静电荷 运动电荷 恒定电流静电场 恒定磁场电场 磁场学习方法,类比法第七章 恒定磁场一、基本磁现象
S N S N
I
S N
同极相斥 异极相吸电流的磁效应
1820年奥斯特天然磁石
chap7— 3 磁场 磁感应强度电子束
N
S +
F?
F
I
磁现象：
1、天然磁体周围有磁场；
2、载流导线周围有磁场；
3、电子束周围有磁场。
表现为：
使小磁针偏转表现为：
相互吸引排斥偏转等
4、载流导线能使小磁针偏转；
5、磁体的磁场能给载流导线以力的作用；
6、载流导线之间有力的作用；
7、磁体的磁场能给载流线圈以力矩作用；
8、载流线圈之间有力的作用；
9、天然磁体能使电子束偏转。
安培指出：
n?I
N S
天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。
分子电流 (1822年 )
电荷的运动是一切磁现象的根源。
运动电荷 磁场对运动电荷有磁力作用磁 场二,磁感应强度电流（或磁铁） 磁场 电流（或磁铁）
磁场对外的重要表现为：
1、磁场对处于场中的运动电荷或载流导体有磁力作用
2、载流导体在磁场中移动时，磁力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。
B?
vqFB m ax 0?
方向,小磁针在该点的 N极指向单位,T(特斯拉 )
GT 4101? (高斯 )
大小,
磁力
+
v?
mF
磁感应强度
I
P.
三,毕奥 ---沙伐尔定律
1、稳恒电流的磁场电流元 lId? 20 s i n4 rI d ldB
170 104 T m A
r?
Bd?
3
0
4 r
rlIdBd?
lId?
对一段载流导线
L r
rlIdBdB
3
0
4
方向判断,的方向垂直于电流元 与 组成的平面,和 及 三矢量满足矢量叉乘关系。
Bd?
Bd?
lId?
lId? r?
r?
毕奥 -萨伐尔定律
2、运动电荷的磁场
q v
I
S
dl
电流 电荷定向运动电流元
2
00
4 r
rlIdBd
q nv SI?
2
00
4 r
)r,vs i n (qv
dN
dBB
载流子总数 n S d ldN?
lId?
其中电荷 密度 速率 截面积运动电荷产生的磁场
3
0
4 r
rvqB
同向与若 rvBq,0
q? v?
B?
r?
q? v?
B?
r?
反向与若 rvBq,0
XO
Y四,毕奥 ---沙伐尔定律的应用
1,载流直导线的磁场已知：真空中 I,?1,?2,a
建立坐标系 OXY
任取电流元 lId?
2
0 s i n4 rI dldB
204 rs i nI d ldBB
大小方向 0rlId
0r
r
Bd?
l
dl?
a P
1?
I 2?
2?
1
统一积分变量
a c t ga c t gl )(
dc s cadl 2?
s i nar?
22
2
0
4 s i n
ads i nI
a
s i n
204 r dls i nIB
21 si n4 0 dIa
)co s( c o s4 210 aIB
)c o s( c o s4 210 aI
XO
Y
a P
1?
I 2?
0r
r
Bd?
l
dl?
或,)s i n( s i n
4 12
0
a
IB
1）无限长载流直导线 21 0 aIB2 0?
2）半无限长载流直导线 21 2 aIB4 0?
3）直导线延长线上
2
0
4 r
s i nI d ldB?
0 0?dB 0?B I
B?
)co s( c o s4 210 aIB
B
O
p
R
I?Bd? Bd?
xBd?
0r?
X
Y
2,圆型电流轴线上的磁场
lId?
已知,R,I,求轴线上 P
点的磁感应强度。
建立坐标系 OXY
任取电流元 lId?
分析对称性、写出分量式
2
0
4 r
I d ldB
大小 方向 0rlId
0 BdB 2
0
4 r
s i nI d ldBB
xx
统一积分变量
204 rs i nI d ldBB xx
rRs i n
dlrIR304 RrIR 24 30
2322
2
0
2 )xR(
IR
结论
2322
2
0
2 )xR(
IRB
方向,右手螺旋法则大小：
x
O
p
R
I?Bd? Bd?
xBd?
0r?
X
Y
lId?
.1 BRx 3
2
0
2 x
IRB
2322
2
0
)(2 xR
IRB
R
IB
2
0
载流圆环载流圆弧
I
B?
B?
I?
0.2 Bx
22
0
R
IB
2?圆心角
圆心角练习求圆心 O点的 B?如图，
R
IB
4
0
OI R
R
IB
8
0
I
O?
R
R
I
R
IB
24
00
OR
I?
O
I
R
32?
)(R IR IB 2 316 00
例 1、无限长载流直导线弯成如图形状
AI 20? cma 4?
求,P,R,S,T四点的 B?
解,P点
TaI 50 10540
方向
ALLAR BBB
R点
ALLAp BBB
方向?
)c o s41( c o s4)43c o s0( c o s4 00 aIaI
T51071.1
a
I
a
a
I
A
R
L?
P
S T
L
S点
TBBB ALLAp 51007.7
)43c o s0( c o s4 0 aIB LA 方向?
)c o s43( co s4 0 aIB AL 方向?
T点
TBBB ALLAp 51094.2
)4c o s0( co s4 0 aIB LA 方向?
)c o s43( co s4 0 aIB AL 方向方向?
