5—6,7 静电场的环路定理 电势
r
drr?
c
ld?
c?
E?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA?c o s00
drdlc o s其中
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则与路径无关
q
ar
br
dr
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0
一．电场力做功推广 b
a
nab ld)EEE(qA
210
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
02010
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21
(与路径无关 )
结论试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
a cb adb
ldEqldEq 000
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00?q 0ldE
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
a c b bda
ldEqldEqldEqA 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 b
a
ab ldEqA
0 ba WW
0W取?
a
aa ldEqAW
0
E?Wa属于 q0及 系统试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意三、电势能保守力的功 =相应势能的减少所以 静电力的功 =对应电势能的减少
a
a
a ldEq
Wu
0
定义 电势差 电场中任意两点 的电势之差（电压）
ba uu?
a b
baab ldEldEuuu
b
a
ldE
a
a ldEqW
0
四、电势 电势差单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移到 b时，电场力所做的功。
定义 电势将电荷 q从 a?b电场力的功
b
a
ldEq
0baab WWA )(0 ba uuq
注意
1、电势是相对量，电势零参考位置的选择具有任意性。
2、电势 参考位置选择的一般原则：
一是电势表达式要有意义；
一是电荷分布在有限区域时，通常选择无穷远处为电势的零参考位置。
3、两点间的电势差与电势零点选择无关。
1,点电荷电场中的电势
r
q P?0r
如图 P点的场强为 02
04
rrqE?
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44
由电势定义得对称性 以 q为球心的同一球面上的点电势相等五、电势的计算根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理若场源为 q1,q2qn的点电荷系场强电势
nE.,,.,,,EEE
21
P P
n ldEEEldEu
)( 21
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
P P
n
P
ldE.......ldEldE
21
由电势叠加原理,P的电势为点电荷系的电势
i
i
i r
quu
04
rdqduu
04
连续带电体的电势由电势叠加原理
dq P?r
1r
1q
2q
nq?
P2r
nr
根据已知的场强分布，按定义计算
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
P
P ldEu
电势计算的两种 方法,
例 1,求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P
由叠加原理
lrc o s12 lrr 221 rrr?
2
0
c o s
4 r
lqu?
222 yxr
22
c o s
yx
x
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
X
Y
Z
O
R
dl
r
Px
例 2,求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04
r
dl
04
R
P r
R
r
dlduu?
2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
方法二 定义法由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布 Rr?
Rr?
E
2
04 r
q
0
P
ldEu
由定义
R
r R
ldEldEu
R
dr
r
q
2
04
0
R
q
04
r
drrqu 2
04
r
q
04
O
R
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
课堂练习,1.求等量异号的同心带电球面的电势差已知 +q,-q,RA,RB
AR
BR
q?q?解,由高斯定理
ARr? BRr?
2
04 r
q
BA RrR
E
0
由电势差定义
BAAB uuu
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020
X
例 4、两根均匀带等量异性电荷的平行直导线线密度为?，半径为 a，两线中心轴线间的距离为 d，求两导线间的电压。（ d>>a）
-?
已知,ad,,?
求,
2.1U
“1”,2”
解,建立坐标 OX
单根长直带电线的电场
r
r
E?
2 0
i
xd
i
x
xE?
)(2
2
)(
00?
d
a x
ad
a
ldEU
2.1
i
x
xE?
2
)(
0
ad
a
dx
xdx
0c o s
)(22 00
[ ]
a
ad
ad
a
a
ad?
ln)ln( ln
2 00
d
a x
“1”,2”
-?
Xixd?)(2 0
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 从? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()(
电势能 0108.28 7
00 WWA
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q,-q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc
R
q
06
0 oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
5—8 场强与电势的关系
P
P ldEu
一,等势面等势面,电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等
E?
a b
ld?
n?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE
dudlEc o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l
dl
duE
l
电场强度沿某一方向的分量沿该方向电势的变化率的负值
),,( zyxuu?一般
x
uE
x?
y
uE
y?
z
uE
z?
所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx
)( kzujyuixu
ug r a d uE
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x
2
322
0 )(4
1
xR
qx
0 zy EE
iEE x i
xR
qx?
2
322
0 )(4
1
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
(xxuE x )
)(4
1
2
322
0 yx
px
(yyuE y )
)(4
1
2
322
0 yx
px
l?
q?
r
x
y
q?
