电 流 磁 场电磁感应 感应电流
1831年法拉第闭合回路 变化m?
实验产生产 生问题的提出
Chap8 电磁感应 电磁场
chap8— 1 电磁感应定律一,法拉第电磁感应定律本章重点：
（ 1）电磁感应定律 — 动生、感生、自感、互感等
（ 2）磁场的能量
1、产生感应电流的几种情况
1） 磁棒插入或抽出线圈时，线圈中产生感生电流；
2） 通有电流的线圈替代磁棒，线圈中产生感生电流；
3） 两个位置固定的相互靠近的线圈，当其中一个线圈上电流发生变化时，也会在另一个线圈内引起电流；
4） 放在稳恒磁场中的导线框，一边导线运动时线框中有电流。
感应电流与 原电流本身无关,
而是与 原电流的变化有关 。 电磁感应当通过回路的磁通量变化时，回路中就会产生感应电动势。
2.线圈内磁场变化 S SdB
1.导线或线圈在磁场中运动
dt
d
i
导体回路中产生的感应电动势的大小，与穿过导体回路的磁通量对时间的变化率成正比。
dt
dk
i
感应电动势的方向楞次定律感应电动势 大小
dt
d
i
2、电磁感应定律在 t1到 t2时间间隔内通过导线任一截面的 感应电量
2
1
t
t
i dtIq dtdt
d
R
t
t
2
1
1
2
1
1?
d
R
)(
21
1
R
)( dtIdq i?
对 N匝线圈
dt
dN
i
dt
Nd )(
mN — 磁通链感应电流
dt
d
R
N
RI
i
i
二、楞次定律 (判断感应电流方向 )
闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化。
判断感应电流的方向：
感B
N
S
B?
iI
感B
B?
iIN
S
1、判明穿过闭合回路内原磁场的方向；
2、根据原磁通量的变化,
m
按照楞次定律的要求确定感应电流的磁场的方向；
3、按右手法则由感应电流磁场的方向来确定感应电流的方向。
反向与感 BBm
同向与感 BBm
i
a
b c
d
1l
2lh
x dx
例,无限长直导线 ts i nii?0?
共面矩形线圈 abcd
求,i?已知,1l 2l h
解,?
2
1
0
2
lh
h
dxl
x
i
ts i nh lhlnli 21002
dt
d m
i
t
h
lhli?
c o sln
2
2100
SdBm
I
V?
V?
V?
)(a )(b )(c )(d
在无限长直载流导线旁有相同大小的四个矩形线圈，分别作如图所示的运动。
判断回路中是否有感应电流。
0 0 0
0
思考已知,B=Kt,L V
SBt?c o s)(
t
BLx
dt
d
i?
2
1?
例 求回路中任一时刻的感应电动势解：
B LxLxB
2
1c o s
t
xLB
2
1
B
X
n?
i?
L L
t
BLx
dt
d
i?
2
1?
t
xLB
2
1
B LvLx K
2
1
2
1
LvKtKvtL )(
2
1)(
2
1 K L v t
例 tIi
m?c o s? 解：
y
分割成小面元 dS y d xdS?
y d x
x
i
SdBd
2
0?
x dx
o
Y
Xa b
ci
求导体回路的电动势
xba
y
b
c
)( xba
b
c
y
dxxba
b
c
x
iba
a
)(
2
0
t
a
ba
b
baI m
c o s]1ln[
2
0
y
x dx
o
Y
Xa b
ci
非静电力 动生电动势
G lv?
i?
a?
b?
一、动生电动势动生电动势是由于导体或导体回路在恒定磁场中运动而产生的电动势。
产生
chap8-2 动生电动势与感生电动势
B?
v?
a
b
++ +++动生电动势的成因导线内每个自由电子受到的洛仑兹力为
)( Bvef
它驱使电子沿导线由 a向 b移动。 f?
由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷,a 端出现过剩正电荷 。
非静电力电子受的静电力
EeF e
平衡时 fF
e
此时电荷积累停止,ab两端形成稳定的电势差。
洛仑兹力 是产生动生电动势的根本原因,
方向 a?b
在导线内部产生静电场 E?
B?
v?
a
b
++ +++
f?
eF
由电动势定义
ldE ki
BvefE k
运动导线 ab产生的动生电动势为
abki ld)Bv(ldE
动生电动势的公式
)( Bvef非静电力
kE
定义 为非静电场强一般情况
dl 上的动生电动势
ldBvd i )(?
整个导线 L上的动生电动势
Lii ld)Bv(d
导线是 曲线,磁场为 非均匀场 。
导线上各长度元 上的速度,各不相同dl v? B?
dt
d
i
m
bai ldBv )(?
均匀磁场非均匀磁场计算动生电动势分类方法平动转动例 已知,L,,B,v 求,?
ld)Bv(d
)c o s (dls i nvB 00 9090
dls i nBv
L dlBv s in
s i nB v L?
L
B?
v?
ld?
Bv
均匀磁场 平动解：
L
B?
v s i nB v L?
典型结论特例
B?v? B?
v?
0 B v L
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动。 已知：
求：动生电动势。
R
v?
B?
.R,B,v
a
b
0?i?
作辅助线，形成闭合回路
RBvab 2 半圆方向,ba?
解,方法一
Bv
ld)Bv(d
c o sdls i nvB 090?
2 2 dc o sv B R
RvB 2?
Rddl
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动。 已知：
求：动生电动势。,R,B,v
解,方法二
R
v?
B?
a
b ld?
d
方向,ba?
