:)
,;,,(;,,
,;,,
,,
.,
R
V
V
VR
VV
RV
设运算规律两种运算满足以下八条并且这记作的积与称为与之对应总有唯一的一个元素与任一元素数又对于任一记作的和与称为之对应与总有唯一的一个元素意两个元素如果对于任为实数域是一个非空集合设
１ 线性空间的定义;0
,,)4(;0
,;0)3(
);())(2(;)1(
使的负元素都有对任何都有对任何中存在零元素在
VV
VV
,)()8(;))(7(;)()()6(;1)5(
那么,就称为（实数域 上的） 向量空间 （
或 线性空间 ）,中的元素不论其本来的性质如何，统称为（ 实 ） 向量,
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，
就称为 线性运算 ；凡定义了线性运算的集合，就称为 向量空间,
V R
V
.00,0)4(;00;)1(;00)3(;
,)2(;)1(
或则如果作的负元素记一的任一元素的负元素是唯零元素是唯一的
２ 线性空间的性质
３ 子空间定义 设 是一个线性空间,是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间．
V
L
V
V
VL
L
定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是,对于 中的线性运算封闭．VL
V L
.,
,,,,,
,,,)2(;,,,)1(
:,,
,,,
21
21
21
21
的维数称为线性空间个基的一就称为线性空间那么性表示线总可由中任一元素线性无关满足个元素如果存在中在线性空间
Vn
V
V
nV
n
n
n
n
定义
.,Vnn n记作维线性空间的线性空间称为维数为
４ 线性空间的维数、基与坐标定义
.),,,(
,
,,,,,,
,
,
,,,,
,,,,
21
2121
2211
21
21
T
n
n
n
nn
n
n
nn
xxx
xxx
xxx
x
xxV
V
并记作这个基下的坐标在这组有序数就称为元素使总有且仅有一组有序数任一元素对于的一个基是线性空间设一般地，设 与 是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与同构,
V
U
V
U
线性空间的结构完全被它的维数所决定．
任何 维线性空间都与 同构，即 维数相等的线性空间都同构,
Rnn
式可表示为量和矩阵的形式利用向个有序元素记作这把个基中的两是线性空间及设
)1(,
),,,(,,
)1(
,
,
,
,
,,,,
11
2211
22221122
12211111
11
nn
nnnnnn
nn
nn
nnn
n
ppp
ppp
ppp
V
５ 基变换
.,,,
,.,,,,,
,,)2()1(
)2(.),,,(),,,(
2
1212
1
2121
2
1
2
1
21
22212
12111
2
1
故过渡矩阵可逆线性无关由于的过渡矩阵到基称为由基矩阵称为基变换公式或或
n
nn
nn
n
T
nnnnn
n
n
n
P
P
P
ppp
ppp
ppp
则有坐标变换公式若两个基满足关系式下的坐标为在基下的坐标为在基中的元素设
P
xxx
xxx
V
nn
n
T
n
n
T
nn
),,,(),,,(
,)',,','(
,,,
,),,,(
,,,,
2121
21
21
21
21
６ 坐标变换
.
'
'
'
,
'
'
'
2
1
12
1
2
1
2
1
x
x
x
P
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
nnnn
或
.),,,(),,,(
,
,
2121 Pnn
式则两个基满足基变换公换公式满足上述坐标变若任一元素的两种坐标反之
).(,)(
),(
,,
,,
,,
ATT
B
A
B
ABA
或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中的任一如果对于设有两个非空集合
７ 线性变换的定义
.)(
,)()(
),(,
,
.,
,,)(,
BAT
ATAT
AT
TA
TT
TTA
显然即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为变为把元素就说变换设
变换的概念是函数概念的推广．
.
,.,
),()(
),(,,)2(
);()()(
),(,,)1(
,,
,
2121
2121
的对应的变换变换就是保持线性组合线性简言之的线性变换到就称为从那么有从而任给有从而任给满足如果变换的变换到是一个从间维线性空维和分别是实数域上的设
UVT
kTkT
VkRkV
TTT
VV
TUVT
mnUV
mn
nn
nn
mn
mn
.
