);(),( ccrr jiji记作列对调矩阵的两行
);(
,)(0
kckr
k
ii
记作中的所有元素列乘某一行以数
).(,
)()(
ckcrkr
k
jiji记作对应的元素上去列倍加到另一行所有元素的列把某一行
１ 初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初 等 变 换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．
)( ccrr jiji )( ccrr jiji
)( kckr ii )
1(1
kckr ii
)( ckcrkr jiji ))(()( ckcrkr jiji
.~,
,
BABA
BA
记作等价与称矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵反身性传递性对称性;~ AA;~,~ ABBA 则若
.~,~,~ CACBBA 则若
２ 矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．
３ 初等矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．
E
).(
:
,)(),(
rrj
iAA
aAjiEm
ji
ij nmm
行对调行与第的第把施行第一种初等行变换当于对矩阵相左乘阶初等矩阵用（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵,
).(
:
,),(,
ccji
AA
AjiEn
ji
n
列对调列与第第的把施行第一种初等列变换相当于对矩阵右乘矩阵阶初等矩阵用类似地
),( jiE
（２）倍法变换：以数 （非零）乘某行（
列），得初等矩阵,
);(
,))((
kri
AkAkiE
i
m
行第的乘相当于以数左乘矩阵以
).(
,))((
kci
AkAkiE
i
n
列第的乘相当于以数右乘矩阵以
k
))(( kiE
（３）消法变换：以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵,
);(
,))((
rkrik
jAAkijE
ji
m
行上加到第以行乘的第相当于把左乘矩阵以
).(
,))((
ckcjk
iAAkijE
ij
n
列上加到第以列乘的第相当于把右乘矩阵以
k
))(( kijE
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）
后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．
例如
00000
31000
01110
41211
４ 行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其它元素都为 0．
例如
00000
31000
30110
40101
５ 行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为 0．
例如
00000
31000
30110
40101
ccc
cc
cccc
214
43
3215
334
~
00000
00100
00010
00001
６ 矩阵的标准形
.
,,,
),
(,
数梯形矩阵中非零行的行就是行阶其中三个数完全确定此标准形由化为标准形换和列变换行变总可以经过初等变换矩阵任何一个
rrnm
OO
OE
r
F
nm
nm
所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的矩阵．
F
定义
.
,
,
,,
2
阶子式的称为矩阵阶行列式的位置次序而得到的中所处不改变它们在个元素行列交叉处的位于这些列行和任取中矩阵在
k
Ak
Ak
kkAnm?
７ 矩阵的秩定义
.0).(,
,
,0)(1
,0
并规定零矩阵的秩等于记作的秩称为矩阵数的最高阶非零子式称为矩阵那么全等于如果存在的话阶子式且所有阶子式的中有一个不等于设在矩阵
AR
ArAD
r
DrA;)(,1 rARrA 则阶子式都为零中所有如果
);()( ARAR T?
定理 );()(,~ BRARBA?则若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
８ 矩阵秩的性质及定理;)(,rARrA?则阶子式中有一个非零的如果
.~ )4(; )3(;)( )2(; )1(
EA
EA
nAR
AA
的标准形为单位矩阵的最高阶非零子式为
则阶可逆矩阵为若,nA
定理定理
.)(
0
nAR
xAn nm
阵的秩充分必要条件是系数矩有非零解的元齐次线性方程组
.),(
的秩的秩等于增广矩阵分必要条件是系数矩阵有解的充元非齐次线性方程组
bA
BA
bxAn nm
９ 线性方程组有解判别定理齐次线性方程组,把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．
非齐次线性方程组,把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．
10 线性方程组的解法定理
.
,;,
,
阶初等矩阵相应的的右边乘以相当于在施行一次初等列变换对阶初等矩阵左边乘以相应的相当于在变换施行一次初等行对矩阵是一个设
n
AA
mA
AnmA?
11 初等矩阵与初等变换的关系定理
.,,,
,,
212
1
PPPAPP
PA
ll使则存在有限个初等矩阵为可逆矩阵设推论
.,
:~
BP A QQnP
mBAnm
使得阶可逆矩阵及阶可逆矩阵存在的充分必要条件是矩阵一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典 型 例 题求矩阵的秩有下列基本方法
（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．
一、求矩阵的秩
（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．
例１ 求下列矩阵的秩
.
34147191
1663111
104260
10021
A
解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵A
34147191
1663111
104260
10021
A
35147210
156390
104260
10021
~
,
00000
00000
52130
10021
~ B?
.2)()(, BRAR因此注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．
二、求解线性方程组例２ 求非齐次线性方程组的通解．
)1(
.2255
,1222
,132
,123
,132
321
4321
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简单形．
B
20255
11222
11132
11123
11321
B
00000
20354
11132
20255
20453
~
31
32
34
25
rr
rr
rr
rr
00000
00101
11132
20255
00202
~
21
24
rr
rr
00000
00000
11132
02011
00101
~
2
2
1
32
14
r
rr
rr
00000
00000
15600
02110
00101
~
12
213
32
rr
rrr
00000
00000
6165100
6167010
6165001
~
6
)1(
6
)1(
6
3
1
3
2
3
r
r
r
r
r
.
