一、对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa 11
例如
ba
ml bbabaa 11 ab
nml ccbbbaaa 111
nml ccabbbaa 111
b
a
a
b
二、对换与排列的奇偶性的关系定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
证明 设排列为
ml bbabaa 11
对换 与a b
ml bbbaaa 11
除 外，其它元素的逆序数不改变,b,a
ab ba
当 时，ba?
a b 的逆序数不变 ;经对换后 的逆序数增加 1,
经对换后 的逆序数不变,的逆序数减少 1.a b
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性,
设排列为 nml cbcbabaa 111
当 时，ba?
现来对换 与a,b
次相邻对换m
nml ccbbabaa 111
次相邻对换1?m
nml ccabbbaa 111
,111 nml cbcbabaa
次相邻对换12?m,
111 nml cacbbbaa
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,
ab
nml ccbbbaaa 111 a b
ab
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
npppt naaaD?21 211
定理 2 阶行列式也可定义为n
其中 为行标排列 的逆序数,t nppp?21
证明 由定理 1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列 (逆序数为 0),因此知推论成立,
证明 按行列式定义有
nnpppt aaaD?21 211
npppt naaaD?211 211记对于 D中任意一项,1 21 21 nnpppt aaa
总有且仅有 中的某一项1D,1 21 21 nqqqs naaa
与之对应并相等 ;反之,对于 中任意一项1D
,1 21 21 npppt naaa 也总有且仅有 D中的某一项
,1 21 21 nnqqqs aaa 与之对应并相等,于是 D与 1D
中的项可以一一对应并相等,从而,1DD?
定理 3 阶行列式也可定义为n
nn qpqpqpt aaaD?22111
其中 是两个 级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
nn qqq,ppp 2121 n t
例 1 试判断 和 655642312314 aaaaaa 662551144332 aaaaaa?
是否都是六阶行列式中的项,
解 655642312314 aaaaaa 下标的逆序数为
6102210431265t
所以 是六阶行列式中的项,655642312314 aaaaaa
662551144332 aaaaaa? 下标的逆序数为
84 5 2 3 1 6?t
所以 不是六阶行列式中的项,662551144332 aaaaaa?
例 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号,;)1( 651456423123 aaaaaa
.)2( 256651144332 aaaaaa
解 651456423123)1( aaaaaa
431265的逆序数为
012201t,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
,655642312314 aaaaaa?
行标排列 341562的逆序数为列标排列 234165的逆序数为
400301t
所以 前边应带正号,256651144332 aaaaaa
256651144332)2( aaaaaa
6400200t
例 3 用行列式的定义计算
n
n
D
n
0000
00001
00200
01000
!.1 2 21 nD nnn
221 nn
解 nnnnntn aaaaD 1,12,21,11
nnt 1211,!1 nt
nnnt 2121
1232nn
1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
npppt naaaD?21 211
nnpppt aaaD?21 211
nn qpqpqpt aaaD?22111
三、小结其中 是两个 级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
nn qqq,ppp 2121 n t
思考题证明 在全部 阶排列中,奇偶排列各占一半,
n2?n
思考题解答证 设在全部 阶排列中有 个奇排列,个偶排列,现来证,
n s t
ts?
将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以
s s
.ts?
若将 个偶排列的前两个数对换,则这 个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有
t t
.st?
故必有,ts?
