.,
)1(
),2,1;,2,1(
21
22221
11211
矩阵简称列矩阵行叫做列的数表行排成个数由
nmnm
aaa
aaa
aaa
A
n
mnjmianm
mnmm
n
n
ij
１ 矩阵的定义
.
.
.
,
复矩阵元素是复数的矩阵叫做实矩阵元素是实数的矩阵叫做列元素行第的第阵叫做矩的元素个数叫做矩阵其中
jiA
aAnm ij?
.
),()(
)1(
AAnm
aAaA
nm
ijij nm
也记作矩阵或式可简记为
.
)(;
21
2
1
行矩阵叫做只有一行的矩阵叫做列矩阵只有一列的矩阵
aaaA
a
a
a
A
n
m
２ 方阵 列矩阵 行矩阵
.,,)1( 阶方阵称为时当式对 nAnm?
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．
.,
).,,2,1;,,2,1(
,
,)()(
BABA
njmiba
bBaA
ijij
ijij
记作相等与矩阵那么就称矩阵即们的对应元素相等并且它是同型矩阵与如果
３ 同型矩阵和相等矩阵
４ 零矩阵 单位矩阵
.,O记作零矩阵元素都是零的矩阵称为
.,,
,1
Enn 简记作阶单位阵叫做阶方阵其余元素都是零的主对角线上的元素都是
.
,)(
,)(,)(
的和与称为矩阵加法定义为为两个同型矩阵设
BA
BAbaBA
bBaA
ijij nm
ij nmij nm
交换律结合律
５ 矩阵相加
).(
,)(,
),(),(
BABA
OAA
AAaAaA ijij
并规定从而有负矩阵的称为矩阵记设 ABBA
)()( CBACBA
).(
,
aAA
AAA
ij
规定为或的乘积记作与矩阵数运算规律
);()( AA;)( AAA
.)( BABA
６ 数乘矩阵
.
),,2,1;,,2,1(
,)(
,)(,)(
1
2211
ABC
njmi
babababac
cCnm
BAbBaA
s
k
kjiksjisjijiij
ij
nm
ij
ns
ij
sm
记作其中矩阵是一个的乘积与规定设
７ 矩阵相乘运算规律
);()( BCACAB?
);(),()()( 为数其中 BABAAB;)(
,)(
CABAACB
ACABCBA
.EAAAE nnmnmnmm
n阶方阵的幂
.
,,,,
,
111121
是正整数其中定义阶方阵是设
k
AAAAAAAA
nA
kk
.,
,)(,
为正整数其中 lk
AAAAA klk llklk
.)( BAAB kkk?一般地
８ 方阵的运算方阵的行列式
.d e t,
,
AAA
An
或记作的行列式阵叫做方的元素所构成的行列式阶方阵由运算规律
.;
,,,
BAAB
AA
nBA
n
则阶方阵为为数设转置矩阵
.,,AA
A
T记作的转置矩阵叫做阵到一个新矩的行换成同序数的列得把矩阵
.)(;)(;)(;)(
ABAB
AA
BABA
AA
TTT
TT
TTT
T
T
９ 一些特殊的矩阵对称矩阵
.,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设 AAAnA T?
反对称矩阵
.
,,
矩阵为反对称则称如果阶方阵为设 AAAnA T
幂等矩阵
.,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设 AAAnA?
正交矩阵
.
,,
正交矩阵为则称如果阶方阵为设 AEAAAAnA TT
对角矩阵
.,
,,
为对角矩阵则称素全为零其余元如果除了主对角线以外阶方阵为设
A
nA
对合矩阵
.,,2 为对合矩阵则称如果阶方阵为设 AEAnA?
上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．
下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．
伴随矩阵
.
21
22212
12111
的伴随矩阵叫做方阵方阵所构成的的各元素的代数余子式行列式
A
AAA
AAA
AAA
A
AA
nnnn
n
n
ij
.,EAAAAA伴随矩阵具有重要性质定义
.
,,
1A
AAA
矩阵记作的逆的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若
１０ 逆矩阵
.),
(
,,
的逆矩阵称为且矩阵秩的
、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵使如果存在矩阵阶方阵为设
AB
A
EBAAB
BnA
相关定理及性质
.0?AA 可逆的充分必要条件是方阵
.,1 AAAA
则可逆若矩阵
.)()(
);0(
1
)(;)(
11
11 11
AA
AAA
TT
.)(
,,
111 ABAB
ABBA
且也可逆那么都可逆与若同阶方阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
１１ 分块矩阵一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算典 型 例 题例１ 计算
n
n
nnn
nn
n
n
nnn
n
nn
1111
111
111
2
一、矩阵的运算解
111
111
111
1
2
n
n
n
n
n
n
nnn
nn
n
n
nnn
n
nn
1111
111
111
2
111
111
111
1
2
2
n
n
n
n
)1(
)1(
)1(
1
2
nnnn
nnnn
nnnn
n
.,,2 是幂等矩阵所以在此例中 AAA?
n
n
nn
nn
n
n
nnn
n
111
111
111
.0)(,
)(,
Af
AEf
dc
ba
A
并验证多项式的写成试将设
解
,)(
)(
2 bcadda
dc
ba
AEf
由此得
EbcadAdaAAf )()()( 2
例２
10
01
)(
)(
2
2
bcad
dc
ba
da
dbccdac
bdabbca
,00 00?
