用长除法求得 。 Ak仍按上面的方法计算,Ck的计算公式为
skz zXzzdzdksC
izz
s
iks
ks
k,,1]
)()[(
)!(
1
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-5 已知 求 X(z)的原序列。 2
)5.0)(2()(
2
zzz zzX
5.02)5.0)(2(
)( 21
z
A
z
A
zz
z
z
zX
3/1,3/4 21 AA
解：将 X(z)变为 X(z)/z的形式并化为部分分式由求系数 Ak的公式求得
)()5.0(31)()2(34)( nununx nn
因为 X(z)的收敛域为,为因果序列，
从而求得 2?z
数字信号处理 第 2章?2004
按定义 Z变换为 z-1的幂级数,只要在给定的收敛域内将 X(z)展开成幂级数形式,则级数中的系数就是原序列 x(n)。
3．长除法 (幂级数展开法 )
在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列
Z变换为 z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开，对于右边序列,Z变换为 z的负幂级数
，分子分母应按降幂排列进行展开。
数字信号处理 第 2章?2004
nn
n
zazaazzX?
0
2211)(?
)()( nuanx n?
例 2-1-6 用长除法求 azazzX 11 )1()(
的逆 Z变换。
解：由收敛域知,这是一右边序列,用长除法将其展开成 z的负幂级数,将分母多项式按降幂排列
1
22
221
1
1
za
zaaz
az
az
221
1
1
11
zaaz
az
所以数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-7 用长除法求 Z变换
||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX
解 由于收敛域 为环域,知 x(n)必为双边序列,将 X(z)部分分式分解
|||||| 1 aza
]1 1[1 1)1)(1( 1)( 21 azaz aaazazzX
上式括弧中的第一项对应于右边序列,用长除法将其展开成 z的负幂级数,将分母多项式按降幂排列,第一项对应于左边序列,用长除法将其展开成 z的正幂级数,将分母多项式按升幂排列 。
的逆 Z变换 x(n)
数字信号处理 第 2章?2004
对右边序列
23
2312
12
12
za
zaza
za
zaa
33221 zazaaz
aaz
由此求得右边序列为
01)( 2 naanx n
对左边序列
az-1
33
3322
22
22
za
zaza
za
zaaz
az
33221
11
zazaaz
az
由此求得左边序列为
01)( 2 naanx n
综上可得
21)( a
anx n
数字信号处理 第 2章?2004
利用已知的 幂级数展开式 求序列的逆 Z变换。如下例所示。
例 2-1-8 求以下 Z变换的逆 Z变换 x(n)
||||)1l o g ()( 1 azazzX
az?
)1lo g( x?
解：由于收敛域为,知序列应为因果序列，
利用 的幂级数展开式
1
1
1||)1()1l o g (
n
nn
xn xx
||||)1()(
1
1
n
nnn
azn zazX
故有 及1 azx 1?x用 代入上式，因 az?
因此 x(n)为
00
1
)1(
)(
1
n
n
n
a
nx
nn
数字信号处理 第 2章?2004
一些常用序列的 Z变换见课本 P39页数字信号处理 第 2章?2004
2.1.4 Z变换的性质与定理
1,线性性
Z变换是一种线性变换，满足叠加原理。
如果序列 x(n)和 y(n)的 Z变换分别用 X(z)和 Y(Z)
表示，即
yy
xx
RzRzYnyZ
RzRzXnxZ
)()]([
)()]([
则
RzRzbYzaXnbynaxZ )()()]()([
],m i n [],m a x [ yxyx RRRRRR其中数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-9 求序列 的 z变换，
并确定其收敛域。
)()c o s ()( 0 nunrnx n
解：
rrez
zre
nuerZ
rrez
zre
nuerZ
az
az
nuaZ
j
j
njn
j
j
njn
n
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
)]([
1
1
)]([
1
1
)]([
由 z变换的线性性，有
221
0
1
0
11
0
)c os2(1
)c os(1
]
1
1
1
1
[
2
1
)](
2
)(
[)]()c os ([
00
00
zrzr
zr
zrezre
nu
eer
ZnunrZ
jj
njnjn
n
rz?
数字信号处理 第 2章?2004
2.序列的移位如果则
n0为正 (右移 ),为负 (左移 )
xx RzRzXnxZ )()]([
xx
n RzRzXznnxZ )()]([ 0
0
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-10 设
xRznxZzXnunxnx )],([)(),()()(
求 的 z变换和收敛域。
n
m
mxny
0
)()(
解,由于
)1()()()()(
1
00
nynymxmxnx
n
m
n
m
)]1()([)]([ nynyZnxZ
由移位特性所以
)()()( 1 zYzzYzX
]1,m a x [)(1 1)( 1 xRzzXzzY
数字信号处理 第 2章?2004
3.序列乘指数序列 (z域尺度变换 )
xx
n RazRazaXnxaZ )()]([ 1
证明
xx
n
n
n
nnn
RazRazaX
zanx
znxanxaZ
,)(
))((
)()]([
1
1
数字信号处理 第 2章?2004
4.序列的反褶
xx RzRzXnxZ /1/1)()]([
1
5.序列的共轭
xx RzRzXnxZ *)(*)](*[
若 则
xx RzRzXnxZ )()]([
若 则
xx RzRzXnxZ )()]([
数字信号处理 第 2章?2004
6.微分性质
xx RzRdz
zdXznnxZ )()]([
证明
)]([)(
)(])([
)(
11
1
nnxZzznnxz
znnxznx
dz
d
dz
zdX
n
n
n
n
n
n
即
dz
zdXznnxZ )()]([
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-11 利用微分性质求下面 z变换的逆 z变换 x(n).
||)1l o g ()( 1 azazzX
解：首先将 X(z)对 z进行微分得
1
2
1
)(
az
az
dz
zdX
根据微分性质，有
1
1
1
)()]([
az
az
dz
zdXznnxZ
aznun anx
nn
)1()1()(
1
)1()(])(1[]1[ 11
1
1
1
1
1
nuaa
az
zaZ
az
azZ n但所以数字信号处理 第 2章?2004
7.初值定理如果 x(n)为因果序列，它的初值可由下式求得
)(lim)0( zXx
z
这是因为
)0(
])1()0([lim
)(lim)(lim
1
x
zxx
znxzX
z
n
n
zz
数字信号处理 第 2章?2004
8.终值定理若 x(n)为因果序列，且其 Z变换的极点除在 z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有
)()1(lim)(lim
1
zXznx
zn
数字信号处理 第 2章?2004
证,n
n
znxnxnxnxZzXz?
)]()1([)]()1([)()1(
对因果序列 x(n)=0,n<0,故有
)(lim)1(lim
)]}()1([)]0()1([]0)0({[lim
)]()1([lim)()1(lim
1
1
nxnx
nxnxxxx
zmxmxzXz
nn
n
m
n
m
nz
n
n
znxnxzXz?
)]()1([)()1(
1
m
n
mn
zmxmx?
)]()1([lim
1
由于假设 X(z)在单位圆上仅在 z=1处有一阶极点,因此
(z-1) X(z)在单位圆上无极点 。 即 (z-1) X(z)的收敛域为
>1,这样允许对上述等式的两端取 z→ 1的极限z
数字信号处理 第 2章?2004
9.卷积定理
yy RzRzHzXzYnyZ )()()()]([
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则
hh RzRzHnhZ )()]([
其中 ],m i n [],,m a x [
hxyhxy RRRRRR
)(*)()( nhnxny?