,
,,
线性变换中的称为线性空间到其自身的线性变换间是一个从线性空那么如果特别地
VV
TVU
nn
nm?
.,
,,,,,,,3;)(
,2;)(,001
2121
2211
2211
反之不然亦线性相关则线性相关若则若
m
m
mm
mm
T
TT
TkTkTkT
kkk
TTT
８ 线性变换的性质
..
,0,
05
.),(
)(4
的核称为线性变换的子空间也是的全体的使的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换
TSV
TVS
T
TV
VTT
Tn
n
T
n
n
.,,,
,))(,),(),((
,
)()(
,
21
21
22221
11211
21
为单位坐标向量其中表示都可用关系式中任何线性变换
eee
aaa
aaa
aaa
eTeTeTA
RxAxxT
TR
n
nnnn
n
n
n
n
n
９ 线性变换的矩阵表示
,)(
,)(
,)(
)
(,,,,
,
2211
22221122
12211111
21
nnnnnn
nn
nn
n
nn
aaaT
aaaT
aaaT
T
VVT
为用这个基线性表示下的象如果这个基在变换一个基中取定在中的线性变换是线性空间设
10 线性变换在给定基下的矩阵
.
,,,,
,
,),,,(),,,(
)),(,),(),((),,,(
21
21
22221
11211
2121
2121
的矩阵下在给定基就称为线性变换那么其中式可表示为上记
n
nnnn
n
n
nn
nn
TA
aaa
aaa
aaa
A
AT
TTTT
.
,
.
,
,
一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在
T
AA
TV
n
.,
,
,,,,,,,,,,
,,,
1
212121
21
APPBBA
TVP
V
n
nnn
nn
那么和的矩阵依次为在这两个基下中的线性变换的过渡矩阵为到基由基与中取定两个基在线性空间
同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，
反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵．
11 线性变换在不同基下的矩阵
.
,)(
的秩换称为线性变的维数的象空间线性变换
T
VTT n
).(,ARTTA 的秩就是则的矩阵是若
.,rnSTrT T?的维数为的核则的秩为若典 型 例 题一、线性空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．
若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可．
,,,:
.,,:
:
,,
aakRkRa
abbaRba
RRR
k
对任意数量乘法对任意加法上定义了两种运算在是实数集合是全体正实数集合设例1一、线性空间的判定性空间上的线数域对这两种运算是否构成判断 RR?
解,1 R
,0,0 aaka k
.R
,,,,RlkRba任取
,0,0,0 abbaba?,Rba
.
封闭的数量乘法运算是对于上述定义的加法和即 R?
.Rak;)1( abbaabba
);()(
)()()())(2(
cbabca
bcacabcabcba
;1
,11,1)3(
中的零元素是 R
aaaR
;
1
)(1
11
,
1
,0
1
,0)4(
a
a
a
a
a
a
R
aa
a
的负元素是零元即
;))(5( alakaaaaaalk lklklk
.
的线性空间上量乘法构成对上述定义的加法和数 RR
);()()()())(6( alkalaaaakl kl kk lkl
);()())((
)()()()7(
bkakbkak
baababkbak kkk
.1)8( 1 aaa
),,,(0
,
21
的子空间构成维实向量的问在什么条件下满足阶实对称矩阵为设
RxxxXnXXA
nA
n
n
T
例2
解,0 XXARXV Tn令
.,,VkXVX 则若显然
,VO, V
0)()()( 2 XXAkkXAkX TT即二、子空间的判定
:的子空间的条件是构成故 RV n
:的子空间的条件为构成因此 RV n
,0)()(,, YXAYXVYX T有对任意的
.02 YXAYYAXYAYXAXXA TTTTT
即
.0
,,
YXA
VYX
T
都有对于任意的
.1
,][)1)(2(,1,1
2
2
在该基下的坐标并求向量的一组基是证明
xx
xRxxx
例3
证一
.
