,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
3223332211 aaaaa3321312312 aaaaa
3122322113 aaaaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
一、余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
,记 ijjiij MA 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M?
122112 1 MA,12M
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M?
,1 44444444 MMA
.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,ijij AaD?
n i
ija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D?
,1
444241
242221
141211
33
33
aaa
aaa
aaa
a
例如证 当 位于第一行第一列时,ija
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
21
22221
11
00
即有,1111 MaD?
又 111111 1 MA,11M?
从而,1111 AaD?
在证一般情形,此时
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00?
,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 iiiD
得
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
1
,1,11,1
1
00
1
ija
ija
,
1,2,1
对调列第列第列列依次与第的第再把 jjjD
得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,1
11
00
11
ija
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
1,
,11,1,1
2
00
1
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
1,
,11,1,1
00
1
ija
ija
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00?
中的余子式,ijM
在余子式仍然是中的在行列式元素
ij
nnjnnj
nijiji
ij
ij
a
aaa
aaa
a
a
1,
,11,1,1
00
ija
ija
故得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,1
00
1
,1 ijijji Ma
于是有
nnjnnj
nijiji
ij
aaa
aaa
a
1,
,11,1,1
00
,ijij Ma?
ija
ija
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD2211ni,,2,1
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
000000
二、行列式按行（列）展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
ininiiii AaAaAa2211
ni,,2,1
例 1
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc?
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
50
28
.40?
12 rr?
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD 12 xx,)(12 ji ji xx
）式成立．时（当 12 n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
就有提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD
).(
1 jjin i
xx
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
n-1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji 02211?
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开，有按第把行列式 jaD ij )d et (?
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时当 ji?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中例３ 计算行列式
277
010
353
D
解
27
013D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13
05320
04140
01320
25271
02135
D
例４ 计算行列式解
05320
04140
01320
25271
02135
D
660
270
132
10?
66
27210
,1080124220
532
414
132
52
5320
4140
1320
2135
21
52
13 rr?
12 2 rr
1,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,
;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中三、小结思考题阶行列式设 n
n
n
D
n
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA
思考题解答解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n?
001
0301
0021
1111
.11!
2
n
j j
n