数字信号处理 第 2章?2004
证明：
n
mn
n
n
zmnhmxznhnxzY?
)]()([)]()([)(
)()()()( zHzmxzmnhmx m
m
n
nm
)()( zHzX? ],m in [],m a x [ hxhx RRzRR
由于 Y(z)=X(z)H(z),所以 Y(z)的收敛域是 X(z)和 H(z)
的重叠部分,一般来说要比原来的小,但如果其中一个 Z变换在收敛域边界上的极点被另一个的零点所抵消,则收敛域会扩大 。
卷积定理是离散时间信号与系统分析中最重要的定理之一 。 按照卷积定理,显然有
)]()([)( 1 zHzXZny
数字信号处理 第 2章?2004
利用卷积定理可以很容易证明序列的相关定理。
已知序列 x(n)和 y(n)的互相关序列 为
n
xy mnynxmr )()()(
)/1()()( zXzYzR xy?
则 rxy(m)的 Z变换为若 y(n) = x(n)则自相关序列 rxx(m)的 Z变换为
)/1()()( zXzXzR xx?
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-12 设,,,
用卷积定理求
)()( nunx? )()( nuanh n? 1?a
)()()( nhnxny
|1|||1 1)]([)( 1 zznuZzX解,由于在围线内有两个极点 z=a和 z=1,从而求得按卷积定理得
||||1 1)]([)( 1 azaznuaZzH n
1||1 11 1)()()( 11 zazzzHzXzY
由于收敛域为,可知序列必定是因果序列。
用围线积分求逆 Z变换得
1||?z
dzazz zjzHzXZny
n
c ))(1(2
1)]()([)( 11
)(1111 1],))(1([Re]1,))(1([Re)(
1111
nuaaaaaaazz zsazz zsny
nnnn
数字信号处理 第 2章?2004
10.序列相乘（复卷积定理）
dvvvH
v
zX
j
nyZzY
c
1)()(
2
1)]([)(
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则 hh RzRzHnhZ )()]([
hxxh RRzRR
)()()( nhnxny?
其中 C是在 v平面上 与 公共收敛域中绕原点的一条闭合曲线,v的收敛域满足 以及将此两个不等式相乘即得
)(vH
xx RvzR /
)(vzX
hh RvR hxxh RRzRR
同时有 ]/,m i n []/,m a x [
xhxh RzRvRzR
数字信号处理 第 2章?2004
若序列都是因果序列，则由于,
hx RR
x
h R
zvR则有现证明 dvvvH
v
zX
jnyZzY c
1)()(
2
1)]([)(
dvvvH
v
z
X
j
dvv
v
z
nxvH
j
znxdvvvH
j
znhnxzY
c
n
n
c
nn
c
n
n
n
1
1
1
)()(
2
1
))(()(
2
1
)(])(
2
1
[
)]()([)(
hxxh RRzRR
按 Z变换定义得数字信号处理 第 2章?2004
例 2-1-13 已知 ),()( nuanx n? )()( nubnh n?
)()()( nhnxny?,1||,1|| ba
用复卷积定理求 )]([)( nyZzY?
解 由于
||||1 1)]([)( 1 bzbznubZzH n
||||1 1)]([)( 1 azaznuaZzX n
dv
bvzav
az
j
dv
bv
v
v
z
a
j
nyZzY
c
c
))(/(
/
2
1
1
)(1
1
2
1
)]([)(
1
1
1
按复卷积定理有数字信号处理 第 2章?2004
在 v平面中,被积函数有 2个极点,即 v1=z/a
和 v2=b。 因 x(n)和 h(n)都是因果序列,其收敛域为故只有一个极点 v2=b在围线积分内 。 用留数定理求得
a
zvb
|]||,m a x [ |||
1
1
],
))(/(
/
[Re)(
1
baz
a bz
b
bvzav
az
szY
数字信号处理 第 2章?2004
11.帕思瓦定理 (Parseval)
dvv
v
YvX
j
nynx
cn
1
*
** )1()(
2
1)()(
若
xx RzRzXnxZ )()]([
则
yy RzRzYnyZ )()]([
yxxy RRRR 1
且其中 C为在由下述不等式确定的收敛域内，绕原点的一条闭合曲线。
],m i n [],m a x [
y
x
y
x R
zRv
R
zR
数字信号处理 第 2章?2004
证明,按序列的共轭性质式有则由复卷积定理有由于假设条件规定,因此 =1
在收敛域内 。 因此可令 z=1,有帕思瓦定理实际上能量守恒定理在 Z域中的反映，其具体的物理意义将在序列的傅立叶变换中说明。
dvv
v
zYvX
j
znynx
c
n
n
1
*
*
** )()(
2
1)()(
)()]([ *** zYnyZ?
dvvvYvXjnynx
cn
1
*
** )1()(
2
1)()(
yxxy RRRR 1 z
数字信号处理 第 2章?2004
在 1.1.2节中曾介绍了对序列的抽取运算，
将序列 x(n)以 M,1抽取后形成的新序列 y(n)两者之间的关系为
12．重抽样序列的 Z变换
)(
1
)( )/2(/1
1
0
lMjM
M
l
ezX
M
zY
)()]([ zXnxZ?若
,2,1,0)()( nnMxny
则数字信号处理 第 2章?2004
证明：作函数
)(
1
}])[({
1
][
1
)(
),()()()(
,2,1,0),()()()(
/0
/1
1
11
][
1
),(
)/2(/1
1
0
/2/1
1
0
/2
1
0
/
/
/2
2
)/2(
1
0
lMjM
M
l
nMljM
n
M
l
nMlj
M
l
Mn
n
Mn
n
n
n
Mnj
nj
nlMj
M
l
ezX
M
eznx
M
e
M
znx
MnFznxznMxzY
nMnFnxnMxny
Mn
Mn
e
e
M
e
M
MnF
整数整数数字信号处理 第 2章?2004
2.1.5 Z变换与拉氏变换的关系
1,S平面到 Z平面的映射
Z变换与拉氏变换的关系,
)(?|)( sXzX aez sT
这个关系实际上是通过 将 S平面的函数映射到了 Z平面。
sTez?
若将 Z平面用极坐标表示,S平面用直角坐标表示,代入,得
jrez?
sTez js?