][,3][)1( 22
都构成它的一组基意三个线性无关的向量中任所以维线性空间是因为 xRxR
.][)1)(2(,1,1 2xRxxx
.0)1)(2()1(1 321 xxkxkk令
0)3(2 23332321 xkxkkkkk
整理得三、求向量在给定基下的坐标
,0
,03
,02
3
32
321
k
kk
kkk
比较等式两边得
.02
100
320
211
D其系数行列式为
.][)1(
)2(),1(,1,)1)(2(),1(
,1,0,
2
321
的一组基是所以线性无关于是即故方程组只有零解
xRx
xxxxx
kkk
,),,(1)2( 321 2 aaaxx T在给定基下的坐标为设
),1)(2()1(11 3212 xxaxaaxx
则有
,)3()2(1 23323212 xaxaaaaaxx
整理得
,1
,13
,12
3
32
321
a
aa
aaa
比较系数
,1
,4
,3
3
2
1
a
a
a
解之得
).1)(2()1(431
,)1,4,3( 1
2
2
xxxxx
xx T
即在给定基下的坐标为所以证二且又的一组基是已知
,][)1)(2(
,1,1,][,,1)1(
2
2
2
xRxx
xxRxx
xxxxxx
xx
22 1)3(1223)1)(2(
11)1(1
11
,,,1)1)(2(,1,1 2 线性表示可以由即 xxxxx
)1)(2(1)1(311
)1(1
11
2 xxxx
xx又
.][)1)(2(,1
,1,)1)(2(,1,1,
,,1.,
,)1)(2(,1,1,,1
2
2
2
的一组基是从而也线性无关因此无关线性而故有相同的秩所以两个向量组等价线性表示可以由即
xRxxx
xxx
xx
xxxxx
,
1
1
1
11)2( 22
xxxx
中的线性表达式知由标为下的坐在基设
)1(,
)1)(2(,1,11
3
2
1
2
a
a
a
xxxxx
,
100
310
211
),,1())1)(2(,1,1( 2
xxxxx
,
1
4
3
1
1
1
100
310
111
1
1
1
100
310
211
1
3
2
1
a
a
a
所以
.
1
4
3
))1)(2(,1,1(
)1)(2()1(431
2
xxx
xxxxx
因此
.
,,52,,
,
100
110
011
)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(
,
32132132
1
321
3
的表达式下在基并求所得到的新基通过过渡矩阵求由基中在
A
R
TTT
例4
四、由基和过渡矩阵求另一组基解 由题设有设欲求的新基为,,,321
),,(
100
110
011
),,(
),,(),,(
32211
321
321321
A
.
)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( 321
所求的新基是所以 TTT
,),,(
5
2
1
),,(52
3
2
1
321
321321
x
x
x
5
2
1
100
110
011
5
2
1
1
1
3
2
1
A
x
x
x
则
,
5
3
2
5
2
1
100
110
111
.532 321故
.
,,,,,,
)1,2,3,4(
)2,1,4,3(
)3,4,1,2(
)4,3,2,1(
)1,1,1,0(
)1,2,1,1(
)0,0,1,1(
)0,1,2,1(
43214321
4
3
2
1
4
3
2
1
4
公式并写出相应的坐标变换的过渡矩阵到基求由基的两组基设
T
T
T
T
T
T
T
T
R例5
五、过渡矩阵的求法解一 由过渡矩阵的定义有
)4(
)3(
)2(
)1(
4443342241144
4433332231133
4423322221122
4413312211111
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
),1,1,1,0()1,2,1,1(
)0,0,1,1()0,1,2,1()4,3,2,1(
)1(
4131
2111
aa
aa
得由方程整理得
,4
,32
,22
,1
4131
413111
41312111
312111
aa
aaa
aaaa
aaa
.2,6,16,11
,
41312111 aaaa
得解之
.
,)4(),3(),2(
确定出过渡矩阵从而求出其余的同理可以从方程 a ij
从上面的解法可以看到，由定义出发，利用解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达式不容易得到时，可采用下面的解法．
解二 引入一组新的基
.)1,0,0,0(,)0,1,0,0(
,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(
43
21
TT
TT
,),,,(
1100
1201
1112
0111
),,,(),,,(
4321
43214321
A
于是
,),,,(),,,( 143214321 A
,),,,(
1234
2143
3412
4321
),,,(),,,(
4321
43214321
B
又
BA 143214321 ),,,(),,,(
则
1234
2143
3412
4321
0
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
3123
2
2
1
2
3
2
3
),,,(
4321
2
1
14
2
1
2
2
1
22
2
1
26
11121316
2
1
47
2
1
811
),,,(
4321
,),,,( 4321 T
.
