第六章 FIR数字滤波器的设计
6-1 FIR数字滤波器的性质
6-2 FIR滤波器的窗函数设计
6-3 FIR滤波器频率采样法设计
6-4 FIR滤波器的等波纹优化设计
6-1 FIR数字滤波器的性质设 FIR 的单位脉冲响应 h(n)（ h(n)为实数，
长度为 N） 的 Z变换为
1
0
)()(
N
n
nznhzH
（ 6-1-1）
是 Z-1的 N-1阶多项式，在 Z平面上有个 N-1零点，在原点有 N-1个重极点。
由 4.3节曾指出，
如果 h(n)满足下面的偶对称和奇对称条件，
FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。
)1()(
)1()(
nNhnh
nNhnh
下面推导滤波器的线性相位特性
（ 6-1-2）
1,线性相位特性偶对称情况 — h(n)=h(N-1-n)
由于则
)1()( nNhnh
n
N
n
n
N
n
znNhznhzH?
1
0
1
0
)1()()(
n
N
n
NnN
N
n
znhzznh
1
0
)1()1(
1
0
)()(
即 )()( 1)1( zHzzH N
（ 6-1-3）
（ 6-1-4）
则有
][
2
1
)(
][)(
2
1
)]()([
2
1
)(
)
2
1
()
2
1
(
1
0
2/)1(
)1(
1
0
1)1(
N
n
N
n
N
n
N
nNn
N
n
N
zznhz
zzznh
zHzzHzH
（ 6-1-5）
因此
)]
2
1
(c o s [)(
|)()(
1
0
)
2
1
(?
N
nnhe
zHeH
N
n
N
j
ez
j
j
其求和项全为实数
)()()( jj eHeH?
即的形式幅度函数和表示成相位函数将
,)(
)()(
H
eH j
（ 6-1-6）
则
)
2
1
()(
)]
2
1
(c o s [)()(
1
0
N
N
nnhH
N
n
（ 6-1-7）
其中 幅度函数是标量函数，可正可负；
相位函数是的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。
如图所示
（ 6-1-8）
奇对称情况 — h(n)=-h(N-1-n)
在式 （ 6-1-4） 中以 -h(N-1-n)代替 h(N-1-n)，
可得则 H(z)可写成
)()( 1)1( zHzzH N
])[(
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
)
2
1
(1
0
)
2
1
(
1)1(
N
n
N
nN
n
N
N
zznhz
zHzzHzH
（ 6-1-9）
因此有
1
0
]
2
)
2
1
([
1
0
)
2
1
(
)]
2
1
(s in [)(
)]
2
1
(s in [)()(
N
n
N
j
N
n
N
j
j
N
nnhe
N
nnhjeeH
（ 6-1-10）
由式（ 6-1-6）求得
2
)
2
1
()(
)]
2
1
(s i n [)()(
1
0
N
N
nnhH
N
n
（ 6-1-11）
（ 6-1-12）
此相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有 的截距。
2
其相位特性如图所示这说明相位特性不仅有 个抽样周期的延时，并且对通过滤波器的所有频率分量产生即 90° 的相移。
2
2
1?N
将式（ 6-1-8）和（ 6-1-12）分别代入式
（ 6-1-6），可求得群延时为可见，无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，为 个抽样间隔。
2
1?N
2
1)()( N
d
d
（ 6-1-13）
2.线性相位 FIR滤波器的幅频特性下面分 4种情况对其进行讨论第 1种情况：偶对称,N取奇数由于
)]
2
1
(c o s [
)]
2
1
(c o s [)]
2
1
1(c o s [
)1()(
N
n
n
NN
nN
nNhnh
因此式中的各项相对于 对称的项相等。
1
0
)]2 1(c o s [)()(
N
n
NnnhH（ 6-1-7）
2/)1(?N
将相等项合并，因 N为奇数，余中间项 )
2
1(?Nh
2/)3(
0
1
0
)]
2
1
(c o s [)(2)
2
1
(
)]
2
1
(c o s [)()(
N
n
N
n
N
nnh
N
h
N
nnhH
故令,则有nNm
2
1
2/)1(
1
c o s)
2
1(2)
2
1()( N
m
mmNhNhH
将上式记为
)2 1()0( Nha
2/)3(
0
c o s)()(
N
n
nnaH
（ 6-1-14）
其中 （ 6-1-15）
（ 6-1-16）
2
1,2,1),
2
1(2)( NnnNhna
因此该滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器 。
2,0,?
由于 对 皆为偶对称，所以幅度函数 对 也是偶对称。
2,0,?
2,0,?
ncos
)(?H
第 2种情况：偶对称,N取偶数和前一种情况推导相同，因 N为偶数，余项
12/
0
)]2 1(c o s [)(2)(
N
n
NnnhH
故式 (6-1-7)两两合并，化为令,得
mNn 2
2/
1
)]
2
1(c o s [)
2
(2)(
N
m
mmNhH
不存在，
)2 1(?Nh
将上式记为
2,,2,1),2(2)(
NnnNhnb
2/
1
)]21(c o s [)()(
N
n
nnbH
（ 6-1-16）
其中 （ 6-1-17）
因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波器，如高通滤波器。
特点,当 时，,故,
即 在 z=-1为零点，且由于 对呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。
0)]
2
1(c o s [m?
)(?H
0)(H
)(zH )]
2
1(c o s [?m
第 3种情况：奇对称,N为奇数因 h(n)对 为奇对称，则有推导方法与前面类似，由式（ 6-1-11）得
2
1?N
2
1
,,2,1),
2
1
(2)(
)s i n ()()(
2/)1(
1
N
nn
N
hnc
nncH
N
n
0)2 1(Nh
（ 6-1-18）
（ 6-1-19）
这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。
式 （ 6-1-18）表明，当 时，,
相当于 在 z=1和 z=-1有两个零点，并且由于对 呈奇对称，因而 对也呈奇对称。
2,,0?
)(?H
0)(H
)(zH )sin(?n
2,,0 2,,0?
2,,0?
第 4种情况：奇对称,N为偶数由式（ 6-1-11）得
2
,,2,1),
2
(2)(
])
2
1
s i n [ ()()(
2/
1
N
nn
N
hnd
nndH
N
n
（ 6-1-20）
（ 6-1-21）
这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。
式 （ 6-1-20）表明，当 时，,相当于 在 z=1处有一个零点，并且由于对 呈奇对称，对 呈偶对称，因而也对 呈奇对称，对 呈偶对称。
2,0?
)(?H
0)(H
)(zH ])2/1s i n [ (n
2,0?
2,0?
2,0?
表 6-1-1给出了上述 4种类型的线性相位滤波器的相位相应、时域幅度相应和频域幅度相应的示意图。
见课本 p202
3.线性相位 FIR滤波器的零点特性由式 （ 6-1-4） 和式 （ 6-1-9） 得
)()( 1)1( zHzzH N
若 是 的零点，由
iz )(zH
1?
iz
可知,也是的零点。
0)()( 1)1( iNii zHzzH
若 h(n)为实数时,H(z)为实系数的多项式，
则 应是共轭成对的,也是零点。
iz
iz
因此对于一个实线性相位 FIR滤波器，
其零点为相对于单位圆镜像共轭成对。
4,IIR滤波器与 FIR滤波器的比较
FIR滤波器的优点
① FIR滤波器能严格做到线性相位或群延时为常数，而 IIR滤波器只能逼近线性相位。
② FIR滤波器是全零点型滤波器，总是稳定的，不会因滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。
对同样幅度相应的滤波器，用 FIR滤波器实现比用 IIR滤波器实现需要较高的节数，多达 5~10倍。
当滤波器的特性要求较高时，用 FIR滤波器来实现，滤波过程需要较多的计算时间。
FIR滤波器的主要缺点
6.2 FIR滤波器的窗函数设计
FIR滤波器的设计问题在于寻求一系统函数,使其频率响应 逼近滤波器要求的理想频率响应 。
1
0
)()(
N
n
nznhzH
jezj zHeH |)()(
)(?jd eH
如果要求 FIR滤波器具有线性相位特性，
则 h(n)必须满足上节所述的对称条件。
6.2.1 窗函数设计的基本方法
1,设计思想：从时域出发，设计 h(n)逼近理想
hd(n)
设理想滤波器的单位脉冲响应为 hd(n)，则有
deeHnh
enheH
jnj
dd
jn
n
d
j
d
)(
2
1
)(
)()( (6-2-1)
(6-2-2)
所求得的 一般是无限长的，且是非因果的。)(nhd
要想得到一个因果的有限长的滤波器 h(n)，
最直接的方法是截断,或者说用一个窗口函数 对 进行加窗处理，即
)(nhd
)(nhd)(nw
)()()( nwnhnh d?
