.
,.
,,,21
个分量称为第个数第个数称为该向量的分量这维向量数组称为所组成的个有次序的数
iai
nn
aaan
i
n?
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
１ 向量的定义定义
a
a
a
a
n
n
2
1
,,即称为列向量维向量写成列的形式
aaaa
n
n
T,,,
,,
21
即称为行向量维向量写成行的形式向量的相等
),,2,1(
),,,(),,,,( 2121
nibaba
bbbbaaaa
ii
TT
n
T
n
T
则设零向量分量全为 0的向量称为零向量,
),,2,1(0 niaOa iT
),,2,1(,0 niaOa iT 中至少有一个不为负向量
).,,,(
,),,,(
21
21
aaaa
aaaaa
n
T
T
n
T
且的负向量记作向量向量加法
),,,(
:
),,,,(),,,,(
2211
2121
babababa
ba
bbbbaaaa
nn
TT
TT
n
T
n
T
的加法为与向量定义设
),,,( 2211 babababa nnTT
向量减法定义为
２ 向量的线性运算数乘向量
),,,(
,
,
21 akakakak
ak
n
T
T
定义为简称数乘向量称为向量的数量乘法的乘积与向量数向量加法和数乘向量运算称为向量的 线性运算,满足下列八条运算规则：;)1(加法交换律
);()()2(加法结合律;,)3( O有对任一个向量;)(
,,)4(
O
有存在负向量对任一个向量;1)5(;)()()6( kllk?数乘结合律;)()7( kkk数乘分配律
.)()8( lklk数乘分配律
.,,,1,,,为零向量为数维向量为其中 Olkn
除了上述八条运算规则,显然还有以下性质：
);,0(,0 )'1( 为任意数为数零其中 kOkOO;,0,)'2( OkOk 或者则或者若
.)'3( xx 有唯一解向量方程若干个同维数的列 （ 行 ） 向量所组成的集合叫做向量组,
定义
.
,,,,
,,,,
,,,,:
21
2211
21
21
这个线性组合的系数称为的一个线性组合称为向量组向量实数对于任何一组给定向量组
kkkA
akakak
kkk
aaaA
m
mm
m
m
３ 线性组合定义
.
,
,
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性表示由向量组能这时称向量的线性组合是向量组则向量使存在一组实数如果和向量给定向量组
A
bAb
akakakb
kkk
baaaA
mm
m
m
４ 线性表示定理
.),,,
,(),,,(
2
121
的秩的秩等于矩阵件是矩阵线性表示的充分必要条能由向量组向量
baa
aBaaaA
Ab
m
m
定义
.
,
.,
,,,
,:,,,:
2
121
两个向量组等价则称这能相互线性表示与向量组若向量组线性表示能由向量组则称向量组线性表示向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
BA
AB
ABbb
bBaaaA
s
m
定义
.,
,0
,,,,
,,,,,
2211
21
21
否则称它线性无关是线性相关的则称向量组使为零的数如果存在不全给定向量组
A
akakak
kkk
aaaA
mm
m
m
５ 线性相关定理
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
aaaA
aaa
m
m
是必要条件向量组线性无关的充分于向量个数的秩小条件是它所构成的矩阵线性相关的充分必要向量组
定理
.,
,.,,,,:
,,,,:)1(
121
21
也线性无关则向量组线性无关向量组若反言之也线性相关量组则向线性相关若向量组
AB
aaaaB
aaaA
mm
m
若向量量添上一个分量后得到向即向量设
.
),,2,1(,,)2(
,1
1
1
ba
mj
a
a
a
b
a
a
a
jj
jr
rj
j
j
rj
j
j
.
,,.,
,,:,,,,,2121
也线性相关则向量组线性相关若向量组反言之也线性无关则向量组线性无关组
A
Bb
bbBaaaA
m
m
.
,)3(
时一定线性相关向量个数小于当维数维向量组成的向量组个
m
nnm
.,
,,,,,:
,,,,:)4(
21
21
且表示式是唯一的线性表示能由向量组必则向量线性相关向量组而线性无关设向量组
A
bbaaaB
aaaA
m
m
定义满足个向量中能选出如果在设有向量组
,,,
,,
2
1
aa
arAA
r?;,,,:)1( 210 线性无关向量组 aaaA r?