B?
O?
A
l
iypE
3
04
B点 (x=0)
ixpE
3
02
A点 (y=0)
本章小结：
1、静电场的基本规律是库仑定律。从库仑定律出发，
可以导出高斯定理和环路定理；环路定理是引进电势概念的先决条件；它们各自反映静电场性质的一个侧面，只有两者结合起来才全面地反映静电场的性质。
2、为了描述静电场的分布，引入了两个物理量－－电场强度和电势；前者是矢量，服从矢量叠加原理，后者是标量，服从标量叠加原理，两者之间的关系是微分和积分的关系。
r
drr?
c
ld?
c?
E?
b
a
保守力
dlEqldEqldFdA?c o s00
drdlc o s其中
b
a
E d rqA 0
Ed rqdA 0?则与路径无关
q
ar
br
dr
b
a
r
r ba
o )rr(
qqdr
r
qq 11
44 0
0
2
0
一．电场力做功推广 b
a
nab ld)EEE(qA
210
b
a
b
a
b
a
n ldEqldEqldEq
02010
i ibia
i
n )rr(
qqAAA 11
4 0
0
21
(与路径无关 )
结论试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
a cb adb
ldEqldEq 000
二、静电场的环路定理
a
bc
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
00?q 0ldE
q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
a c b bda
ldEqldEqldEqA 000
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的 环路定理静电场的两个基本性质,有源且处处无旋
b点电势能 bW
则 a?b电场力的功 b
a
ab ldEqA
0 ba WW
0W取?
a
aa ldEqAW
0
E?Wa属于 q0及 系统试验电荷 处于0q
a点电势能
aW
a
b
注意三、电势能保守力的功 =相应势能的减少所以 静电力的功 =对应电势能的减少
a
a
a ldEq
Wu
0
定义 电势差 电场中任意两点 的电势之差（电压）
ba uu?
a b
baab ldEldEuuu
b
a
ldE
a
a ldEqW
0
四、电势 电势差单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点 (电势零 )电场力所作的功
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 a点移到 b时，电场力所做的功。
定义 电势将电荷 q从 a?b电场力的功
b
a
ldEq
0baab WWA )(0 ba uuq
注意
1、电势是相对量，电势零参考位置的选择具有任意性。
2、电势 参考位置选择的一般原则：
一是电势表达式要有意义；
一是电荷分布在有限区域时，通常选择无穷远处为电势的零参考位置。
3、两点间的电势差与电势零点选择无关。
1,点电荷电场中的电势
r
q P?0r
如图 P点的场强为 02
04
rrqE?
P r
P r
qdr
r
qldEu
0
2
0 44
由电势定义得对称性 以 q为球心的同一球面上的点电势相等五、电势的计算根据电场叠加原理场中任一点的
2、电势叠加原理若场源为 q1,q2qn的点电荷系场强电势
nE.,,.,,,EEE
21
P P
n ldEEEldEu
)( 21
n
i
in uu..,..,uu
1
21
各点电荷单独存在时在该点电势的 代数和
P P
n
P
ldE.......ldEldE
21
由电势叠加原理,P的电势为点电荷系的电势
i
i
i r
quu
04
rdqduu
04
连续带电体的电势由电势叠加原理
dq P?r
1r
1q
2q
nq?
P2r
nr
根据已知的场强分布，按定义计算
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
P
P ldEu
电势计算的两种 方法,
例 1,求电偶极子电场中任一点 P的电势
l
Oq? q? X
Y
r
1r
2r
),( yxP?
210
12
2010
21 4
)(
44 rr
rrq
r
q
r
quuu
P
由叠加原理
lrc o s12 lrr 221 rrr?
2
0
c o s
4 r
lqu?
222 yxr
22
c o s
yx
x
其中
2
3
220 )(4
1
yx
pxu
X
Y
Z
O
R
dl
r
Px
例 2,求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知,R,q
解,方法一 微元法
r
dqdu
04
r
dl
04
R
P r
R
r
dlduu?
2
0 00 4
2
4
22
04 xR
q
方法二 定义法由电场强度的分布
2
322
0 )(4 Rx
qxE
p px x Rx
q x d xE d xu
2
322
0 )(4
Rr?Rr?