,
1
65
67
65
0
61
61
61
)1(,
4
3
2
1
4
取任意常数的通解是可得方程组令自由未知量
k
k
x
x
x
x
x
kx
由此可知,而方程组 (1)中未知量的个数是,故有一个自由未知量,
3)()( BRAR
4?n
.0323
,0
,022
,0
4321
4321
4321
4321
xaxxx
xxaxx
xxxx
xxxx
例３ 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．
a
解法一 系数矩阵 的行列式为A
a
a
A
323
111
2121
1111
3050
2120
1010
1111
a
a
2000
0100
1010
1111
a
a
)2)(1( aa
.,0,21 方程组有非零解时或者当 Aaa
:,1 化成最简形把系数矩阵时当 Aa
1000
0000
0010
0101
1323
1111
2121
1111
~
.,
0
1
0
1
4
3
2
1
为任意常数kk
x
x
x
x
x
从而得到方程组的通解
0000
0300
1010
1111
2323
1211
2121
1111
,2
~
化为之变换可把由计算时当 AAa
0000
0100
1010
0001
~
.
,
1
0
1
0
4
3
2
1
为任意常数为从而得到方程组的通解
k
k
x
x
x
x
x
a
a
A
323
111
2121
1111
3050
2120
1010
1111
~
a
a
解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形A
.,
,4)(,21
解可仿照解法一求出它的非零解此时方程组有时或者当 ARaa
2000
0100
1010
1111
~
a
a
.
,,)(
,
1
A
EEAEA
A
变成了就原来的时变成当把施行初等行变换只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵
.,
,
1AEE
A
E
A
就变成了原来的时变成当把施行初等列变换或者对分块矩阵三、求逆矩阵的初等变换法例４ 求下述矩阵的逆矩阵．
111
211
120
A
解,),( 施行初等行变换作分块矩阵 EA
100111
010211
001120
100111
001120
010211
~
21 rr
110100
001120
010211
~
13 rr
110100
111020
010211
~
32 rr
110100
111020
210011
~
31
)2( rr
110100
212121010
210011
~
2
1
2r
110100
212121010
252321001
~
21
)1( rr
.
110
212121
252321
1
A
注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．
BAX?)1(
四、解矩阵方程的初等变换法
)( BA )( 1~ BAE?初等行变换 AX 1
BA
BXA?)2(
AB E 1~
初等列变换 BAX
1
)( BA TT ))(( 1~ BAE TT?初等行变换
ABX 1
BAX TTT )( 1
或者例５
.,2,
410
011
103
XXAAXA 求矩阵且设
解,2 XAAX
,
210
011
101
2
EA又
,)2( AXEA
100210
010011
001101
2 AEA由于
,
322100
234010
225001
~
初等行变换
.
322
234
225
X
第三章 测试题一、填空题 (每小题 4分，共 24分 )．
1．若 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为
，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解．
2．齐次线性方程组
03
02
0
32
321
321
xkx
xxx
xkxx
只有零解，则 应满足的条件是,
n
r
k
的通解为则设 0,
111
111
111
,3?
AXA
4．线性方程组
515
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
axx
有解的充要条件是的秩是矩阵
0011
1022
1011
1000
.6 A
二、计算题
ARARA 则且秩阶方阵为设,3,4.5
.,.1 确定矩阵的秩值的范围讨论?
(第 1题每小题 8分，共 16分；第 2题每小题 9分，共 18分；第 3题 12分 )．
06865
035322
02463
1
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx2．求解下列线性方程组
3422
31771
1104
4113
2
16101
512
211
1
4
42
3
321
321
321
bxxx
xaxx
xaxx
有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，
求其通解．
线性方程组取何值时,,.3 ba
55493
123
2362
3233
2
54321
54321
4321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵
,
011
012
111
.1
1111
1111
1111
1111
.2
,
:,,,.1 1
nABEABE
BA B AnBA
秩秩证明且阶方阵为两个四、证明题 (每小题 8分，共 16分 )
(每小题 7分，共 14分 )．
,:,.2 AAAnmA T 秩秩证明实矩阵为设
.2.6 ;1.5 ;0.4;.3 ;
5
3
.2 ;,.1
54321
aaaaa
knrnr 零解一、;2,3;3,3)1(.1 秩为时当秩为时当二,
测试题答案
.2,0;4,0)2( 秩为时当秩为时当;
1
0
0
45
41
0
1
0
47
43
0
0
1
43
49
)1(.2
321
kkkX
.
1
0
52
0
51
0
1
51
0
57
0
0
0
1
3
0
0
54
0
53
)2(
321
kkkX
.,;,1
2
1;,10.3
方程组无解其余情形方程组有无穷多解时且当方程组有唯一解时且当
ba
ba;
123
210
110
3
1
.1 1
A三、
.
1111
1111
1111
1111
4
1
.2
1
A
.,
1
0
1
2
2
2
Rkkx?
通解为