(6-2-3)
所以 选择窗口函数的形状和长度 是窗口函数法的关键。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程设理想低通滤波器的频率响应 为，
c
c
aj
j
d
eeH
0)(
)(?jd eH
ωc为滤波器的截止频率； a为延时常数相应的单位脉冲响应为
deenh c
c
njaj
d
2
1)(
an
an
an
an
c
c
)(
)](s i n [
是一个以 a为对称中心的偶对称的无限长的非因果序列。
（ 6-2-4）
（ 6-2-5）
图 6-2-1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取要得到有限长的 h(n),最简单的方法是用一长为
N的矩形窗 w(n)=RN(n)截断 hd(n)。
按照线性相位滤波器的要求,h(n)必须是偶对称的，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的延时常数，即故有
2/)1( Na
2/)1(
)()()(
Na
nRnhnh Nd （ 6-2-6）
2,吉布斯（ Gibbs）效应因频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换，
故 可求得矩形窗截取后滤波器的频率响应为
jn
d
N
n
j enheH?
)()( 1
0
上式为有 限项，因此 N越大，误差就越小，但对于矩形窗截取还存在所谓吉布斯（ Gibbs）效应，使得滤波器的特性很差，不能满足实际的需要。
下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应。
由式
deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( (6-2-7)
按复卷积定理有
)()()( nnhnh d
W eR j( )?
j
NjN
n
jn
N
j
R e
eenReW
1
1)()( 1
0
)2/s i n (
)2/s i n (2 1
Ne Nj j
R eW )(
设矩形窗的频率响应为
(6-2-8)
)2/s in (
)2/s in ()(
NW
R?
上式中为矩形窗的幅度响应，如下图所示图 6-2-2 矩形窗的幅度响应主瓣 旁瓣旁瓣
H ed j( )?
jdjd eHeH )()(
c
c
dH 0
1)(
将理想低通滤波器的频率响应 表示为则
(6-2-9)
deWeHeH jRjdj )()()(2 1)(
dWHe Rdj )()(2 1
将 (6-2-8)式和 (6-2-9)式代入 (6-2-7)式，得
H( )? )(?jeH
dWHH Rd )()(2 1)(
若用 代表所设计的低通滤波器的幅度响应，则有上式说明设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积。
其过程如下图所示。
(6-2-10)
图 6-2-3矩形窗的卷积过程加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点影响：
1）使理想频率特性不连续点 ω=ωc 处，形成了一 个过渡带,过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应 WR(ω)的主瓣宽度△ ω=4π/N ；
2) 在截止频率 ωc的两边 ω=ωc ± 2π/N 处 (即过渡带的两边 ),H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于 WR(ω)
波动的快慢。
若增加截取长度 N，则在主瓣附近的窗的频率响应为
W N N N xxR ( ) s i n ( / )s i n ( / ) s i n ( / )/ s i n22 22
该函数的性质：随着 x加大（即 N加大），函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。
这个相对比例是由 sinx/x决定的,也就是说是由矩形窗函数的形状决定的。
因而，当长度 N增加时，只会减小过渡带宽 (4π/N )，而不会改变肩峰的相对值。
在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为 8.95%,N增加时，
4π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是 8.95%，
这就是吉布斯 (Gibbs)效应 。
wn( ) h nd( )
由于窗谱肩峰的存在，影响到 H(ω)通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有 21dB左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。
为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数,对 进行加窗处理。
6.2.2 常用的窗函数
1,三角形窗 (Bartlett Window)
1
2
1
,
1
2
2
2
1
0,
1
2
)(
Nn
N
N
n
N
n
N
n
nw
(6-2-11a)
])4/s in ( )4/s in ([2)( NNNeW j?
(6-2-11b)
其频率响应为主瓣宽度为 ( ).N/8?
2,汉宁 (Hanning)窗，又称升余弦窗
)()]12c o s (1[21)( nRN nnw N(6-2-12a)
)]
1
2
()
1
2
([25.0)(5.0)(
)(
)]}
1
2
()
1
2
([25.0)(5.0{)(
)
2
1
(
N
W
N
WWW
eW
e
N
W
N
WWeW
RRR
aj
N
j
RRR
j
(6-2-12b)
其频率响应 和幅度响应 分别为是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，
使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍，为 ( ).N/8?
)(?jeW )(?W
)(?W )(?RW
3,汉明 (Hamming)窗，又称改进的升余弦窗
)()]12c o s (46.054.0[)( nRN nnw N
(6-2-13a)
(6-2-13b)
其幅度响应为同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1%。
N/8?
)]12()12([23.0)(54.0)( NWNWWW RRR
4,布莱克曼 (Blankman)窗，又称二阶升余弦窗
)()]14c o s (08.0)12c o s (5.042.0[)( nRN nN nnw N
(6-2-14a)
(6-2-14b)
其幅度响应为
)]
1
4
()
1
4
([04.0
)]
1
2
()
1
2
([25.0)(42.0)(
N
W
N
W
N
W
N
WWW
RR
RRR
其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，
但其主瓣宽度变为,N/12?
下图是 N=31时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这 5种窗口函数的包络曲线图 6-2-4 5种窗函数的包络曲线下图是 N=51时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼
4种窗口函数的幅度响应图 6-2-5 4种窗函数的幅度响应 )()0(/)(lg20,51 dBWWAN
下图是用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应图 6-2-6 用窗口法设计的低通滤波器的单位脉冲响应与幅度响应 (N=5)
5,凯泽 (Kaiser)窗
10,
)(
))]1/(21[1(
)(
0
2
0 Nn
I
NnI
nw
(6-2-15)
β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来,β越大,过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。
2
1
0 ])2(!
1[1)( k
k
x
kxI?
I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。
一般取 15~25项就可满足精度要求。
图 6-2-7 凯泽窗若阻带最小衰减表示为 As=-20lgδs,β的确定可采用下述经验公式
50)7.8(1 1 0 2.0
5021)21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0
210
4.0
ss
sss
s
AA
AAA
A
(6-2-16)
若滤波器通带和阻带波纹相等即 δp=δs时，滤波器节数可通过下式确定
22
1
36.14
95.7lo g20
10
ps
p
F
F
N
(6-2-17)
(6-2-18)
式中
ωp,ωs分别为数字低通滤波器的通带边频与阻带边频。
6.2.3 几种常用的理想滤波器
1,理想高通滤波器
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
c
c
HP
c
c
aj
j
HP
1
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
00
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-19）
（ 6-2-20）
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
cc
cc
BP
cc
cc
aj
j
BP
12
12
11
12
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
,00
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-21）
(6-2-22)
2,理想带通滤波器
an
an
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
cc
cc
BP
cc
cc
aj
j
BP
12
12
12
11
1
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
0
,0
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-23）
(6-2-24)
3,理想带阻滤波器
wn( ) h nd ( )
hn( )
N 12
1)(H
)(
hn( )
和低通时的情况一样，为了得到有限长的,
需用一长为 N的窗函数 截断 。
按照线性相位滤波器的要求,必须是偶对称的，并且滤波器的时延常数因线性相位滤波器的 幅度响应均为相位响应均为同时为了保证高通、带阻滤波器的可实现性，
N必须为奇数，这样,α就必须为整数,
4．理想线性相位线性差分滤波器
jjd ef ejeH )(
|)(| jd ef eH
0
2
0
2)(
频率响应：
(6-2-25）
（ 6-2-26）
（ 6-2-27）
幅度响应：
相位响应：
由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性变化，关于0处为奇对称，为了实现线性相位的特性，其单位脉冲响应为奇对称且节数 N
为奇数。
n
n
nnh
n
d e f
0
)(
)1(
)(
单位脉冲响应：
（ 6-2-28）
5．理想线性相位希尔伯特（ Hilbert）
变换器
00)( j jeH j
为奇数为偶数
n
n
n
n
nh
n
2
0)1(1
)(
希尔伯特变换 器的频率响应单位脉冲响应
N 12
对于式的有限长 N的实现，为了获得线性相位的特性，
其单位脉冲响应必须具有 的延时，为了保证
α 为整数,N必须 奇数,
为奇数为偶数
)(
)(
2
)(0
)(
)1(1
)(
n
n
n
n
nh
n
0
2
0
2)(
因此上式变为此时实际的相位响应为：
（ 6-2-30）
（ 6-2-29）
6.2.4 窗函数法小结与例子
h nd( )
)()()( nRrMnhnh Md
r
M
)(nhM按照频率采样定理,与 的关系为：
H ed j( )?
h nd( )
H ed j( )? 0 2?
nkMjkMj
d
M
k
M eeHMnh
221
0
)(1)(?
h nd( )
利用窗函数设计 FIR滤波器的过程可总结如下：
1.利用（ 6-2-2）式，由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲响应,
式的积分
（ 6-2-31）
)(nhM当 M足够大时，就可保证 能足够好的逼近 h nd( )
如得不到封闭式的 或不能用（ 6-2-2）式计算 时，
可对 在 到 间等间隔采样 M，用下式代替
（ 6-2-2）
ssA?lg20
)(nw
AN
2 1 N?
