一、线性变换的矩阵表示式阶矩阵设 n ),,,,( 21
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A?
为中的变换定义其中 )(,
2
1
xTyR
a
a
a
n
ni
i
i
i?
),(,)( RxAxxT n,为线性变换则 T
那么为单位坐标向量设,,,,21 eee n?,
0
0
1
1
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
eA
nnnn
n
n
,
1
0
0
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
eA?
,
),,2,1( )( nieTeA iii即
.)(
,)(,
为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此
eTA
AxxTT
i
那么使如果一个线性变换反之
),,
,2,1()(,
n
ieTT ii
)(xT ]),,,[( 21 xeeeT n
)( 2211 exexexT nn
)()()( 2211 eTxeTxeTx nn
xeTeTeT n ))(,),(),(( 21
xn ),,,( 21,Ax?
其中表示都可用关系式中任何线性变换
,
)()(
,
RxAxxT
TR
n
n
))(,),(),(( 21 eTeTeTA n,
21
22221
11211
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
.,,,21 为单位坐标向量eee n?
可知综上所述,
,
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaaT
aaaT
aaaT
二、线性变换在给定基下的矩阵定义１ 设 是线性空间 中的线性变换，在中取定一个基,如果这个基在变换下的象为
nV nV
n,,,21?
T
T
其中
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
AT nn,,,,,,2121
上式,,,,,,,2121 nn TTTT记可表示为那末,就称为线性变换 在基 下的矩阵．
n,,,21A T
.)(,),(,1 唯一确定由基的象矩阵显然 nTTA?
,
),,,(),,,(
,,,,
,,,,
2121
21
21
需要满足什么条件呢变换那么下的象为在变换也就是说基的矩阵下在基是线性变换假设现在
T
AT
T
TA
nn
n
n
有设,,
1
in
i in
xV
)(?T )(
1
in
i i
xT
n
i ii
Tx
1
)(?
x
x
x
TTT
n
n
2
1
21 ))(,),(),((
,),,,(
2
1
21
x
x
x
A
n
n
.),,,(),,,(
2
1
21
2
1
21
x
x
x
A
x
x
x
T
n
n
n
n
即
.
,
为矩阵的线性变换是以变换并且所确定的变换上式唯一地确定了一个
AT
T
.由上式唯一确定为矩阵的线性变换以 TA
.
,
,
T
AA
TV n
个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在
.
,
一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下结论
:
),,,(),,,(
2
1
21
2
1
21
可知从关系式
x
x
x
A
x
x
x
T
n
n
n
n
,,,,21 下在基 n? ;
2
1
x
x
x
n
的坐标为
.)( )(
2
1
x
x
x
ATT
n
的坐标为有因此按坐标表示,
.)( AT?
.
,1,,,
,][
43
2
2
3
1
3
的矩阵求微分运算取基中在
D
pxpxpxp
xP
例1
解
,00000
,10001
,02002
,00303
43214
43213
43212
4321
2
1
pppppD
pppppD
ppppxpD
ppppxpD
在这组基下的矩阵为所以 D
.
0100
0020
0003
0000
A
.,
,][)
(][
],[,
上的一个线性空间构成数与多项式的乘法它对于多项式的加法和组成的集合记作式包括零多项的所有一元多项式中次数小于记作合上所有一元多项式的集实数域
R
xR
nxR
xRR
n
例2
.,
][:
][)(),())((
,][
微分变换这个变换也称为变换上的一个线性是则由导数性质可以证明定义变换中在线性空间
xR
xRxfxf
dx
d
xf
xR
n
n
n
则有的基为现取,,,,,1][ 12 xxxxR nn
,0)1(,1)(?x?,2)( 2 xx
,
下的矩阵为在基因此 xxx n 12,,,,1,
0000
1000
0200
0010
n
A xnx nn 21 )1()(
即变换平面的线性表示将向量投影到中在
,
,3 x O yTR例3
,)( jyixkzjyixT
.,,,)2(;,,,)1(
的矩阵求取基为的矩阵求取基为
Tkjiji
Tkji
解
,0
,
,
)1(
kT
jjT
iiT
.
000
010
001
),,(),,(
kjikjiT
即
,
,
,
)2(
jiT
jT
iT
.
000
110
101
),,(),,(
T即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．
同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵,
那么这些矩阵之间有什么关系呢？
三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明
,,,,;,,,2121 nn
定理１ 设线性空间 中取定两个基nV
由基 到基 的过渡矩阵为
,中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为和,那末
n,,,21? n,,,21?
nV
.1 APPB
P T
A B
于是nn TB,,,,,,2121
],,,[ 21 PT n
PT n,,,21
证明 Pnn,,,,,,2121
,,,,,,,2121 AT nn
BT nn,,,,,,2121
APn,,,21
APPn 121,,,
因为 线性无关,n,,,21
所以,APPB 1 证毕,
定理表明,与 相似，且两个基之间的过渡矩阵 就是相似变换矩阵．
B A
P
例４
.,
,
,
12
2221
1211
212
下的矩阵在基求下的矩阵为在基中的线性变换设
T
aa
aa
A
TV
,01 10),(),( 2112?
解
,01 10?
P即,
01
10 1?
P求得下的矩阵为在基于是 ),( 12T
01
10
01
10
2221
1211
aa
aaB
.
1112
2122?
aa
aa
01
10
1211
2221
aa
aa
).(,ARTTA 的秩就是则的矩阵是若
.,rnSTrT T?的维数为的核则的秩为若
.
,)(
的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换定义2
T
VTT n
.,,
987
654
321
,,3
132
3
21
下的矩阵在基求下的矩阵为在基的线性变换维线性空间已知
A
V例5
解 由条件知
987
654
321
),,(),,( 321321
3213
3212
3211
963)(
852)(
74 )(
即下的矩阵为在基因此 132,,
74)(
396)(
285)(
1321
1323
1322
从而有
.
174
396
285
B
给定了线性空间 的一组基以后,中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应．因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵．
nR nR
nnR?
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
四、小结的两个线性变换已知 22?R
22,, RXMXXSXNXT
11
11,
02
01 NM
.,,,22211211 下的矩阵在基试求 EEEEST?
思考题思考题解答
))(( 11EST?解 )()( 1111 ESET EMNE 1111
00
01
02
01
11
11
00
01
02
12,22
211211 EEE
同理可得
,2
20
01
))((
2211
121212
EE
EMNEEST
,
11
00
))((
2221
212121
EE
EMNEEST
,
11
00
))((
2221
222222
EE
EMNEEST
组基下的矩阵为在这所以 ST?
.
1120
1102
0001
0012