由高斯定理求出场强分布 Rr?
Rr?
E
2
04 r
q
0
P
ldEu
由定义
R
r R
ldEldEu
R
dr
r
q
2
04
0
R
q
04
r
drrqu 2
04
r
q
04
O
R
例 3,求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 R,q
课堂练习,1.求等量异号的同心带电球面的电势差已知 +q,-q,RA,RB
AR
BR
q?q?解,由高斯定理
ARr? BRr?
2
04 r
q
BA RrR
E
0
由电势差定义
BAAB uuu
B
A
R
R BA
B
A
RR
qdr
r
qldE )11(
44 020
X
例 4、两根均匀带等量异性电荷的平行直导线线密度为?，半径为 a，两线中心轴线间的距离为 d，求两导线间的电压。（ d>>a）
-?
已知,ad,,?
求,
2.1U
“1”,2”
解,建立坐标 OX
单根长直带电线的电场
r
r
E?
2 0
i
xd
i
x
xE?
)(2
2
)(
00?
d
a x
ad
a
ldEU
2.1
i
x
xE?
2
)(
0
ad
a
dx
xdx
0c o s
)(22 00
[ ]
a
ad
ad
a
a
ad?
ln)ln( ln
2 00
d
a x
“1”,2”
-?
Xixd?)(2 0
V
r
qu 2
0
1 108.28
4
4
r
O
2q1q
4q 3q
课堂练习,已知正方形顶点有四个等量的电点荷
r=5cm
C9100.4
① 求
② 将
③ 求该过程中电势能的改变
ou
cq 90 100.1 从? 0 电场力所作的功
JquuqA 720000 108.28)108.280()(
电势能 0108.28 7
00 WWA
① 求单位正电荷沿 odc 移至 c,电场力所作的功
② 将单位负电荷由 O电场力所作的功?
2.如图已知 +q,-q,R
q?q?
RRR
0
d
a b c
)434(0
00 R
q
R
quuA
cooc
R
q
06
0 oO uuA
功、电势差、电势能之间的关系
b
a
babaab WWuuqldEqA )(
5—8 场强与电势的关系
P
P ldEu
一,等势面等势面,电场中电势相等的点组成的曲面
+
+
电偶极子的等势面等势面的性质
⑴ 等势面与电力线处处正交，
电力线指向电势降落的方向。
⑵ 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。
规定,场中任意两相临等势面间的电势差相等
E?
a b
ld?
n?
u
duu?二、场强与电势梯度的关系
)(co s duuudlEldE
dudlEc o s
单位正电荷从 a到 b电场力的功
dudlE l
dl
duE
l
电场强度沿某一方向的分量沿该方向电势的变化率的负值
),,( zyxuu?一般
x
uE
x?
y
uE
y?
z
uE
z?
所以
lE
方向上的分量在E? ld?
kEjEiEE zyx
)( kzujyuixu
ug r a d uE
gradu u?或u的梯度,
的方向与 u的梯度反向，即指向 u降落的方向E?
0ndn
duE
物理意义,电势梯度是一个 矢量,它的 大小 为电势沿等势面法线方向的变化率，它的 方向 沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
例 1,利用场强与电势梯度的关系,计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。
22
04
1)(
xR
qxuu
解,
)4 1(
22
0 xR
q
xx
uE
x
2
322
0 )(4
1
xR
qx
0 zy EE
iEE x i
xR
qx?
2
322
0 )(4
1
例 2,计算电偶极子电场中任一点的场强解：
2
322
0 )(4
1),(
yx
pxyxuu
(xxuE x )
)(4
1
2
322
0 yx
px
(yyuE y )
)(4
1
2
322
0 yx
px
l?
q?
r
x
y
q?
B?
O?
A
l
iypE
3
04
B点 (x=0)
ixpE
3
02
A点 (y=0)
本章小结：
1、静电场的基本规律是库仑定律。从库仑定律出发，
可以导出高斯定理和环路定理；环路定理是引进电势概念的先决条件；它们各自反映静电场性质的一个侧面，只有两者结合起来才全面地反映静电场的性质。
2、为了描述静电场的分布，引入了两个物理量－－电场强度和电势；前者是矢量，服从矢量叠加原理，后者是标量，服从标量叠加原理，两者之间的关系是微分和积分的关系。
