§ 3-1 投影的基本知识一,投影法的概述 s
投影法的三要素 投影线投影面
P
物体二、分类
1,中心投影
2,平行投影
1）直角投影
2）斜角投影一、真实性
§ 3-2 正投影的性质二、积聚性三、类似性四、从属性六、平行性五、等比性
AK/KB=ak/kb
AB//CD
ab//cd
A
B
D E
F
C
M
N
a
b
d e
f
c
m
n
P
K
k
P c
a
b
A
B
C
M
N
m
n
P
M
N
m(n)
D
A C
B
d(a)
c(b)
P
A
B
C
D
a
b
c
d
E
F
G
H
e(f)
h(g)
j(k)
n(m)
K
M
N
J
§ 3-3 常用的工程图一、单面投影如：三视图
1.透视图
2.轴测图
1）正轴测图
2）斜轴测图三、多面正投影
3.标高图多视图的投影联系,
方位关系,
第四章 点、直线、平面的投影
a H
A
a’
a
A1.点的一面投影一、点在两面投影体系中的投影
4.点在两面投影体系中的投影规律,
v
H
§ 4-1 点的投影
2.两面正投影体系的建立
3.投影的产生
X
a’
a
ax
ax
a
X
1） a’a⊥X 轴
２ ) aax=点到 V面的距离
a?ax=点到 H面的距离
(长对正 )
V
H
二、点在三面投影体系中的投影
3.投影规律例１：已知 B点的两面投影 b,b?，
求 b。
b”
1.三面投影体系的建立
2.投影面的展开
a’
a
X
YW
YH
Z a
Oax
az
x
b
O
b?
Z
YH
Yw
３ ) aax=aaz
(=Aa?= A点到 V面的距离 )
1) a?a⊥X 轴 (长对正 )
2) a?a⊥Z 轴 (高平齐 )
(宽相等 )
三、点的三面投影与直角坐标的关系例１：已知 C点的坐标 (20,30,50)，求 C点的投影。
c
c?
OX
Z
YH
YW
20
c
X
Z
YH
YWO
b
b? b
d
d? d
例 2：已知 B点的坐标 (20,20,0),D点的坐标 (0,10,0)，求
B点,D点的投影。
四、点的辅助投影
1.点的一次换面
a.更换 H面
b.更换 V面
2.点的两次换面
a.
b,111 VHVHVH
1
1
1 V
H
V
H
V
H
X VH
a
ax
a’
X1
V H
1
OX1
aH1 X V
H
b’
bX
b
bX1
bH1
H V1X
1
X VH bX
b
b’
H V1X
1
bX1 bH1
X2
V1
H1
bX2
bH1
aH1A
ax1
H1
X1
X
H
V
ax
a’
a
bV1
bx1
H
X
V B
bx
b’
b X1
V1
H
X
V
b
bx
b’
B
b1
X1
V1
b2
H2
X2
五、点的相对位置
1,判断方法
a’’
V
H
a’
A
a
X
Y
Z
b’
B b’’
b
W
X
Z
YW
YH
O
a’
a
a’’
b’ b’’
b
可见性的判断：坐标值大为可见所以 A点在 B点的左前下方
C点与 D点的正面投影为重影点规定：
X坐标大为左，小为右；
Y坐标大为前，小为后；
Z坐标大为上，小为下。
2,重影点三、各种位置直线的投影特性
3.投影面垂直线2.投影面平行线
a”
b”
X
YH
Z
YwO
§ 4-2 直线的投影一、直线的投影特征二、直线的投影图的画法投影面的平行线投影面的垂直线一般位置直线
,水平线、正平线、侧平线
,铅垂线、正垂线、侧垂线
1.分类 a
a’
b
b’
水平线投影特征：
1.在该投影面上的投影反映 实长、实角
2.其他两面投影分别 平行 于相应的投影轴投影特征：
1.在该投影面上的投影有 积聚性
2.其他两面投影分别 垂直 于相应的投影轴
Z
X
YH
YWO X
Z
YH
YWO
铅垂线四、直线上的点的投影特性（一）
从属性 和 定比性例 1 已知 C在 AB上,根据 c求 c?,c。 例 2 已知 C在 AB上使 AC:CB=1:2。
ca
b
H
A
B
X
a
b
a’ b’c’
X
a
b
a’
b’
a”
b”
2
X
a
b
a’
b’
1
3
C
c
YW
YH
Z
O
c
c’ c’’
c
c’
四、直线上的点的投影特性（二）
例 3 判断点 K是否在直线 AB上。
五,直线的迹点
2.利用定比性
1.利用从属性
b0
k0
Z
YW
YH
a”
b”
k”
a
b
a’
b’
X
k’
k
o
X
a
b
k
a’
b’
k’
k0’
直线与投影面的交点叫迹点水平迹点用 M表示正面迹点用 N表示侧面迹点用 S表示
V
H
X m’
m
M
a’
b’
n’
N
B
A nb
a
m
n
m’
n’
a
b
a’
b’
X
例 2已知线段 AB的一个投影 ab和 A点的另一投影，并已知?=30?，完成 AB
的正面投影。
例 1、求线段 CD的实长及倾角?。
ab
X
ZB
-ZAV
B
a b
a’
b’
1.直角三角形法 —— 作图方法一般有两种,
ZB-
ZA
H
ab
AB实长
AB实长
a
b
a’
b’
X
(b)
(c)
A (a)
X
c
d
c’
d’
CD 实长
X
a b
a’
Bo
b2’
b’
30?
