一、二次型及其标准形的概念
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
称为二次型,
的二次齐次函数个变量含有定义 nxxxn,,,1 21?;,称为是复数时当 fa ij 复二次型
.,称为是实数时当 fa ij 实二次型只含有平方项的二次型
2222211 nn ykykykf
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
都为二次型；
232221321 44,,xxxxxxf
为二次型的标准形,
323121321,,xxxxxxxxxf
1．用和号表示
nnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xaxaxaxxxf
1,131132112
22
222
2
11121
222
,,,
对二次型
,aa ijji?取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij则 于是
nn xxaxxaxaf 1121122111
.
1,
xxa jin
ji ij
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
nn xxaxxaxaf 1121122111
nn xxaxaxxa 2222221221
22211 nnnnnnn xaxxaxxa
)(
)(
)(
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
nnnnn
nn
nn
n
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
2211
2222121
1212111
21 ),,,(
.,为对称矩阵其中则二次型可记作 AAxxf T?
,,
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
记
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
2
1
21
22221
11211
21
,,,
三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，
就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在 一一对应 的关系．; 的矩阵叫做二次型对称矩阵 fA; 的二次型叫做对称矩阵 Af
,的秩的秩叫做二次型对称矩阵 fA
解,a,a,a 321 332211
,aa 22112,aa 03113
.aa 33223
.
330
322
021
A
.
6432
3221
2
3
2
2
2
1
的矩阵写出二次型
xxxxxxxf例１
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
2211
22221212
12121111
,
,
设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
),( cC ij?记 记作则上述可逆线性变换可
Cyx?
Axxf T?
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA?
TTT ACCB?
有将其代入,Axxf T
.yACCy TTCyACy T?
,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T
,ACCB T,ARACRBR
,11 BCCA T?又,1 BRBCRAR
.BRAR
即 为对称矩阵,B
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy
就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 APPAPP
PA
T
化为标准形使正交变换总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,
,2222211 nn yyyf
,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C
记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
的标准形则得作正交变换解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
1442
4142
2217
A
1442
4142
2217
EA
918 2
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 2
从而得特征值,18,9 321
得基础解系代入将,091 xEA
2．求特征向量
得基础解系代入将,01832 xEA
,)0,1,2(2 T?,)1,0,2(3 T?
3．将特征向量正交化
,11 取
.)1,1,21(1 T
,22
,,
,
2
22
32
33
得正交向量组
.)1,54,52(3 T?
,)0,1,2(2 T?,)1,1,21(1 T
,3,2,1, i
i
i
i?
令得
,
0
51
52
2
,
32
32
31
1
,
455
454
452
3
.
455032
4545132
4525231
P 所以
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
于是所求正交变换为
,
455032
4545132
4525231
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.18189 232221 yyyf且有解例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
二次型的矩阵为
,
0111
1011
1101
1110
A
它的特征多项式为
.
111
111
111
111
EA
有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,
111
111
111
1111
)1(
EA
有四行分别减去第一行三把二,,,
1000
2120
2210
1111
)1(
EA
12
21)1( 2
.)1()3()32()1( 322
.1,3 4321的特征值为于是 A
,0)3(,31 xEA解方程时当?
,
1
1
1
1
1
得基础解系,
1
1
1
1
2
1
1
p单位化即得
,0)(,1432 xEA解方程时当
,
1
1
1
1
,
1
1
0
0
,
0
0
1
1
232
可得正交的基础解系单位化即得
21
21
21
21
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
432
ppp
于是正交变换为
y
y
y
y
x
x
x
x
4
3
2
1
4
3
2
1
2121021
2121021
2102121
2102121
.3 24232221 yyyyf 且有五、小结
1,实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过 在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2,实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法 —— 拉格朗日配方法,
化为标准型，并指出 表示何种二次 1,,321?xxxf
曲面,
323121
2
3
2
2
2
1
321
662355
,,
xxxxxxxxx
xxxf
求一正交变换，将二次型思考题思考题解答
,
333
351
315
A二次型的矩阵为解
),9)(4()d e t ( EA可求得
,9,4,0 321的特征值为于是 A
.
1
1
1
,
0
1
1
,
2
1
1
321
ppp
对应特征向量为将其单位化得
,
62
61
61
1
1
1
p
p
q,
0
21
21
2
2
2
p
p
q
.
31
31
31
3
3
3
p
p
q
故正交变换为
,
3
1
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
.94 2322 yyf化二次型为
.1),,( 321 表示椭圆柱面可知?xxxf
