一、基变换公式与过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？
问题,在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．
n
V
V n
且有两个基的是线性空间及设
,
,,,,,,2121 nnn V
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
称此公式为基变换公式．
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
由于
nnnnn
n
n
n
ppp
ppp
ppp
2
1
21
22212
12111
2
1
.
2
1
n
T
P
Pnn,,,,,,2121
基变换公式矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵．
,
,,,,,,
2121
中在基变换公式
Pnn
n,,,21? n,,,21?P
过渡矩阵 是可逆的．P
若两个基满足关系式
Pnn,,,,,,2121
二、坐标变换公式
,)',,','(
,,,
,),,,(
,,,,1
21
21
21
21
n
T
n
n
T
nn
xxx
xxx
V
下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理
则有坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或证明
n
n
x
x
x
2
1
21
,,,
'
'
'
,,,
21 n
x
x
Pnn,,,,,,2121,
'
'
'
,,,,,,
2
1
21
2
1
21
n
n
n
n
x
x
x
P
x
x
x
.
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
即
.
'
'
'
,
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
P
所以可逆由于矩阵
.
,23,22
,22,12
,1,12
,1,2
][
23
4
23
3
2
2
23
1
23
4
23
3
23
2
23
1
3
求坐标变换公式及中取两个基在
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxxx
xP
例1
.,,,,,,43214321 表示用将解
,)1,,,(),,,( 234321 Axxx因为
,)1,,,(),,,( 234321 Bxxx
,
2221
1120
3111
1202
,
1110
0111
1212
1111
BA其中
.),,,(),,,( 143214321 BA得,
'
'
'
'
4
3
2
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
AB
x
x
x
x
故坐标变换公式为
.1 AB?用初等变换计算
AB
11102221
01111120
12123111
11111202
~初等行变换
11111000
10000100
00110010
11100001
11111000
10000100
00110010
11100001
ABE 1
1111
1000
011
1110
.
1111
1000
0011
1110
'
'
'
'
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
所以
.
21
1
,
1
1
1
0
,
0
1
.
2
21
21
的两个基为线性空间及设
RV?
坐标变换的几何意义 例2
,21 21又设 下的坐标为在基则 21,
1
21
2
1
x
x
下的坐标为在基由坐标变换公式可知 21,,
1
21
1
21
211
11 1
2
1
y
y
.21 21即
x
y
o?1
2
2
121
1
2?
121?
１．基变换公式
nnnnnn
nn
nn
ppp
ppp
ppp
2211
22221122
12211111
Pnn,,,,,,2121
三、小结
２．坐标变换公式
,
'
'
'
2
1
2
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
或
.
'
'
'
2
1
12
1
nn
x
x
x
P
x
x
x
.32
,1,1,,
2
3
233
在这个基下的坐标并求多项式的一个基是证明
xx
xPxxxxx
思考题思考题解答
0
)()()(
)1()1()(
4342
2
3
3
21
4
2
3
3
2
3
1
kkxkkxkxkk
xkxkxxkxk
令证明
0
,0
,0
,0
43
42
3
21
kk
kk
k
kk
04321 kkkk
.][,1,1,,3233 的一个基是线性无关故 xPxxxxx
,32
)1()1()(
2
4
2
3
3
2
3
1
xx
xaxaxxaxa
又令
3
,2
,1
,0
43
42
3
21
aa
aa
a
aa
则
.2
,1
,0
,0
4
3
2
1
a
a
a
a
解之可得
.)2,1,0,0(322 Txx 在这个基下的坐标为故