均匀磁场 转动例 如图，长为 L的铜棒在磁感应强度为 B?
的均匀磁场中，以角速度? 绕 O轴转动。
求：棒中感应电动势的大小和方向。
A
O
B?
A
O
B?
v?
解,方法一 取微元
l dl
ld)Bv(d
dlBlB v d l
LL ii dlBld 0
2
2
1 LB
方向 OA?
v?
方法二 作辅助线，形成闭合回路 OACO
S
m SdB
S
B d S
O A C OBS?
2
2
1 LB
C
dt
d
i
dt
dBL?2
2
1
2
2
1 LB
负号表示方向沿 AOCA OC,CA段没有动生电动势
A
O
B?
问题把铜棒换成金属圆盘，
中心和边缘之间的电动势是多少？
v?
例 一直导线 CD在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。
a b
I ld?l
Bv
ld)Bv(d
000 1 8 090
2 c o sdls i nl
Iv
dllvI2 0
baa ldlvI 2 0 a balnvI2 0
C D
解,方法一方向 CD?
非均匀磁场方法二
a b
I
C D
)O(E
F
X
S
SdB
作辅助线，形成闭合回路 CDEF
a
baIx ln
2
0
dt
d
i
dt
dx
a
baI )ln
2(
0
a
balnIv
2
0
方向 CD?
v?
baa x d rrI2 0
r
dr
思考
SdBd xdrrI2 0?
dt
d?
a b
I
C D
)O(E
F
Xv?
r
dr
dt
xdr
r
I
2
0
做法对吗？
dt
d
i
a b
I
c
A
B
C
v?
已知,I,a,b,c,v?
Li ldBv )(?
i?
求：
解（ 1）
i
例
ldBv
BC
)(
ldBv
AB
)(
ldBv
CA
)(
ldBv
ABi A B
)(?
dlvB
AB?
vc
a
Idlv
a
I
AB?
22
00
ldBv
CAi C A
)(?
CA dlBv 090c o s
a b
I c
A
B
C
v?
x
dx
X
o
ldBvd i B C )(?
ld?
dlvB )c o s (
a b
I c
A
B
C
v?
dlvB?c o s
dlvB
BCi B C?
c o s
s in
dxdl?
x
IB
2
0?
Bv
dlvB
BCi B C?
c o s
ba
a
dx
x
Iv
s in
c o s
2
0
s in
dxdl?
dxv c t g
x
Iba
a?
2
0
a
ba
b
I v c ln
2
0
i C Ai B Ci A Bi
a
ba
b
I v cvc
a
I ln
22
00
当然此题也可直接用电磁感应定律求之。
从上题中，我们可以作进一步的讨论：
B
I
二、感生电动势和感生电场
1、感生电动势由于磁场发生变化而激发的电动势电磁感应非静电力 洛仑兹力感生电动势动生电动势非静电力
G
N
S
2,麦克斯韦假设,
变化的磁场 在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，
称为 涡旋电场 或 感生电场 。记作 或感E
涡E
非静电力感生电动势 感生电场力
L
i ldE
涡?
由法拉第电磁感应定律
dt
d i
dt
d l d
L
涡
)(
S
Sddtd
S SdtB
由电动势的定义讨论
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S L
S?
S? 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率
t
B
SL SdtBldE
涡
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，
即感生电场是由变化的磁场产生的。
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率涡E
t
B
与 构成左旋关系。
涡E
t
B
3）
SL SdtBldE
涡
t
B
涡E
B?
td
Bd
感生电场电力线涡E
涡E
由静止电荷产生 由变化磁场产生线是“有头有尾”的，库E?
是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷感E
线是“无头无尾”的感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
0S SdE 涡 iS qSdE
0
1
库
SL SdtBldE
涡0 ldEL
库动生电动势 感生电动势特点磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的变化闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量变化原因由于 S的变化引起回路中? m变化非静电力来源感生电场力
Li ldBv SLi SdtBldE?
涡?
洛仑兹力由于 的变化引起回路中? m变化
B?
B?
t
B
R
3、感生电场的计算例 1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率 0 tB
求,圆柱内、外的 分布。涡E?
r
l S SdtBldE?
涡
l S c o sdStBc o sdlE 00 00涡
22 r
td
dBrE
涡 td
dBrE
2
涡
Rr? 解：
L
方向：逆时针方向
SL SdtBldE?
涡讨论负号表示涡E
dtdB与 反号
B)(?1 0?tddB则 0 涡E
涡E
与 L 积分方向切向同向
B)(?2 0?tddB则 0 涡E
td
dBrE
2
涡与 L 积分方向切向相反涡E?
B?
t
B
R
r
L
在圆柱体外，由于 B=0
L ldE 0 涡上于是 L? 0?
感E
L S SdtBldE
涡虽然 tB L? 上每点为 0，在 但在 S? 上则并非如此。
由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，
而柱体内
t
B
L?
rB?
R
0 tB?
Rr?
L? 0 tB?上故
S
S?
R
B?
22 R
td
dBrE
涡
td
dB
r
RE
2
2
涡
S SdtB
2
R
td
dB
L ldE 涡 2RtddB
方向：逆时针方向
t
B
L?
rB?
R
S
S?
R
td
dBr
2
Rr?
td
dB
r
R
2
2
Rr?
涡E
涡E
O R r
例 2 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
已知,方向如图,
求：
CD?
0 tBLh?、、
t
B
B?
h
L
C D
o
t
B
B?
h
L
C D
o
用法拉第电磁感应定理求解
CODC 所围面积为,hLS
2
1?