Ter T
也就是说 z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应,z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
数字信号处理 第 2章?2004
由式 ()s T j T jz e e r e
)(10
)(10
)(10
平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆
zr
zr
zr
而 z 的幅角 与 s 的虚部 的关系是线性关系。其映射关系为
Ter
T
zs
/
10
2,00
得到 z 的模 r 与 s 的实部 的关系为
(S平面实轴映射到 Z平面的正实轴 )
(S平面原点映射到 z=1点 )
(当由 - /T 增加到 + /T 时,对应于 由 - 增加到 + )
T
数字信号处理 第 2章?2004
但由于 是 的周期函数,S平面每增加一个宽为 2 /T 的水平条带时，对应于 Z平面从
- 到 + 旋转了一周。这样就有
jrez
1)~( z
即 S平面的整个虚轴都映射到了 Z平面 =1 的单位圆上,因此由 S平面到 Z平面的映射是多值映射,
这些关系示于下图
z
数字信号处理 第 2章?2004
2．抽样序列的 Z变换表示已知抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱 。
由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例,
按照前面的 S→Z 平面的映射关系,它映射到 Z平面
=1 的单位圆上,故有
jS
z
)(?)()( jXeXzX aTjez Tj
12( ) ( ) ( )j T j
a
n
X e X e X j j nTT
或
Z平面的角变量,称为数字频率,单位为弧度 。
sf
fT 2
数字信号处理 第 2章?2004
2-2 序列的傅里叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析 。 它是用 { }
作为基函数对序列进行正交展开,这与连续时间信号中的傅立叶变换用 { }对模拟信号进行展开相似 。
nje
tje
数字信号处理 第 2章?2004
1,序列傅立叶正变换
n
njj enxnxFeX )()]([)(
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
x(n)的傅立叶变换定义如下,
是 的连续函数。但由于 其中 M
为整数，故有
nMjnj ee )2(
)()()( )2()2( MjnMj
n
j eXenxeX
可见 还是 的周期函数，周期为 2 。)(?jeX?
数字信号处理 第 2章?2004
2．序列傅立叶变换与 Z变换的关系比较 傅立叶变换式与 Z变换的定义式
n
njj enxnxFeX )()]([)(
n
n
znxzX?
)()(
可见序列的傅立叶变换是 Z变换在 时的 Z变换,即 Z变换在的单位圆上 的特殊情况 。
故有
jez?
1?z
jezj zXeX )()(
数字信号处理 第 2章?2004
在 2.1.5节曾经指出，单位圆上的 Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此,序列的傅立叶变换也就是序列的频谱 。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。
数字信号处理 第 2章?2004
一般为 的复变函数，可表示为?)(?jeX
)(a r g|)(|)()()( jweXijj
I
j
R
j eeXejXeXeX
其中,分别为 的实部和虚部,通常称 为幅频特性或幅度谱,而称为相位谱,并且有
)(?jeX
),(?jR eX )(?jI eX )(?jeX
)(a r g)( jeX?
2/122 )]()([|)(| jIjRj eXeXeX
)](/)([)(a r g)( jRiIj eXeXa r c t geX
它们也都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-2-1 已知,求它的傅立叶变换。 )()( 5 nRnx?
)2/s i n (
2/5s i n
)(
)(
1
1
)]([)(
2
2/2/
2/52/5
2/
2/5
54
0
j
jj
jj
j
j
j
j
nj
n
j
e
ee
ee
e
e
e
e
enxFeX
,|)2/s in ( 2/5s in|)(jeX
解：
其幅度谱和相位谱分别为
])2/s in ( 2/5s ina r g [2)(
数字信号处理 第 2章?2004
其图形如下数字信号处理 第 2章?2004
3．序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换记为 )]([)( 1?jeXFnx
其公式为
deeX
dzzzX
j
eXFnx
jnj
ez
n
c
j
j
)(
2
1
|)(
2
1
)]([)(
1
1
数字信号处理 第 2章?2004
4．序列的傅立叶变换的收敛条件根据级数收敛的条件，序列傅立叶变换式存在的条件为
)()( nxenx
n
nj
n
*这要求序列满足绝对可和的条件
*该条件是序列傅氏变换存在的充分但非必要条件
*有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见例 2-2-2
*对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，例如 u(n),,一些周期序列等，若引入频域的冲击函数,它们的傅立叶变换也存在。见例 2-2-3。
nje?
)(
数字信号处理 第 2章?2004
||0
||01)(
c
cjeH
例 2-2-2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
deeHFnh njc
c
j?
2
1)]([)( 1
nn njnejne c
njnj cc
,s i n)(2 1
cjc
c
c
n
deHn nnh
22 |)(|
2
1|s i n|)(
*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦定理 (Parseval)。
数字信号处理 第 2章?2004
njenx 0)(例 2-2-3 证明复指数序列 的傅立叶变换为
)2(2)( 0 keX
k
j
证明,)(?jeX计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质，
有
)(
deknx nj
k
)2(22 1)( 0
njnj ede 0
0 )(
当 =0时,=1，由此得到 常数 1的傅里叶变换为nje 0?0?
)2(2]1[ kF
k
m
nmj
m eanx
)(若序列可表示成复指数和的形式，
数字信号处理 第 2章?2004
)2(2)( kaeX mm
mk
j
利用例 2-2-3的结果，可以得到它们的傅立叶变换表达式例 2-2-4 求余弦序列 的傅立叶变换 nnx 0c o s)(
)]2()2([ 00 kk
k
}]{21[][ c o s)( 000 njnjj eeFnFeX
解,][
2
1c o s)( 00
0
njnj eennx
利用上式的结果得
*可见 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，
强度为,它还以 2 为周期进行周期延拓。
n0cos? 0
数字信号处理 第 2章?2004
一些常用序列的傅立叶变换见课本 P51页数字信号处理 第 2章?2004
2.2.2 序列的傅立叶变换的性质下面列出这些性质，所有性质都可直接由 Z变换令 得到，可自行证明。
因序列的傅立叶变换是 Z变换在 的单位圆上的特例，故所有 Z变换的性质对傅立叶变换都成立。
jez?
1?z
数字信号处理 第 2章?2004
1.线性性则对任何常数 a和 b有如果 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeYnyF?
)()()]()([ jj ebYeaXnbynaxF
2.序列的移位则如果 ),()]([?jeXnxF?
)()]([ 00 jnj eXennxF
即时域的移位，导致频域的相移数字信号处理 第 2章?2004
3.频域的相移则如果 ),()]([?jeXnxF?
][)]([ )( 00 jnj eXnxeF
即频域的相移相当于对时域信号进行了调制。
4.序列的 反褶则如果 ),()]([?jeXnxF?
)()]([?jeXnxF
数字信号处理 第 2章?2004
5.序列的 共轭则如果 ),()]([?jeXnxF?
)(*)](*[?jeXnxF
6.微分性质
d
edXjnnxF j )()]([?
即对时域信号进行线形加权对应于频域的微分。
数字信号处理 第 2章?2004
7.时域卷积定理则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
)()()( jjj eHeXeY?
)()()( nhnxny
即两个序列在时域的卷积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的乘积。
数字信号处理 第 2章?2004
8.序列相乘 (频域卷积定理 )
则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
deHeX
eHeXeY
jj
jjj
][)(
2
1
)()(
2
1
)(
)(?
)()()( nhnxny?
即两个序列在时域的乘积对应于频域即为两个序列傅立叶变换的卷积。
数字信号处理 第 2章?2004
9.序列相 关则若 ),()]([?jeXnxF? )()]([?jeHnhF?
)()()( jjjxy eYeXeR
n
xy mnynxmr )()()(
数字信号处理 第 2章?2004
下面证明性质 9
证明：
由时域卷积定理及反褶定理得
nn
xy mnxnymnynxmr )()()()()(
)()(])([)( mxmynmxny
n
)()()( jjjxy eYeXeR
当 x(n)=y(n)时，有
2)()()()( jjjj
xx eXeXeXeR
*上式说明序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱，这就是著名的维纳 -辛欠定理，
是序列的功率谱数字信号处理 第 2章?2004
10.帕思瓦定理 (Parseval)
则若 ),()]([?jeXnxF?
deXnx j
n
22 )(
2
1)(
数字信号处理 第 2章?2004
证明,由 Z变换的帕斯瓦定律
dvvvYvXjnynx c
n
1
*
* )1()(
2
1)(*)(
得令?jev?
deYeXnynx jj
n
)()(2 1)()( **
deXnx j
n
22 )(
2
1)(
*帕思瓦定理是说明了时域的能量等于频域中的能量。
例 2-2-2 就是使用帕思瓦定理的例子。
当 x(n)=y(n)时有数字信号处理 第 2章?2004
11.重抽样序列的傅立叶变换则若 ),()]([?jeXnxF?