六、求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
B0
B1
１、将一般位置直线换成投影面平行线
２、将投影面平行线换成投影面垂直线 ３、将一般位置直线换成投影面垂直。
V H
A
B
a
ba’
b’
V1
av1’
bv1’
ax1
av1’ bv1’
XHV
a
b
a’
b’
aH1
bH1
(a) (b) (c)
a1(b1)
V
H
X
(a)
X VH
a b
a’
b’
a1(b1)
(b)
a2(b2)
XVH
a
b
a’
b’
aV1’ b
V1’
2.换面法
bx1
ax bx
H
V
b
a’
b’
X
a
H1
A
B
a
b
a’ b’
七、两直线的相对位置
X
a’
b’
c’
d’
a
b
c
d
X
e
f
g
h
e’
f’
g’
h’平行 相交 交叉一、平行两直线空间位置,
投影规律,平行性判断规律：
、定比性同面投影相互平行判断直线 AB与 CD,EF与 GH是否平行。
例 1：已知 ab//cd a’b’//c’d’ ef//gh e’f’//g’h’
e”
f”
h”
g”
2.定比性1.第三面投影3.
方法：
二、相交两直线空间位置,
投影规律,
判断规律,X
a’
b’c’
d’
a
bc
d
k
k’
X a’
b’c’
d’
a
bc
d
k’
X
a’
b’
c’
d’
a
b
c
d
k
a0
k0
三、相叉两直线投影规律,
判断规律：
空间位置,
b’
a’ c’
X
d’
a
bc
d
a’a’
X
b’c’
a
bc
d
d’ X
b’c’
d’
a bc
d
X
b’c’
d’
a bc
d
X
b’d’
c’
ad
b
c
a’
a’
交叉 相交 平行 交叉 交叉八,直角定理已知 AB?BC 且 BC//P，则 ab? bc。
P
B
A
C
a b c
定理：空间两直线垂直 (包括垂直相交、
交叉相交），如其中一条平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影也垂直。
例 1,BC为水平线及
A点的投影 a’、
a。过 A点作一直线与 BC垂直相交。
例 2：作 AB与 CD的公垂线。
例 3：过 A点到 CD
的距离。
X
a’
cb’
b
c
a
d
d’
e’
X
b’(a’)
c’
d’
a
b
d
c e
f
f’
d
X
c
d
a
c’
d’
a’
cH1
dH1
aH1
dH1
X1
d’
第四章 平面的投影
§ 4-1 平面的表示方法
OX
Z
YW
YH
2.投影特征,
1.空间位置,
一、投影面的垂直面
§ 4-3 各种位置平面的投影特征二、迹线表示平面一、几何元素表示
1.投影面的垂直面
2.投影面的平行面
3.一般位置平面
PH
PV PW
积聚性类似性
YH
O
Z
X YW
a
a’
例 1 已知一平面为铅垂面，它与 v面的夹角为 30度及其正面投影和 a，求其水平投影和侧面投影。
30?
