线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．
１．映射一、线性变换的概念
).(,)(
),(
,,
,,
,,1
ATT
B
A
B
ABA
或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中任一如果对于设有两个非空集合定义
,)()( ATAT
变换的概念是函数概念的推广．
即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为变为把元素就说变换设
),(,
,
.,
,,)(,
AT
TA
TT
TTA
.)( BAT?显然
;
,,)1(
2121
21
TTT
V n
有任给
,,,)2( kTkTRkV n 都有任给
.,的线性变换到为从就称那么 mn UVT
满足如果变换的变换到是一个从性空间维线维和分别是实数域上的设定义
TUVT
mnUV
mn
mn
,,
,2
2．从线性空间 到 的线性变换Vn Um
,,
,,,2)(
下的象在变换代表元素或变换代表线性一般用黑体大写字母
TTT
BAT
说明
.)1( 组合的对应的变换线性变换就是保持线性
.,
,
中的线性变换称为线性空间自身的线性变换到其是一个从线性空间那么如果
V
VTVU
n
nnm?
３．从线性空间 到其自身的线性变换Vn
下面主要讨论线性空间 中的线性变换．Vn
,][ 3 中在线性空间 xP例1
,)1( 是一个线性变换微分运算 D
,][ 3012233 xPaxaxaxap
,23 1223 axaxaDp
,][ 3012233 xPbxbxbxbq
,23 1223 bxbxbDq
)]()()()[( 0011222333 baxbaxbaxbaD
)( qpD?从而
)()(2)(3 1122233 baxbaxba
)23()23( 12231223 bxbxbaxaxa;DqDp
)()( 012233 akxakxakxakDkpD
)23( 1223 axaxak
.kDp?
.,)( )2( 0 也是一个线性变换那么如果 TapT?
);()()( 00 qTpTbaqpT
).()( 0 pkTakkpT
.
,,1)()3( 11
性变换但不是线是个变换那么如果 TpT?
,1)(1 qpT
,211)()( 11 qTpT但
).()()( 111 qTpTqpT所以
.,
co ss i n
s i nco s
的几何意义说明平面上的一个变换确定由关系式
TTx Oy
y
x
y
x
T?
例2
解
,s i n
,co s
ry
rx记于是
y
xT?
c o ss in
s inc o s
yx
yx
c o ss ins inc o s
s ins inc o sc o s
rr
rr,
)s in (
)c o s (?
r
r
.
,
角转向旋把任一向量按逆时针方变换上式表明
T
x
y
o
p
p1
证明 设,,VxgVxf
则有dttgtfxgxfT x
a
dttgdttf xaxa
xgTxfT
例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间,在这个空间中变换是一个线性变换,
dttfxfT xa
V
xkfT
故命题得证,
证明则有E EE
V,设
dttkfxa tdtfk xa.xfkT?
. kEkkE
例４ 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）
：
是线性变换．
,,VE
V
E
所以恒等变换 是线性变换．E
证明
000000
设,,V 则有
,0000 kkk
所以零变换是线性变换．
例５ 线性空间 中的零变换,是线性变换．
00V O
证明,,,,,,3321321 Rbbbaaa
332211,,bababaTT
0,,3232211 bbaaba
0,,0,,32213221 bbbaaa
. TT 证毕,
例６ 在 中定义变换则 不是 的一个线性变换．
0,,,,3221321 xxxxxxT
3R
3RT
;,00.1 TTT
.
,,,,,,,.3 2121
亦线性相关则线性相关若
m
m
T
TT
;
,.2
2211
2211
mm
mm
TkTkTkT
kkk
则若二、线性变换的性质
.
,,,,,,,2121
不一定线性无关则线性无关若 mm TTT注意证明,,21 nVT设,,21 nV则有
,,2211 TT使 从而
2121 TT,21 nVTT
;21 nV因
11 kTk,1 nVTkT,1 nVk因由于,nn VVT?由上述证明知它对 中的线nV
线性运算封闭,故它是 的子空间．nV
.),
()(,4
的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换
T
VVTT nn
证明,,21 TS若,0,0 21 TT
则 2121 TTT 0? ;21 TS
,,1 RkS T若 则
0011 kkTkT,1 TSk
,对线性运算封闭因此 TS,nT VS?又
.的子空间是故 nT VS
.,
0,0.5
的核称为线性变换的子空间是的全体的使
TSV
TVST
Tn
nT
阶矩阵设有 n 例7 ),,,,( 21
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A?
为中的变换定义其中 )(,
2
1
xTyR
a
a
a
n
ni
i
i
i?
),(,)( RxAxxT n,为线性变换则 T
,,Rba n?设 则
)( baT? )( baA AbAa );()( bTaT
)(kaT )(kaA? kAa? ).(akT?
量空间所生成的向的象空间就是由又 nT,,,,21?
},,,
{)(
21
2211
Rxxx
xxxyRT
n
nn
n
.
0
间的解空就是齐次线性方程组的核?AxST T
三、小结要证一个变换 是线性变换，必须证 保持加法和数量乘法，即
, TTT. kTkT?
TT
若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．
T T
.,
)(
,,
3
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
并分析其几何意义的一个线性变换是试证明定义对任意的一个变换是设
R
a
a
a
a
a
a
R
a
a
a
R
思考题思考题解答
( 略) 证明
:几何意义
.
)(,
面镜子反射所成的象对于这就是平面作为一面镜子将x O y
.反射变换镜面变换 或者这个变换也称为