)()()( nwnhnh d?
jnN
n
j enheH
)()( 1
0
2．按允许的过渡带宽度△ ω 及阻带衰减
，选择合适的窗函数,并估计节数 N：
其中 A由窗函数的类型决定。
3．确定延时值 （即滤波器的对称中心）
5．必要时验算 FIR滤波器的频率响应：
（ 6-2-32）
4．求例 6-2-1 设计一线性相位 FIR数字低通滤波器,截止频率
，过渡带宽度,阻带衰减 dB。
2.0?c
4.0 40?
sA
解,1)
)(
)](s in [
2
1)(
n
ndeenh cjnj
d
c
c
)(nw
40?sA
2)选择窗函数,估计节数 N。仅从要求阻带衰减
dB来说，可选择汉宁窗、海明窗、布拉克曼窗或凯塞窗等，若再考虑从滤波器节数最小的原则出发，可选择汉宁窗或海明窗。
204.0 8AN
38.0218
由此求得,也可取 N=21，这时实际的过渡带宽将为：
102 1 N?
)(nwh
)()()( nwnhnh hd?
)]12c o s (1[21 N n? )( )](s in [n nc )(nRN
)10(2
)]10(2.0s in [)]1.0c o s (1[
n
nn
)(21 nR
jnN
n
j enheH
)()(
1
0
3）确定延时值
4）采用汉宁窗,求得
5）求频率响应其 幅频响应和相频响应见下图可见在通带范围内其相位是线性相位的。
在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。
例 6-2-2 用凯塞窗函数设计一线性相位 FIR数字高通滤波器，截止频率,阻带边频 外阻带衰减 不小于 60 dB。
6.0?c 3.0?c
sA
sA
6533.5)7.8(1102.0 sA?
15.02 3.022 psF
26136.14 95.7lo g20 10 FN p?
解,1）确定节数 N
因 >60dB，可 求得再 求得节数 N
因对于高通滤波器,N必须为奇数，故取 N=27。
)(nwk?
132 1 N?
26,1,0
131
13
)13(
)]13(s i n [
)13(
)]13(s i n [
)(
n
n
n
n
n
n
n
nh
c
c
HP
)()()( nwnhnh kd?
2）计算凯塞窗函数,将所求 和 N值代入下式即可
3）确定延时值
4）计算理想高通的单位脉冲响应
5）求高通数字滤波器的单位脉冲响应：
10,)( ))]1/(21[1()(
0
2
0 Nn
I
NnInw
k?
其幅频响应和相频响应见下图例 6-2-3 分别用矩形窗和布拉克曼窗设计一个线性相位的希尔伯特变换器，取 N=29。
142 1 N?
)(nhd
14
)()()( nwnhnh d?
解,1） 计算对称中心：
2） 按式（ 6-2-9）计算理想 希尔伯特变换 器的单位脉冲响应
3）分别取矩形窗和按式（ 6-2-14a）计算关于
4）计算实际 希尔伯特变换 器的单位脉冲响应对称的按布拉克曼窗；
图 6-2-10 用矩形窗设计的希尔伯特变换器（ N=29）
图 6-2-11 用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（ N=29）
从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实用，其频域特性容易满足要求。
缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严格控制，同时等波纹最佳设计相比，
由窗函数法设计的滤波器长度往往较大。
6.3 FIR滤波器频率采样法设计
1、设计思想按频域采样定理 FIR数字滤波器的传输函数 H(z)和单位脉冲响应 h(n)可由它的 N个频域采样值 H(k)唯一确定。
1
2
1
0 1
)(1)(
ze
kH
N
zzH
N
k
j
N
k
N
)]([)( kHI DF Tnh?
（ 6-3-1）
（ 6-3-2）
)(?jd eH
2~0
1,.,,1,0)(|)()(
2
2 NkeHeHkH
N
kj
d
N
k
j
dd
假定要设计的 FIR数字滤波器的频率响应为,
从频域从发,对理想频响在 间进行 N点的等间隔
（ 6-3-3）
采样得到
1,...1,0)()(
2
NkeHkH N
kj
d
令
（ 6-3-4）
按频域采样定理由 Hd(k)求 H(z)或 h(n)，其流图如下：
)()()(
)(
zHkHeH
nh
d
j
d
2、设计过程和公式
)(?jeH
( ~ )0?
为使设计的滤波器为线性相位滤波器，滤波器的频率响应 及其频率采样值 H(k)必须满足一定的条件,
一般而言，给定的理想滤波器的幅度响应只给出了 范围频率采样的幅度值，因而上式中的 k
只能取 0到 N/2 这 (N/2+1)点，另外 (N/2-1)点 (从
N/2+1到 N-1)则需根据线性相位的奇偶对称条件求得。
)()()( jgj eHeH?
)1(21)( N
k
N
jeHkH
2)()(
下面以偶对称条件 h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。
1,设 h(n)的频响为
（ 6-3-5）
为幅度响应
（ 6-3-6）
H e j( )? ( ~ )0 2?对 在 等间隔 N点采样得 H(k)
,k=0,1,…,N-1
对线性相位滤波器，其相位响应为
)()()( kjg ekHkH
k
N
gg HkH 2)()(
k
N
k?
2)()(
令则
)(?gH )2()( gg HH
按线性相位的偶对称条件,
若 N为奇数,对 π 为偶对称,
)(?gH )2()( gg HH
若 N为偶数,对 π 为奇对称,
)(kH g因而对频率采样的幅度值 有,
)()( kNHkH ggN为奇数
)()( kNHkH gg 0)2()2( NHNH gg及N为偶数
kNNkNNk 12)1(21)(
kNNNkNNNkN 1)1()(1)(
按（ 6-3-6）式对相位进行频率采样得
,k=0,1,…,( N-1)/2
而
N
kNj
N
kNjNj
ee
)1()1()1(
kNNkN 1)(
N
kNjj
N
kNjNj
ee
)1()1()1(
kNNkN 1)(
对 N为奇数,(N-1)为偶数,由于故可取对 N为偶数,(N-1)为奇数,由于故可取,k=0,1,…,N/2-1
,k=0,1,…,(N-1)/2
综上，可得到设计公式如下：
)()( kNHkH gg
kNNk 1)(
kNNkN 1)(
对 N为奇数,设计公式为
k=0,1,…,( N-1)/2 （ 6-3-7）
（ 6-3-8a）
（ 6-3-8b）
0)2(?NH g
)()( kNHkH gg
kNNk 1)(
kNNkN 1)(
对 N为偶数,设计公式为
k=0,1,…,N/2-1 （ 6-3-9a）
（ 6-3-10a）
（ 6-3-10b）
（ 6-3-9b）
3、滤波器的频率响应将 代入频率采样公式
jez?
)2()()()(
1
0
kNkHzHeH
N
k
ez
j
j
2
1
)2/s i n (
)2/s i n (1)( NjeN
N
（ 6-3-11）
（ 6-3-12）其中得
1
2
1
0 1
)(1)(
ze
kH
N
zzH
N
kj
N
k
N
Nk 2?,1,,2,1,0, Nk?
1)2( Nk
和)/2)(( NkeH kj k )()(
2
N
kj
d eHkH
在采样点但在 采样点之间,其误差与 特性的平滑程度有关，
没有误差
)(?jd eH
在 幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能变坏 。误差还与采样点数 N有关,N越大误差越小 。
)(?jd eH
为提高阻带衰减,常采用增加过渡带的方法，如图所示
|)()(| jdj eHeH
m i n|)()(|m a x jdj eHeH
优化原则,
在通带内要求：
在阻带内要求：
例 6-3-1 用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率
2.0?p
的 偶对称情况。
Rad,采样点数 N=20，采用 h(n)=h(N-n-1)
)2,0[?
1730
19181
201
)(
k
k
k
kH g
1918)20(95.0
2095.02025.9)(
kk
kkkk
解,由于 N=20，在 范围内等间隔采样，
在通带共有 3个采样点，分别是 k=0,1,2。
因 N为偶数，可得到
1.0/2 N rad，采样间隔为
)(kHg )(k?
)()()( kjg ekHkH
)(kH )(zH )(nh
将 和 代入求得 ；进而求得 或然后利用式（ 6-3-11）和式（ 6-3-12）就可求出频率响应，
其相位响应由式（ 6-3-6）给出，为线性相位。
过渡带为 2?/20/10。
其幅度响应如下图所示，图中还给出了它的单位脉冲响应
。
)(kHg )(k?
3460
35,53904.0
3936,401
)(
k
kk
kk
kH g
3935)40(9 7 5.0
509 7 5.0
40
25.19
)(
kk
kkkk
)(nh
由上图 d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有
-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为
N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取 H1=0.3904，得到 和 分别为过渡带为（ 2?/40× 2）/10,求得的单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。
)(kHg )(k?
由上图 d）可见,这时阻带衰减达到了 -43dB。为了进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到 60，两个过渡样点值经优化分别为 =0.5925和
=0.1099,相应的 和 分别为
5180
52,81 0 9 9.0
53,75 9 2 5.0
6954,601
)(
k
kk
kk
kk
kH g
5952)60(983.0
80983.0
60
25.29
)(
kk
kkkk
)(nh过渡带为（ 2?/60× 3）/10所得单位脉冲响应和幅度响应如图 6-3-4所示。
频率采样法可以直接从频域出发进行设计，比较简单。
这种方法最适合于设计窄带滤波器。
由图 6-3-4 d）可见，这时阻带衰减达到了 -63dB。
还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减，显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也就随着成倍的增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也就随着增加。
6.4 FIR数字滤波器的等波纹优化设计
Hd ( )?