方向?
a
I
a
a
I
A
R
L?
P
S T
L
I
I
B
0
A
P
a
c
练习 求角平分线上的 pB?
已知,I,c
解：
)c o s( co s4 210 aIB AO
)]2co s(0[ c o s4 0 aI
)
2
cos1(
2
s i n4
0?
c
I
同理方向?
所以
OBAOp BBB
)
2
cos1(
2
s i n4
0?
c
I
B OB
)
2
c o s1(
2
s i n2
0?
c
I
方向?
例 3,氢原子 中电子绕核作圆周运动
r
v?
求,轨道中心处 B?
电子的磁矩 mp?
161020 ms.v
m.r 1010530
已知解,2 00
4 r
rvqB
0rv又
TrevB 134 20 方向
nISp m e
r
vI
2?
2rS
22310930
2
1 Am.v reISp
m
方向?
例 4,均匀带电圆环
q
B?
R
已知,q,R,圆环绕轴线匀速旋转。
求圆心处的 B?
解,带电体转动，形成运流电流。
22
qq
T
qI
R
q
R
IB
42
00
例 5,均匀带电圆盘已知,q,R,圆盘绕轴线匀速旋转。
解,如图取半径为 r,宽为 dr的环带。
rd rdI r d r
rr
dIdB
22
00
q
R
r
dr
求圆心处的 B? 及圆盘的磁矩元电流
rd rdsdq 2 其中 2R
q
dqdqTdqdI 22
R rd rrrdIdBB 0 00 22
B?
q?
R
r
dr
R
qR
22
00
线圈磁矩 nISp
m
如图取微元 r d rrS d Idp m 2
4
4
0
2 Rrd rrdpp R
mm
方向,?
B?
一,磁力线 (磁感应线或 B? 线 )
方向：切线大小：
dS
dB m aaB
b
bB
c
cB
Chap7-5 磁通量 磁场中的高斯定理
I
直线电流的磁力线 圆电流的磁力线
I
通电螺线管的磁力线
I
I
1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭合电路互相套合，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。
2、任意两条磁力线在空间不相交。
3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右手定则表示。
S
S
BSm
dSc o sBSdBm dSc o sBSdBm
S
B?
n?
n?dS?
S
二、磁通量 —— 穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数
B?
B? B?
c o sBSSBm
n?dS?
三、磁场中的高斯定理
0 SdB
穿过 任意 闭合曲面的磁通量为零
S
B
SdBm
0 VS dVBd i vSdB
磁感应强度的散度磁场是无源场。
BBd i v
00 BBd i v 或高斯定理的微分形式
SBm
iS)ji( 23
S3?
021 SS
021 )RB(S
2
1 RBS
2,在均匀磁场 jiB 23
中，过 YOZ平面内面积为 S的磁通量。
XO
Y
Z
S n
B?R
O
1S
2S
B?
1,求均匀磁场中半球面的磁通量课堂练习例 2、两平行载流直导线
cmd 40?
cmr 202?
cmrr 1031
AII 2021
cml 25?
过图中矩形的 磁通量
AB
求 两线中点
l
3r1r 2r
1I
2I
d
A?
AB
解,I1,I2在 A点的磁场
22
10
21 d
IBB
T5100.2
TBBB A 521 100.4
方向?
l
3r1r 2r
1I
2I
r dr
d
如图取微元
B l d rSdBd m
)(22
2010
rd
I
r
IB
l d r
rd
I
r
Id rr
rmm
21
1
]
)(22
[ 2010
21
120
1
2110 ln
2ln2 rrd
rdlI
r
rrlI
wb61026.2
方向?
B?
一,安培环路定理静电场 0 ldE
I
rl
B?
rrIdlrI 222 00
1,圆形积分回路
IldB 0
dlrIldB 2 0
chap7— 6 磁场中的安培环路定理改变电流方向 IldB
0
磁 场 ldB
22 0 I?
2,任意积分回路
dlBldB c o s
dlrI co s2 0
rdrI2 0
IldB 0
.
d
B?
ld?r
I
3,回路不环绕电流,
0 ldB
安培环路定理说明：
电流取正时与环路成右旋关系如图 iIldB 0
)( 320 II
4I
1I
l
3I
2I
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭合曲线的线积分（也称 的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的 倍。即：
B?
iIldB 0
B?
0?
)( 3200 IIIldB i
环路所包围的电流
4I
1I
l
3I
2I
由 环路内外 电流产生由 环路内 电流决定
)( 3200 IIIldB i
位置移动
4I
1I
l
3I
2I
4I
1I
l
3I
2I
不变不变改变
0 ldE
静电场 稳恒磁场
i
iIldB 0?
0 SdB i
s
qSdE
0
1
磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场电场有保守性，它是保守场，或有势场电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场磁力线闭合、无自由磁荷磁场是无源场
I
R
二、安培环路定理的应用当场源分布具有 高度对称性 时，利用安培环路定理计算磁感应强度
1,无限长载流圆柱导体的磁场分布分析对称性 电流分布 —— 轴对称磁场分布 —— 轴对称已知,I,R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
iIldB 0
Bd?
O P
1dS
2dS
1Bd
2Bd
的方向判断如下：B?
r
l
I
R
作积分环路并计算环流如图
B?
rBB d lldB?2
利用安培环路定理求
IldB 0
r
IB
2
0?