磁通量 SB
m
dt
dm
i
td
dBhL
2
1?
OCDO il d E
涡?
0 0CD?
O
D
D
C
C
Ol d E l d E l d E
涡 涡 涡
hL B21?
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向
0 tBB
o
a
b c
R
R
R
d
dt
dBS
o a b d o
obdoaboabdo SSS
62
1
2
3
2
1 2?RRR
dt
dB)RR( 22
124
3 ca?方向
L—— 自感系数，单位：亨利（ H）
一,自感由于 回路自身电流,回路的形状,或 回路周围的磁介质发生变化 时，穿过该回路自身的磁通量随之改变，从而在回路中产生感应电动势的现象。
I LI
1.自感现象
I磁通链数
chap8-3 自感和互感
1) L的意义：
LI
自感系数与自感电动势自感系数在数值上等于回路中通过单位电流时，通过自身回路所包围面积的磁通链数。
若 I = 1 A，则L
L的计算
IL
2)自感电动势若回路几何形状、尺寸不变，周围介质的磁导率不变
dt
d
L
dt
)LI(d
dt
dLI
dt
dIL
0?dtdL dt
dIL
L
讨论,
2,L的存在总是阻碍电流的变化，所以自感电动势是反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。
方向相同与则若 IdtdI,LL,0:0.1
方向相反与则若 IdtdI,LL,0:0
dt
dIL
L
二,互感应
2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数 (M)
因两个载流线圈中电流变化而在对方线圈中激起感应电动势的现象称为互感应现象。
1、互感现象若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，
周围无铁磁性物质。实验指出：
12? 21?2I1I
21212 IM12121 IM
实验和理论都可以证明：
MMM 2112 12? 21?
2I1I
2） 互感电动势：
dt
dIM
dt
d 212
12
dt
dIM
dt
d 121
21
互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度。
互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电动势的大小。
互感系数的物理意义中在 212 dtdIM
1 2?dtdI若 M?12?则有
S
l
μ
例 1,试计算长直螺线管的自感。
已知：匝数 N,横截面积 S,长度 l,磁导率?
自感的计算步骤：
IldHL HB S SdBNN LI
H? B L
S
l
μ
IlNnIH
I
l
NHB
S
l
NIBSSdB
S
Sl INN
2?
VnlS
l
N
IL
2
2
2
H? B L
单位长度的自感为：
例 2 求一无限长同轴传输线单位长度的自感,
已知,R1,R2
r
IB
r
IH
22
drrIlSdBd 2
212 RR rdrIl )RRl n(Il
1
2
2?
)RRl n (lLL o
1
2
2?
II
2R
1R
dr
l
r
)RRl n (lL
1
2
2?
例 3 求一环形螺线管的自感。已知,R1,R2,h,N
l NIldH
NIrH 2
r
NIH
2 r
NIB
2
hd r
r
NISdBd
2
h
2R
1R
r dr
I
hd rrNISdBd 2
212 RR rdrN I hd
)
R
Rl n (N I h
1
2
2?
)l n (
1
2
2
2 R
RIhNN
)
R
Rl n(hN
I
L
1
2
2
2?
h
2R
1R
r dr
例 1 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。
已知,?0,N1,N2,l,S 求：互感系数
1222 BH
2
2
222 Il
NInH
2
2
0202 Il
NHB
SIlNSBSdB 220212
l
SINNN 2210
12112
lSl NNIM 2 210
2
12
2N
1N
S
0?
l
称 K 为耦合系数耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数小于一。
在此例中，线圈 1的磁通全部通过线圈 2，称为无 漏磁 。
在一般情况下
VnnM 210
VnLVnL 22022101
21 LLM
21 LLKM?
10 K
lSl NNIM 2 210
2
12
例 2,如图所示,在磁导率为?的均匀无限大磁介质中,
一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为 a,线圈共
N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数,
a b
l
解,设直导线中通有自下而上的电流 I,它通过矩形线圈的磁通链数为
s SdBN
a
balnN I ll d r
r
IN ba
a
22
a
baNl
IM
ln
2?
dr
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电流滋长过程：
chap8— 5 磁场能量
iRdtdiL 电池
BATTE
RY
L
R
一、自感线圈的能量 — 自感磁能
0 00 tI i R i d ti d tdtdiLdti 0 2221 R d tiLI
电源所作的功电源克服自感电动势所做的功电阻上的热损耗
2
2
1 LIW?
计算自感系数可归纳为三种方法
1.静态法,LI
dt
dIL
L
2
2
1 LIW?
2.动态法,
3.能量法,
二、磁场能量
12M 21M
2I1I
1L 2L
将两相邻线圈分别与电源相连，在通电过程中电源所做功线圈中产生焦耳热反抗自感电动势做功反抗互感电动势做功 互感磁能
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
自感磁能 互感磁能
1、互感磁能
2、磁场的能量磁场能量密度,单位体积中储存的磁场能量 wm
螺线管特例,nIBnIHVnL 2
2
2
1 LIW? BH VVB)
n
B(Vn
2
1
2
1
2
1 222
BHHBVWw 212121 2
2
VV B H d Vw d VW 2
1
任意磁场 B H d Vw d VdW
2
1
例 如图,求同轴传输线之磁能及自感系数
r
IB
r
IH
22,解
r l d rdV?2?
V V dVHw d VW 221?
r l d r)rI(R
R
2221 22
1?
)RRl n(lI
1
2
2
4?
WLI?221 )RRl n(lI
1
2
2
4?
)RRl n (lL
1
2
2?