,)
1(1)2(
都线性相关个向量的话中有如果个向量中任意向量组 rArA
.
);(
0
的秩称为向量组量个数最大无关组所含向简称最大无关组无关向量组的一个最大线性是向量组那么称向量组
Ar
AA
６ 向量组的秩等价的向量组的秩相等,
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩,
定理 设向量组 B能由向量组 A线性表示,则向量组 B的秩不大于向量组 A的秩,
推论１
推论２
).()(),()(
,
BRCRARCR
BAC nssmnm
则设推论３ （ 最大无关组的等价定义 ）
设向量组 是向量组 的部分组,若向量组线性无关,且向量组 能由向量组 线性表示,
则向量组 是向量组 的一个最大无关组,
B A
B A
B
B
A
.,,;,,:
,
VaRV
aVbaVbVa
V
则若则若数乘两种运算中可以进行加法及是指在集合所谓封闭
７ 向量空间定义 设 为 维向量的集合,如果集合 非空,且集合 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合 为向量空间,
V
V
V
Vn
.,,2,1,
,,,,
1
21
miRaxV
aaa
i
m
i
ii
m
空间为所生成的向量由向量组一般地定义
.
,,
2
12121
的子空间是就称若及设有向量空间
V
VVVVV?
.子空间的都是间维向量所组成的向量空任何由 RVn n
８ 子空间定义
.,
,,,,
,,,,)2(;,,,)1(
,
,,,,
1
21
21
21
维向量空间为并称的维数称为向量空间的一个基就称为向量空间向量组那么线性表示中任一向量都可由线性无关且满足个向量如果为向量空间设
rVVr
Vaa
aaaV
aaa
Va
aarV
r
r
r
r
９ 基与维数
.
0.0,
O
V
量空间只含一个零向量维向的维数为那么若向量空间没有基
.
,
,
的秩的维数就是向量组组向量组的最大线性无关的基就是则看作向量组若把向量空间
V
VV
向量空间的构造
.,,2,1,
,,,,
1
21
riRaxV
V
Vaaa
i
r
i
ii
r
可表示为则的一个基是向量空间若向量组的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组
)1(
,0
,0
,0
2211
2222121
1212111
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmnmm
nn
nn
向量方程
１０ 齐次线性方程组
)2(.
)1(
,,
2
1
21
22221
11211
OAx
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
nmnmm
n
n
式可写成向量方程则
解向量
.
)2(,)1(
,)1(,,,
1
21
11
1
1212111
的解它也就是向量方程的解向量称为方程组则的解为若
n
nn
x
xxx
解向量的性质性质１
性质２
.)2(
,)2(,2121
的解是也则的解为若 xxx
.)2(
,,)2( 11
的解也是则为实数的解为若 kxkx
定义
.
)1(,
,,
)1(
间的解空称为齐次线性方程组是一个向量空间所以集合对向量的线性运算封闭则集合合集的全体解向量所组成的为方程组设
SS
S
定理
.,)(
,
rnSrAR
S
OxAn
nm
nm
的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组定义,)1( 的基础解系的基称为方程组解空间 S
)4(
)3(
,
,
,
2211
22222121
11212111
bAx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
可写为向量方程非齐次线性方程组
向量方程
１１ 非齐次线性方程组解向量的性质性质１
性质２
.
)5(
,)4(,
2121
的解组为对应的齐次线性方程则的解为若
OAx
xxx
.)4(,
)5(,)4(
的解也是方程则解的是方程的解是方程若
x
xx
解向量向量方程 的解就是方程组 的解向量,)4( )3(
（ １ ） 求齐次线性方程组的基础解系
:,,
,,,
,
,)(
21
可按下面步骤进行不妨设为个解向量解系含线性无关的那么方程组的一个基础程组中未知数的个数为而方的秩若齐次线性方程组
rn
rn
n
rAROAx
１２ 线性方程组的解法第一步：对系数矩阵 进行初等行变换,使其变成行最简形矩阵;
00000
00000
100
010
001
,1,
,21,2
,11,1
cc
cc
cc
nrrr
nr
nr
A
即个分量的第于是得号个分量反列前将第第二步
,,,2,1,,,,
,2,1:
21 r
rnrr
rn
;,,,
,
,2
,1
1,
2,2
2,1
21,
1,2
1,1
1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
nr
n
n
rnrr
r
r
rr
r
r
第三步：将其余 个分量依次组成 阶单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系
.