Rr?
IrB 02
0?
B?
r
2
20 rR
I?
作积分环路并计算环流如图
B?
rBB d lldB?2
利用安培环路定理求
IldB 0
2
0
2 R
IrB
Rr?
I
R
0?
I?
rB?
结论,无限长载流圆柱导体。已知,I,R
Rr
r
I
Rr
R
Ir
B
2
2
0
2
0
I
B?
B?R
I
2
0
B
RO r
讨论,长直载流圆柱面。已知,I,R
rBB d lldB?2
RrI
Rr
0
0
Rr
r
I
Rr
B
2
0
0
rRO
R
I
2
0 B
R
I
练习,同轴的两筒状导线通有等值反向的电流 I,
求 的分布。B?
1R
r II
2R
0,)1( 2 BRr
0,)3( 1 BRr
r
IBRrR
2,)2(
0
21
电场、磁场中典型结论的比较
r
IB
2
0?
rE 02
2
0
2 R
IrB
2
02 R
rE
0?E 0?B
外内内外
rE 02
r
IB
2
0?
rE 02
r
IB
2
0?
长直圆柱面电荷均匀分布 电流均匀分布长直圆柱体长直线已知,I,n(单位长度导线匝数 )
分析对称性管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
.,..,..,..,..,.
I
B?
2,长直载流螺线管的磁场分布
abB
计算环流
ba B d lldB 0co s
c
b B d l 2co s
ad B d l 2co s dc B d l?co s
n a b IldB 0
外内
0
0 nIB?
利用安培环路定理求 B?
B?...............
I
d
a b
c
已知,I,N,R1,R2
N—— 导线总匝数分析对称性磁力线分布如图作积分回路如图方向 右手螺旋
rR
1
R2
..
.
.,
.,
..,
..
..
..
...,.
..
..
.
..
.
....,.
I
.3,环形载流螺线管的磁场分布
..
B
rO
2R1R
计算环流利用安培环路定理求 B?
rBB d lldB?2
NIldB 0
外内
0
2
0
r
NI
B?
2121 RRRR、
nIB 0
12 R
Nn
rR
1
R2
..
.
.,
.,
..,
..
..
..
...
..
..
.
..
.
....,.
.,
已知：导线中电流强度 I
单位长度导线匝数 n I
分析对称性磁力线如图作积分回路如图
ab,cd与导体板等距
Bd?
d
ab
c
.,.,,..,.
4,无限大载流导体薄板的磁场分布
ba B d lldB 0co s
c
b B d l 2co s
计算环流
ad B d l 2co s dc cosB d l 0
cdBabB abB 2
IabnldB 0
20 nIB 板上下两侧为均匀磁场利用安培环路定理求 B?
d
ab
c
.,.,,..,.
两板之间两板外侧
nI
B
0
0
讨论,如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。
通有相反方向的电流。求磁场分布。
已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数 n
.,.,,..,.
20 nIB
练习：如图，螺绕环截面为矩形 AI 7.1?
匝1 0 0 0?N
外半径与内半径之比 6.112?RR
高 cmh 0.5?
I
导线总匝数求,1,磁感应强度的分布
2,通过截面的磁通量
h
2R
1R
解,1,NIrBB d lldB
02
rNIB 20?
1
20
0
ln
2
2
.2
2
1
R
R
r
N I h
h dr
r
NI
SdB
R
R
I
h
1R
2R
chap7— 7,8 磁场对载流导线的作用一,安培定律安培力,电流元在磁场中受到的磁力
BlIdFd 安培定律
s i nI d l BdF? )B,lIda r c s i n (
方向判断 右手螺旋
L BlIdFdF
载流导线受到的磁力大小
I
B×
Fd?
lId?
s i nB I d ldF?
取电流元 lId?
受力大小方向?
积分
L B I LB I d lF s i ns i n
结论?s inB L IF? 方向?
均匀磁场 中载流直导线所受安培力
I
B?
B?
I
0 0?f
BL If?ma x
2
3
2
B?
s i ns i n B I d ldfdf x
例,均匀磁场中任意形状导线所受的作用力
fd? lId?B I d ldf?受力大小方向如图所示建坐标系取分量
c o sc o s B I d ldfdf yc o sdldx?
s i ndldy?
积分 0 dyBIdff xx
abBIdxBIdff yy
取电流元 lId?
abBIf?
X
Y
O
a b
推论在均匀磁场中任意形状闭合载流线圈受合力为零练习 如图 求半圆导线所受安培力
B?
R
a b
c
I
B I Rf 2?
方向竖直向上
B?
I
解,dlBIdf
2?
L dff
dxxII 2 210?
d
LdII ln
2
210
例,求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 ab的作用力。
已知,I1,I2,d,L
Ld
d
dx
x
II
2
210 L
x
d
ba
1I
2I
fd?
ldI?2
二、磁场对载流线圈的作用
222 B I lFF?
s in
1ld?
s i n12 lB I lFdMs i nISBs imBp?
nISp m
mp
.
)(cd
)(ba
n?
1l
2F
d?2F?
B?a
c
b
d1
F?
B?
n?2F?
2F
1F
2l
1l
I
BpM m
s i nmBpM?
如果线圈为 N匝 nN I Sp
m
讨论
,
B?
2F
2F
（ 1）
2
1F
1F
2F
2F
1F
1F
2F
2F
（ 2） 0
（ 3）
三,磁力的功
1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功,.,,.