2R
1R
l
r dr
1820年奥斯特 电 磁
1831年法拉第 磁 电产生产生变化的电场 磁场变化的磁场 电场激发
chap8-6 位移电流 麦克斯韦方程组包含电阻、电感线圈的电路,电流是连续的,
R
LI I
电流的连续性问题,
包含有电容器的电路中电流是否连续?
一,位移电流
ER i
IldHl
在电流非稳恒状态下,安培环路定理是否正确?
对 面S
对 面S? 0
l ldH
矛盾
++
++
++
S
S?
II
l
电容器破坏了电路中传导电流的连续性。
+
+
+
+++
+
+
+
II
D?0q? 0q?
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷积累随时间变化。
S
QD 电位移通量 QDS
e
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
（或流出）极板的电流
dt
dDS
dt
d
dt
dQI e
若把最右端 电通量的时间变化率 看作为一种电流，那么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为 位移电流 。
定义
SSed SdtDSdDdtddtdI?
t
P
t
E
t
Dj
d?
0?
（位移电流密度）
dt
dDS
dt
d
dt
dQI e
变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
位移电流的方向位移电流与传导电流方向相同如放电时
q? D
t
D
D
反向
dI
cI
同向
D?
t
D
二、全电流定律全电流通过某一截面的全电流是通过这一截面的 传导电流,
运流电流 和 位移电流 的 代数和,
在任一时刻,电路中的全电流总是连续的,
在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立,
Sdl Sdt
DIIIldH?
00
全电流定律
Sl Sdt
DIldH?
0
SS
Sd
t
DSdj?
位移电流和传导电流一样，都能激发磁场传导电流 位移电流电荷的定向移动 电场的变化通过电流产生焦耳热 真空中无热效应传导电流和位移电流在激发磁场上是等效的
Sl i SdtBldE
iE
t
B
左旋
SL d SdtDldH
dH
t
D
右旋对称美
SL SdtDjldH?
SL SdtBldE?
dI涡E
VS dVSdD
0L ldE
0S SdB
静电场 稳恒磁场
SL SdjldH
变三、麦克斯韦方程组
1、电磁场的基本规律麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定理也适用于一般电磁场,所以,可以将电磁场的基本规律写成 麦克斯韦方程组 (积分形式 ):
SL SdtDjldH
VS dVSdD
0S SdB
SL SdtBldE?
jH
D?
0 B?
0 E?
麦克斯韦方程组 (微分形式 ):
t
DjH
D?
0 B?
t
BE
Maxwell方程组的科学价值
1）它完整地反映和概括了电磁场的运动规律，能推断和解释一切电磁现象，且逻辑体系严密数学形式简洁。
2）它预言了光的电磁本性，将光学和电磁学统 一起来。
3）电磁场是最简单的规范场，蕴藏着完美的对称结构 --
时空对称、电磁对称 --为相对论的产生提供了稚形。
4）它在技术上的应用促进了电子技术和生产力的高度发展，可以说近代一切电报、无线电、雷达、电视、电子计算机等 …… 都只不过是麦克斯韦方程的应用而已,
例 半径为 R,相距 l(l?R)的圆形空气平板电容器,两端加上交变电压 U=U0sin?t,求电容器极板间的,
(1)位移电流 ;
(2)位移电流密度的大小 ;
(3)位移电流激发的磁场分布 B(r),r为圆板的中心距离,
O O?
P
l
R
O O?
P
l
R
解,(1)由于 l?R,故平板间可作匀强电场处理,
l
UE?
根据位移电流的定义
dt
DSd
dt
dI e
d
2
0 Rdt
dE
l
ts i nU?0?
tc o sUl R 0
2
0?
平行板电容器的电容
l
RC 20
代入,可得同样结果,
(2)由位移电流密度的定义
t
E
t
DJ
d?
0?
或者 2RIJ
dd
tc o slUtUl 000
另解
dt
dUC
dt
CUd
dt
dQI
d
Rr?
2
1
1
rJSdJldH dS dL
tc o srlUrH 2001 2?
rtc o slUH?
2
00
1
101 HB
O O?
P
l
R
(3)因为电容器内?I=0,且磁场分布应具有轴对称性,
由全电流定律得
rtc o s
lc
U?
2
0
2
Rr?
2
2
2
RJIldH ddL
r
tc o s
l
UR
r
I
H d
1
22
0
2
0
2
202 HB
O O?
P
l
R
r
tc o s
lc
UR 1
2 2
0
2
电磁波的应用从 1888年 赫兹 用实验证明了电磁波的存在，
1895年 俄国科学家波波夫发明了 第一个无线电报系统 。
1914年 语音通信 成为可能。
1920年 商业 无线电广播 开始使用 。
20世纪 30年代 发明了 雷达 。
40年代 雷达和通讯得到飞速发展，
自 50年代第一颗人造卫星上天,卫星通讯事业得到迅猛发展。
如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、科学研究等诸多方面得到广泛的应用。
讨论题,试就以下几个方面比较传导电流与位移电流的异同
（ 1）本质 （ 2）与磁场的关系
（ 3）在其中能存在的物质种类
（ 4）热效应答 （ 1）传导电流是电荷的宏观定向移动； 位移电流是变化的电场产生的。
（ 2）二者都服从安培环路定理
（ 3）传导电流只存在于导体中；位移电流在导体、介质、真空中都可以存在。
（ 4）导体中的传导电流要产生热效应，服从焦耳 — 楞次定律。
位移电流在真空中无热效应。
1831年法拉第闭合回路 变化m?