,),,,(),,,( 43214321
过渡矩阵为所求故 TT
,
,),,,(
),,,(
,
4
3
2
1
1
4
3
2
1
4321
T
4321
T
4
x
x
x
x
T
y
y
y
y
yyyy
xxxx
R
则和为在两组基下的坐标分别设
).,,(,
),,,(),,(,)2(
.,
,)(,)1(
.
321
2
332
2
1321
3
xxxV
xxxxxxxR
VV
V
其中任意定义中在中一个固定的向量是中任意向量是其中定义中在线性空间性变换判断下列变换是否为线例6
解,,)1( V对任意的
,)()(
,2)()(
六、线性变换的判定
,)( kk
,)()( kkkk
.,0;,0
是线性变换时当不是线性变换时当
,),,(),,,()2( 3321321 Ryyyxxx设任意
),,,( 332211 yxyxyx
))(
,,)(()(
33
2
332211
2
yx
yxyxyx
),2
,,2(
3
2
333
2
33221
2
111
2
yyxx
yxyxyyxx
),,(),,(
)()(
3
2
321
2
3
2
321
2 y
yyyxxxx
而
),,,( 3 23 233221 21 2 yxyxyxyx
).()()(所以
.不是线性变换故?
);()()(
,,)2(;)1(
.,)(
:,
,
YXYXXY
VYX
VXXAAXX
V
dc
ba
A
R
恒有证明对任意是一个线性变换证明中任意向量是其中中定义一个变换在取固定实数矩阵上的线性空间数域全体二阶实矩阵构成实例7
七、有关线性变换的证明
.
,
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
)3(
4321
在该基下的矩阵写出中取一组基在
EEEE
V
解,,,)1( RkVYX对任意
AYXYXAYX )()()(
YAXAAYAX
)()( YAAYXAAX
)()( YX
AkXkXAkX )()()(
)( XAAXk
).( Xk
.上的一个线性变换是故 V?
AXYXYAXY )()()()2(
)()()()( YAXAYXYXAYAX
)()( YAAYXYXAAX
).()( YXYX
dc
ba
dc
ba
E 00
01
00
01)()3(
1?
,00?
c
b
EcEbE 321 )(即
,)(
,)()(
,)()(
324
4313
4212
EcEbE
EbEadEbE
EcEdaEcE
同理可得
00
0
0
00
),,,(
),,,(
4321
4321
bc
cadc
bdab
bc
EEEE
EEEE?所以
00
0
0
00
,,,4321
bc
cadc
bdab
bc
B
EEEE 下的矩阵为在基即?
.,,
),2,1,0()(),1,0,0()(),1,0,2()(
,)5,2,1(,)2,1,0(,)2,0,1(
,
321
321
321
3
下的矩阵在基求使得线性变换取基中在线性空间
TTT
R例8
解
.
,,
,,)3,2,1)((
3
21
可引入一组新基为了简化运算当麻烦线性表示出的表达式相被如果按定义直接写出
ii
八、线性变换在给定基下的矩阵则的另一组基取
,)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( 321
3
TTT
R
A),,(
522
210
101
),,(),,( 321321321
,),,(),,( 1321321 A于是
,),,(
211
100
002
),,(),,(
321
321321
B
而
,),,(),,( 1321321 BA故
211
100
002
522
210
101
1
1 B
A
.
015
1210
013
.,,),2,1,0()(
),1,0,0()(),1,0,2()(:
)2,1,0(
)1,0,1(
)0,1,1(
)5,2,1(
)2,1,0(
)2,0,1(
3213
21
3
2
1
3
2
1
3
下的矩阵在基求定义线性变换中取两组基在
T
T
T
T
T
T
R例9
九、线性变换在不同基下的矩阵解
)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( 321
3
TTT
R
的另一组基取
A),,(
521
210
101
),,(),,(
321
321321
则
.),,(),,( 1321321 A所以
211
100
002
),,(),,( 321321又
,),,( 321 B
210
101
011
),,(),,( 321321
,),,( 321 C
C 1321321 ),,(),,(所以
C),,(),,( 321321
CA 1321 ),,(
CAB 1321 ),,(
,),,( 11321 CABC
,
,,
11
321
CABC
下的矩阵为在基于是线性变换
210
101
011
522
210
101
211
100
002
210
101
011
1
1
11
CABC
.