.,,...
...
.
.
.
...,
I IB?
F?
l
x
xFA
xB I l
mI
2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功
BpM m
s i nBpM ms inI S B?
MddA dB I S s i n
)c o sBS(Id mId
21mm mIddAAmI
2
1
m
m
mIdA
.
.M? B
mp
d
21 s i nmm dBPMdA m
)c o s( c o s 21 BP m
BPBPW mmmc o s磁矩与磁场的相互作用能例,一半径为 R的半圆形闭合线圈，通有电流 I，线圈放在均匀外磁场 B中,B的方向与线圈平面成 300角，
如右图，设线圈有 N匝，问：
B?
060
（ 1）线圈的磁矩是多少？
（ 2）此时线圈所受力矩的大小和方向？
（ 3）图示位置转至平衡位置时，
磁力矩作功是多少？
解：（ 1）线圈的磁矩
nN I Sp m
pm的方向与 B成 600夹角
nRNI?22
060s i nBpM m?
mmm NINIA 12
022 60
22
c o sRBRBNI
可见，磁力矩作正功磁力矩的方向由 确定，为垂直于 B的方向向上。
即从上往下俯视，线圈是逆时针
Bp m
（ 2）此时线圈所受力矩的大小为
（ 3）线圈旋转时，磁力矩作功为
2
4
3 RN I B
2
4 RN I B
B?
060
一,磁介质的分类
BBB o
chap7— 9 磁场中的 磁介质磁介质 —— 能与磁场产生相互作用的物质磁化 —— 磁介质在磁场作用下所发生的变化
（ 1）顺磁质 （ 3）铁磁质
（ 2）抗磁质 （ 4）超导体
B根据 的大小和方向可将磁介质分为四大类
0BB0BB?
0BB? 0?B
附加磁场
0B
B
r r 0?
二,顺磁质与抗磁质的磁化分子磁矩 轨道磁矩自旋磁矩
—— 电子绕核的轨道运动
—— 电子本身自旋等效于圆电流 —— 分子电流
1、顺磁质及其磁化 分子的固有磁矩不为零 0?mp?
无外磁场作用时，由于分子的热运动，分子磁矩取向各不相同,
整个介质不显磁性。
分子磁矩
0 mp?
有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的作用，使分子磁矩转向外磁场的方向。
mp
0B
0BpM m
M?
分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，
顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。
0BB?
0B
B
2、抗磁质及其磁化 分子的固有磁矩为零 0 mp?
在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩电子绕核的轨道运动电子本身自旋 mp?
外磁场场作用下产生附加磁矩 mp
电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用。
抗磁性是一切磁介质共同具有的特性。 0
BB?
总与外磁场方向 反向定义,磁化强度 1 mA
V
pM m
三,磁化强度
Is—— 磁化电流
js—— 沿轴线单位长度上的磁化电流（磁化面电流密度）
s
sm
ssm jlS
lSj
V
pMMlSjSIp
sI
0I
磁化强度 M在量值上等于磁化面电流密度。
a b
cd
取如图所示的积分环路 abcda:
ssl IabjabMldM
磁化强度对闭合回路 L的线积分，等于穿过以
L为周界的任意曲面的磁化电流的代数和。
四,磁介质中的安培环路定理
1、磁化强度与磁化电流的关系
2,磁介质中的安培环路定理
L L sIIldB )(0
ldMIldB L
LL
00
LL
Ild)MB( 0
0
L
sL IldM
MBH
0?
定义 磁场强度
LL
IldH 0
在稳恒磁场中，磁场强度矢量沿任一闭合路径的线积分（即环流）等于包围在环路内各传导电流电流的代数和，而与磁化电流无关。
五、磁场强度、磁感应强度的关系
HM m
MBH
0?
HB
介质的磁导率介质的磁化率—m?
HB m
0
H)(B m 10
r?
r0
电介质中的高斯定理磁介质中的安培环路定理
S
iS qqSdE )(
'
0
1
L sL L
IIldB 00
ldMIldB L
LL
00
L
L IldM
B
)(
0?
MBH
0?
LL
IldH
S
S
S SdPqSdE
00
11
SS
qSdPE )( 0?
PED 0?
V eS dVSdD
E)(D e 01
EED r 0
称为相对电容率或相对介电常量 r
之间的关系EDP,、
)( er 1
EP e 0HM m
之 间的关系M,H,B
MBH
0?
PED 0?
H)(B m 10
)( mr 1
HHB r 0
r? 称为相对磁导率
r 0? 磁导率例 1 一环形螺线管，管内充满磁导率为 μ，相对磁导率为 μr的顺磁质。环的横截面半径远小于环的半径。
单位长度上的导线匝数为 n。
求：环内的磁场强度和磁感应强度
rHldHL?2 NI?
r
NIH
2?
nI?
HHB r 0
r
O
解：
例 2 一无限长载流圆柱体，通有电流 I,设电流 I
均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为 μ，柱外为真空。
求：柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。
解,I R
0?
I?
rH?
Rr?
rHldHL?2 I I
R
r
2
2
22 R
IrH
22 R
IrB
在分界面上 H 连续,B 不连续
Rr? IrH2
r
IH
2? r
IB
2
0?
I
R
0?
H?
r?