实验产生产 生问题的提出
Chap8 电磁感应 电磁场
chap8— 1 电磁感应定律一,法拉第电磁感应定律本章重点：
（ 1）电磁感应定律 — 动生、感生、自感、互感等
（ 2）磁场的能量
1、产生感应电流的几种情况
1） 磁棒插入或抽出线圈时，线圈中产生感生电流；
2） 通有电流的线圈替代磁棒，线圈中产生感生电流；
3） 两个位置固定的相互靠近的线圈，当其中一个线圈上电流发生变化时，也会在另一个线圈内引起电流；
4） 放在稳恒磁场中的导线框，一边导线运动时线框中有电流。
感应电流与 原电流本身无关,
而是与 原电流的变化有关 。 电磁感应当通过回路的磁通量变化时，回路中就会产生感应电动势。
2.线圈内磁场变化 S SdB
1.导线或线圈在磁场中运动
dt
d
i
导体回路中产生的感应电动势的大小，与穿过导体回路的磁通量对时间的变化率成正比。
dt
dk
i
感应电动势的方向楞次定律感应电动势 大小
dt
d
i
2、电磁感应定律在 t1到 t2时间间隔内通过导线任一截面的 感应电量
2
1
t
t
i dtIq dtdt
d
R
t
t
2
1
1
2
1
1?
d
R
)(
21
1
R
)( dtIdq i?
对 N匝线圈
dt
dN
i
dt
Nd )(
mN — 磁通链感应电流
dt
d
R
N
RI
i
i
二、楞次定律 (判断感应电流方向 )
闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化。
判断感应电流的方向：
感B
N
S
B?
iI
感B
B?
iIN
S
1、判明穿过闭合回路内原磁场的方向；
2、根据原磁通量的变化,
m
按照楞次定律的要求确定感应电流的磁场的方向；
3、按右手法则由感应电流磁场的方向来确定感应电流的方向。
反向与感 BBm
同向与感 BBm
i
a
b c
d
1l
2lh
x dx
例,无限长直导线 ts i nii?0?
共面矩形线圈 abcd
求,i?已知,1l 2l h
解,?
2
1
0
2
lh
h
dxl
x
i
ts i nh lhlnli 21002
dt
d m
i
t
h
lhli?
c o sln
2
2100
SdBm
I
V?
V?
V?
)(a )(b )(c )(d
在无限长直载流导线旁有相同大小的四个矩形线圈，分别作如图所示的运动。
判断回路中是否有感应电流。
0 0 0
0
思考已知,B=Kt,L V
SBt?c o s)(
t
BLx
dt
d
i?
2
1?
例 求回路中任一时刻的感应电动势解：
B LxLxB
2
1c o s
t
xLB
2
1
B
X
n?
i?
L L
t
BLx
dt
d
i?
2
1?
t
xLB
2
1
B LvLx K
2
1
2
1
LvKtKvtL )(
2
1)(
2
1 K L v t
例 tIi
m?c o s? 解：
y
分割成小面元 dS y d xdS?
y d x
x
i
SdBd
2
0?
x dx
o
Y
Xa b
ci
求导体回路的电动势
xba
y
b
c
)( xba
b
c
y
dxxba
b
c
x
iba
a
)(
2
0
t
a
ba
b
baI m
c o s]1ln[
2
0
y
x dx
o
Y
Xa b
ci
非静电力 动生电动势
G lv?
i?
a?
b?
一、动生电动势动生电动势是由于导体或导体回路在恒定磁场中运动而产生的电动势。
产生
chap8-2 动生电动势与感生电动势
B?
v?
a
b
++ +++动生电动势的成因导线内每个自由电子受到的洛仑兹力为
)( Bvef
它驱使电子沿导线由 a向 b移动。 f?
由于洛仑兹力的作用使 b 端出现过剩负电荷,a 端出现过剩正电荷 。
非静电力电子受的静电力
EeF e
平衡时 fF
e
此时电荷积累停止,ab两端形成稳定的电势差。
洛仑兹力 是产生动生电动势的根本原因,
方向 a?b
在导线内部产生静电场 E?
B?
v?
a
b
++ +++
f?
eF
由电动势定义
ldE ki
BvefE k
运动导线 ab产生的动生电动势为
abki ld)Bv(ldE
动生电动势的公式
)( Bvef非静电力
kE
定义 为非静电场强一般情况
dl 上的动生电动势
ldBvd i )(?
整个导线 L上的动生电动势
Lii ld)Bv(d
导线是 曲线,磁场为 非均匀场 。
导线上各长度元 上的速度,各不相同dl v? B?
dt
d
i
m
bai ldBv )(?
均匀磁场非均匀磁场计算动生电动势分类方法平动转动例 已知,L,,B,v 求,?
ld)Bv(d
)c o s (dls i nvB 00 9090
dls i nBv
L dlBv s in
s i nB v L?
L
B?
v?
ld?
Bv
均匀磁场 平动解：
L
B?
v s i nB v L?
典型结论特例
B?v? B?
v?
0 B v L
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动。 已知：
求：动生电动势。
R
v?
B?
.R,B,v
a
b
0?i?
作辅助线，形成闭合回路
RBvab 2 半圆方向,ba?
解,方法一
Bv
ld)Bv(d
c o sdls i nvB 090?
2 2 dc o sv B R
RvB 2?
Rddl
例 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动。 已知：
求：动生电动势。,R,B,v
解,方法二
R
v?
B?
a
b ld?
d
方向,ba?
