定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
nn
y
y
y
y
x
x
x
x
nn yxyxyxyx2211,令
,,的与为向量称 yxyx 内积一、内积的定义及性质说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
4?nn
,,
:,
,,2
yxyx
yx
T?
为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算内积的运算性质
,,,,为实数维向量为其中?nzyx
;,,)1( xyyx?
;,,)2( yxyx
;,,,)3( zyzxzyx
.0],[0,0],)[4( xxxxx 时有且当定义 2
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
,,22221 nxxxxxx
令
,或的维向量为称 xnx长度 范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx 时当时当;xx
.yxyx
二、向量的长度及性质维向量间的夹角单位向量及 n
,1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量例解co s? 22623 18
.4
,,11 为称时当 xx?单位向量
yx yxyx,a rcco s,0,02时当
,的与维向量称为 yxn夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0],[ yxyx 与称向量时当?正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx?
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
三、正交向量组的概念及求法
,00 21111 T由,01从而有
.02 r同理可得,,,,21 线性无关故 r
使设有 r,,,21?证明
02211 r
得左乘上式两端以,1a T 0111 T
３ 正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若定理
r
rn
21
21 1
例 1 已知三维向量空间中两个向量
1
2
1
,
1
1
1
21
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基,
3? 321,,
４ 向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
即
02],[
0],[
32132
32131
xxx
xxx
解之得,0,231 xxx
则有若令,13?x?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321,,
则有 0],[],[ 3231
解,,,0,,213213 正交且分别与设 Txxx
５ 规范正交基
.,,,,
,,,,)
(,,,3
21
21
21
的一个规范正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
例如
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
eeee
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且且由于
.,,,44321 的一个规范正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
同理可知
.4 的一个规范正交基也为 R
（ 1） 正交化,取,11 ab
,,
,
1
11
21
22 bbb
abab
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vaaa r?
６ 求规范正交基的方法称为这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
.
,,,21
范正交化这个基规把 r
1
11
1
2
22
2
1
11
1
],[
],[
],[
],[
],[
],[
r
rr
rrrr
rr bbb
abb
bb
abb
bb
abab?
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr aabbbb
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r b
be
b
be
b
be
.,,,21 的一个规范正交基为那么 Veee r?
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 aaa
正交规范化,
解 先 正交化,
1,1,1,111 ab
111 2122,
,b
bb
abab
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
bb
aa
施密特正交化过程
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
再 单位化,
143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得规范正交向量组如下
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1 b
be
例３
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量规范正交化特正交化过程把这组向试用施密设
aaa
解 ;11 ab?取
b
b
baab
12
12
22
1
],[
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
21
],[],[
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1?
,
1
2
1
6
1
b
be
2
2
2?
,
1
1
1
3
1
b
be
3
3
3?
.
1
0
1
2
1
.,,321 即合所求eee
a1
a3
a2
几 何 解 释
b1;11 ab?
,
],[
],[
,
12
12
1
1
1
1
22
122
1
b
b
ba
b
b
b
b
ac
bac
即上的投影向量在为;222 cab c
2
b2
,
,2133
平面上的投影向量的在平行于为 bbac
c3
,
],[],[
,
,,
22
23
12
13
32313
3231
213321
21
b
b
ba
b
b
ba
ccc
cc
bbacbb
即之和及向量上的投影分别在等于故由于
c31
c32
.333 cab
b3
例４
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交使求一组非零向量已知
a
aaaaa
解
.0
,0,
321
132
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12a,],[
],[
1
11
21
23
a
于是得其中,2],[,1],[ 1121
,
1
0
1
2
a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
a
证明 EAA T?
E?
定义 4
,
,1
正交矩阵为称则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT
定理
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
四、正交矩阵与正交变换为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交．
A A
ETnTT
n
,,,21
2
1
E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
21
22212
12111
njiji jiijTji,,2,1,,0 ;,1
当当
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明,为正交变换设 Pxy?
.xxxPxPxyyy TTTT则有例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
,
12131
21121
31211
1
,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,Pxy?P
解
12131
21121
31211
1
,02131121211
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
100
010
001由于
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例６
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵验证矩阵
P
解
.
,,
是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
1．将一组基规范正交化的方法：
先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．
;1 1 TAA
;2 EAA T?
;3 单位向量的列向量是两两正交的A
,4 单位向量的行向量是两两正交的A
五、小结
2,为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A
求一单位向量，使它与
,1,1,1,11,1,1,1,123,1,23
正交．
思考题
:),,,,( 则由题意可得设所求向量为 dcbax?解思考题解答
.032
,0
,0
,1
2222
dcba
dcba
dcba
dcba
)263,261,0,1322(,x解之可得
).263,261,0,1322(x或
