nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
1,线性方程组的解取决于,,,2,1,njia ij系数
n,,,ib i?21?常数项一、矩阵概念的引入
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究,
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
2,某航空公司在 A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,
如图所示表示了四城市间的航班图,如果从 A到 B有航班,
则用带箭头的线连接 A 与 B.
A
B
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示,
发站到站
A B C D
A
B
C
D
其中 表示有航班,
为了便于计算,把表中的 改成 1,空白地方填上
0,就得到一个数表,
1 1
1 1
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况,
A B C D
A
B
C
D
二、矩阵的定义由 个数排成的 行 列的数表
nm?m nnjmia ij,,2,1;,,2,1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为 矩阵,简称 矩阵,nm? nm? 记作
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
简记为.ijnmijnm aaAA
元的矩阵
nm
A
,
.,简称为元的元素个数称为这 Anm?
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
主对角线副对角线例如?
3469
5301
是一个 实矩阵,42?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
9532
是一个 矩阵,41?
4
是一个 矩阵,11?
例如?
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
几种特殊矩阵
(2)只有一行的矩阵
,,,,21 naaaA
称为 行矩阵 (或 行向量 ).
(1)行数与列数都等于 的矩阵,称为 阶n nA
.nA方阵,也可记作
,
2
1
n
a
a
a
B
只有一列的矩阵称为 列矩阵 (或 列向量 ).
称为 对角矩阵 (或 对角阵 ）,?
n
00
00
00
2
1
（ 3） 形如 的方阵,
O
O
不全为 0
（ 4） 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,零矩阵记作 或,
nm?
nmo? o
注意
,0000
0000
0000
0000
0000
不同阶数的零矩阵是不相等的,
例如记作.,,,21 nd ia gA
(5)方阵
100
010
001
n
EE
称为 单位矩阵 （或 单位阵 ）,
同型矩阵与矩阵相等的概念
O
O
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为 同型矩阵,
全为 1
2.两个矩阵 为 同型矩阵,并且对应元素相等,即
ijij bBaA 与?
,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij
则称 矩阵 相等,记作BA与,BA?
例如
93
48
314
73
65
21
与为 同型矩阵,
例 1 之个变量与个变量 mn yyymxxxn,,,,,,2121
间的关系式
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
的到变量表示一个从变量 mn yyyxxx,,,,,,2121
线性变换,
.为常数其中 ija
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
若线性变换为
nn
xy
xy
xy
,
,
22
11
称之为 恒等变换,
nn
xy
xy
xy
,
,
22
11
对应
100
010
001
单位阵,
线性变换
.c o ss in
,s inc o s
1
1
yxy
yxx
对应
c o ss in
s inc o s
X
Y
O?
yxP,
111,yxP
这是一个以原点为中心旋转 角的 旋转变换,?
例 2 设
,1 31,213 321?
zy
xBA
.,,,zyxBA 求已知?
解,BA
.2,3,2 zyx
三、小结
(1)矩阵的概念
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
22221
11211
列的一个数表行 nm
(2) 特殊矩阵
方阵;nm?
行矩阵与列矩阵 ;
单位矩阵 ;
对角矩阵 ;
零矩阵,
.
100
010
001
,
2
1
n
a
a
a
B
,,,,21 naaaA
n
0
00
00
2
1
思考题矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个 数表,它的行数和列数可以不同,