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
,
,2
,1
2,
2,2
2,1
2
1,
1,2
1,1
1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
nr
n
n
rn
rr
r
r
rr
r
r
rn? rn?
（ ２ ） 求非齐次线性方程组的特解
.
,
,,)(
)(
矩阵使其成为行最简形进行初等行变换增广矩阵那么对数为而方程组中未知数的个的秩若非齐次线性方程组
B
nrBR
ARbAx
,
000000
000000
100
010
001
,1,
2,21,2
1,11,1
dcc
dcc
dcc
rnrrr
nr
nr
将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为特解的第 个分量,其余 个分量全部取零,于是得
r
rn?r,,2,1?
,
0
0
2
1
d
d
d
r
即为所求非齐次线性方程组的一个特解,
一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典 型 例 题
,,,,
:,,
,
,,,,
21
2211
21
其线性组和为零向量也使得的数是否存在一组不全为零一个自然的问题是那么零向量一个特殊向量其结果为向量空间中的时线性组合的结合物量空间中两种基本运算当我们考虑到向而言的定的向量组概念都是针对一个特线性相关与线性无关的
kkk
kkk
m
mm
m
一、向量组线性关系的判定
.0
,
0
,,
,;,;
,.:
2211
21
mm
m
kkk
kkk
才有时当指的是当且仅所谓不存在该向量组线性无关则称若不存在则称该向量组线性相关若存在关与线性无关的概念然而然地提出了线性相也就自这样存在或不存在答案只有两种
.
,,,
:
,?),
(,
们往往采用反证法我时在论证某些相关性问题据此立的概念一对排中对线性相关与线性无关是应注意到还此外可由其余向量线性表出意一个向量不是任即看其中有无某个向量的概念来体现可以通过线性表出线性相关与线性无关还研究这类问题一般有两个方法方法 1 从定义出发
0
0
0
,0
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2211
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
kkk
mn
m
m
m
nn
mm
令整理得线性方程组
)(
,0
,0
,0
2211
2222112
1221111
kakaka
kakaka
kakaka
mmnnn
mm
mm
.
,,,,)(
.,
,,,)(
21
21
线性相关则有非零解若线性方程组线性无关则只有唯一零解若线性方程组
m
m
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定
.,,,,)(
,,,,,)(
).(),,,,(
,,,,
21
21
21
21
线性相关则若线性无关则若首先求出相应的矩阵就得到一个维向量给出一组
m
m
m
m
mAR
mAR
ARA
n
例１ 研究下列向量组的线性相关性
.
2
0
1
,
5
2
0
,
3
2
1
321
解一
0
0
0
2
0
1
5
2
0
3
2
1
,0
321
332211
kkk
kkk 即令
整理得到
)(
.0253
,022
,0
321
21
31
kkk
kk
kk
.
,,,)(
,0
253
022
101
)(
321
线性相关从而必有非零解线性方程组的系数行列式线性方程组
解二
,
2
0
1
,
5
2
0
,
3
2
1
321
,
253
022
101
),,( 321
A矩阵
000
220
101
253
022
101
~
初等行变换
A
.,,
,32)(
321 线性相关故向量组
AR
.
)2(,,,
,,,,
:,,,,
2211
21
21
线性相关都有使对任何向量为零的数存在不全证明线性相关设
rttt
ttt
rr
r
r
例2
分析 考察向量方程我们从定义出发,
0)( 2211
2211
tktktk
kkk
rr
rr
即向量方程
0)()()( 222111 tktktk rrr?
.,
,,,,21
因此可得如下证明恒有非零解每个而使得对数是否有某组不全为零的
kkk r?
证明
0
,,,,
,,,,
2211
21
21
rr
r
r
kkk
kkk
使为零的数所以存在不全线性相关因为
02211 xkxkxk rr?
考虑线性方程都有则对任意向量零解为任一非设它必有非零解因为
,,
),,,(,,2 21
tttr r
0)( 2211
2211
tktktk
kkk
rr
rr
0)(
)()( 222111
tk
tktk
rrr?
即
.
,,,
:,,,
2211
21
线性相关不全为零得知由
ttt
kkk
rr
r
.