H
R r
R
I
2
O
B
R r
R
I
2
O
R
I
2
0
S N S N
I
S N
同极相斥 异极相吸电流的磁效应
1820年奥斯特天然磁石
chap7— 3 磁场 磁感应强度电子束
N
S +
F?
F
I
磁现象：
1、天然磁体周围有磁场；
2、载流导线周围有磁场；
3、电子束周围有磁场。
表现为：
使小磁针偏转表现为：
相互吸引排斥偏转等
4、载流导线能使小磁针偏转；
5、磁体的磁场能给载流导线以力的作用；
6、载流导线之间有力的作用；
7、磁体的磁场能给载流线圈以力矩作用；
8、载流线圈之间有力的作用；
9、天然磁体能使电子束偏转。
安培指出：
n?I
N S
天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。
分子电流 (1822年 )
电荷的运动是一切磁现象的根源。
运动电荷 磁场对运动电荷有磁力作用磁 场二,磁感应强度电流（或磁铁） 磁场 电流（或磁铁）
磁场对外的重要表现为：
1、磁场对处于场中的运动电荷或载流导体有磁力作用
2、载流导体在磁场中移动时，磁力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。
B?
vqFB m ax 0?
方向,小磁针在该点的 N极指向单位,T(特斯拉 )
GT 4101? (高斯 )
大小,
磁力
+
v?
mF
磁感应强度
I
P.
三,毕奥 ---沙伐尔定律
1、稳恒电流的磁场电流元 lId? 20 s i n4 rI d ldB
170 104 T m A
r?
Bd?
3
0
4 r
rlIdBd?
lId?
对一段载流导线
L r
rlIdBdB
3
0
4
方向判断,的方向垂直于电流元 与 组成的平面,和 及 三矢量满足矢量叉乘关系。
Bd?
Bd?
lId?
lId? r?
r?
毕奥 -萨伐尔定律
2、运动电荷的磁场
q v
I
S
dl
电流 电荷定向运动电流元
2
00
4 r
rlIdBd
q nv SI?
2
00
4 r
)r,vs i n (qv
dN
dBB
载流子总数 n S d ldN?
lId?
其中电荷 密度 速率 截面积运动电荷产生的磁场
3
0
4 r
rvqB
同向与若 rvBq,0
q? v?
B?
r?
q? v?
B?
r?
反向与若 rvBq,0
XO
Y四,毕奥 ---沙伐尔定律的应用
1,载流直导线的磁场已知：真空中 I,?1,?2,a
建立坐标系 OXY
任取电流元 lId?
2
0 s i n4 rI dldB
204 rs i nI d ldBB
大小方向 0rlId
0r
r
Bd?
l
dl?
a P
1?
I 2?
2?
1
统一积分变量
a c t ga c t gl )(
dc s cadl 2?
s i nar?
22
2
0
4 s i n
ads i nI
a
s i n
204 r dls i nIB
21 si n4 0 dIa
)co s( c o s4 210 aIB
)c o s( c o s4 210 aI
XO
Y
a P
1?
I 2?
0r
r
Bd?
l
dl?
或,)s i n( s i n
4 12
0
a
IB
1）无限长载流直导线 21 0 aIB2 0?
2）半无限长载流直导线 21 2 aIB4 0?
3）直导线延长线上
2
0
4 r
s i nI d ldB?
0 0?dB 0?B I
B?
)co s( c o s4 210 aIB
B
O
p
R
I?Bd? Bd?
xBd?
0r?
X
Y
2,圆型电流轴线上的磁场
lId?
已知,R,I,求轴线上 P
点的磁感应强度。
建立坐标系 OXY
任取电流元 lId?
分析对称性、写出分量式
2
0
4 r
I d ldB
大小 方向 0rlId
0 BdB 2
0
4 r
s i nI d ldBB
xx
统一积分变量
204 rs i nI d ldBB xx
rRs i n
dlrIR304 RrIR 24 30
2322
2
0
2 )xR(
IR
结论
2322
2
0
2 )xR(
IRB
方向,右手螺旋法则大小：
x
O
p
R
I?Bd? Bd?
xBd?
0r?
X
Y
lId?
.1 BRx 3
2
0
2 x
IRB
2322
2
0
)(2 xR
IRB
R
IB
2
0
载流圆环载流圆弧
I
B?
B?
I?
0.2 Bx
22
0
R
IB
2?圆心角
圆心角练习求圆心 O点的 B?如图，
R
IB
4
0
OI R
R
IB
8
0
I
O?
R
R
I
R
IB
24
00
OR
I?
O
I
R
32?
)(R IR IB 2 316 00
例 1、无限长载流直导线弯成如图形状
AI 20? cma 4?
求,P,R,S,T四点的 B?
解,P点
TaI 50 10540
方向
ALLAR BBB
R点
ALLAp BBB
方向?
)c o s41( c o s4)43c o s0( c o s4 00 aIaI
T51071.1
a
I
a
a
I
A
R
L?
P
S T
L
S点
TBBB ALLAp 51007.7
)43c o s0( c o s4 0 aIB LA 方向?
)c o s43( co s4 0 aIB AL 方向?
T点
TBBB ALLAp 51094.2
)4c o s0( co s4 0 aIB LA 方向?
)c o s43( co s4 0 aIB AL 方向方向?
方向?
a
I
a
a
I
A
R
L?