H g ( )? E( )?
E W H Hd g( ) ( )[ ( ) ( )]
设希望设计的滤波器幅度响应为,实际逼近的幅度响应为,加权误差为
(6-4-1)
E( )?
)(
])(m a x[m in)( )( EAnh
将指定的频带记为 A (包括通带和阻带 )，切比雪夫等波纹最佳逼近的设计的准则是，选择 FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n)使得在 A内误差函数 的最大绝对值最小。
将该最小值记为,则有
(6-4-2)
预先指定的误差加权函数下面介绍切比雪夫等波纹最佳逼近方法的基本思想和方法。
Hg ( )?
H Q Pg ( ) ( ) ( )
Q( )?
P( )? c os ( )n?
FIR线性相位滤波器的幅度响应有四种情况，
将 四种情况的 统一表示成以下的形式式中 是已知的三角函数，
是关于 的线性组合，
(6-4-3)
1、线性相位 FIR滤波器幅度特性的表示
Q( )? P( )?下表列出了对于四种不同情况的 及 的表达式。
)1(,,3,2
)1(?)(
)](?)1(?[)(
)1(?)0(?)1(
2
22
1
2
2
1
2
1
N
NN
n
bb
nbnbnb
bbb
2
5
2
3
2
1
2
1
2
5
2
1
2
3
2
1
2
1
,,3,2
)(?)(
)(?)(
)]1(?)(?[)(
)2(?)0(?)1(
N
NN
NN
n
cc
cc
ncncnc
ccc
)1(,,3,2
)1(?)(
)](?)1(?[)(
)1(?)0(?)1(
2
22
1
2
2
1
2
1
N
NN
n
dd
ndndnd
ddd
P( )? )(?),(?),(? ndncnb b n c n( ),( ) dn( )表中 的系数 与原系数 和的关系如下：
（ 6-4-4）
（ 6-4-5）
（ 6-4-6）
E W Q HQ Pd( ) ( ) ( )[ ( )( ) ( )]
)()()( QWW?
)(
)()(?
Q
HD d?
)]()(?)[(?)( PDWE
P( )?
)(?E
将（ 6-4-3）式代入（ 6-4-1）式，得到
（ 6-4-7）
（ 6-4-8）
（ 6-4-9）
因而最优化的问题变成了选择 的系数使误差函数的最大绝对值最小。
（ 6-4-10）
2、利用切比雪夫等波纹最佳逼近法设计
FIR滤波器的原理
P B n n
n
r
( ) ( ) c o s ( )
0
1
P( )( )D?
E( )?
i
1 2 1 r
E E i ri i( ) ( ),,, 1 1 2?
E Ei A( ) m a x [ ( )]
P( )? c os ( )n?交错定理,设 为 的线性组合在 A上能唯一的最佳逼近连续函数的充分必要条件是加权误差函数 在 A内至少有 r+1个极值频率点，即在 A内必须存在 r+1个频率点,其中且及
（ 6-4-11）
下面以情况 1为例，讨论线性相位滤波器幅度响应极值数目的约束问题。
表示成 多项式将余弦函数 c os ( )n? cos ( )?
c o s ( ) ( c o s )n a
m
n
mn
m
0
Hg ( )?
kkr
k
mmnn
m
r
n
g aanaH )( c o s)( c o s)()(
1
00
1
0
将上式代入对情况 1的,得式中 r=(N+1)/2,ak是与 a (n)和 amn有关的常数
Hg( )?
d
d H kag k
r
k
k
[ ( )] s i n ( c o s )
1
1
1
求极值频率，将 对 ω微分一次得上式右边余弦函数多项式的最高阶次为 r-2=(N-3)/2，
应有 r-2个根,sinω在 ω=0和 ω=π处有两个根 (零点 )，所以在区间 [0,π]上,Hg(ω)应有 r个极值点。
对逐段恒定的幅度特性,Hg(ω)的极值点也是 E(ω)的极值点。
(6-4-12)
根据等波纹最佳一致逼近定理，误差函数至少应有
r+1个极值，因此 E(ω)本身至少还应再增加一个独立极值。对理想低通特性的 Hd(ω),Hg(ω)的边界频率 ωp
和 ωc也是 E(ω)的极值点 (不是 Hg(ω)的极值点 ),这样
E(ω)就有 r+2个极值频率 (这种情况称为超波纹逼近 )。
例如,N=13,(N+1)/2=7 时幅度特性最多有 7个极值点，而误差函数 E(ω)有 9个极值点，如下图所示。
3,求解方法及 Remez算法
0 1,,, r
riPDW iiii,,1,0)1()]()(?)[(
)(m a x EA
)c o s ()()( 1
0
nnBP r
n
设已知在 A上 r+1个极值率为将这些频率代入式式中按最佳逼近定理得
)]()(?)[(?)( PDWE
(6-4-13)
令 an=B(n)，将 (6-4-13)式写成矩阵形式
)(?
)(?
)(?
)(?
)(?
)1(
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
)1(
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
1
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
1
)1c o s (2c o sc o s1
1
1
0
1
1
0
1
1
111
1
111
0
000
r
rr
r
r
rrr
r
r
rrr
D
D
D
D
a
a
a
W
r
W
r
W
r
W
r
(6-4-14)
上式中有 r+1个极值频率需要求解，实际求解起来很困难。
Remez算法的计算步骤
Remez算法,靠一次次迭代求得一组交错点即极值频率点，从而求出系数，而且在每一次求解极值频率的迭代过程中能够避免直接求解 (6-4-14)式。
0 1,,, r
)(?/)1(
)(?
0
0
ii
ir
i
ii
r
i
Wa
Db
b i
k
k i
r
k i
0
1
c o s c o s
(1) 首先给出 r+1个极值频率的初始估计值，通常在 A上等间隔地取 r+1个初始频率点,即由下式计算 δ值
（ 6-4-15）
式中 一般不可能是最优值
P( )?
riWDP
i
i
ii?,2,1,0,)(?
)1()(?)(
P( )?
P( )?
P
p b
b
i
r
i i
i
i
r
i
i
( )
( )
c o s c o s
c o s c o s
0
1
0
1
(2) 将 δ值及 r+1个极值频率点代入 (6-4-13)式，可求得的离散值利用拉格朗日（ Lagrange）插值公式,可由 的离散
(6-4-16)
值得到连续的
P( )?将 代入 (6-4-10)式可求得误差函数 E(ω)，如果在子集 A的所有频率上都有
)(E0 1,,, r说明 δ是最佳的极值，初始估计值恰好就是交错点组，工作可结束。
如果在某些频率点处,E( )
说明初始估计的极值点不对，然后在这些点附近搜索局部极值点，
于是得到一组新的交错点，从而完成了一次迭代。
(3) 利用和步骤 (2)相同的方法，把在各频率处使 E( )
的局部极值点作为新的极值频率的估计值，从而又得到一组新的极值估计值。
P( )? )(D
P( )?
)(?),(?),(? ndncnb
重复以上步骤，每次迭代后的 δ都是递增的,最后收敛到也就最佳一致逼近,
迭代结束后，最后按新的最佳极值频率求出
B(n) （即 a(n),），从而求得 FIR滤波器的 单位最佳极值，此时的 r个系数脉冲响应 h(n)。
在滤波器的 ωp和 ωs 及 δp和 δs等指标给定后，在利用 Remez
交换算法开始设计前，需要能比较准确地确定 N值。
对低通滤波器,当
s p?
进行估计：
时,N值可由下述经验公式
N D fp s
s p
p s
p s?
(,)
( ) / (,)
2 2 1
D a a a
a a a
p s s p p
p p
(,) l og [ ( l og ) l og ]
( l og ) l og
10 1 10
2
2 10 3
4 10
2
5 10 6
f p s p s(,),,( l o g l o g )11 01217 0 51244 10 10
式中
(6-4-17)
(6-4-18)
。
(6-4-19)
也可用下式进行粗略的估计
N p s
s p
10 1514 2 110l og ( )( ) /
(6-4-20)
其中
4 2 7 8.0,5 9 4 1.0,0 0 2 6 6.0
,4 7 6 1.0,0 7 1 1 4.0,0 0 5 3 0 9.0
654
321
aaa
aaa
对于 带通滤波器,N值的估计可按以下经验公式进行：
令 ωp和 ωs分别为带通滤波器的通带和阻带边频（取带通滤波器的两个过渡带中过渡带最小的边频），则有
N C gp s
s p
p s
p s?