)(1)( )
2(1
0
M
l
Mj
M
l
j eX
MeY
2,1,0)()( nnMxny
)(1)(
)2(1
0
M
ljM
l
Mj eX
M
eY
或
*重抽取序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了 M
倍,并将展宽后的频谱以 为周期 扩展了 M个,
幅度则下降到原来的 1/M。
M/2?
数字信号处理 第 2章?2004
2.2.3 序列傅里叶变换的对称性
1,序列的共轭对称性质
)(*)( nxnx oo
若序列 满足
)(*)( nxnx ee
)(nxe
)(nxe
则称 为共轭对称序列 。
)(nxo
)(nxo
类似地，若序列 满足则称 为共轭反对称序列数字信号处理 第 2章?2004
任何序列 均可表示成上述两个序列之和，即
)()()( nxnxnx oe
)}(*)({
2
1
)(
)}(*)({
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
)(nx
其中
)(nxe若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示。
)()()( njxnxnx eiere
因此有相应的 )()()(* njxnxnx eiere
)()()()( nxnxnxnx eieierer
*表明 的实部是 n的偶函数，而虚部是 n的奇函数。
的实部是 n的奇函数，而虚部是 n的偶函数。
)(nxe
)(nxo
数字信号处理 第 2章?2004
2,序列傅立叶变换的共轭对称性将序列 x(n)分成共轭对称与共轭反对称部分,即?
)()()( nxnxnx oe
对上式两边进行傅立叶变换，则
)]([)]([)( nxFnxFeX oej
)(?jeX若将 分成实部与虚部可知
)()()( jIjRj ejXeXeX
)()](I m [)}(*)({21)]([ jIjjjo ejXeXjeXeXnxF
)()](R e [)}(*)({21)]([ jRjjje eXeXeXeXnxF
*表明 的傅立叶变换对应于 的实部，
的傅立叶变换对应于 的虚部 (加上 j在内 ).
)(nxe
)(nxo
)(?jeX
)(?jeX
数字信号处理 第 2章?2004
将序列 x(n)分成实部与虚部?
)()()( njxnxnx ir
对上式两边进行傅立叶变换，则
)]([)]([)]([ nxjFnxFnxF ir
n
nj
rr
j
e enxnxFeX
)()]([)(
定义则
n
nj
ii
j
o enxjnxjFeX
)()]([)(
)()()( jojej eXeXeX
*表明 具有共轭对称性质，
具有共轭反对称性质,
)(?je eX
)(?jo eX
显然有 )(*)(,)(*)( j
ojojeje eXeXeXeX
数字信号处理 第 2章?2004
由以上性质，可得到以下推论：
*若序列为纯实数序列，即若 )()( nxnx r?
则有
)(*)( jj eXeX
由此得出：
所以实序列 x (n)的傅立叶变换的实部是?的偶函数，而虚部是?的奇函数。
)](I m [)](I m [ jj eXeX
)](R e [)](R e [ jj eXeX
数字信号处理 第 2章?2004
*如果将傅立叶变换表示成极坐标的形式,
]}
)](R e [
)](I m [
a r c t a n [e x p {)}({ I m [)]}({ R e [
)]}(a r g [e x p {|)(|)(
22
j
j
jj
jjj
eX
eX
jeXeX
eXjeXeX
可见,对 实序列 x (n)的 傅立叶变换来说,其幅度是?
的偶函数,而相位是?的奇函数?即
)](a r g [)](a r g [ jj eXeX
22 )}({ I m [)]}({ R e [|)(||)(| jjjj eXeXeXeX
同样若序列为纯虚数序列，即若,显然有 )()( njxnx i?
)(*)( jj eXeX
即纯虚数序列的傅立叶变换是?的奇函数。
数字信号处理 第 2章?2004
傅立叶变换的一些常用性质见课本 P56页数字信号处理 第 2章?2004
2-3 离散时间系统变换域分析本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法,它们分别是 h(n)的 Z变换和傅立叶变换 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,系统函数与系统的频率响应
)()()( nhnxny
2.3.1 系统函数已知系统单位脉冲响应为 h(n),那么线性时不变系统零状态响应的输入输出关系为两边取 Z变换得
)()()( zHzXzY?
则
)(
)()(
zX
zYzH?
称 H(z)为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的 Z变换,即
n
nznhnhZzH )()]([)(
数字信号处理 第 2章?2004
系统函数在单位圆上的 Z变换,即单位脉冲响应的傅立叶变换
n
njj enhnhFeH )()]([)(
这就是系统的 频率响应 。 又称为系统的 传输函数 。 频率响应有明显的物理意义,考虑给系统输入单频率的复信号,则系统的输出为表明,当输入为一个单频率的信号时,输出仍然是同一频率的信号,但它的幅度与相位都因为 的加权而发生了变化,且
| |的值是随频率的变化而变化的 。
)(?jeH
njenx 0)(
)(?jeH
)(?jeH
)()( 0000 jnj
m
mjnj eHeemhe
m
mnjemhnhnxny )(0)()()()(?
数字信号处理 第 2章?2004
2,系统的因果性与稳定性的 Z变换表示因果系统因果系统的系统函数 H(z)具有包括 ∞ 点的收敛域,
1|||)(||)(| zn
nn
znhnh
|| zR x
||1 z综上所述,稳定因果系统的收敛域为,
即 H(z)在 |z|=1的单位圆上收敛,这要求系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
稳定系统由稳定系统的充要条件式有
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-3-1 已知系统的系统函数如下式所示，
判断系统的因果性和稳定性。
2||)21)(21( 1)( 1 zzzzH
解,上式有 2个极点,和,给定的收敛域为,包括无穷远点
，故系统为因果系统，但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的。
21?z 2/12?z
z2
数字信号处理 第 2章?2004
在 上 题中，如果将收敛域改为 ( )，
这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，因此系统是稳定的但不是因果的。实际上这时系统的单位脉冲响应,显然不是因果的。
该例说明同一个系统函数，如果收敛域不同，
系统的特性是完全不同的。
由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。
22/1 z
nnh )2/1()(?
数字信号处理 第 2章?2004
例如在上例中,若将 截取从
（ ） 的一段,然后令
120,)2/1()()(' || NnNnhnh Nn
1 NnN
nnh )2/1()(?
来近似实现，如图所示。
显然 N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.2 离散时间系统的 Z变换解法当输入序列 x(n)为因果序列时,线性时不变系统的常系数差分方程描述为
1．零状态响应的解法
)()(
00
knxbknya k
M
k
k
N
k
在系统初始状态为零,即 y(n)=0(n<0)时,
对上式两边取双边 Z变换,由 Z变换的移位特性可得
k
k
M
k
k
k
N
k
zbzXzazY?