a”
m’
m
m”
例 2 含点 A，作 a=30?的正垂面（用迹线表示平面）。
a
a’
Z
Yw
O
YH
x 30°
§ 4-2 分类二、投影面的平行面三、一般位置的平面
1.空间位置,平行于某一投影面
2.投影特征 真实性积聚性
1.空间位置,
2.投影特征,类似性
§ 4-4 平面内的线与点
(一 )直线在平面内的几何条件
(二 )点在平面内的几何条件
1.在△ ABC中过 A作一正平线。
d
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’
2.在△ ABC内作一距 H面 20mm
的水平线。
4.判断 EF是否在▽ ABC内。
3.在△ ABC内取一点 K，使
Yk=30,Zk=20
X
a
b
c
a’
b’
c’
e f
e’ f’
X
Z
YW
YH
O
20
30
k
k’
m
m’
a
b
c
e’
f’
e
f
a’
b’
c’X
m0
f05.判断 K点是否在 abc平面内
h’
h
k’
k
X1
X
a
b
c
a’
b’
c’
d
d’
b1
a1d1
c1
a2
b2
c2
§ 4-4 平面的辅助投影一、将一般位置的投影变换为投影面的垂直面例 1 求▽ ABC对 V面的倾角 β
二、将一般位置平面的投影变换为投影面的平行面例 2 求▽ ABC的实形
X2β
第五章 相对位置例 2 过 M作一直线,使此直线
// ▽ ABC//V面例 4 判断一下两平面是否平行
m
X
a
b
c
a’
b’
c’
m’
X
a
b
c
a’
b’
c’
m
m’
X
a
b
c
m
a’
b’
c’
m’
§ 5-1 平行问题一、直线与平面平行例 1 已知面▽ ABC及空间一点 M，
过 M作一直线与▽ ABC平行。
二、平面与平面平行例 3 过点 M作一平面与▽ ABC平行几何条件,
几何条件,
2.特殊位置平面与一般位置直线相交
3.求含有特殊位置平面在内的面面相交交线的投影
c
c’
km
g
m’ k’
§ 5-2 相交问题一、利用积聚性求交点或交线
1.投影面的垂直线与一般位置的平面相交 Xd’
e’
f’
e
f
d
a’
b’
a(b)
1’(2’)
1
2
g’
f g
e h
X
b
c
a’
b’ c’
a
h’(g’)e’(f’)
d
d’
k
k’
1
2
1’(2’)
b’
a’
c’
b
a
c
e
f
e’
f’
X
二、一般位置直线和一般位置平面的相交
1.换面法
2.辅助平面法方法：
m
nk
m’ k’
n’
b
c
d
e
c’
d’
e’
a
X
a’
b’
h
(h’)
1’
2’
1(2)
PV
三、两一般位置平面相交
Rv
交线
x a
b
c
b’
a’
c’
f
e
d
f’
e’
d’
1’ 2’ 3’ 4’
1
2
3 4
k
g
5’ 6’ 7’ 8’ Pv
5
6
7
8
m’(n’)
m
nx(y)
x’
y’
投影法的三要素 投影线投影面
P
物体二、分类
1,中心投影
2,平行投影
1）直角投影
2）斜角投影一、真实性
§ 3-2 正投影的性质二、积聚性三、类似性四、从属性六、平行性五、等比性
AK/KB=ak/kb
AB//CD
ab//cd
A
B
D E
F
C
M
N
a
b
d e
f
c
m
n
P
K
k
P c
a
b
A
B
C
M
N
m
n
P
M
N
m(n)
D
A C
B
d(a)
c(b)
P
A
B
C
D
a
b
c
d
E
F
G
H
e(f)
h(g)
j(k)
n(m)
K
M
N
J
§ 3-3 常用的工程图一、单面投影如：三视图
1.透视图
2.轴测图
1）正轴测图
2）斜轴测图三、多面正投影
3.标高图多视图的投影联系,
方位关系,
第四章 点、直线、平面的投影
a H
A
a’
a
A1.点的一面投影一、点在两面投影体系中的投影
4.点在两面投影体系中的投影规律,
v
H
§ 4-1 点的投影
2.两面正投影体系的建立
3.投影的产生
X
a’
a
ax
ax
a
X
1） a’a⊥X 轴
２ ) aax=点到 V面的距离
a?ax=点到 H面的距离
(长对正 )
V
H
二、点在三面投影体系中的投影
3.投影规律例１：已知 B点的两面投影 b,b?，
求 b。
b”
1.三面投影体系的建立
2.投影面的展开
a’
a
X
YW
YH
Z a
Oax
az
x
b
O
b?
Z
YH
Yw
３ ) aax=aaz
(=Aa?= A点到 V面的距离 )
1) a?a⊥X 轴 (长对正 )
2) a?a⊥Z 轴 (高平齐 )
(宽相等 )
三、点的三面投影与直角坐标的关系例１：已知 C点的坐标 (20,30,50)，求 C点的投影。
c
c?