(,)
( ) / (,)
2 2 1
(6-4-21)
C b b b
b b b
p s s p p
p p
(,) l og [ ( l og ) l og ]
( l og ) l og
10 1 10
2
2 10 3
4 10
2
5 10 6
4 4 3 1 4.0,5 7 0 5 4.0,0 0 2 0 3.0
,5 1 3 2 5.0,0 9 6 6 4.0,0 1 2 0 1.0
654
321
bbb
bbb
g p s p s(,) l o g ( / ),10 16 9
式中
6-1 FIR数字滤波器的性质
6-2 FIR滤波器的窗函数设计
6-3 FIR滤波器频率采样法设计
6-4 FIR滤波器的等波纹优化设计
6-1 FIR数字滤波器的性质设 FIR 的单位脉冲响应 h(n)（ h(n)为实数，
长度为 N） 的 Z变换为
1
0
)()(
N
n
nznhzH
（ 6-1-1）
是 Z-1的 N-1阶多项式，在 Z平面上有个 N-1零点，在原点有 N-1个重极点。
由 4.3节曾指出，
如果 h(n)满足下面的偶对称和奇对称条件，
FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。
)1()(
)1()(
nNhnh
nNhnh
下面推导滤波器的线性相位特性
（ 6-1-2）
1,线性相位特性偶对称情况 — h(n)=h(N-1-n)
由于则
)1()( nNhnh
n
N
n
n
N
n
znNhznhzH?
1
0
1
0
)1()()(
n
N
n
NnN
N
n
znhzznh
1
0
)1()1(
1
0
)()(
即 )()( 1)1( zHzzH N
（ 6-1-3）
（ 6-1-4）
则有
][
2
1
)(
][)(
2
1
)]()([
2
1
)(
)
2
1
()
2
1
(
1
0
2/)1(
)1(
1
0
1)1(
N
n
N
n
N
n
N
nNn
N
n
N
zznhz
zzznh
zHzzHzH
（ 6-1-5）
因此
)]
2
1
(c o s [)(
|)()(
1
0
)
2
1
(?
N
nnhe
zHeH
N
n
N
j
ez
j
j
其求和项全为实数
)()()( jj eHeH?
即的形式幅度函数和表示成相位函数将
,)(
)()(
H
eH j
（ 6-1-6）
则
)
2
1
()(
)]
2
1
(c o s [)()(
1
0
N
N
nnhH
N
n
（ 6-1-7）
其中 幅度函数是标量函数，可正可负；
相位函数是的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。
如图所示
（ 6-1-8）
奇对称情况 — h(n)=-h(N-1-n)
在式 （ 6-1-4） 中以 -h(N-1-n)代替 h(N-1-n)，
可得则 H(z)可写成
)()( 1)1( zHzzH N
])[(
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
)
2
1
(1
0
)
2
1
(
1)1(
N
n
N
nN
n
N
N
zznhz
zHzzHzH
（ 6-1-9）
因此有
1
0
]
2
)
2
1
([
1
0
)
2
1
(
)]
2
1
(s in [)(
)]
2
1
(s in [)()(
N
n
N
j
N
n
N
j
j
N
nnhe
N
nnhjeeH
（ 6-1-10）
由式（ 6-1-6）求得
2
)
2
1
()(
)]
2
1
(s i n [)()(
1
0
N
N
nnhH
N
n
（ 6-1-11）
（ 6-1-12）
此相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有 的截距。
2
其相位特性如图所示这说明相位特性不仅有 个抽样周期的延时，并且对通过滤波器的所有频率分量产生即 90° 的相移。
2
2
1?N
将式（ 6-1-8）和（ 6-1-12）分别代入式
（ 6-1-6），可求得群延时为可见，无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，为 个抽样间隔。
2
1?N
2
1)()( N
d
d
（ 6-1-13）
2.线性相位 FIR滤波器的幅频特性下面分 4种情况对其进行讨论第 1种情况：偶对称,N取奇数由于
)]
2
1
(c o s [
)]
2
1
(c o s [)]
2
1
1(c o s [
)1()(
N
n
n
NN
nN
nNhnh
因此式中的各项相对于 对称的项相等。
1
0
)]2 1(c o s [)()(
N
n
NnnhH（ 6-1-7）
2/)1(?N
将相等项合并，因 N为奇数，余中间项 )
2
1(?Nh
2/)3(
0
1
0
)]
2
1
(c o s [)(2)
2
1
(
)]
2
1
(c o s [)()(
N
n
N
n
N
nnh
N
h
N
nnhH
故令,则有nNm
2
1
2/)1(
1
c o s)
2
1(2)
2
1()( N
m
mmNhNhH
将上式记为
)2 1()0( Nha
2/)3(
0
c o s)()(
N
n
nnaH
（ 6-1-14）
其中 （ 6-1-15）
（ 6-1-16）
2
1,2,1),
2
1(2)( NnnNhna
因此该滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器 。
2,0,?
由于 对 皆为偶对称，所以幅度函数 对 也是偶对称。
2,0,?
2,0,?
ncos
)(?H
第 2种情况：偶对称,N取偶数和前一种情况推导相同，因 N为偶数，余项
12/
0
)]2 1(c o s [)(2)(
N
n
NnnhH
故式 (6-1-7)两两合并，化为令,得
mNn 2
2/
1
)]
2
1(c o s [)
2
(2)(
N
m
mmNhH
不存在，
)2 1(?Nh
将上式记为
2,,2,1),2(2)(
NnnNhnb
2/
1
)]21(c o s [)()(
N
n
nnbH
（ 6-1-16）
其中 （ 6-1-17）
因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波器，如高通滤波器。
特点,当 时，,故,
即 在 z=-1为零点，且由于 对呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。
0)]
2
1(c o s [m?
)(?H
0)(H
)(zH )]
2
1(c o s [?m
第 3种情况：奇对称,N为奇数因 h(n)对 为奇对称，则有推导方法与前面类似，由式（ 6-1-11）得
2
1?N
2
1
,,2,1),
2
1
(2)(
)s i n ()()(
2/)1(
1
N
nn
N
hnc
nncH
N
n
0)2 1(Nh
（ 6-1-18）
（ 6-1-19）
这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。
式 （ 6-1-18）表明，当 时，,
相当于 在 z=1和 z=-1有两个零点，并且由于对 呈奇对称，因而 对也呈奇对称。
2,,0?
)(?H
0)(H
)(zH )sin(?n
2,,0 2,,0?
2,,0?
第 4种情况：奇对称,N为偶数由式（ 6-1-11）得
2
,,2,1),
2
(2)(
])
2
1
s i n [ ()()(
2/
1
N
nn
N
hnd
nndH
N
n
（ 6-1-20）
（ 6-1-21）
这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。
式 （ 6-1-20）表明，当 时，,相当于 在 z=1处有一个零点，并且由于对 呈奇对称，对 呈偶对称，因而也对 呈奇对称，对 呈偶对称。
2,0?
)(?H
0)(H
)(zH ])2/1s i n [ (n
2,0?
2,0?
2,0?
表 6-1-1给出了上述 4种类型的线性相位滤波器的相位相应、时域幅度相应和频域幅度相应的示意图。
见课本 p202
3.线性相位 FIR滤波器的零点特性由式 （ 6-1-4） 和式 （ 6-1-9） 得
)()( 1)1( zHzzH N
若 是 的零点，由
iz )(zH
1?
iz
可知,也是的零点。
0)()( 1)1( iNii zHzzH
若 h(n)为实数时,H(z)为实系数的多项式，
则 应是共轭成对的,也是零点。
iz
iz
因此对于一个实线性相位 FIR滤波器，
其零点为相对于单位圆镜像共轭成对。
4,IIR滤波器与 FIR滤波器的比较
FIR滤波器的优点
① FIR滤波器能严格做到线性相位或群延时为常数，而 IIR滤波器只能逼近线性相位。
② FIR滤波器是全零点型滤波器，总是稳定的，不会因滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。
对同样幅度相应的滤波器，用 FIR滤波器实现比用 IIR滤波器实现需要较高的节数，多达 5~10倍。
当滤波器的特性要求较高时，用 FIR滤波器来实现，滤波过程需要较多的计算时间。
FIR滤波器的主要缺点
6.2 FIR滤波器的窗函数设计
FIR滤波器的设计问题在于寻求一系统函数,使其频率响应 逼近滤波器要求的理想频率响应 。
1
0
)()(
N
n
nznhzH
jezj zHeH |)()(
)(?jd eH
如果要求 FIR滤波器具有线性相位特性，
则 h(n)必须满足上节所述的对称条件。
6.2.1 窗函数设计的基本方法
1,设计思想：从时域出发，设计 h(n)逼近理想
hd(n)
设理想滤波器的单位脉冲响应为 hd(n)，则有
deeHnh
enheH
jnj
dd
jn
n
d
j
d
)(
2
1
)(
)()( (6-2-1)
(6-2-2)
所求得的 一般是无限长的，且是非因果的。)(nhd
要想得到一个因果的有限长的滤波器 h(n)，
最直接的方法是截断,或者说用一个窗口函数 对 进行加窗处理，即
)(nhd
)(nhd)(nw
)()()( nwnhnh d?
(6-2-3)
所以 选择窗口函数的形状和长度 是窗口函数法的关键。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程设理想低通滤波器的频率响应 为，
c
c
aj
j
d
eeH
0)(
)(?jd eH
ωc为滤波器的截止频率； a为延时常数相应的单位脉冲响应为
deenh c
c
njaj
d
2
1)(
an
an
an
an
c
c
)(
)](s i n [
是一个以 a为对称中心的偶对称的无限长的非因果序列。
（ 6-2-4）
（ 6-2-5）
图 6-2-1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取要得到有限长的 h(n),最简单的方法是用一长为
N的矩形窗 w(n)=RN(n)截断 hd(n)。
按照线性相位滤波器的要求,h(n)必须是偶对称的，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的延时常数，即故有
2/)1( Na
2/)1(
)()()(
Na
nRnhnh Nd （ 6-2-6）
2,吉布斯（ Gibbs）效应因频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换，
故 可求得矩形窗截取后滤波器的频率响应为
jn
d
N
n
j enheH?