.0)(?Af即例３,)0( 的逆矩阵求 bcaddc
ba
解 方法一 用定义求逆阵
,
43
211?
xx
xxA设得由,1 EAA
二、逆矩阵的运算及证明
,10 01
43
21?
xx
xx
dc
ba
.1
,0
,0
,1
42
42
31
31
xdxc
xbxa
xdxc
xbxa
则有
.
,
,
,
4
3
2
1
bcad
a
x
bcad
c
x
bcad
b
x
bcad
d
x
解得
.11?
ac
bd
bcadA
注
.
,
元方程组矩阵的各列的同而常数项分别为单位个系数相实质上是求解的逆依定义求
n
nA
.,
,,
:
,""
的逆矩阵即可得的每一个元素去除最后用符号再将次对角元素调换其置位中的主对角元素调换其先将矩阵其做法是的方法两调一除求二阶矩阵逆矩阵可用
A
AA
A
.,bcadAdc baA
方法二
A 调换主对角元 次对角元调符号
ac
bd
去除用 A,1
ac
bd
A
.11?
ac
bd
bcadA
注 此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用．
ac
bd
分析
.,
,,
,,
),
(,.
,
1
11
1
1
交换律因为矩阵的乘法不满足而不能右乘即得乘这时将方程两边同时左程方可逆时才可解这个矩阵只有程可以不写出这个过是否可逆要先考察例如解关系的位置应注意已知矩阵与解矩阵方程时
A
BAXBAAXA
A
A
ABAX
X
.
,,,
均为可逆矩阵、
其中解矩阵方程
BA
CAXBBXABAX例4
矩阵方程 解
BAX 1
BAX 1
BCAX 11
BAX?
BXA?
CAXB?
.,
0
,,
的逆矩阵并求必为可逆矩阵证明阶可逆矩阵都是设
D
BC
A
DnBA?
证
.),0d et,0d et
,,(0d etd etd et
为可逆矩阵所以均可逆因为
DBA
BABAD
),2,1,(
,
2221
12111
jin
X
XX
XX
D ij
阶矩阵均为其中设例５
三、矩阵的分块运算
)(
0
0
0
22122111
1211
2221
12111
阶单位阵是 nE
E
E
XBXCXBXC
XAXA
XX
XX
BC
A
DD
,
,
,,
2212
2111
1211
EXBXC
OXBXC
OXAEXA
依矩阵相等的定义有
,,
,,
1
22
11
21
12
1
11
BXACBX
OXAX
从而得
.111
1
1
BACB
OAD故同理可得：;,)1( 1
111
1
BO
BCAAD
BO
CAD 则设
.,)2( 111
1
1
BCAA
BOD
OB
ACD 则设
:,DBA 对分块矩阵均可逆、设
.:)2(;)1(
.
,,
,
,,,,,
1
1
1
BACDA
DC
BA
X Y Z
EO
BAE
Z
DC
BA
Y
EAC
OE
X
nE
AnDCBA
证明求乘积并且阶单位阵是是非奇异的阶方阵都是设例 6
解 （１）根据分块矩阵的乘法，得
EO
BAE
DC
BA
EAC
OEX Y Z 1
1
EO
BAE
BACDO
BA 1
1
.1?
BACDO
OA
（２）由（１）可得
,11 BACDAB
ACDO
OAX Y Z?
,ZYXXY Z?
,1 ZX而
.1 BACDADC BA
第二章 测试题一、填空题 (每小题 4分，共 32分 )．
AA
AAnA
15
4
1
d et
,
3
1
d et,,.1
1
则为其伴随矩阵阶方阵为设
t
OABtBOA 则且阶方阵设,,
353
42
531
,3.2
13,.3 AEA 则已知
1
008
050
200
.4 AA 的逆矩阵矩阵
1
3112
5221
0011
0012
4.5
AA
A
的逆矩阵则阶矩阵设
1
2,032.6
A
EAAAn 则满足方程阶矩阵若
AAAA 32,1,.7 1且为三阶矩阵设
nAA 则设,
400
010
003
.8
.,,
,,A )6( 2
并求其逆可逆证明且阶方阵均为、设分二、
AB
EABBnB
四,(8分 )解下列矩阵方程．
.
021
102
341
010
100
001
100
001
010
X
五,(每小题 5分，共 20分 )求下列矩阵．
,
23
121 n?
;2,1
3
1
2
2?
.
,,)6(
可逆证明且阶实方阵设分三,AAAOAn T
;
5100
1310
1121
lim3
n
n?
六,(6分 )设 求,
,2,
321
011
324
BAABA
七,(每小题 3分,共 6分 )设 阶矩阵 的伴随矩阵为,证明：?A
;0,01AA 则若,2 1 nAA
,
100
010
01
4
n
A
B
n A
八,(每小题 5分，共 10分 )求下列矩阵的逆矩阵,;
10000
21000
00200
00031
00011
A,
11332
23210
10101
00082
00031
B
其中求设,,111 ABAPP九,(6分 )
.20 01,11 41?
BP
;
0081
0510
2100
.4 ;.3 ;4.2 ;31.1 2
Atn一、;
31613431
0212521
0010
002121
.5
1
A
;231.6 EA
测试题答案
.
400
010
003
.8 ;1 2 5.7
n
n
,321211 AEBEEBA二、
.
201
431
012
X四、
;,
23
12
,
23
12
.1
为奇数为偶数五,n
nEn;
63
21
42
.2
;
000
000
000
.3
.
100
010
01
.4
n
.
9122
692
683
B六、;
10000
21000
002100
0004141
0004143
.1
八、
.
21616712112
03132673
2161611272
000211
000234
.2
.6 8 46 8 3 2 7 3 22 7 3 1?
九、