OX
Z
YH
YW
20
c
X
Z
YH
YWO
b
b? b
d
d? d
例 2：已知 B点的坐标 (20,20,0),D点的坐标 (0,10,0)，求
B点,D点的投影。
四、点的辅助投影
1.点的一次换面
a.更换 H面
b.更换 V面
2.点的两次换面
a.
b,111 VHVHVH
1
1
1 V
H
V
H
V
H
X VH
a
ax
a’
X1
V H
1
OX1
aH1 X V
H
b’
bX
b
bX1
bH1
H V1X
1
X VH bX
b
b’
H V1X
1
bX1 bH1
X2
V1
H1
bX2
bH1
aH1A
ax1
H1
X1
X
H
V
ax
a’
a
bV1
bx1
H
X
V B
bx
b’
b X1
V1
H
X
V
b
bx
b’
B
b1
X1
V1
b2
H2
X2
五、点的相对位置
1,判断方法
a’’
V
H
a’
A
a
X
Y
Z
b’
B b’’
b
W
X
Z
YW
YH
O
a’
a
a’’
b’ b’’
b
可见性的判断：坐标值大为可见所以 A点在 B点的左前下方
C点与 D点的正面投影为重影点规定：
X坐标大为左，小为右；
Y坐标大为前，小为后；
Z坐标大为上，小为下。
2,重影点三、各种位置直线的投影特性
3.投影面垂直线2.投影面平行线
a”
b”
X
YH
Z
YwO
§ 4-2 直线的投影一、直线的投影特征二、直线的投影图的画法投影面的平行线投影面的垂直线一般位置直线
,水平线、正平线、侧平线
,铅垂线、正垂线、侧垂线
1.分类 a
a’
b
b’
水平线投影特征：
1.在该投影面上的投影反映 实长、实角
2.其他两面投影分别 平行 于相应的投影轴投影特征：
1.在该投影面上的投影有 积聚性
2.其他两面投影分别 垂直 于相应的投影轴
Z
X
YH
YWO X
Z
YH
YWO
铅垂线四、直线上的点的投影特性（一）
从属性 和 定比性例 1 已知 C在 AB上,根据 c求 c?,c。 例 2 已知 C在 AB上使 AC:CB=1:2。
ca
b
H
A
B
X
a
b
a’ b’c’
X
a
b
a’
b’
a”
b”
2
X
a
b
a’
b’
1
3
C
c
YW
YH
Z
O
c
c’ c’’
c
c’
四、直线上的点的投影特性（二）
例 3 判断点 K是否在直线 AB上。
五,直线的迹点
2.利用定比性
1.利用从属性
b0
k0
Z
YW
YH
a”
b”
k”
a
b
a’
b’
X
k’
k
o
X
a
b
k
a’
b’
k’
k0’
直线与投影面的交点叫迹点水平迹点用 M表示正面迹点用 N表示侧面迹点用 S表示
V
H
X m’
m
M
a’
b’
n’
N
B
A nb
a
m
n
m’
n’
a
b
a’
b’
X
例 2已知线段 AB的一个投影 ab和 A点的另一投影，并已知?=30?，完成 AB
的正面投影。
例 1、求线段 CD的实长及倾角?。
ab
X
ZB
-ZAV
B
a b
a’
b’
1.直角三角形法 —— 作图方法一般有两种,
ZB-
ZA
H
ab
AB实长
AB实长
a
b
a’
b’
X
(b)
(c)
A (a)
X
c
d
c’
d’
CD 实长
X
a b
a’
Bo
b2’
b’
30?
六、求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
B0
B1
１、将一般位置直线换成投影面平行线
２、将投影面平行线换成投影面垂直线 ３、将一般位置直线换成投影面垂直。
V H
A
B
a
ba’
b’
V1
av1’
bv1’
ax1
av1’ bv1’
XHV
a
b
a’
b’
aH1
bH1
(a) (b) (c)
a1(b1)
V
H
X
(a)
X VH
a b
a’
b’
a1(b1)
(b)
a2(b2)
XVH
a
b
a’
b’
aV1’ b
V1’
2.换面法
bx1
ax bx
H
V
b
a’
b’
X
a
H1
A
B
a
b
a’ b’
七、两直线的相对位置
X
a’
b’
c’
d’
a
b
c
d
X
e
f
g
h
e’
f’
g’
h’平行 相交 交叉一、平行两直线空间位置,
投影规律,平行性判断规律：
、定比性同面投影相互平行判断直线 AB与 CD,EF与 GH是否平行。
例 1：已知 ab//cd a’b’//c’d’ ef//gh e’f’//g’h’
e”
f”
h”
g”
2.定比性1.第三面投影3.