112
124
122
第六章 测试题一,填空题 (每小题 4分，共 24分 )．
组基为已知三维向量空间的一.3
,1,1,0,1,0,1,0,1,1 321 TTT
则向量 在这组基下的坐标为0,0,24 T
的的象空间线性变换 nVTT.2 称为线性
.的秩变换 T
称为定义了线性运算的集合,.1
下的矩阵为在基线性变换 21,.4T,
2221
1211?
aa
aa
下的矩阵是在基则 12,T
同构是指线性空间 VU,.5
的线性变换已知 3.6 R
cbacbcbacbaT 2,,2,,
基为的维数为则,TV
加法和数乘定义为全体正实数的集合,.1?R;,,,,)1( RkRbaaakabba k;,,,,)2( RkRbaaakbaba k
为什么上的线性空间是否构成问 RR?
二,解答题 (每小题 8分，共 16分 )．
.2 32 为什么空间的下列子集是否构成子?R;,,0 01)1( 1
Rdcb
dc
bW
在基的元素求分、四?
32
10)(7 22 AR
.
01
11
,
10
11
,
11
01
,
11
10
4321
下的坐标
GGGG
.,,,000 0)2( 2
Rcbacba
c
baW
.32,
1,,,)7(
2
3
233
在这个基下的坐标并求多项式一个基的是证明分、三
xx
xPxxxxxx
五、下列变换是否线性变换？为什么？ (每小题 5
分，共 10分 )．
;,2,,,,.1 3 acbacbaTR中在
.
,,,.2
nn
nn
RX
XNMXXTRNM
中取定矩阵是设中取两个基在分六,4)10( R
,1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1
4
3
2
1
T
T
T
T
e
e
e
e
T
T
T
T
3,1,6,6
1,2,3,5
0,1,3,0
1,1,1,2
4
3
2
1
1．求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；
2．求向量 在后一个基下的坐标；4321,,,xxxx
3．求在两个基下有相同坐标的向量．
的线性变换已知分、七 4)6( R
0,0,433,3,,,dcbadcbadcbaT
求 的值域与核的维数和基．T
.
)6( 33
的基与维数的线性空间求三阶实对称矩阵构成分九,?SR
324
202
423
A
求 的特征值与特征向量．
矩阵为下的在基的线性变换已知分八,22,,1)7( xxTxP
T
一个基
,,,3221 xxx eaxeaexa
求微分运算 在这个基下的矩阵．
RaaaeaxaxaV x 01201223,,?
对于函数的线性运算构成 3维线性空间，在 中取3V
函数集合分十,)7(
D
.)1,0,1(,)1,1,2(;2.6;
,.5;.4 );1,1,1.(3;.2 ;.1
1112
2122
TT
aa
aa
对应且保持线性组合的两空间元素一一对应维数或向量空间线性空间一、
;1,1,)1.(1 的负元是是零元构成二,aa
,112211
,)2(
2 aaaaaa
因为不构成测试题答案
.)2(;)1.(2 构成不构成
,3,2,1,0 T四,.; 是是五,;
3101
1211
6331
6502
.1
P六、;
26937
18009
239121
2327912
27
1
'
'
'
'
.2
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
,2,1,0,0 T三、
,1,1,1,1.3 Tk?
,4,0,7,3,0,4,6,6
,2
0,0,1,1,0,0,3,1
,2
TT
21
一个基为维的的核是一个基为维的的值域是七、
T
eTeT
T
TT
.22
,8;2,21
,1
2
3
2
21
xx
xxx
对应的特征向量为特征值对应的特征向量为特征值八、
,
000
001
010
,
100
000
000
1233
EE;
010
100
000
,
001
000
100
2313
EE
维数为 6．
,
000
010
000
,
000
000
001
,2211
EE基九、
.
110
012
001
所求矩阵为十、