00
)()(
数字信号处理 第 2章?2004
于是
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zY
zH
0
0
)(
)(
)(
由于常系数的差分方程中的系数 ak和 bk是已知的,按上式可求得 H(z),这样由 Z变换的卷积定理,当 x(n)给定时就可由下式求得响应
y(n)，
这就是差分方程的零状态响应的 Z变换解法。
)]()([)( 1 zXzHZny
数字信号处理 第 2章?2004
当系统的初始状态不为零时,除了考虑 零状态响应外还必须考虑零输入响应 。 这时 差分方程的 Z变换解法需使用 单边 Z变换 。
由于序列移位的单边 Z变换与双边 Z
变换不同,下面先说明单边 Z变换的移位特性 。
2,初始状态不为零的解法数字信号处理 第 2章?2004
设 n
n
znynyZzY?
)()]([)(
0
则
])()([
])()([
)()(
)()]()([
1
1
0
)(
0
0
k
mk
m
k
mk
k
k
m
k
mk
mmn
n
m
n
n
zkyzYz
zkyzkyz
zkyzzmnyz
zmnynumnyZ
这 就是序列移位后的单边 Z变换。
数字信号处理 第 2章?2004
对式 两边进行单边 Z
变换,利用 单边 Z变换的移位特性,得到
k
k
M
k
l
kl
k
k
N
k
zzXbzlyzYza?
)(])()([
0
1
0
由此得到
k
k
N
k
l
kl
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zlyza
zX
za
zb
zY
0
1
0
0
0
)(
)()(
*上 式右边的第一项只与输入有关，与初始状态无关，即 零状态响应，它与用 双边 Z变换求得的结果相同。
*第二项 只与初始状态有关，与输入无关,称为零输入 响应。
)()(
00
knxbknya k
M
k
k
N
k
数字信号处理 第 2章?2004
例 2-3-2 已知系统的输入输出满足以下差分方程，
求输入信号 x(n)=u(n)时系统的响应。
1,)()1()( anxnayny
解,对差分方程两边作单边 Z变换，得
1( ) ( ) ( 1 ) ( )Y z a z Y z a y X z
1||,1 1)]([)( 1 zznuZzX
111 1)1(
1
)1(
1)(
az
a
zazzY
初始条件 y(-1)=1
011)(
1
1?
n
a
aany nn
1]1|,m a x [ ||| az收敛域为,求逆 Z变换，得第一项为零输入 响应,第二项为零状态 响应。
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.3 系统函数的零极点与频率响应
1,零极点分布与系统的频率响应为两个的多项式之比，将其进行因式分解得
)(
)(
)1(
)1(
)(
1
1
1
1
1
1
k
N
k
k
M
kMN
k
N
k
k
M
k
dz
cz
Az
zd
zc
AzH
其中 ck和 dk分别为 H(z)的零点和极点。因此除了一个常数 A之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zYzH
0
0
)(
)()(
系统函数式数字信号处理 第 2章?2004
)(
)(
)(
1
1)(
k
j
N
k
k
j
M
kMNjj
de
ce
AeeH
对于一个稳定系统，其极点应全部位于单位圆内，即单位圆包括在收敛域内，因此其傅立叶变换存在，将 代入 上 式，得到系统的频率响应
jez?
数字信号处理 第 2章?2004
.
,,
,,
,
模和相角别为分而模和相角分别为其中令
Bd
PBc
Q
ePBdde
eQBcce
k
kkk
kk
j
kkk
j
j
kkk
j
k
k
利用 H(z)的零点和极点可用几何的方法确定系统的频率响应。 (见下图 )
数字信号处理 第 2章?2004
)]()[(
1
1)( 2121)( NMj
k
N
k
k
M
kMNjj e
P
Q
AeeH
这样 有则系统的幅频响应为相位响应为
k
N
k
k
M
kj
P
Q
AeH
1
1|)(|?
)()()(]a r g [)](a r g [ 2121 NMj MNAeH
系统的频率特性见下图数字信号处理 第 2章?2004
由幅频响应可知 当频率点变到极点附近时,Pk就变小，
就会在该极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，
峰值就越尖锐。同样，当频率点变到零点附近时,Qk就变小
，就会在该零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。可见在单位圆附近的零极点对系统的幅频特性有较大的影响 。 零点可在单位圆内外，但极点只能在单位圆内，否则系统将不稳定。
而系统的相位响应对幅度特性没有影响。
数字信号处理 第 2章?2004
下面举例说明用几何的方法确定系统频率响应的方法。
例 2-3-3 已知系统的差分方程为,
指出系统函数的零极点并分析系统的频率响应。
10,)()1()( anxnayny
解 系统的传输函数为
azazzH ||1 1)( 1
系统的极点为，零点在实轴上为
，当 ejω在单位圆上从 ω=0逆时针旋转时，在 ω=0处，极点到单位圆的距离最短，因此 ω=0频率点幅度最大，成为波峰，而在 ω=π 时，极点到单位圆的距离最长，因而在 ω=π 频率点幅度最小，成为波谷。而在原点处的零点
，对幅度特性没有影响。
数字信号处理 第 2章?2004
幅度特性：
c o s21
1|)(|
2 aa
eH j
相位特性,)
c o s1
s i na r c t a n ()](a r g [
a
aeH j
系统频率特性表达式如下，
系统频率特性 为低通特性，见下图数字信号处理 第 2章?2004
2.3.4 系统的分类根据系统的单位脉冲响应 h(n)在时域中的长度可将它分为 两种类型,
可以根据系统函数的零极点来判断系统是 IIR
系统还是 FIR系统。
*当 h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统，简称为 FIR系统 。
*当 h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统，简称为 IIR系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,无限长单位脉冲响应 (IIR) 系统如果将系统函数式中系数 a0归一化为 a0 =1，
仍用 ak,bk表示分子分母中的其它系数,则可表示成
k
k
N
k
k
k
M
k
za
zb
zX
zY
zH
1
0
1
)(
)(
)(
若系统函数式中分母多项式系数 ak只要有一个 ak≠ 0,则在有限 Z平面上将会出现极点 。 若该极点不被零点所抵消,H(z)的逆 Z变换 h(n)就会有无穷多项,也就是说系统的单位脉冲响应将无限长,因此这样的系统就是 IIR系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
对于 IIR系统由于 h(n)无限长,在实际计算中即使 x(n)已知,显然也无法通过卷积公式
)()()(*)()(
0
mnhmxnhnxny
m
求得系统的响应 y(n),只能从求解差分方程或 Z变换的方法求得 y(n),另一方面由于 IIR系统中至少有一个 ak≠ 0（ k=1,2,… ）,其差分方程表达式 (设
a0=1)为
)()()(
01
knxbknyany k
M
k
k
N
k
可以看出其输出不但与输入有关,还与以前的输出及其加权值有关,即系统中存在着输出对输入的反馈回路 。 这种结构常被称作为递归结构,在求解差分方程时需采用迭代的方法 。
数字信号处理 第 2章?2004
2．有限长单位脉冲响应 (FIR)系统若所有 ak全等于零,此时 H(z)在有限 Z平面上无极点,则 H(z)变为
k
k
M
k
zbzH?