均匀磁场 转动例 如图，长为 L的铜棒在磁感应强度为 B?
的均匀磁场中，以角速度? 绕 O轴转动。
求：棒中感应电动势的大小和方向。
A
O
B?
A
O
B?
v?
解,方法一 取微元
l dl
ld)Bv(d
dlBlB v d l
LL ii dlBld 0
2
2
1 LB
方向 OA?
v?
方法二 作辅助线，形成闭合回路 OACO
S
m SdB
S
B d S
O A C OBS?
2
2
1 LB
C
dt
d
i
dt
dBL?2
2
1
2
2
1 LB
负号表示方向沿 AOCA OC,CA段没有动生电动势
A
O
B?
问题把铜棒换成金属圆盘，
中心和边缘之间的电动势是多少？
v?
例 一直导线 CD在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。
a b
I ld?l
Bv
ld)Bv(d
000 1 8 090
2 c o sdls i nl
Iv
dllvI2 0
baa ldlvI 2 0 a balnvI2 0
C D
解,方法一方向 CD?
非均匀磁场方法二
a b
I
C D
)O(E
F
X
S
SdB
作辅助线，形成闭合回路 CDEF
a
baIx ln
2
0
dt
d
i
dt
dx
a
baI )ln
2(
0
a
balnIv
2
0
方向 CD?
v?
baa x d rrI2 0
r
dr
思考
SdBd xdrrI2 0?
dt
d?
a b
I
C D
)O(E
F
Xv?
r
dr
dt
xdr
r
I
2
0
做法对吗？
dt
d
i
a b
I
c
A
B
C
v?
已知,I,a,b,c,v?
Li ldBv )(?
i?
求：
解（ 1）
i
例
ldBv
BC
)(
ldBv
AB
)(
ldBv
CA
)(
ldBv
ABi A B
)(?
dlvB
AB?
vc
a
Idlv
a
I
AB?
22
00
ldBv
CAi C A
)(?
CA dlBv 090c o s
a b
I c
A
B
C
v?
x
dx
X
o
ldBvd i B C )(?
ld?
dlvB )c o s (
a b
I c
A
B
C
v?
dlvB?c o s
dlvB
BCi B C?
c o s
s in
dxdl?
x
IB
2
0?
Bv
dlvB
BCi B C?
c o s
ba
a
dx
x
Iv
s in
c o s
2
0
s in
dxdl?
dxv c t g
x
Iba
a?
2
0
a
ba
b
I v c ln
2
0
i C Ai B Ci A Bi
a
ba
b
I v cvc
a
I ln
22
00
当然此题也可直接用电磁感应定律求之。
从上题中，我们可以作进一步的讨论：
B
I
二、感生电动势和感生电场
1、感生电动势由于磁场发生变化而激发的电动势电磁感应非静电力 洛仑兹力感生电动势动生电动势非静电力
G
N
S
2,麦克斯韦假设,
变化的磁场 在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，
称为 涡旋电场 或 感生电场 。记作 或感E
涡E
非静电力感生电动势 感生电场力
L
i ldE
涡?
由法拉第电磁感应定律
dt
d i
dt
d l d
L
涡
)(
S
Sddtd
S SdtB
由电动势的定义讨论
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S L
S?
S? 的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率
t
B
SL SdtBldE
涡
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，
即感生电场是由变化的磁场产生的。
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率涡E
t
B
与 构成左旋关系。
涡E
t
B
3）
SL SdtBldE
涡
t
B
涡E
B?
td
Bd
感生电场电力线涡E
涡E
由静止电荷产生 由变化磁场产生线是“有头有尾”的，库E?
是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷感E
线是“无头无尾”的感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
0S SdE 涡 iS qSdE
0
1
库
SL SdtBldE
涡0 ldEL
库动生电动势 感生电动势特点磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的变化闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量变化原因由于 S的变化引起回路中? m变化非静电力来源感生电场力
Li ldBv SLi SdtBldE?
涡?
洛仑兹力由于 的变化引起回路中? m变化
B?
B?
t
B
R
3、感生电场的计算例 1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率 0 tB
求,圆柱内、外的 分布。涡E?
r
l S SdtBldE?
涡
l S c o sdStBc o sdlE 00 00涡
22 r
td
dBrE
涡 td
dBrE
2
涡
Rr? 解：
L
方向：逆时针方向
SL SdtBldE?
涡讨论负号表示涡E
dtdB与 反号
B)(?1 0?tddB则 0 涡E
涡E
与 L 积分方向切向同向
B)(?2 0?tddB则 0 涡E
td
dBrE
2
涡与 L 积分方向切向相反涡E?
B?
t
B
R
r
L
在圆柱体外，由于 B=0
L ldE 0 涡上于是 L? 0?
感E
L S SdtBldE
涡虽然 tB L? 上每点为 0，在 但在 S? 上则并非如此。
由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，
而柱体内
t
B
L?
rB?
R
0 tB?
Rr?
L? 0 tB?上故
S
S?
R
B?
22 R
td
dBrE
涡
td
dB
r
RE
2
2
涡
S SdtB
2
R
td
dB
L ldE 涡 2RtddB
方向：逆时针方向
t
B
L?
rB?
R
S
S?
R
td
dBr
2
Rr?
td
dB
r
R
2
2
Rr?
涡E
涡E
O R r
例 2 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
已知,方向如图,
求：
CD?
0 tBLh?、、
t
B
B?
h
L
C D
o
t
B
B?
h
L
C D
o
用法拉第电磁感应定理求解
CODC 所围面积为,hLS
2
1?