,,
,:,,,,
2
121
一个最大线性无关组成它的个线性无关的向量均构中任意证明的秩是已知向量组
r
r
s
s
例3
证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：
分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系．
证明
.,
,,,,),,,2,1(
,
,,,,,,,
21
21 21
r
sk
r
kiiik
s
iii
r
r
否则这向量组的秩大于相关线性向量组的于是对于任意个线性无关的向量中的任意是设不失一般性
.,,,
,,,,
21
21
线性表出以由可所以线性无关又向量组
iii
kiii
r
r
.,
,,,,,2121
的一个最大线性无关组是这就证明了由定义
s
iii r
求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的秩来求,这个矩阵是由这组向量为行 （ 列 ） 向量所排成的,
如果向量组的向量以列 （ 行 ） 向量的形式给出,把向量作为矩阵的列 （ 行 ）,对矩阵作初等行 （ 列 ） 变换,这样,不仅可以求出向量组的秩,
而且可以求出最大线性无关组,
二、求向量组的秩若矩阵 经过初等行 （ 列 ） 变换化为矩阵,
则 和 中任何对应的列 （ 行 ） 向量组都有相同的线性相关性,
A
BA
B
.)1,4,6,2(
),1,2,3,1( ),1,1,1,0(
),1,1,2,1( ),0,0,1,1(
5
43
21
的秩求向量组
T
TT
TT
例4
解
为阶梯形化行变换作初等对作矩阵
A
AA
,
,54321
11110
42110
63121
21011
54321A
11110
42110
42110
21011
~
12 rr
53000
00000
42110
21011
~
24
23 )1(
rr
rr
00000
53000
42110
21011
~
34 rr
,54321 U记作
,3)( ARA 的列秩
.3,,,,54321 的秩为故向量组
00000
53000
42110
21011
) ( 54321U
,
,,421
无关组线性的列向量组的一个最大是又 U
.
,,421
线性无关组的列向量组的一个最大也是所以 A
判断向量的集合是否构成向量空间,需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭,若封闭,则构成向量空间；否则,不构成向量空间,
.
)1,0,0(3
向量空间所组成的集合是否构成不平行的全体向量中与向量判断 R例5
解
.
)1,0,0(3
间成的集合不构成向量空不平行的全体向量所组中与向量R
三、向量空间的判定
),0)(1,,0(),0,,0( 21 kkk
对向量?
),1,0,0(,21 均不平行于
).1,0,0(21
.
)1,0,0( 3
封闭所组成的集合对加法不不平行的全体向量中与向量因此 R
但
.向量空间故所给向量集合不构成例６ 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系,
四、基础解系的证法分析
(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
(1)该组向量都是方程组的解；
(2)该组向量线性无关；
要证明某一向量组是方程组 的基础解系,需要证明三个结论,
0?AX
证明
.
,,
,
,,,,,,,
0,,,
2121
21
nt
aaa
AX
tn
t
即向量个数相等所以这两个向量组所含数是相同的向量组所含向量个因为等价的线性无关的向量组等价的线性无关的是与系的一个基础解是方程组设
.
0
,,,,
),,,2,1(,,
,,
21
2
1
的解都是故合仍然是原方程组的解而解的线性组的线性组合可以表示成知由向量组的等价关系易
AX
aaa
ti
a
t
t
i
.,,,,21 线性无关由题设知 aaa t?
.,,,
,,,,,
,,,,,,
,,0
21
21
212
1
线性表示也可由故线性表示均可由由向量组的等价性线性表示可由则的任一解为方程组设
aaa
aaa
AX
t
tt
t
.
0,,,,21
的一个基础解系也是方程组故由定义知?AXaaa t?
