一、线性空间的基与维数已知,在 中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的．
Rn n
1?n
问题,线性空间的一个重要特征 —— 在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？V;,,,)1( 21 线性无关n
.,
,,,,21
维数的称为线性空间基的一个就称为线性空间那末
Vn
Vn
,
,,,2)( 21
表示线性总可由中任一元素 nV
定义１ 在线性空间 中，如果存在 个元素n
n,,,21?满足：
V
.,nVnn 记作维线性空间的线性空间称为维数为可表示为则的一个基为若 nnn VV,,,,21
RxxxxxxV nnnn,,,212211
当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的．
V
V
,2211 nnxxx
,,,,,
,,,,,,
21
2121
n
T
nn
xxx
xxx
并记作基下的坐标这个在称为元素有序数组使数总有且仅有一组有序于任一元素对的一个基是线性空间设
,,,,
,
,,,,
21
21
n
n
nn
xxx
V
V
定义２
二、元素在给定基下的坐标
.,
,,,1,][
4
5
3
4
2
3214
就是它的一个基中在线性空间
xpx
pxpxppxP
例1
axaxaxaxap 01223344
4
次的多项式任一不超过
papapapapap 5443322110
可表示为
),,,,(
43210 aaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此注意则若取另一基
,
,,2,1,1
4
5
3
4
2
321
xq
xqxqxqq
qaqaqaqaqaap 54433221110 21)(
),,
2
1
,,(
432110 aaaaaa
p
T
在这个基下的坐标为因此线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
V
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
2221
1211
EE
EE
,
43
21
224213122111?
kk
kk
EkEkEkEk
有例２ 所有二阶实矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵
V
V
R
,
00
00
224213122111?
OEkEkEkEk
因此
,
2221
1211 V
aa
aa
A
对于任意二阶实矩阵
,0 3321 kkkk
.,,,22211211 线性无关即 EEEE
.,,,22211211 的一组基为因此 VEEEE
EaEaEaEaA 2222212112121111
有
.),,,( 22211211 aaaa
A
T
在这组基下的坐标是而矩阵
.)
)!1(
)(
,,
!2
)(''
),(' ),((
,,,,)(
)1( T
321
n
afaf
afaf
xf
n
n
下的坐标是在基因此
则由泰勒公式知
)(,,)(),(,1
,][
1
n
2
321 axaxax
xR
n
n
取一组基中在线性空间例3
)(
)!1(
)(
)(
!2
)(''
))((')()(
1
)1(
2
ax
n
af
ax
af
axafafxf
n
n
.
,
.,
,,,,21
的一个映射到的坐标之间的对应就是因此向量与它中的元素而向量的坐标可以看作确定的坐标中的每个向量都有唯一这组基下在的一组基维线性空间是设
RV
R
V
Vn
n
n
n
n
nn
.
.11
.
,,
算的关系上在它与运这个对应的重要性表现对应的映射的一个与我们称这样的映射是中的不同元素因而对应同中不同的向量的坐标不同时应中的向量与之对中的每个元素都有由于
RV
RV
VR
n
n
n
n
n
n
三、线性空间的同构的坐标分别为与于是 k?
n
n
bbb
aaa
n
n
21
21
21
21
设则和下的坐标分别为在基即向量
,),,,(),,,(
,,,,
2121
21
bbbaaa
V
n
T
n
T
n
nnn bababa )()()( 222111
nnakakakk2211
),,,(),,,(
),,,(
2121
2211
bbbaaa
bababa
n
T
n
T
nn
T
),,,(),,,( 2121 aaakakakak n Tn T
,
.
,
,,
点下面更确切地说明这一的讨论归结为的讨论就因而线性空间就归结为坐标的运算它们的运算在向量用坐标表示后上式表明
R
V
n
n
定义 设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构,U V
VU、
例如 维线性空间n
RxxxxxxV nnnn,,,212211
与 维数组向量空间 同构,n nR
因为
),,,( )1( 21 n Tnn xxxRV?中的元素与中的元素?
形成一一对应关系；
Vn nnxxx2211
),,,( 21 n TxxxxRn
设)2(
则有 ),,,(),,,( 2121 n Tn T yyyxxx
),,,( 21 n Txxx
),,,( 21 n Tyyy
),,,( 21 n Txxx
３．同维数的线性空间必同构．
２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性．
结论
１．数域 上任意两个 维线性空间都同构．
nP
同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
１．线性空间的 基 与 维数 ；
２．线性空间的元素在给定基下的 坐标 ；
坐标,（１）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；
３．线性空间的 同构,
四、小结
（２）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来．
中元素求由 3xP
,142)( 231 xxxxf
,1932)( 232 xxxxf
,56)( 33 xxxf
5752)( 234 xxxxf
生成的子空间的基与维数,
思考题思考题解答
0)()()()(
44332211 xfkxfkxfkxfk
令解
.0)55()7694(
)532()22(
43214321
2
421
3
4321
kkkkxkkkk
xkkkxkkkk
则得
.
0
0
0
0
5511
7694
5032
2121
4
3
2
1
k
k
k
k
因此则系数矩阵为设该齐次线性方程组的,A
0000
0000
1210
4301
~
初等行变换
A
有且该子空间的维数为所生成的子空间的基是线性无关因此
,2,)(
),(),(),(,)(),(,
4
32121
xf
xfxfxfxfxf
).()(4)(
),(2)(3)(
214
213
xfxfxf
xfxfxf