磁通量 SB
m
dt
dm
i
td
dBhL
2
1?
OCDO il d E
涡?
0 0CD?
O
D
D
C
C
Ol d E l d E l d E
涡 涡 涡
hL B21?
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向
0 tBB
o
a
b c
R
R
R
d
dt
dBS
o a b d o
obdoaboabdo SSS
62
1
2
3
2
1 2?RRR
dt
dB)RR( 22
124
3 ca?方向
L—— 自感系数，单位：亨利（ H）
一,自感由于 回路自身电流,回路的形状,或 回路周围的磁介质发生变化 时，穿过该回路自身的磁通量随之改变，从而在回路中产生感应电动势的现象。
I LI
1.自感现象
I磁通链数
chap8-3 自感和互感
1) L的意义：
LI
自感系数与自感电动势自感系数在数值上等于回路中通过单位电流时，通过自身回路所包围面积的磁通链数。
若 I = 1 A，则L
L的计算
IL
2)自感电动势若回路几何形状、尺寸不变，周围介质的磁导率不变
dt
d
L
dt
)LI(d
dt
dLI
dt
dIL
0?dtdL dt
dIL
L
讨论,
2,L的存在总是阻碍电流的变化，所以自感电动势是反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。
方向相同与则若 IdtdI,LL,0:0.1
方向相反与则若 IdtdI,LL,0:0
dt
dIL
L
二,互感应
2、互感系数与互感电动势
1) 互感系数 (M)
因两个载流线圈中电流变化而在对方线圈中激起感应电动势的现象称为互感应现象。
1、互感现象若两回路几何形状、尺寸及相对位置不变，
周围无铁磁性物质。实验指出：
12? 21?2I1I
21212 IM12121 IM
实验和理论都可以证明：
MMM 2112 12? 21?
2I1I
2） 互感电动势：
dt
dIM
dt
d 212
12
dt
dIM
dt
d 121
21
互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度。
互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电动势的大小。
互感系数的物理意义中在 212 dtdIM
1 2?dtdI若 M?12?则有
S
l
μ
例 1,试计算长直螺线管的自感。
已知：匝数 N,横截面积 S,长度 l,磁导率?
自感的计算步骤：
IldHL HB S SdBNN LI
H? B L
S
l
μ
IlNnIH
I
l
NHB
S
l
NIBSSdB
S
Sl INN
2?
VnlS
l
N
IL
2
2
2
H? B L
单位长度的自感为：
例 2 求一无限长同轴传输线单位长度的自感,
已知,R1,R2
r
IB
r
IH
22
drrIlSdBd 2
212 RR rdrIl )RRl n(Il
1
2
2?
)RRl n (lLL o
1
2
2?
II
2R
1R
dr
l
r
)RRl n (lL
1
2
2?
例 3 求一环形螺线管的自感。已知,R1,R2,h,N
l NIldH
NIrH 2
r
NIH
2 r
NIB
2
hd r
r
NISdBd
2
h
2R
1R
r dr
I
hd rrNISdBd 2
212 RR rdrN I hd
)
R
Rl n (N I h
1
2
2?
)l n (
1
2
2
2 R
RIhNN
)
R
Rl n(hN
I
L
1
2
2
2?
h
2R
1R
r dr
例 1 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。
已知,?0,N1,N2,l,S 求：互感系数
1222 BH
2
2
222 Il
NInH
2
2
0202 Il
NHB
SIlNSBSdB 220212
l
SINNN 2210
12112
lSl NNIM 2 210
2
12
2N
1N
S
0?
l
称 K 为耦合系数耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数小于一。
在此例中，线圈 1的磁通全部通过线圈 2，称为无 漏磁 。
在一般情况下
VnnM 210
VnLVnL 22022101
21 LLM
21 LLKM?
10 K
lSl NNIM 2 210
2
12
例 2,如图所示,在磁导率为?的均匀无限大磁介质中,
一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为 a,线圈共
N匝,其尺寸见图示,求它们的互感系数,
a b
l
解,设直导线中通有自下而上的电流 I,它通过矩形线圈的磁通链数为
s SdBN
a
balnN I ll d r
r
IN ba
a
22
a
baNl
IM
ln
2?
dr
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电流滋长过程：
chap8— 5 磁场能量
iRdtdiL 电池
BATTE
RY
L
R
一、自感线圈的能量 — 自感磁能
0 00 tI i R i d ti d tdtdiLdti 0 2221 R d tiLI
电源所作的功电源克服自感电动势所做的功电阻上的热损耗
2
2
1 LIW?
计算自感系数可归纳为三种方法
1.静态法,LI
dt
dIL
L
2
2
1 LIW?
2.动态法,
3.能量法,
二、磁场能量
12M 21M
2I1I
1L 2L
将两相邻线圈分别与电源相连，在通电过程中电源所做功线圈中产生焦耳热反抗自感电动势做功反抗互感电动势做功 互感磁能
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
自感磁能 互感磁能
1、互感磁能
2、磁场的能量磁场能量密度,单位体积中储存的磁场能量 wm
螺线管特例,nIBnIHVnL 2
2
2
1 LIW? BH VVB)
n
B(Vn
2
1
2
1
2
1 222
BHHBVWw 212121 2
2
VV B H d Vw d VW 2
1
任意磁场 B H d Vw d VdW
2
1
例 如图,求同轴传输线之磁能及自感系数
r
IB
r
IH
22,解
r l d rdV?2?
