一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保持几何形状不变,
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法 —— 拉格朗日配方法,
1,若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形 ;
ix
ix
kk
jij
jii
yx
yyx
yyx
jiknk,,,2,1 且?
拉格朗日配方法的步骤
2,若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换
0?ija
),( ji?
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1中方法配方,
解
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.,
62252
323121
2
3
2
2
2
1
并求所用的变换矩阵为标准形化二次型
xxxxxxxxxf例 1
312121 22 xxxxx 322322 652 xxxx
的项配方含有 x 1含有平方项
2321 xxx
322322 652 xxxx 32
2322 2 xxxx
去掉配方后多出来的项
3223222321 44 xxxxxxx
,2 2322321 xxxxx
33
322
3211
2
xy
xxy
xxxy
令
33
322
3211
2
yx
yyx
yyyx
3
2
1
3
2
1
100
210
111
y
y
y
x
x
x
323121232221 62252 xxxxxxxxxf
.2221 yy
所用变换矩阵为
,01,
100
210
111
CC
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
令解
,622 323121 xxxxxxf代入
.8422 32312221 yyyyyyf 得
.,
622
323121
并求所用的变换矩阵成标准形化二次型
xxxxxxf例 2
由于所给二次型中无平方项，所以
y
y
y
x
x
x
3
2
1
3
2
1
100
011
011
即再配方，得
,6222 23232231 yyyyyf
33
322
311
2
yz
yyz
yyz
令
,2
33
322
311
zy
zzy
zzy
.622 232221 zzzf 得
z
z
z
y
y
y
3
2
1
3
2
1
100
210
101
即所用变换矩阵为
100
210
101
100
011
011
C
.
100
111
311
.02C
二、小结将一个二次型化为标准形，可以用 正交变换法,也可以用 拉格朗日配方法,或者其它方法，
这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是,使用不同的方法,所得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩,
.,
,,323121321
变换并写出所作的可逆线性为标准形化二次型
xxxxxxxxxf
思考题思考题解答故令方项由于所给二次型不含平,解
,
,
,
33
212
211
yx
yyx
yyx
,)( 232231 2 yyyyf有
,
,
,
,
,
,
33
22
311
33
22
211
zy
zy
zzy
yz
yz
yyz
或再令
,
2
3
2
2
2
1 zzzf
得标准形
.
,
,
33
3212
3211
zx
zzzx
zzzx
所用可逆线性变换为