P
S T
L
I
I
B
0
A
P
a
c
练习 求角平分线上的 pB?
已知,I,c
解：
)c o s( co s4 210 aIB AO
)]2co s(0[ c o s4 0 aI
)
2
cos1(
2
s i n4
0?
c
I
同理方向?
所以
OBAOp BBB
)
2
cos1(
2
s i n4
0?
c
I
B OB
)
2
c o s1(
2
s i n2
0?
c
I
方向?
例 3,氢原子 中电子绕核作圆周运动
r
v?
求,轨道中心处 B?
电子的磁矩 mp?
161020 ms.v
m.r 1010530
已知解,2 00
4 r
rvqB
0rv又
TrevB 134 20 方向
nISp m e
r
vI
2?
2rS
22310930
2
1 Am.v reISp
m
方向?
例 4,均匀带电圆环
q
B?
R
已知,q,R,圆环绕轴线匀速旋转。
求圆心处的 B?
解,带电体转动，形成运流电流。
22
T
qI
R
q
R
IB
42
00
例 5,均匀带电圆盘已知,q,R,圆盘绕轴线匀速旋转。
解,如图取半径为 r,宽为 dr的环带。
rd rdI r d r
rr
dIdB
22
00
q
R
r
dr
求圆心处的 B? 及圆盘的磁矩元电流
rd rdsdq 2 其中 2R
q
dqdqTdqdI 22
R rd rrrdIdBB 0 00 22
B?
q?
R
r
dr
R
qR
22
00
线圈磁矩 nISp
m
如图取微元 r d rrS d Idp m 2
4
4
0
2 Rrd rrdpp R
mm
方向,?
B?
一,磁力线 (磁感应线或 B? 线 )
方向：切线大小：
dS
dB m aaB
b
bB
c
cB
Chap7-5 磁通量 磁场中的高斯定理
I
直线电流的磁力线 圆电流的磁力线
I
通电螺线管的磁力线
I
I
1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭合电路互相套合，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。
2、任意两条磁力线在空间不相交。
3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右手定则表示。
S
S
BSm
dSc o sBSdBm dSc o sBSdBm
S
B?
n?
n?dS?
S
二、磁通量 —— 穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数
B?
B? B?
c o sBSSBm
n?dS?
三、磁场中的高斯定理
0 SdB
穿过 任意 闭合曲面的磁通量为零
S
B
SdBm
0 VS dVBd i vSdB
磁感应强度的散度磁场是无源场。
BBd i v
00 BBd i v 或高斯定理的微分形式
SBm
iS)ji( 23
S3?
021 SS
021 )RB(S
2
1 RBS
2,在均匀磁场 jiB 23
中，过 YOZ平面内面积为 S的磁通量。
XO
Y
Z
S n
B?R
O
1S
2S
B?
1,求均匀磁场中半球面的磁通量课堂练习例 2、两平行载流直导线
cmd 40?
cmr 202?
cmrr 1031
AII 2021
cml 25?
过图中矩形的 磁通量
AB
求 两线中点
l
3r1r 2r
1I
2I
d
A?
AB
解,I1,I2在 A点的磁场
22
10
21 d
IBB
T5100.2
TBBB A 521 100.4
方向?
l
3r1r 2r
1I
2I
r dr
d
如图取微元
B l d rSdBd m
)(22
2010
rd
I
r
IB
l d r
rd
I
r
Id rr
rmm
21
1
]
)(22
[ 2010
21
120
1
2110 ln
2ln2 rrd
rdlI
r
rrlI
wb61026.2
方向?
B?
一,安培环路定理静电场 0 ldE
I
rl
B?
rrIdlrI 222 00
1,圆形积分回路
IldB 0
dlrIldB 2 0
chap7— 6 磁场中的安培环路定理改变电流方向 IldB
0
磁 场 ldB
22 0 I?
2,任意积分回路
dlBldB c o s
dlrI co s2 0
rdrI2 0
IldB 0
.
d
B?
ld?r
I
3,回路不环绕电流,
0 ldB
安培环路定理说明：
电流取正时与环路成右旋关系如图 iIldB 0
)( 320 II
4I
1I
l
3I
2I
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭合曲线的线积分（也称 的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的 倍。即：
B?
iIldB 0
B?
0?
)( 3200 IIIldB i
环路所包围的电流
4I
1I
l
3I
2I
由 环路内外 电流产生由 环路内 电流决定
)( 3200 IIIldB i
位置移动
4I
1I
l
3I
2I
4I
1I
l
3I
2I
不变不变改变
0 ldE
静电场 稳恒磁场
i
iIldB 0?
0 SdB i
s
qSdE
0
1
磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场电场有保守性，它是保守场，或有势场电力线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场磁力线闭合、无自由磁荷磁场是无源场
I
R
二、安培环路定理的应用当场源分布具有 高度对称性 时，利用安培环路定理计算磁感应强度
1,无限长载流圆柱导体的磁场分布分析对称性 电流分布 —— 轴对称磁场分布 —— 轴对称已知,I,R
电流沿轴向，在截面上均匀分布
iIldB 0
Bd?
O P
1dS
2dS
1Bd
2Bd
的方向判断如下：B?
r
l
I
R
作积分环路并计算环流如图
B?
rBB d lldB?2
利用安培环路定理求
IldB 0
r
IB
2
0?
Rr?
IrB 02
0?
