若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
一、向量、向量组与矩阵
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
T
B
2
1
),,,( 21 mA
b xaxaxa nn?2211
线性方程组的向量表示
.
,
,
2211
22222121
11212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
方程组与增广矩阵的列向量组之间 一一对应,
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
定义１
.
,21
个线性组合的系数称为这，,mkkk?，称为向量组的一个向量
2211 mmkkk
线性组合
mmb 2211
，使，，一组数如果存在和向量给定向量组
m
m bA
,
,,,,,
21
21
.
2211
有解即线性方程组
bxxx mm
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能由向量组 线性表示．
b
A
.),,(
),(
21
21
的秩，，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
定理 1
定义２
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
向量组 能由向量组 线性表示向量组等价．
B A
使在数存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
sm
kkk
sjbA
BbbbBA
mmjjjj kkkb2211,),,,
2
1
21
mj
j
j
m
k
k
k
（
),,,21 sbbb?（
从而
msmm
s
s
m
kkk
kkk
kkk
21
22221
11211
21
),,,（
,)( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK
矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若
BA
CBAC nssmnm
snss
n
n
sn
kkb
bbb
bbb
ccc
21
22221
11211
2121
),,,),,,（（
T
s
T
T
msmm
s
s
T
m
T
T
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
2
1
：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时,ABC,
.
,
的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，
由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵
BA
BA
A
BA
BBA
.的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵
B
ABA
.
价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组
B
ABA
AB
AB
A
A
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立才有时则只有当线性无关若
nn
n
n
.
,2,
线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义３
二、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向定理 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示．
m,,,21? 2?m
m,,,21?
1?m
证明 充分性设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21? ma
即有
112211 mmma
三、线性相关性的判定故 01112211 mmm a
因 这 个数不全为 0,1,,,,121mm
故 线性相关,m,,,21?
必要性 设 线性相关,m,,,21?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk?
.02211 mmkkk
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21?
不妨设 则有,01?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用
).,,(,
0 A,0
21
2211
m
mm
A
xxxx
A
其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组结论
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
A
m
m
必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组
定理 2
下面举例说明定理的应用,
证明 （略）
维向量组n
TnTT eee 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21,
.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n
解
.
),,,(
21
阶单位矩阵是的矩阵维单位坐标向量组构成
n
eeeE
n
n
.)(01 nERE,知由
.
2)(
向量组是线性无关的知此，故由定理等于向量组中向量个数即 ER
例１
，，，
7
4
2
5
2
0
1
1
1
321
.21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组
解
.2
,
21
321
321
即可得出结论）的秩，利用定理，及（
），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵
），施行初等行变换变，，对矩阵（
已知例２
分析
751
421
201
),,( 321
~
23 2
5 rr?,
000
220
201
.,,2),(
,,2),,(
2121
321321
线性无关向量组线性相关；，向量组可见
R
R
751
220
201
~ 12
rr?
13
12~
rr
rr
550
220
201
.,,,,
,,,,
321133322
211321
线性无关试证线性无关已知向量组
bbbbb
b
例3
0
,,
332211
321
bxbxbx
xxx 使设有
,0)()( 133322211 xxx ）（即
,0)()() 332221131 xxxxxx（亦即线性无关，故有，，因 321
.0
,0
,0
32
21
31
xx
xx
xx
证
02
110
011
101
列式由于此方程组的系数行
.,,
0
321
321
线性无关向量组，所以故方程组只有零解
bbb
xxx
.,
,.,,,,
,,,,( 1 )
11
21
也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
定理 3
）设（ 2
),,,2,1(,,
,1
2
1
2
1
mj
a
a
a
a
b
a
a
a
jr
rj
j
j
j
rj
j
j
j
.
,.
,,,,,
,,.
21
21
性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：则向量组线性无关
：若向量组添上一个分量后得向量即
AB
bbbB
Ab
mm
jj
.
3
时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（
m
nnm
.,
,,,,:
,,,,,( 4 )
1
21
且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
.2
,,11)()()(2
,.1)()(
),,,(),,,( 1
111
线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理线性相关若向量组
，有记）（
B
mARBRmAR
AARBR
aaaBaaA
mmm
证明
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（
说明列），只有因但从而有
，则线性无关若向量组有
，）记（
mBmBRmBR
mARABRAR
bbBA mmrmmr
()(.)(
)(,).()(
),,,(),(2 1)1(1
.B)( 线性无关，因此向量组故 mBR?
.,
12
结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明
.,,,
,)(,.)(),,,(
,,,3
21
21
21
线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（
m
m
mnm
m
mARmnnAR
Anm
.)(1
)(.1)(;)().()(
),,,,,(),,,,()4(
2121
mBRm
BRmmBRB
mARABRAR
bBA
mm
，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记
.
),,,(
,)()(
21
一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组由
A
bbx
mBRAR
m?
１,向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理．（ 难点 ）
四、小结
.,
)3(
0 )2(
0 )1(
:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明
kk
思考题证明 （１）、（２）略．
（３） 充分性
.
,,0,0
,,,,
即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关
x
y
k
x
y
xyx
yx
必要性
.,
,0)(1,
线性相关知由定义则有不妨设
kk
思考题解答