注 当线性方程组有非零解时,基础解系的取法不唯一,且不同的基础解系之间是等价的,
.1,1
,)3(
.1
,,,)2(;,,,)1(
:.,,
,
1
1
1
而且组合系数之和为个解的线性组合都可以表示为这的任一解方程组个线性无关的解的是方程组线性无关证明解系是其导出组的一个基础的一个解是非齐次线性方程组设
rn
XBAX
rn
BAX
BAX
rn
rn
rn
例7
五、解向量的证法
.0
)(,0)1(
0
110
k
kkk rnrn
其中必有令证明
.0,,
,0,
,0,
,,,,
0
21
0
1
0
1
kBAX
AX
AX
k
k
k
k
rn
rn
rn
所以矛盾的解齐次方程组是非而等式左边的解必是其线性组合故等式右边为的解是齐次方程组由于有否则
,0
,)(0
2211
0
rnrnkkk
k
则有式代入将
.,,,,
,0
,,,,
,0,,,
21
21
21
21
线性无关于是故有线性无关所以的基础解系是因为
rn
rn
rn
rn
kkk
AX
.,),
,2,1()2(
再证它们线性无关的解都是知由线性方程组解的性质
BAXrn
ii
所以线性无关的证明知由则令
,,,,,)1(
,0)(
,0)()(
21
1110
110
rn
rnrnrn
rnrn
kkkkk
kkk
,0
,0
,0
,0
2
1
210
k
k
k
kkkk
rn
rn
.,,,,
,0
,
21
210
线性无关故得解之
rn
rnkkkk
可表为则的任一解为方程组设 XBAXX,)3(?
rnrntttX2211
)()( 11 rnrntt?
)(
)()1( 111
rnrn
rn
t
ttt
,1,1 1001 tttttt rnrn 则令都可以表示为的任一解故 XBAX?
.1
),()(
10
110
ttt
tttX
rn
rnrn
且
注意 (1)本例是对非齐次线性方程组 的解的结构作进一步的分析和讨论,即非齐次线性方程组一定存在着 个线性无关的解,题中
(2)的证明表明了它的存在性,
BAX?
1 rn
(3)对非齐次线性方程组,有时也把如题中所给的 个解称为 的基础解系,所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为 1时,才是方程组的解,
BAX?
BAX?
1 rn
(2)对齐次线性方程组,当 时,
有无穷多组解,其中任一解可由其基础解系线性表示,
nrAR)(
第四章 测试题一、填空题 (每小题 5分，共 40分 )．
,,,1,2,0,1
,,1,0,10,3,2,4,5,0,1,2,1
4
321
线性相关时则设
k
k
,,,0,,3,1
,4,3,5,0,2,0,2,1,0,3,1,2,2
4
321
线性无关时则设
tt?
则该向量组的秩是已知向量组
,7,6,5,4,6,5,4,3
,5,4,3,2,4,3,2,1,3
4
321
则向量个数线性表出均可由向量组维单位向量组
,,
,,,,,.4 2121
s
nn
ARA 则秩已知
11010
01100
00110
00011
00101
,5
ARA 则秩设,,3,2,1,
3
2
1
,7
的一个极大无关组是向量组
7,6,5,4
6,5,4,3,5,4,3,2,4,3,2,1,8
4
321
二、计算题
,,4,5,2,3,3,4,1,2
,2,1,8,5,0432.1
32
1321
求其中已知
则该方程的系数矩阵为础解系为其基以方程组
,
1,1,0,2,0,10,6 21AX
(每小题 8分，共 24分 )．
,,,,321
线性无关线性相关向量组为何值时试求出t
,1,2,1,0
,2,1,1,2,1,,,11,1,0,0
0,1,1,0,0,0,1,1,.3
3
213
21
等价与向量组使向量组和求实数
ba
ba
1,1,1,0,,2,1,2,.2 321 tt已知向量组三、证明题 (每小题 8分，共 24分 )．
.0)d e t (
,,,.1
AB
nmmnBnmA 试证明且矩阵为矩阵为设
证明且秩矩阵是矩阵为设
,
,,,.2
sn
nBRsnBnnA
,,2;0,01
EABAB
AAB
则若则若
.4
,,,::,4,3
,,,;,,,;,,.3
45321
5321
4321321
秩为的向量组试证明为如果各向量组的秩分别已知向量组
IIIR
IIRIR
IIIIII
四、向量组 线性无关,问常数 满足什么条件时,向量组线性无关．
321,, ml,
133221,, ml
(12分 )
,,.8 ;1,7 ;112,6 ;5,5;,4 ;2,3 ;,2 ;
15
3
,1
21
sn任意实数一、
;22,1,0,1二、
.,,,3,2;,,,3,2,2
321
321
线性相关时当线性无关时当
t
t
.0,3 ba
测试题答案
.1lm四、