)()( 1
0
上式为有 限项，因此 N越大，误差就越小，但对于矩形窗截取还存在所谓吉布斯（ Gibbs）效应，使得滤波器的特性很差，不能满足实际的需要。
下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应。
由式
deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( (6-2-7)
按复卷积定理有
)()()( nnhnh d
W eR j( )?
j
NjN
n
jn
N
j
R e
eenReW
1
1)()( 1
0
)2/s i n (
)2/s i n (2 1
Ne Nj j
R eW )(
设矩形窗的频率响应为
(6-2-8)
)2/s in (
)2/s in ()(
NW
R?
上式中为矩形窗的幅度响应，如下图所示图 6-2-2 矩形窗的幅度响应主瓣 旁瓣旁瓣
H ed j( )?
jdjd eHeH )()(
c
c
dH 0
1)(
将理想低通滤波器的频率响应 表示为则
(6-2-9)
deWeHeH jRjdj )()()(2 1)(
dWHe Rdj )()(2 1
将 (6-2-8)式和 (6-2-9)式代入 (6-2-7)式，得
H( )? )(?jeH
dWHH Rd )()(2 1)(
若用 代表所设计的低通滤波器的幅度响应，则有上式说明设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积。
其过程如下图所示。
(6-2-10)
图 6-2-3矩形窗的卷积过程加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点影响：
1）使理想频率特性不连续点 ω=ωc 处，形成了一 个过渡带,过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应 WR(ω)的主瓣宽度△ ω=4π/N ；
2) 在截止频率 ωc的两边 ω=ωc ± 2π/N 处 (即过渡带的两边 ),H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于 WR(ω)
波动的快慢。
若增加截取长度 N，则在主瓣附近的窗的频率响应为
W N N N xxR ( ) s i n ( / )s i n ( / ) s i n ( / )/ s i n22 22
该函数的性质：随着 x加大（即 N加大），函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。
这个相对比例是由 sinx/x决定的,也就是说是由矩形窗函数的形状决定的。
因而，当长度 N增加时，只会减小过渡带宽 (4π/N )，而不会改变肩峰的相对值。
在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为 8.95%,N增加时，
4π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是 8.95%，
这就是吉布斯 (Gibbs)效应 。
wn( ) h nd( )
由于窗谱肩峰的存在，影响到 H(ω)通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有 21dB左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。
为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数,对 进行加窗处理。
6.2.2 常用的窗函数
1,三角形窗 (Bartlett Window)
1
2
1
,
1
2
2
2
1
0,
1
2
)(
Nn
N
N
n
N
n
N
n
nw
(6-2-11a)
])4/s in ( )4/s in ([2)( NNNeW j?
(6-2-11b)
其频率响应为主瓣宽度为 ( ).N/8?
2,汉宁 (Hanning)窗，又称升余弦窗
)()]12c o s (1[21)( nRN nnw N(6-2-12a)
)]
1
2
()
1
2
([25.0)(5.0)(
)(
)]}
1
2
()
1
2
([25.0)(5.0{)(
)
2
1
(
N
W
N
WWW
eW
e
N
W
N
WWeW
RRR
aj
N
j
RRR
j
(6-2-12b)
其频率响应 和幅度响应 分别为是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，
使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍，为 ( ).N/8?
)(?jeW )(?W
)(?W )(?RW
3,汉明 (Hamming)窗，又称改进的升余弦窗
)()]12c o s (46.054.0[)( nRN nnw N
(6-2-13a)
(6-2-13b)
其幅度响应为同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1%。
N/8?
)]12()12([23.0)(54.0)( NWNWWW RRR
4,布莱克曼 (Blankman)窗，又称二阶升余弦窗
)()]14c o s (08.0)12c o s (5.042.0[)( nRN nN nnw N
(6-2-14a)
(6-2-14b)
其幅度响应为
)]
1
4
()
1
4
([04.0
)]
1
2
()
1
2
([25.0)(42.0)(
N
W
N
W
N
W
N
WWW
RR
RRR
其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，
但其主瓣宽度变为,N/12?
下图是 N=31时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这 5种窗口函数的包络曲线图 6-2-4 5种窗函数的包络曲线下图是 N=51时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼
4种窗口函数的幅度响应图 6-2-5 4种窗函数的幅度响应 )()0(/)(lg20,51 dBWWAN
下图是用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应图 6-2-6 用窗口法设计的低通滤波器的单位脉冲响应与幅度响应 (N=5)
5,凯泽 (Kaiser)窗
10,
)(
))]1/(21[1(
)(
0
2
0 Nn
I
NnI
nw
(6-2-15)
β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来,β越大,过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。
2
1
0 ])2(!
1[1)( k
k
x
kxI?
I0(·)是第一类修正零阶贝塞尔函数。
一般取 15~25项就可满足精度要求。
图 6-2-7 凯泽窗若阻带最小衰减表示为 As=-20lgδs,β的确定可采用下述经验公式
50)7.8(1 1 0 2.0
5021)21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0
210
4.0
ss
sss
s
AA
AAA
A
(6-2-16)
若滤波器通带和阻带波纹相等即 δp=δs时，滤波器节数可通过下式确定
22
1
36.14
95.7lo g20
10
ps
p
F
F
N
(6-2-17)
(6-2-18)
式中
ωp,ωs分别为数字低通滤波器的通带边频与阻带边频。
6.2.3 几种常用的理想滤波器
1,理想高通滤波器
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
c
c
HP
c
c
aj
j
HP
1
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
00
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-19）
（ 6-2-20）
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
cc
cc
BP
cc
cc
aj
j
BP
12
12
11
12
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
,00
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-21）
(6-2-22)
2,理想带通滤波器
an
an
an
an
an
an
an
an
nh
e
eH
cc
cc
BP
cc
cc
aj
j
BP
12
12
12
11
1
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
)](s i n [
)(
0
,0
)(
频率响应：
单位脉冲响应：
（ 6-2-23）
(6-2-24)
3,理想带阻滤波器
wn( ) h nd ( )
hn( )
N 12
1)(H
)(
hn( )
和低通时的情况一样，为了得到有限长的,
需用一长为 N的窗函数 截断 。
按照线性相位滤波器的要求,必须是偶对称的，并且滤波器的时延常数因线性相位滤波器的 幅度响应均为相位响应均为同时为了保证高通、带阻滤波器的可实现性，
N必须为奇数，这样,α就必须为整数,
4．理想线性相位线性差分滤波器
jjd ef ejeH )(
|)(| jd ef eH
0
2
0
2)(
频率响应：
(6-2-25）
（ 6-2-26）
（ 6-2-27）
幅度响应：
相位响应：
由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性变化，关于0处为奇对称，为了实现线性相位的特性，其单位脉冲响应为奇对称且节数 N
为奇数。
n
n
nnh
n
d e f
0
)(
)1(
)(
单位脉冲响应：
（ 6-2-28）
5．理想线性相位希尔伯特（ Hilbert）
变换器
00)( j jeH j
为奇数为偶数
n
n
n
n
nh
n
2
0)1(1
)(
希尔伯特变换 器的频率响应单位脉冲响应
N 12
对于式的有限长 N的实现，为了获得线性相位的特性，
其单位脉冲响应必须具有 的延时，为了保证
α 为整数,N必须 奇数,
为奇数为偶数
)(
)(
2
)(0
)(
)1(1
)(
n
n
n
n
nh
n
0
2
0
2)(
因此上式变为此时实际的相位响应为：
（ 6-2-30）
（ 6-2-29）
6.2.4 窗函数法小结与例子
h nd( )
)()()( nRrMnhnh Md
r
M
)(nhM按照频率采样定理,与 的关系为：
H ed j( )?
h nd( )
H ed j( )? 0 2?
nkMjkMj
d
M
k
M eeHMnh
221
0
)(1)(?
h nd( )
利用窗函数设计 FIR滤波器的过程可总结如下：
1.利用（ 6-2-2）式，由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲响应,
式的积分
（ 6-2-31）
)(nhM当 M足够大时，就可保证 能足够好的逼近 h nd( )
如得不到封闭式的 或不能用（ 6-2-2）式计算 时，
可对 在 到 间等间隔采样 M，用下式代替
（ 6-2-2）
ssA?lg20
)(nw
AN
2 1 N?
