一、行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式,TD D
记
nn
a
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn
aa
a
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
TD
nn
a
a
a
22
11
证明的转置行列式记 ijaD d e t?,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D

,,,2,1,njiab ijij即 按定义
,11 2121 2121 nppptnppptT nn aaabbbD
又因为行列式 D可表示为
,1 21 21 npppt naaaD?
故,TDD? 证毕性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D

说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
是由行列式 变换 两行得到的,ijaD d e t? ji,
于是
nji npjpipp
t bbbbD
111 1
nji npjpippt aaaa111
,1 11 nij npjpippt aaaa
,1 为自然排列其中 nji
.1 的逆序数为排列 nji ppppt
,11 tpppp nji 的逆序数为设排列则有即当 时,jik,? ;kpkp ab? 当 时,jik,?
,,ipjpjpip abab
例如推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0 D
,DD
,11 1tt
故,1
1
1 11 DaaaaD
nij npjpipp
t证毕
,
571571
266
853
.
8
2
5
8
2
5

3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
266 853
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa


21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k


21
21
11211
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa



21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k



21
21
21
11211
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D




)(
)(
)(
21
2222221
1111211



则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D









1
2221
1111
1
2221
1111例如性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa




1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr




)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如例１
2101044
614753
12402
59733
13211




D
二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr?
3
2101044
614753
12402
59733
13211




D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2101044
614753
14020
20100
13211




2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2
3
12 2rr?
4
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211



22200
35120
14020
20100
13211



14 4rr?
13 3rr?
22200
01000
21100
35120
13211


34 rr?
22200
20100
21100
35120
13211



23 rr?
2
60000
01000
21100
35120
13211


61245 4rr?,12?
64000
01000
21100
35120
13211


35 2rr?
4?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D

解



abbbna
babbna
bbabna
bbbbna

1
1
1
1




D
将第 都加到第一列得 n,,3,2?

abb
bab
bba
bbb
bna

1
1
1
1
)1(

ba
ba
ba
bbb
bna

1
)1(
0
0
,)()1( 1 nbabna
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D



1
111
1
111
1
111
0
设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD

,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD


.21 DDD?证明证明;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D?
设为化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkccD ji?
.
0
11
1
11
2 nn
nkn
qq
pq
q
D?
设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
cc
cc
pp
p
D



化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
nnkk qqppD 1111故,21 DD?
(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
三、小结行列式的 6个性质思考题阶行列式计算 4
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
D
1?a b c d已知思考题解答解
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
d
dd
c
cc
b
bb
a
aa
D?
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
a b cd
11
1
11
1
11
1
11
1
2
2
2
2

dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
11
1
11
1
11
1
11
1
1
2
2
2
2
3

.0?