一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为 实变换,来研究二次型的标准形所具有的性质．
.
,,,,
,0
,0
,
,)(1
11
22
22
2
11
22
22
2
11
相等中正数的个数中正数的个数与则及使及有两个实的可逆变换为它的秩设有实二次型惯性定理定理
rr
irr
irr
T
kk
zzzf
kykykykf
PzxCyx
r
Axxf
222 164 zyxf 为 正定二次型
2221 3 xxf 为 负定二次型二、正 (负 )定二次型的概念
.
,,0)(
0;,
,00 0,0
,)( 1
是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的并称对称矩阵次型为正定二则称显然都有如果对任何设有实二次型定义
A
fxf
xA
ffxfx
Axxxf
T
例如证明 使设可逆变换 Cyx?
,2
1
i
n
i
i ykCyfxf?
充分性
.,,10 nik i设,0?x任给
,0 xCy 1-则故,02
1
i
n
i i
ykxf
三、正 (负 )定二次型的判别
.:
2
个系数全为正它的标准形的件是为正定的充分必要条实二次型定理
n
Axxf T?
必要性
,0?sk假设有,)( 时单位坐标向量则当 sey?
,0 ss kCef
,0?sCe显然,为正定相矛盾这与 f
故.,,10 nik i
推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的特征值全为正．
A A
,011?a,0
2221
1211?
aa
aa
,?;0
1
111
nnn
n
aa
aa
,,,2,1,01
1
111
nr
aa
aa
rrr
r
r?
这个定理称为霍尔维茨定理．
定理 3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
的各阶主子式为正，即
A A
对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
A
正定矩阵具有以下一些简单性质;
,,A,.1 1T
定矩阵均为正则为正定实对称阵设 AAA
.
,,.2
矩阵也是正定则阶正定矩阵均为若 BAnBA?
例 1 判别二次型
323121232221321 48455,,xxxxxxxxxxxxf
是否正定,
解的矩阵为321,,xxxf
,
524
212
425
它的顺序主子式
,05?,0112
25
,01
524
212
425
故上述二次型是正定的,
例 2 判别二次型
31232221321 4542,,xxxxxxxxf
是否正定,
解二次型的矩阵为
,
502
040
202
A
用 特征值判别法,
0 AE?令,6,4,1 321
故此二次型为正定二次型,即知 是正定矩阵，A
例 3 判别二次型
xzxyzyxf 44465 222
的正定性,
解 的矩阵为f
,0511a,02662
25
2221
1211
aa
aa
,080A,13 为负定知根据定理 f
,
402
062
225
A
2,正定二次型 （ 正定矩阵 ）的判别方法：
(1)定义法 ；
(2)顺次主子式判别法 ；
(3)特征值判别法,
四、小结
1,正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．
3,根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型 （ 负定矩阵 ）相应的判别方法，请大家自己推导．
思考题
.
0
0
,,,
是否为正定矩阵矩阵试判定分块阶正定矩阵阶分别为设
B
A
C
nmBA
思考题解答
,是正定的C解于是量不同时为零向则若维列向量维和别是分其中维向量为设因为
,
,,0,
,,),(,
yxznm
yxnmyxz TTT
y
x
B
Ay
xCzz TTT 0
0),(
,0 ByyAxx TT
.,为正定矩阵故是实对称阵且 CC