B?
r
2
20 rR
I?
作积分环路并计算环流如图
B?
rBB d lldB?2
利用安培环路定理求
IldB 0
2
0
2 R
IrB
Rr?
I
R
0?
I?
rB?
结论,无限长载流圆柱导体。已知,I,R
Rr
r
I
Rr
R
Ir
B
2
2
0
2
0
I
B?
B?R
I
2
0
B
RO r
讨论,长直载流圆柱面。已知,I,R
rBB d lldB?2
RrI
Rr
0
0
Rr
r
I
Rr
B
2
0
0
rRO
R
I
2
0 B
R
I
练习,同轴的两筒状导线通有等值反向的电流 I,
求 的分布。B?
1R
r II
2R
0,)1( 2 BRr
0,)3( 1 BRr
r
IBRrR
2,)2(
0
21
电场、磁场中典型结论的比较
r
IB
2
0?
rE 02
2
0
2 R
IrB
2
02 R
rE
0?E 0?B
外内内外
rE 02
r
IB
2
0?
rE 02
r
IB
2
0?
长直圆柱面电荷均匀分布 电流均匀分布长直圆柱体长直线已知,I,n(单位长度导线匝数 )
分析对称性管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
.,..,..,..,..,.
I
B?
2,长直载流螺线管的磁场分布
abB
计算环流
ba B d lldB 0co s
c
b B d l 2co s
ad B d l 2co s dc B d l?co s
n a b IldB 0
外内
0
0 nIB?
利用安培环路定理求 B?
B?...............
I
d
a b
c
已知,I,N,R1,R2
N—— 导线总匝数分析对称性磁力线分布如图作积分回路如图方向 右手螺旋
rR
1
R2
..
.
.,
.,
..,
..
..
..
...,.
..
..
.
..
.
....,.
I
.3,环形载流螺线管的磁场分布
..
B
rO
2R1R
计算环流利用安培环路定理求 B?
rBB d lldB?2
NIldB 0
外内
0
2
0
r
NI
B?
2121 RRRR、
nIB 0
12 R
Nn
rR
1
R2
..
.
.,
.,
..,
..
..
..
...
..
..
.
..
.
....,.
.,
已知：导线中电流强度 I
单位长度导线匝数 n I
分析对称性磁力线如图作积分回路如图
ab,cd与导体板等距
Bd?
d
ab
c
.,.,,..,.
4,无限大载流导体薄板的磁场分布
ba B d lldB 0co s
c
b B d l 2co s
计算环流
ad B d l 2co s dc cosB d l 0
cdBabB abB 2
IabnldB 0
20 nIB 板上下两侧为均匀磁场利用安培环路定理求 B?
d
ab
c
.,.,,..,.
两板之间两板外侧
nI
B
0
0
讨论,如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。
通有相反方向的电流。求磁场分布。
已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数 n
.,.,,..,.
20 nIB
练习：如图，螺绕环截面为矩形 AI 7.1?
匝1 0 0 0?N
外半径与内半径之比 6.112?RR
高 cmh 0.5?
I
导线总匝数求,1,磁感应强度的分布
2,通过截面的磁通量
h
2R
1R
解,1,NIrBB d lldB
02
rNIB 20?
1
20
0
ln
2
2
.2
2
1
R
R
r
N I h
h dr
r
NI
SdB
R
R
I
h
1R
2R
chap7— 7,8 磁场对载流导线的作用一,安培定律安培力,电流元在磁场中受到的磁力
BlIdFd 安培定律
s i nI d l BdF? )B,lIda r c s i n (
方向判断 右手螺旋
L BlIdFdF
载流导线受到的磁力大小
I
B×
Fd?
lId?
s i nB I d ldF?
取电流元 lId?
受力大小方向?
积分
L B I LB I d lF s i ns i n
结论?s inB L IF? 方向?
均匀磁场 中载流直导线所受安培力
I
B?
B?
I
0 0?f
BL If?ma x
2
3
2
B?
s i ns i n B I d ldfdf x
例,均匀磁场中任意形状导线所受的作用力
fd? lId?B I d ldf?受力大小方向如图所示建坐标系取分量
c o sc o s B I d ldfdf yc o sdldx?
s i ndldy?
积分 0 dyBIdff xx
abBIdxBIdff yy
取电流元 lId?
abBIf?
X
Y
O
a b
推论在均匀磁场中任意形状闭合载流线圈受合力为零练习 如图 求半圆导线所受安培力
B?
R
a b
c
I
B I Rf 2?
方向竖直向上
B?
I
解,dlBIdf
2?
L dff
dxxII 2 210?
d
LdII ln
2
210
例,求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线 ab的作用力。
已知,I1,I2,d,L
Ld
d
dx
x
II
2
210 L
x
d
ba
1I
2I
fd?
ldI?2
二、磁场对载流线圈的作用
222 B I lFF?
s in
1ld?
s i n12 lB I lFdMs i nISBs imBp?
nISp m
mp
.
)(cd
)(ba
n?
1l
2F
d?2F?
B?a
c
b
d1
F?
B?
n?2F?
2F
1F
2l
1l
I
BpM m
s i nmBpM?
如果线圈为 N匝 nN I Sp
m
讨论
,
B?
2F
2F
（ 1）
2
1F
1F
2F
2F
1F
1F
2F
2F
（ 2） 0
（ 3）
三,磁力的功
1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功,.,,.