)()()( nwnhnh d?
jnN
n
j enheH
)()( 1
0
2．按允许的过渡带宽度△ ω 及阻带衰减
，选择合适的窗函数,并估计节数 N：
其中 A由窗函数的类型决定。
3．确定延时值 （即滤波器的对称中心）
5．必要时验算 FIR滤波器的频率响应：
（ 6-2-32）
4．求例 6-2-1 设计一线性相位 FIR数字低通滤波器,截止频率
，过渡带宽度,阻带衰减 dB。
2.0?c
4.0 40?
sA
解,1)
)(
)](s in [
2
1)(
n
ndeenh cjnj
d
c
c
)(nw
40?sA
2)选择窗函数,估计节数 N。仅从要求阻带衰减
dB来说，可选择汉宁窗、海明窗、布拉克曼窗或凯塞窗等，若再考虑从滤波器节数最小的原则出发，可选择汉宁窗或海明窗。
204.0 8AN
38.0218
由此求得,也可取 N=21，这时实际的过渡带宽将为：
102 1 N?
)(nwh
)()()( nwnhnh hd?
)]12c o s (1[21 N n? )( )](s in [n nc )(nRN
)10(2
)]10(2.0s in [)]1.0c o s (1[
n
nn
)(21 nR
jnN
n
j enheH
)()(
1
0
3）确定延时值
4）采用汉宁窗,求得
5）求频率响应其 幅频响应和相频响应见下图可见在通带范围内其相位是线性相位的。
在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。
例 6-2-2 用凯塞窗函数设计一线性相位 FIR数字高通滤波器，截止频率,阻带边频 外阻带衰减 不小于 60 dB。
6.0?c 3.0?c
sA
sA
6533.5)7.8(1102.0 sA?
15.02 3.022 psF
26136.14 95.7lo g20 10 FN p?
解,1）确定节数 N
因 >60dB，可 求得再 求得节数 N
因对于高通滤波器,N必须为奇数，故取 N=27。
)(nwk?
132 1 N?
26,1,0
131
13
)13(
)]13(s i n [
)13(
)]13(s i n [
)(
n
n
n
n
n
n
n
nh
c
c
HP
)()()( nwnhnh kd?
2）计算凯塞窗函数,将所求 和 N值代入下式即可
3）确定延时值
4）计算理想高通的单位脉冲响应
5）求高通数字滤波器的单位脉冲响应：
10,)( ))]1/(21[1()(
0
2
0 Nn
I
NnInw
k?
其幅频响应和相频响应见下图例 6-2-3 分别用矩形窗和布拉克曼窗设计一个线性相位的希尔伯特变换器，取 N=29。
142 1 N?
)(nhd
14
)()()( nwnhnh d?
解,1） 计算对称中心：
2） 按式（ 6-2-9）计算理想 希尔伯特变换 器的单位脉冲响应
3）分别取矩形窗和按式（ 6-2-14a）计算关于
4）计算实际 希尔伯特变换 器的单位脉冲响应对称的按布拉克曼窗；
图 6-2-10 用矩形窗设计的希尔伯特变换器（ N=29）
图 6-2-11 用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（ N=29）
从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实用，其频域特性容易满足要求。
缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严格控制，同时等波纹最佳设计相比，
由窗函数法设计的滤波器长度往往较大。
6.3 FIR滤波器频率采样法设计
1、设计思想按频域采样定理 FIR数字滤波器的传输函数 H(z)和单位脉冲响应 h(n)可由它的 N个频域采样值 H(k)唯一确定。
1
2
1
0 1
)(1)(
ze
kH
N
zzH
N
k
j
N
k
N
)]([)( kHI DF Tnh?
（ 6-3-1）
（ 6-3-2）
)(?jd eH
2~0
1,.,,1,0)(|)()(
2
2 NkeHeHkH
N
kj
d
N
k
j
dd
假定要设计的 FIR数字滤波器的频率响应为,
从频域从发,对理想频响在 间进行 N点的等间隔
（ 6-3-3）
采样得到
1,...1,0)()(
2
NkeHkH N
kj
d
令
（ 6-3-4）
按频域采样定理由 Hd(k)求 H(z)或 h(n)，其流图如下：
)()()(
)(
zHkHeH
nh
d
j
d
2、设计过程和公式
)(?jeH
( ~ )0?
为使设计的滤波器为线性相位滤波器，滤波器的频率响应 及其频率采样值 H(k)必须满足一定的条件,
一般而言，给定的理想滤波器的幅度响应只给出了 范围频率采样的幅度值，因而上式中的 k
只能取 0到 N/2 这 (N/2+1)点，另外 (N/2-1)点 (从
N/2+1到 N-1)则需根据线性相位的奇偶对称条件求得。
)()()( jgj eHeH?
)1(21)( N
k
N
jeHkH
2)()(
下面以偶对称条件 h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。
1,设 h(n)的频响为
（ 6-3-5）
为幅度响应
（ 6-3-6）
H e j( )? ( ~ )0 2?对 在 等间隔 N点采样得 H(k)
,k=0,1,…,N-1
对线性相位滤波器，其相位响应为
)()()( kjg ekHkH
k
N
gg HkH 2)()(
k
N
k?
2)()(
令则
)(?gH )2()( gg HH
按线性相位的偶对称条件,
若 N为奇数,对 π 为偶对称,
)(?gH )2()( gg HH
若 N为偶数,对 π 为奇对称,
)(kH g因而对频率采样的幅度值 有,
)()( kNHkH ggN为奇数
)()( kNHkH gg 0)2()2( NHNH gg及N为偶数
kNNkNNk 12)1(21)(
kNNNkNNNkN 1)1()(1)(
按（ 6-3-6）式对相位进行频率采样得
,k=0,1,…,( N-1)/2
而
N
kNj
N
kNjNj
ee
)1()1()1(
kNNkN 1)(
N
kNjj
N
kNjNj
ee
)1()1()1(
kNNkN 1)(
对 N为奇数,(N-1)为偶数,由于故可取对 N为偶数,(N-1)为奇数,由于故可取,k=0,1,…,N/2-1
,k=0,1,…,(N-1)/2
综上，可得到设计公式如下：
)()( kNHkH gg
kNNk 1)(
kNNkN 1)(
对 N为奇数,设计公式为
k=0,1,…,( N-1)/2 （ 6-3-7）
（ 6-3-8a）
（ 6-3-8b）
0)2(?NH g
)()( kNHkH gg
kNNk 1)(
kNNkN 1)(
对 N为偶数,设计公式为
k=0,1,…,N/2-1 （ 6-3-9a）
（ 6-3-10a）
（ 6-3-10b）
（ 6-3-9b）
3、滤波器的频率响应将 代入频率采样公式
jez?
)2()()()(
1
0
kNkHzHeH
N
k
ez
j
j
2
1
)2/s i n (
)2/s i n (1)( NjeN
N
（ 6-3-11）
（ 6-3-12）其中得
1
2
1
0 1
)(1)(
ze
kH
N
zzH
N
kj
N
k
N
Nk 2?,1,,2,1,0, Nk?
1)2( Nk
和)/2)(( NkeH kj k )()(
2
N
kj
d eHkH
在采样点但在 采样点之间,其误差与 特性的平滑程度有关，
没有误差
)(?jd eH
在 幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能变坏 。误差还与采样点数 N有关,N越大误差越小 。
)(?jd eH
为提高阻带衰减,常采用增加过渡带的方法，如图所示
|)()(| jdj eHeH
m i n|)()(|m a x jdj eHeH
优化原则,
在通带内要求：
在阻带内要求：
例 6-3-1 用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率
2.0?p
的 偶对称情况。
Rad,采样点数 N=20，采用 h(n)=h(N-n-1)
)2,0[?
1730
19181
201
)(
k
k
k
kH g
1918)20(95.0
2095.02025.9)(
kk
kkkk
解,由于 N=20，在 范围内等间隔采样，
在通带共有 3个采样点，分别是 k=0,1,2。
因 N为偶数，可得到
1.0/2 N rad，采样间隔为
)(kHg )(k?
)()()( kjg ekHkH
)(kH )(zH )(nh
将 和 代入求得 ；进而求得 或然后利用式（ 6-3-11）和式（ 6-3-12）就可求出频率响应，
其相位响应由式（ 6-3-6）给出，为线性相位。
过渡带为 2?/20/10。
其幅度响应如下图所示，图中还给出了它的单位脉冲响应
。
)(kHg )(k?
3460
35,53904.0
3936,401
)(
k
kk
kk
kH g
3935)40(9 7 5.0
509 7 5.0
40
25.19
)(
kk
kkkk
)(nh
由上图 d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有
-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为
N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取 H1=0.3904，得到 和 分别为过渡带为（ 2?/40× 2）/10,求得的单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。
)(kHg )(k?
由上图 d）可见,这时阻带衰减达到了 -43dB。为了进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到 60，两个过渡样点值经优化分别为 =0.5925和
=0.1099,相应的 和 分别为
5180
52,81 0 9 9.0
53,75 9 2 5.0
6954,601
)(
k
kk
kk
kk
kH g
5952)60(983.0
80983.0
60
25.29
)(
kk
kkkk
)(nh过渡带为（ 2?/60× 3）/10所得单位脉冲响应和幅度响应如图 6-3-4所示。
频率采样法可以直接从频域出发进行设计，比较简单。
这种方法最适合于设计窄带滤波器。
由图 6-3-4 d）可见，这时阻带衰减达到了 -63dB。
还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减，显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也就随着成倍的增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也就随着增加。
6.4 FIR数字滤波器的等波纹优化设计
Hd ( )?