0
)(
这时系统的单位脉冲响应 h(n)为其持续时间为有限长,因此这样的系统就是 FIR
系统 。
h(n)=bn n=0,1,...,M
数字信号处理 第 2章?2004
对于 FIR系统,由于它的 h(n)为有限长,若已知输入 x(n),显然可通过卷积的公式直接算出输出 y(n)。 例如假定 h(n)取值范围为 0≤ n≤ N-1 则
)()()(*)()(
1
0
mnhmxnynxny
N
m
另一方面,若直接由差分方程来求输出,由于所有 ak=0（ k=1,2,… ）,此时差分方程变为其输出仅与当前及以前的输入有关,与输出无关,不存在着输出对输入的反馈,这种结构通常又被称为非递归结构 。
)()(
0
knxbny k
M
k
数字信号处理 第 2章?2004
2.3.5 全通系统与最小相位系统
0,1|)(| jeH
1．全通系统若系统的幅度特性为,
0,)( )(jj eeH
则称该系统为全通系统 。
全通系统的频率响应可表示为,
数字信号处理 第 2章?2004
1
)(
)(*
)(
0
1
0
*
0
0
*
0
a
zD
zD
z
za
za
z
za
za
zH
N
k
k
N
k
k
k
N
kN
k
k
N
k
kN
k
N
k
一个 N阶的全通系统的系统函数表达式为,
1|)(* )(||)(|
j
j
j
eD
eDeH
令,由于 故 )(*)( jj eDeDjez?
满足全通系统的定义 。
数字信号处理 第 2章?2004
N
i i
i
z
zzH
1
1
*1
1
)(
一个 N阶的全通系统的系统函数表达式为可化为一阶和二阶系统乘积的形式
2
2
1
1
2
1
1
22/
1 1
)(
zz
zzzH
kk
kk
N
k
其中,ai为系统函数的极点 。 若系统函数是实有理分式,则 a1k,a2k为实数 。
数字信号处理 第 2章?2004
全通系统的零极点具有以下特性,
设 为 H(z)的极点,则 一定为零点,对实有理分式的 H(z),zk,pk还应为共轭成对
。 这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成对的,零点全部在单位圆外,如图所示 。
jk repjkk erpz 11 )*(
数字信号处理 第 2章?2004
1||1
1||1
1||1
|)(|
z
z
z
zH
稳定的全通系统函数的幅度具有以下性质：
数字信号处理 第 2章?2004
0)(dd
现在讨论全通系统函数的相位特性性质 2 对实稳定全通系统,当频率 ω从 0变化到 π 时,N阶全通系统的相位的改变为 Nπ 。
性质 1 全通系统的相位特性 随频率单调下降,即有
)(
数字信号处理 第 2章?2004
现说明性质 1
先考虑最简单的由 和 构成的一阶系统函数 (r<1)
jrep?1?jerpz 1111 )(
1
1
1
1
1
1 1)(?
zp
zzzH
其频率响应为
j
j
ez
j
ep
zezHeH
j?
1
1
1
11 1|)()(
])}
)c o s (1
)s i n (a r c t a n [2(e x p {
r
rj
数字信号处理 第 2章?2004
显然其幅度响应为 1)(
1?
jeH
而相位为 ]
)c o s (1
)s i n (a r c t a n [2)](a r g [)(
11
r
reH j
上式对 ω微分，得
0|1| )1()c o s (21 )1()( 2)(
2
2
2
1?
jre
r
rr
r
d
d
由于 r<1,因而对任何频率 ω恒有 小于零。
d
d )(1
对于 N阶系统，总的相位是所有的 总和
，因而 性质 1成立。
Nnn 2,1),(
通常定义系统的群延时为 0)()(
d
d
数字信号处理 第 2章?2004
现说明性质 2
先考虑 N=1时的一阶系统 。 对实 一阶系统,零极点应为实数,此时,当频率 ω从 0变化到
π 时,其相位改变为
0,1jrep
2
21
1
11
21
1
11
2
1*
1
*1
1
1
1
1
11
2 1)1
)()(
1()(
1
zz
zz
zp
zz
zp
zzzH
)()0()( 111
再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的 二阶系统
]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [22
)](a r g [)( 22
r
r
r
r
eH j其相位响应为
2)()0()( 222
当频率 ω从 0变化到 π 时，其相位改变为数字信号处理 第 2章?2004
2/
1
2/
1
]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2]
)c o s (1
)s i n (
a r c t a n [2
)](a r g [)(
N
i ii
ii
N
i ii
ii
j
NN
r
r
r
r
N
eH
*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积,其相位为这些一阶和二阶系统的相位之和,可表示为
NNNN )()0()(
当频率 ω从 0变化到 π 时，其相位改变为或
Ndd NNNN )()0()()( 00
式中 )(N 代表 N阶全通系统的群延时数字信号处理 第 2章?2004
2．最小相位系统零极点都在单位圆内的系统这就是所谓的最小相位系统 。
与此相对应,当系统函数的零点都在单位圆外,称为最大相位系统,在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统 。
数字信号处理 第 2章?2004
当频率 ω 由 0变到 2π 时,单位圆内的每个零点对相位变化的贡献为 +2π,极点为 -2π 。 而 单位圆外的每个零极点对相位变化的贡献为 0。 设系统具有
M个零点,单位圆内有 mi个,单位圆外有 mo个,有
N个极点,单位圆内有 ni个,单位圆外有 no个 。 对稳定系统 no=0,N=ni。 当频率 ω 由零变到 2π 时,
由式 （ 2-3-16）,稳定系统的相位改变量为当系统函数的所有零点也在单位圆内时，
mo =0,因此当 ω由零变到 2π 时：
最小相位系统的 相位改变量为零。
oi
i
j
mMm
NmMNeH
2)(2
)(2)(2)](a r g [
数字信号处理 第 2章?2004
式中 H(z)为非 最小相位系统
Hmin(z)最小相位系统
HA(z)全通系统的传输函数最小相位系统具有以下特性：
)()()( m i n zHzHzH A?
性质 1 任何非最小相位系统都可以由最小相位系统和全通系统相级联构成 。 即数字信号处理 第 2章?2004
)1)(()( 11 zzzHzH o
设 H(z)仅有一个零点 zo在单位圆外部，这样可将它写成
)()(]
1
)][)(([
)1)(()(
m i n1
1
1
1
1
1
1
1
zHzH
zz
zz
zzzH
zz
zz
zzzHzH
A
o
o
o
o
o
o
式中,H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的最小相位部分，上式可改写成
*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。
数字信号处理 第 2章?2004
性质 2 最小相位系统的具有最小群延时和最小相位滞后特性 。
假设已知 Hmin(z) 和 H(z),且 Hmin(z) 和 H(z)有 相同的幅度响应,即 。 其相位响应分别为 。
令 全通系统的传输函数,其相位响应为因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有先说明最小群延时性质
)()( m i n jj eHeH?
)],(a rg [ jeH? )](a r g [ m i nm i n jeH?
)(/)()( m i n zHzHzH A?
