.
,
数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵 nmA?
.
,
,1
2
阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义
kA
kA
knk
mkkkAnm
一、矩阵秩的概念矩阵的秩
.
.)(
0
1
02
等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于
）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义
ARA
rAD
rD
kA
.
)(
子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵 AARAnm?
，对于 TA ).()( ARAR T?显有
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
而
.3)( BR
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
102
120
231
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0?,0?
.0,2 AR
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
.
,
梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA?
问题,经过变换矩阵的秩变吗？
,,~1 BRARBA?则若定理证二、矩阵秩的求法
).()(
BRAR
BA
则
，经一次初等行变换变为先证明：若
.0 )( rDrArAR 阶子式的某个，且设时，或当 BABA krrr iji
时，分三种情况讨论：当 BA ji krr
,.rr DDB 相对应的子式中总能找到与在
,rrrrrr kDDDDDD 或或由于
.)(0 rBRD r,从而因此行；行但不含第中含第）（
行；行和第中同时含第）（
行；中不含第）（
jiD
jiD
iD
r
r
r
3
2
1
.)(,0
)2(),1(
rBRDD
DB
rr
r
故子式对应的中与两种情形，显然对
，对情形 )3(
,? rrjijir DkDrkrkrrD
,0rD若
,
非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因 riAiD r
.)( rBR
,0rD若
).()( BRARBA?，则经一次初等行变换变为若
,AB 为也可经一次初等变换变又由于
.)(,0 rBRDD rr 也有则
).()( BRAR?因此
).()( ARBR?故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
).()(,BRARBA?也有经初等列变换变为设
,BA 经初等列变换变为设
).()(),~
(,
BRARBA
BA
则即经有限次初等变换变为若综上
,TT BA 经初等行变换变为则
),()( TT BRAR
),()(),()( TT BRBRARAR且
).()( BRAR
证毕初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr?
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
12812160
1179120
11340
41461
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
84000
84000
11340
41461
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
,的一个最高阶子式求 A
,3)(?AR?,3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A,403534 个 CC
阶梯形矩阵为的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA
的行阶梯形矩阵，考察 A
000
400
140
161
,3)(?BR?
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
110
502
523
116
522
.016
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
，阶可逆矩阵设 An
,0?A?,AA 的最高阶非零子式为?
,)( nAR?,~,EAEA 的标准形为单位阵故
.为满秩矩阵
，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数
.奇异矩阵为降秩矩阵例 5
4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA?
解 ),~,~(~ bABB?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从?
46063
33242
20842
11221
B
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
14 3rr?
10000
50000
01200
11221
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
24 3rr?
53?r
34 rr?
.3)(,2)( BRAR
三、小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T
思考题解答答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
即 0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故