H g ( )? E( )?
E W H Hd g( ) ( )[ ( ) ( )]
设希望设计的滤波器幅度响应为,实际逼近的幅度响应为,加权误差为
(6-4-1)
E( )?
)(
])(m a x[m in)( )( EAnh
将指定的频带记为 A (包括通带和阻带 )，切比雪夫等波纹最佳逼近的设计的准则是，选择 FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n)使得在 A内误差函数 的最大绝对值最小。
将该最小值记为,则有
(6-4-2)
预先指定的误差加权函数下面介绍切比雪夫等波纹最佳逼近方法的基本思想和方法。
Hg ( )?
H Q Pg ( ) ( ) ( )
Q( )?
P( )? c os ( )n?
FIR线性相位滤波器的幅度响应有四种情况，
将 四种情况的 统一表示成以下的形式式中 是已知的三角函数，
是关于 的线性组合，
(6-4-3)
1、线性相位 FIR滤波器幅度特性的表示
Q( )? P( )?下表列出了对于四种不同情况的 及 的表达式。
)1(,,3,2
)1(?)(
)](?)1(?[)(
)1(?)0(?)1(
2
22
1
2
2
1
2
1
N
NN
n
bb
nbnbnb
bbb
2
5
2
3
2
1
2
1
2
5
2
1
2
3
2
1
2
1
,,3,2
)(?)(
)(?)(
)]1(?)(?[)(
)2(?)0(?)1(
N
NN
NN
n
cc
cc
ncncnc
ccc
)1(,,3,2
)1(?)(
)](?)1(?[)(
)1(?)0(?)1(
2
22
1
2
2
1
2
1
N
NN
n
dd
ndndnd
ddd
P( )? )(?),(?),(? ndncnb b n c n( ),( ) dn( )表中 的系数 与原系数 和的关系如下：
（ 6-4-4）
（ 6-4-5）
（ 6-4-6）
E W Q HQ Pd( ) ( ) ( )[ ( )( ) ( )]
)()()( QWW?
)(
)()(?
Q
HD d?
)]()(?)[(?)( PDWE
P( )?
)(?E
将（ 6-4-3）式代入（ 6-4-1）式，得到
（ 6-4-7）
（ 6-4-8）
（ 6-4-9）
因而最优化的问题变成了选择 的系数使误差函数的最大绝对值最小。
（ 6-4-10）
2、利用切比雪夫等波纹最佳逼近法设计
FIR滤波器的原理
P B n n
n
r
( ) ( ) c o s ( )
0
1
P( )( )D?
E( )?
i
1 2 1 r
E E i ri i( ) ( ),,, 1 1 2?
E Ei A( ) m a x [ ( )]
P( )? c os ( )n?交错定理,设 为 的线性组合在 A上能唯一的最佳逼近连续函数的充分必要条件是加权误差函数 在 A内至少有 r+1个极值频率点，即在 A内必须存在 r+1个频率点,其中且及
（ 6-4-11）
下面以情况 1为例，讨论线性相位滤波器幅度响应极值数目的约束问题。
表示成 多项式将余弦函数 c os ( )n? cos ( )?
c o s ( ) ( c o s )n a
m
n
mn
m
0
Hg ( )?
kkr
k
mmnn
m
r
n
g aanaH )( c o s)( c o s)()(
1
00
1
0
将上式代入对情况 1的,得式中 r=(N+1)/2,ak是与 a (n)和 amn有关的常数
Hg( )?
d
d H kag k
r
k
k
[ ( )] s i n ( c o s )
1
1
1
求极值频率，将 对 ω微分一次得上式右边余弦函数多项式的最高阶次为 r-2=(N-3)/2，
应有 r-2个根,sinω在 ω=0和 ω=π处有两个根 (零点 )，所以在区间 [0,π]上,Hg(ω)应有 r个极值点。
对逐段恒定的幅度特性,Hg(ω)的极值点也是 E(ω)的极值点。
(6-4-12)
根据等波纹最佳一致逼近定理，误差函数至少应有
r+1个极值，因此 E(ω)本身至少还应再增加一个独立极值。对理想低通特性的 Hd(ω),Hg(ω)的边界频率 ωp
和 ωc也是 E(ω)的极值点 (不是 Hg(ω)的极值点 ),这样
E(ω)就有 r+2个极值频率 (这种情况称为超波纹逼近 )。
例如,N=13,(N+1)/2=7 时幅度特性最多有 7个极值点，而误差函数 E(ω)有 9个极值点，如下图所示。
3,求解方法及 Remez算法
0 1,,, r
riPDW iiii,,1,0)1()]()(?)[(
)(m a x EA
)c o s ()()( 1
0
nnBP r
n
设已知在 A上 r+1个极值率为将这些频率代入式式中按最佳逼近定理得
)]()(?)[(?)( PDWE
(6-4-13)
令 an=B(n)，将 (6-4-13)式写成矩阵形式
)(?
)(?
)(?
)(?
)(?
)1(
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
)1(
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
1
)1c o s (2c o sc o s1
)(?
1
)1c o s (2c o sc o s1
1
1
0
1
1
0
1
1
111
1
111
0
000
r
rr
r
r
rrr
r
r
rrr
D
D
D
D
a
a
a
W
r
W
r
W
r
W
r
(6-4-14)
上式中有 r+1个极值频率需要求解，实际求解起来很困难。
Remez算法的计算步骤
Remez算法,靠一次次迭代求得一组交错点即极值频率点，从而求出系数，而且在每一次求解极值频率的迭代过程中能够避免直接求解 (6-4-14)式。
0 1,,, r
)(?/)1(
)(?
0
0
ii
ir
i
ii
r
i
Wa
Db
b i
k
k i
r
k i
0
1
c o s c o s
(1) 首先给出 r+1个极值频率的初始估计值，通常在 A上等间隔地取 r+1个初始频率点,即由下式计算 δ值
（ 6-4-15）
式中 一般不可能是最优值
P( )?
riWDP
i
i
ii?,2,1,0,)(?
)1()(?)(
P( )?
P( )?
P
p b
b
i
r
i i
i
i
r
i
i
( )
( )
c o s c o s
c o s c o s
0
1
0
1
(2) 将 δ值及 r+1个极值频率点代入 (6-4-13)式，可求得的离散值利用拉格朗日（ Lagrange）插值公式,可由 的离散
(6-4-16)
值得到连续的
P( )?将 代入 (6-4-10)式可求得误差函数 E(ω)，如果在子集 A的所有频率上都有
)(E0 1,,, r说明 δ是最佳的极值，初始估计值恰好就是交错点组，工作可结束。
如果在某些频率点处,E( )
说明初始估计的极值点不对，然后在这些点附近搜索局部极值点，
于是得到一组新的交错点，从而完成了一次迭代。
(3) 利用和步骤 (2)相同的方法，把在各频率处使 E( )
的局部极值点作为新的极值频率的估计值，从而又得到一组新的极值估计值。
P( )? )(D
P( )?
)(?),(?),(? ndncnb
重复以上步骤，每次迭代后的 δ都是递增的,最后收敛到也就最佳一致逼近,
迭代结束后，最后按新的最佳极值频率求出
B(n) （即 a(n),），从而求得 FIR滤波器的 单位最佳极值，此时的 r个系数脉冲响应 h(n)。
在滤波器的 ωp和 ωs 及 δp和 δs等指标给定后，在利用 Remez
交换算法开始设计前，需要能比较准确地确定 N值。
对低通滤波器,当
s p?
进行估计：
时,N值可由下述经验公式
N D fp s
s p
p s
p s?
(,)
( ) / (,)
2 2 1
D a a a
a a a
p s s p p
p p
(,) l og [ ( l og ) l og ]
( l og ) l og
10 1 10
2
2 10 3
4 10
2
5 10 6
f p s p s(,),,( l o g l o g )11 01217 0 51244 10 10
式中
(6-4-17)
(6-4-18)
。
(6-4-19)
也可用下式进行粗略的估计
N p s
s p
10 1514 2 110l og ( )( ) /
(6-4-20)
其中
4 2 7 8.0,5 9 4 1.0,0 0 2 6 6.0
,4 7 6 1.0,0 7 1 1 4.0,0 0 5 3 0 9.0
654
321
aaa
aaa
对于 带通滤波器,N值的估计可按以下经验公式进行：
令 ωp和 ωs分别为带通滤波器的通带和阻带边频（取带通滤波器的两个过渡带中过渡带最小的边频），则有
N C gp s
s p
p s
p s?
(,)
( ) / (,)
2 2 1
(6-4-21)
C b b b
b b b
p s s p p
p p
(,) l og [ ( l og ) l og ]
( l og ) l og
10 1 10
2
2 10 3
4 10
2
5 10 6
4 4 3 1 4.0,5 7 0 5 4.0,0 0 2 0 3.0
,5 1 3 2 5.0,0 9 6 6 4.0,0 1 2 0 1.0
654
321
bbb
bbb
g p s p s(,) l o g ( / ),10 16 9
式中