)](a r g [)](a r g [)()()](a r g [ m i nm i n jjjAA eHeHeH
0)()()]()([)()( m i nm i n dddd AA
)()( m i n或 说明最小相位系统具有最小的群延时。
数字信号处理 第 2章?2004
假设已知 Hmin(z),其频率响应为其中再说明最小相位滞后特性
)(m i nm i n |)(|)( Mjjj eeHeH
)](a r g [ m i n jM eH
)()1()( 1m i n zFzzzH i
设 zi是它在单位圆中的一个零点,Hmin(z)可表示为：
其中 F(z)仍然是最小相位系统 。
表示信号通过最小相位系统 Hmin(z)后产生的相位滞后。
数字信号处理 第 2章?2004
)](a r g [ jBB eH其中表示信号通过系统 HB(z)后产生的相位滞后,
)(|)(|)( BjjBjB eeHeH
由于 HB(z)的零点 z=(1/zi)*是 zi的共轭倒数,在单位圆外,因此 HB(z)是非最小相位的稳定系统 。 它的 频率响应 HB(ejω)为将因子 (1-ziz-1)用 因子 (-zi*+z-1)代替，得到系统 HB(z)，
)()*()( 1 zFzzzH iB
数字信号处理 第 2章?2004
比较 Hmin(ejω)与 HB(ejω)可得
jij
i
j
i
j
j
i
j
i
j
ez
B
MB
j
j
B
j
j
B
j
eee
ze
ze
ez
ez
zH
zH
e
eH
eH
eH
eH
2m i n
][m i nm i n
**
1
)(
)(
|)(|
|)(|
)(
)(
]a r g [ ij ze
其中如图所示数字信号处理 第 2章?2004
02)(22)()( MB
上式表明 Hmin(ejω)与 HB(ejω)具有相同的幅度响应特性它们的相位响应的差别为
)()(m i n jBj eHeH?
*表明，对 [0,?]中的任何?恒有,
也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。
)()( MB?
数字信号处理 第 2章?2004
推论 全通系统的相位在 [0,?]范围内为非正值 。
因任何系统的相位可表示成最小相位系统的相位与全通系统的相位之和，故有
)](a r g [)](a r g [)](a r g [ m i n jjjA eHeHeH
由于相位滞后是相位的负值，因此由式若用 HB(ejω)代替 H (ejω)得到
0)}()({)](a r g [ MjA eH
02)(22)()( MB
这说明在 [0,?]范围内全通系统的相位为非正值,
数字信号处理 第 2章?2004
|)(||)(|
1
0
2
m i n
1
0
nhnh
N
n
N
n
若最小相位系统的单位脉冲响应为 hmin(n)
,与之具有相同幅度响应的系统的 单位脉冲响应为 h(n),若系统的输入为 δ (n),系统的输出就是 单位脉冲响应,因此最小能量延时的特性可以表示为性质 3 最小相位系统具有能量延时最小的特性数字信号处理 第 2章?2004
由式 知,可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。
2
0
2
m i n
0
|)(||)(| nhnh
nn
)()()( m i n zHzHzH A?
可以证明信号经过全通系统后能量不变，
因此对因果系统有数字信号处理 第 2章?2004
)()()(*)()( m i n
0
m i n mnhmhnhnhnh a
m
a
设全通系统的单位脉冲响应为 ha(n),则有
nmnhmhnhnxny a
N
m
a 0)()()(*)()( m i n
1
0
取 hmin(n)的前 N项,x(n)= hmin(n)RN(n)作为全通系统 ha(n)的输入,那么 ha(n)的输出为由于信号经过 ha(n)后能量不变，因此
|)(||)(||)(|
|)(||)(|
2
1
0
2
0
2
m i n
1
0
2
0
mymymy
mhmx
Nm
N
mm
N
mm
数字信号处理 第 2章?2004
1,,0)()()()( m i n
1
0
Nnnymnhmhnh a
N
m
考虑 n=0,…,N-1时 h(n)的前 N项,由于因果性,h(n)与所有 n≥N -1后的输入 hmin(n)无关,
因此有
2
1
0
22
1
0
2
m i n
1
0
|)(||)(||)(|)( mhmymhmh
N
mNm
N
m
N
m
这样可得
|)0(||)0(| m i n hh?
从而证明了式 成立,
若令 N=1,可得
|)(||)(|
1
0
2
m i n
1
0
nhnh
N
n
N
n
数字信号处理 第 2章?2004
2-4 希尔伯特 (Hilbert)变换
Hilbert 变换是信号分析中的重要工具 。 Hilbert变换可以用来构造解析信号
,使信号仅含正频率成分,从而可降低信号的抽样率 。 Hilbert变换关系还可以用来表示带通信号,从而为无线电通信中的信号调制提供了一种方法 。
数字信号处理 第 2章?2004
1,连续时间信号
ttxd
txd
t
xtx
1*)()(1)(1)(
2.4.1 Hilbert变换与解析信号给定一实连续时间信号 x(t),其 Hilbert变换定义为可以看成是 x(t)通过一单位冲激响应为
)(? tx
的变换器的输出,如图所示
)(? tx
/1)(?th
数字信号处理 第 2章?2004
0
0)s g n ()(
j
jjjH
由连续时间傅里叶变换的理论可知,
的傅里叶变换是符号函数,
因此,其频率响应为
tjtjh?/)(? )sgn(?
02/
02/
)(
若记,那么 得 )(|)(|)(jejHjH 1|)(|jH
数字信号处理 第 2章?2004
其幅频,相频特性如图这就是说,Hilbert变换器是幅频特性为 1的全通滤波器。信号 x(t)通过 Hilbert变换器后，其负频率成分作 +90°相移，而正频率成分作 -
90°相移。
数字信号处理 第 2章?2004
)s g n ()()]s g n ()[(
)()()(?
jjXjjX
jHjXjX
由 及时域卷积定理
tthttxtx
1)(,1)()(
即由 此可以得到 Hilbert反变换的公式
)(?)s g n ()( jXjjX
drtxtxttx
)(?1)(?*1)(
有数字信号处理 第 2章?2004
)(?)()( txjtxtz
解析信号,
设 为 x(t)的 Hilbert变换,定义称为信号的解析信号 (analytic signal)。 对上式两边进行傅里叶变换得
)(? tx
)()()()(?)()( jXjjHjXjXjjXjz
0
0)s g n ()(
j
jjjH由有
00
0)(2
)(
jX
jZ
数字信号处理 第 2章?2004
这样,由 Hilbert变换构成的解析信号,只含有正频率成分,且是原信号正频率分量的 2倍
,如图所示
*与抽样定理相比,将 x(t)构成解析信号后,由于 z(t)只含正频率成分,最高频率仍为 Ω h,这时只需 Ω s≥ Ω h即可保证由 x(n)恢复出 x(t),从而可降低抽样频率 。
)()(?),( jZjXjX 及数字信号处理 第 2章?2004
例 2-4-1 给出,求其 Hilbert变换及解析信号 。
)2c o s ()( 0 tfAtx
解,,因为令 00 2 f
)()([
2
)]()([
2
)(?
)]()([
2
)(
00
00
00
A
j
jj
A
jX
A
jX
这样 )(jX 对应的是正弦信号，所以余弦信号的
)2s in ()(? 0 tfAtxHilbert变换是：
)()(?)()( 0AjXjjXjZ又因为
tfjAetz 02)(所以解析函数为
)2s in ()( 0 tfAtx可以证明，若
)2c o s ()(? 0 tfAtx则其 Hilbert变换数字信号处理 第 2章?2004
2．离散时间信号
0
0)(
j
jeH j
类似于连续时间信号,可定义离散时间信号
x(n)的 Hilbert变换是 。 设 Hilbert变换器的单位抽样响应为 h(n),与连续信号 Hilbert变换器的频率响应 H(jΩ )对应,h(n)的频率响应 H(ejω )为
)(? tx
作 H(ejω )的傅里叶反变换,求 h(n)得
dejdjedeeHnh njnjnjj 02 12 1)(2 1)(
则
为奇数为偶数
n
n
n
n
nh
n
2
0
)1(1)(
数字信号处理 第 2章?2004
m m
mnxnhnxnx
)12(
)12(2)(*)()(?