.,,...
...
.
.
.
...,
I IB?
F?
l
x
xFA
xB I l
mI
2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功
BpM m
s i nBpM ms inI S B?
MddA dB I S s i n
)c o sBS(Id mId
21mm mIddAAmI
2
1
m
m
mIdA
.
.M? B
mp
d
21 s i nmm dBPMdA m
)c o s( c o s 21 BP m
BPBPW mmmc o s磁矩与磁场的相互作用能例,一半径为 R的半圆形闭合线圈，通有电流 I，线圈放在均匀外磁场 B中,B的方向与线圈平面成 300角，
如右图，设线圈有 N匝，问：
B?
060
（ 1）线圈的磁矩是多少？
（ 2）此时线圈所受力矩的大小和方向？
（ 3）图示位置转至平衡位置时，
磁力矩作功是多少？
解：（ 1）线圈的磁矩
nN I Sp m
pm的方向与 B成 600夹角
nRNI?22
060s i nBpM m?
mmm NINIA 12
022 60
22
c o sRBRBNI
可见，磁力矩作正功磁力矩的方向由 确定，为垂直于 B的方向向上。
即从上往下俯视，线圈是逆时针
Bp m
（ 2）此时线圈所受力矩的大小为
（ 3）线圈旋转时，磁力矩作功为
2
4
3 RN I B
2
4 RN I B
B?
060
一,磁介质的分类
BBB o
chap7— 9 磁场中的 磁介质磁介质 —— 能与磁场产生相互作用的物质磁化 —— 磁介质在磁场作用下所发生的变化
（ 1）顺磁质 （ 3）铁磁质
（ 2）抗磁质 （ 4）超导体
B根据 的大小和方向可将磁介质分为四大类
0BB0BB?
0BB? 0?B
附加磁场
0B
B
r r 0?
二,顺磁质与抗磁质的磁化分子磁矩 轨道磁矩自旋磁矩
—— 电子绕核的轨道运动
—— 电子本身自旋等效于圆电流 —— 分子电流
1、顺磁质及其磁化 分子的固有磁矩不为零 0?mp?
无外磁场作用时，由于分子的热运动，分子磁矩取向各不相同,
整个介质不显磁性。
分子磁矩
0 mp?
有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的作用，使分子磁矩转向外磁场的方向。
mp
0B
0BpM m
M?
分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，
顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。
0BB?
0B
B
2、抗磁质及其磁化 分子的固有磁矩为零 0 mp?
在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩电子绕核的轨道运动电子本身自旋 mp?
外磁场场作用下产生附加磁矩 mp
电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用。
抗磁性是一切磁介质共同具有的特性。 0
BB?
总与外磁场方向 反向定义,磁化强度 1 mA
V
pM m
三,磁化强度
Is—— 磁化电流
js—— 沿轴线单位长度上的磁化电流（磁化面电流密度）
s
sm
ssm jlS
lSj
V
pMMlSjSIp
sI
0I
磁化强度 M在量值上等于磁化面电流密度。
a b
cd
取如图所示的积分环路 abcda:
ssl IabjabMldM
磁化强度对闭合回路 L的线积分，等于穿过以
L为周界的任意曲面的磁化电流的代数和。
四,磁介质中的安培环路定理
1、磁化强度与磁化电流的关系
2,磁介质中的安培环路定理
L L sIIldB )(0
ldMIldB L
LL
00
LL
Ild)MB( 0
0
L
sL IldM
MBH
0?
定义 磁场强度
LL
IldH 0
在稳恒磁场中，磁场强度矢量沿任一闭合路径的线积分（即环流）等于包围在环路内各传导电流电流的代数和，而与磁化电流无关。
五、磁场强度、磁感应强度的关系
HM m
MBH
0?
HB
介质的磁导率介质的磁化率—m?
HB m
0
H)(B m 10
r?
r0
电介质中的高斯定理磁介质中的安培环路定理
S
iS qqSdE )(
'
0
1
L sL L
IIldB 00
ldMIldB L
LL
00
L
L IldM
B
)(
0?
MBH
0?
LL
IldH
S
S
S SdPqSdE
00
11
SS
qSdPE )( 0?
PED 0?
V eS dVSdD
E)(D e 01
EED r 0
称为相对电容率或相对介电常量 r
之间的关系EDP,、
)( er 1
EP e 0HM m
之 间的关系M,H,B
MBH
0?
PED 0?
H)(B m 10
)( mr 1
HHB r 0
r? 称为相对磁导率
r 0? 磁导率例 1 一环形螺线管，管内充满磁导率为 μ，相对磁导率为 μr的顺磁质。环的横截面半径远小于环的半径。
单位长度上的导线匝数为 n。
求：环内的磁场强度和磁感应强度
rHldHL?2 NI?
r
NIH
2?
nI?
HHB r 0
r
O
解：
例 2 一无限长载流圆柱体，通有电流 I,设电流 I
均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为 μ，柱外为真空。
求：柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。
解,I R
0?
I?
rH?
Rr?
rHldHL?2 I I
R
r
2
2
22 R
IrH
22 R
IrB
在分界面上 H 连续,B 不连续
Rr? IrH2
r
IH
2? r
IB
2
0?
I
R
0?
H?
r?
H
R r
R
I
2
O
B
R r
R
I
2
O
R
I
2
0
