一、概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,211312t
322311 aaa 列标排列的逆序数为
,1011 3 2t
偶排列奇排列正号?
,负号?
.)1(
321 321
333231
232221
131211
pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二,n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).d e t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )d e t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21,1 t?
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa
从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4 3 2 1 t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnnt aaa 2211121
.2211 nnaaa
解例 3
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1 6 08541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnnt aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕例 5 设
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
证明,21 DD?
证 由行列式定义有
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
21
21
21
22221
11211
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
ababa
baaba
babaa
D
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaa
21
21
21
21 21
211
由于,2121 nppp n
所以
,1 2211
21
21
21 DaaaD
n
n
n
nppp
ppp
pppt
n
n
n
n pppn
nppp
ppp
pppt baaaD
21
21
21
21 21
212 1
n
n
n
nppp
ppp
pppt aaa?
21
21
21
211
故
1,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,
n
n
!n
三、小结思考题已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x
思考题解答解 含 的项有两项,即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
433422111 2 3 41 aaaat 443322111 aaaat?
,1 344332211 xaaaat
3433422111 2 3 4 21 xaaaat
.13?的系数为故 x