由此求得 x(n)的 Hilbert变换 为)(? tx
0)(
0)()()()(?
j
j
jjj
ejX
ejXeHeXeX
求得 后,即可构成 x(n)的解析信号)(? tx
)(?)()( nxjnxnz
数字信号处理 第 2章?2004
3,Hilbert变换的性质此性质可由 Hilbert变换器的频率特性直接得到,因为 Hilbert变换器是全通滤波器,对信号频谱的幅度不产生影响,只改变信号频谱的相位 。 即有
|)(?||)(?)s g n (||)(| jXjXjjX
性质 1 信号 x(t)或 x(n)通过 Hilbert变换器后,信号频谱的幅度不发生变化 。
数字信号处理 第 2章?2004
证明：由 Parseval定理,有
0|)(|
2
|)(|
2
*)](?)[(
2
1
)(?)(
2
0
2
0
djX
j
djX
j
djXjXdttxtx
性质 2 实信号与它的 Hilbert变换信号是相互正交的,即 x(t) 与,x(n) 与是相互正交的 。 )(? tx )(? nx
由于 x(t)是实信号,其频谱的幅度谱为偶函数,所以上式的积分为 0,故 x(t)和 是正交的 。)(?tx
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对 x(n),同样可以证明
0|)(|
2
|)(|
2
)](*)[(
2
1
)](*)[(
2
1
*)](?)[(
2
1
)(?)(
0
2
0
2
0
0
deX
j
deX
j
dejXeXdejXeX
deXeXnxnx
jj
jjjj
jj
n
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证明：由定义性质 3 )(),(),(
21 txtxtx
)(?)()()(?)( 2121 txtxtxtxtx
)()()( 21 txtxtx)(?),(?),(? 21 txtxtx
若 的 Hilbert变换分别是
，且则
ttxtxttxtx
1*)](*)([1*)()(?
21
由于卷积的交换性和分配性,即可得到
)(]1)([]1)([)()(? 2121 txttxttxtxtx
同样可以证明,若 )(),(),( 21 txtxtx
)()(?)(?)()( 2121 txtxtxtxtx
)()()( 21 txtxtx)(?),(?),(? 21 txtxtx
的 Hilbert变换
，且,则分别是数字信号处理 第 2章?2004
2.4.2 实因果信号傅里叶变换的实部与虚部、
对数幅度与相位的 Hilbert变换关系若序列为因果序列,即有 )()()( nunxnx?
令 )()()( nxnxnx
oe
其中
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
由于 )()( nxnx ee 和 )()( nxnx oo
分别称为 x(n)的偶对称序列和奇对称序列。
，因此数字信号处理 第 2章?2004
因为 x(n)为实数因果序列,由
0,0)(0,0)( nnxnnx
可得故有
0)()()(
0),(2)(
nxnxnx
nnxnx
ooo
e
0),()(
0),()(
0),()(
nnxnx
nnxnx
nnxnx
oe
oe
e
数字信号处理 第 2章?2004
其分解图形如图所示 因此可将实因果序列用它们的偶对称序列或奇对称序列表示如下：
0)(2
0)(
00
)(
nnx
nnx
n
nx
e
e
即
)()0()()(2)( nxnunxnx e
或即
0)(2
0)(
00
)(
nnx
nnx
n
nx
o
)()0()()(2)( nxnunxnx o
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若引用记号
0,2
0,1
0,0
)(
n
n
n
nu
则 x(n)可分别表示为
)()()( nunxnx e或以上两式说明,对于实因果信号 x(n),可单独由其偶对称序列恢复出来；除了 n=0这一点外,x(n)也可由其奇对称序列单独恢复 。
)()0()()()( nxnunxnx o
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如果将 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)分成实部与虚部,即 )()()( j
IjRj ejXeXeX
对
)()](I m [)]()([
2
1
)]([
)()](R e [)]()([
2
1
)]([
j
I
jjj
o
j
R
jjj
e
ejXeXjeXeXnxF
eXeXeXeXnxF
)]()([21)()],()([21)( nxnxnxnxnxnx oe
两边进行傅立叶变换,并利用实序列傅立叶变换的共轭对称性,得到数字信号处理 第 2章?2004
也就是说,XR(ejω)在是 xe(n)的傅里叶变换,而 XI(ejω)也正是 xo(n)的傅里叶变换
。 既然能由 xe(n)或 xo(n)单独地恢复出 x(n)
,那么就也可用 XR(ejω)或 XI(ejω)单独恢复出 x(n)。
这说明了实因果信号的傅里叶变换的实部和虚部并不是独立的,它们之间存在某种关系 。
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对
)0()()(
1
)0()(*)(2)(
)( xdeUeX
xeUeXeX
jj
R
jj
R
j
两边取傅立叶变换,)()0()()(2)( nxnunxnx e
有
k
j jkeU
2c o t22
1)2()(
式中 U(ejω)是单位阶跃信号 u(n)的傅里叶变换将 U(ejω)代入，有
)0(
2
c o t)(
2
)(
2
1
)(
)()()(
xdeX
j
deXeX
ejXeXeX
j
R
j
R
j
R
j
I
j
R
j
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因为
deXeX jRjI 2c o t)(2 1)(
deXx jR )(2 1)0(
令上式两边的实部和虚部分别相等，得对
)0(2c o t)(2 1)( xdeXeX jIjR
)()0()()(2)( nxnunxnx o
同样可得两边取傅立叶变换,
上面两个式子就是实因果信号的傅里叶变换的实部和虚部的 Hilbert变换关系。
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进一步,将 X(ejω)表成其幅度谱与相位谱,
)](/)(a r c t a n [)](a r g [)( jRjIj eXeXeX
)()()( jjj eeXeX?
式中即对 X(ejω)取对数,得
)](a r g [|)(|ln)( jjj eXjeXeX
记 对应的时域信号为,称为
x(n)的复倒谱（ complex cepstrum）。
)(?jeX )(nx
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如果保证 也是因果的，由)(nx
deXeX jRjI 2c o t)(2 1)(
)0(2c o t)(2 1)( xdeXeX jIjR
deXeX jj 2c o t|)(|ln2 1)](a r g [
)0(2c o t)](a r g [2 1|)(|ln xdeXeX jj
)(?jeX则 的实部和虚部将满足下面两式给出的 Hilbert变换的关系：
其中
deXx j |)(|ln2 1)0(
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上面的结论揭示了实因果信号傅里叶变换实部与虚部、对数幅度谱与相位谱是相互联系的，我们只要知道了其中的一个，就可通
Hilbert变换关系求的另一个，从而求得信号的所有信息。
为了保证式存在,x(n)的 Z变换 X(z)在单位圆上既不能有极点，也不能有零点。 X(z)的极点与零点都必须在单位圆内，也就是说 x(n)必须是 2.3.3节中所述的最小相位信号。
)](a r g [|)(|ln)( jjj eXjeXeX