方法：
二、相交两直线空间位置,
投影规律,
判断规律,X
a’
b’c’
d’
a
bc
d
k
k’
X a’
b’c’
d’
a
bc
d
k’
X
a’
b’
c’
d’
a
b
c
d
k
a0
k0
三、相叉两直线投影规律,
判断规律：
空间位置,
b’
a’ c’
X
d’
a
bc
d
a’a’
X
b’c’
a
bc
d
d’ X
b’c’
d’
a bc
d
X
b’c’
d’
a bc
d
X
b’d’
c’
ad
b
c
a’
a’
交叉 相交 平行 交叉 交叉八,直角定理已知 AB?BC 且 BC//P，则 ab? bc。
P
B
A
C
a b c
定理：空间两直线垂直 (包括垂直相交、
交叉相交），如其中一条平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影也垂直。
例 1,BC为水平线及
A点的投影 a’、
a。过 A点作一直线与 BC垂直相交。
例 2：作 AB与 CD的公垂线。
例 3：过 A点到 CD
的距离。
X
a’
cb’
b
c
a
d
d’
e’
X
b’(a’)
c’
d’
a
b
d
c e
f
f’
d
X
c
d
a
c’
d’
a’
cH1
dH1
aH1
dH1
X1
d’
第四章 平面的投影
§ 4-1 平面的表示方法
OX
Z
YW
YH
2.投影特征,
1.空间位置,
一、投影面的垂直面
§ 4-3 各种位置平面的投影特征二、迹线表示平面一、几何元素表示
1.投影面的垂直面
2.投影面的平行面
3.一般位置平面
PH
PV PW
积聚性类似性
YH
O
Z
X YW
a
a’
例 1 已知一平面为铅垂面，它与 v面的夹角为 30度及其正面投影和 a，求其水平投影和侧面投影。
30?
a”
m’
m
m”
例 2 含点 A，作 a=30?的正垂面（用迹线表示平面）。
a
a’
Z
Yw
O
YH
x 30°
§ 4-2 分类二、投影面的平行面三、一般位置的平面
1.空间位置,平行于某一投影面
2.投影特征 真实性积聚性
1.空间位置,
2.投影特征,类似性
§ 4-4 平面内的线与点
(一 )直线在平面内的几何条件
(二 )点在平面内的几何条件
1.在△ ABC中过 A作一正平线。
d
X
a
b
c
a’
b’
c’
d’
2.在△ ABC内作一距 H面 20mm
的水平线。
4.判断 EF是否在▽ ABC内。
3.在△ ABC内取一点 K，使
Yk=30,Zk=20
X
a
b
c
a’
b’
c’
e f
e’ f’
X
Z
YW
YH
O
20
30
k
k’
m
m’
a
b
c
e’
f’
e
f
a’
b’
c’X
m0
f05.判断 K点是否在 abc平面内
h’
h
k’
k
X1
X
a
b
c
a’
b’
c’
d
d’
b1
a1d1
c1
a2
b2
c2
§ 4-4 平面的辅助投影一、将一般位置的投影变换为投影面的垂直面例 1 求▽ ABC对 V面的倾角 β
二、将一般位置平面的投影变换为投影面的平行面例 2 求▽ ABC的实形
X2β
第五章 相对位置例 2 过 M作一直线,使此直线
// ▽ ABC//V面例 4 判断一下两平面是否平行
m
X
a
b
c
a’
b’
c’
m’
X
a
b
c
a’
b’
c’
m
m’
X
a
b
c
m
a’
b’
c’
m’
§ 5-1 平行问题一、直线与平面平行例 1 已知面▽ ABC及空间一点 M，
过 M作一直线与▽ ABC平行。
二、平面与平面平行例 3 过点 M作一平面与▽ ABC平行几何条件,
几何条件,
2.特殊位置平面与一般位置直线相交
3.求含有特殊位置平面在内的面面相交交线的投影
c
c’
km
g
m’ k’
§ 5-2 相交问题一、利用积聚性求交点或交线
1.投影面的垂直线与一般位置的平面相交 Xd’
e’
f’
e
f
d
a’
b’
a(b)
1’(2’)
1
2
g’
f g
e h
X
b
c
a’
b’ c’
a
h’(g’)e’(f’)
d
d’
k
k’
1
2
1’(2’)
b’
a’
c’
b
a
c
e
f
e’
f’
X
二、一般位置直线和一般位置平面的相交
1.换面法
2.辅助平面法方法：
m
nk
m’ k’
n’
b
c
d
e
c’
d’
e’
a
X
a’
b’
h
(h’)
1’
2’
1(2)
PV
三、两一般位置平面相交
Rv
交线
x a
b
c
b’
a’
c’
f
e
d
f’
e’
d’
1’ 2’ 3’ 4’
1
2
3 4
k
g
5’ 6’ 7’ 8’ Pv
5
6
7
8
m’(n’)
m
nx(y)
x’
y’