V V dVHw d VW 221?
r l d r)rI(R
R
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1
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1
2
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2R
1R
l
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1820年奥斯特 电 磁
1831年法拉第 磁 电产生产生变化的电场 磁场变化的磁场 电场激发
chap8-6 位移电流 麦克斯韦方程组包含电阻、电感线圈的电路,电流是连续的,
R
LI I
电流的连续性问题,
包含有电容器的电路中电流是否连续?
一,位移电流
ER i
IldHl
在电流非稳恒状态下,安培环路定理是否正确?
对 面S
对 面S? 0
l ldH
矛盾
++
++
++
S
S?
II
l
电容器破坏了电路中传导电流的连续性。
+
+
+
+++
+
+
+
II
D?0q? 0q?
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷积累随时间变化。
S
QD 电位移通量 QDS
e
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
（或流出）极板的电流
dt
dDS
dt
d
dt
dQI e
若把最右端 电通量的时间变化率 看作为一种电流，那么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为 位移电流 。
定义
SSed SdtDSdDdtddtdI?
t
P
t
E
t
Dj
d?
0?
（位移电流密度）
dt
dDS
dt
d
dt
dQI e
变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
位移电流的方向位移电流与传导电流方向相同如放电时
q? D
t
D
D
反向
dI
cI
同向
D?
t
D
二、全电流定律全电流通过某一截面的全电流是通过这一截面的 传导电流,
运流电流 和 位移电流 的 代数和,
在任一时刻,电路中的全电流总是连续的,
在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立,
Sdl Sdt
DIIIldH?
00
全电流定律
Sl Sdt
DIldH?
0
SS
Sd
t
DSdj?
位移电流和传导电流一样，都能激发磁场传导电流 位移电流电荷的定向移动 电场的变化通过电流产生焦耳热 真空中无热效应传导电流和位移电流在激发磁场上是等效的
Sl i SdtBldE
iE
t
B
左旋
SL d SdtDldH
dH
t
D
右旋对称美
SL SdtDjldH?
SL SdtBldE?
dI涡E
VS dVSdD
0L ldE
0S SdB
静电场 稳恒磁场
SL SdjldH
变三、麦克斯韦方程组
1、电磁场的基本规律麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定理也适用于一般电磁场,所以,可以将电磁场的基本规律写成 麦克斯韦方程组 (积分形式 ):
SL SdtDjldH
VS dVSdD
0S SdB
SL SdtBldE?
jH
D?
0 B?
0 E?
麦克斯韦方程组 (微分形式 ):
t
DjH
D?
0 B?
t
BE
Maxwell方程组的科学价值
1）它完整地反映和概括了电磁场的运动规律，能推断和解释一切电磁现象，且逻辑体系严密数学形式简洁。
2）它预言了光的电磁本性，将光学和电磁学统 一起来。
3）电磁场是最简单的规范场，蕴藏着完美的对称结构 --
时空对称、电磁对称 --为相对论的产生提供了稚形。
4）它在技术上的应用促进了电子技术和生产力的高度发展，可以说近代一切电报、无线电、雷达、电视、电子计算机等 …… 都只不过是麦克斯韦方程的应用而已,
例 半径为 R,相距 l(l?R)的圆形空气平板电容器,两端加上交变电压 U=U0sin?t,求电容器极板间的,
(1)位移电流 ;
(2)位移电流密度的大小 ;
(3)位移电流激发的磁场分布 B(r),r为圆板的中心距离,
O O?
P
l
R
O O?
P
l
R
解,(1)由于 l?R,故平板间可作匀强电场处理,
l
UE?
根据位移电流的定义
dt
DSd
dt
dI e
d
2
0 Rdt
dE
l
ts i nU?0?
tc o sUl R 0
2
0?
平行板电容器的电容
l
RC 20
代入,可得同样结果,
(2)由位移电流密度的定义
t
E
t
DJ
d?
0?
或者 2RIJ
dd
tc o slUtUl 000
另解
dt
dUC
dt
CUd
dt
dQI
d
Rr?
2
1
1
rJSdJldH dS dL
tc o srlUrH 2001 2?
rtc o slUH?
2
00
1
101 HB
O O?
P
l
R
(3)因为电容器内?I=0,且磁场分布应具有轴对称性,
由全电流定律得
rtc o s
lc
U?
2
0
2
Rr?
2
2
2
RJIldH ddL
r
tc o s
l
UR
r
I
H d
1
22
0
2
0
2
202 HB
O O?
P
l
R
r
tc o s
lc
UR 1
2 2
0
2
电磁波的应用从 1888年 赫兹 用实验证明了电磁波的存在，
1895年 俄国科学家波波夫发明了 第一个无线电报系统 。
1914年 语音通信 成为可能。
1920年 商业 无线电广播 开始使用 。
20世纪 30年代 发明了 雷达 。
40年代 雷达和通讯得到飞速发展，
自 50年代第一颗人造卫星上天,卫星通讯事业得到迅猛发展。
如今电磁波已在通讯、遥感、空间控测、军事应用、科学研究等诸多方面得到广泛的应用。
讨论题,试就以下几个方面比较传导电流与位移电流的异同
（ 1）本质 （ 2）与磁场的关系
（ 3）在其中能存在的物质种类
（ 4）热效应答 （ 1）传导电流是电荷的宏观定向移动； 位移电流是变化的电场产生的。
（ 2）二者都服从安培环路定理
（ 3）传导电流只存在于导体中；位移电流在导体、介质、真空中都可以存在。
（ 4）导体中的传导电流要产生热效应，服从焦耳 — 楞次定律。
位移电流在真空中无热效应。
