第 13章真空中的恒定磁场
§ 13.1 磁场 磁感强度一、基本磁现象天然磁铁 – 磁铁矿（ Fe3O4）
人造磁铁,NS SN
（ 1）能吸引铁、钴、镍等物质 – 磁性
（ 2）具有两磁极,N极,S极
（ 3）目前还未发现磁单极同性磁极相排斥，异性磁极相吸引。
1,磁铁的作用
2,电流的磁效应
I
SN N
S
F?
I
I I
电流周围具有磁性分子电流定向地排列起来，宏观上就会显示出 N,S 极来。
二、磁性的本质
N S
安培分子电流假说
1,一切磁现象的根源是电流（电荷的运动）
2,任何物体的分子中都存在着回路电流，称为分子电流，分子电流相当于基元磁铁。
S N
I
物质的磁性决定于分子电流对外磁效应的总和
解释了磁性和非磁性物体存在的原因
解释了磁体总有两极的原因
揭示了电流和磁体磁性的共同本质一切磁现象都来源于电荷的运动，磁相互作用本质上是运动电荷间的相互作用。
磁力是运动电荷之间的另一种力。
意义运动电荷 运动电荷磁场对外表现：
1,磁场对磁铁、电流、运动电荷有磁力作用；
2,载流导体在磁场中移动时，磁力对它作功。
三、磁场四、磁感应强度 B?
1,磁场对运动电荷作用的规律
q > 0NS
s i n,,vqF?
v,2
π
m qF时，?
BFF,v
F = 0 F Fm
v? v?
v
vv q
F
q
F m
s i n?
B
B?
mF
v
+
2,的定义B?
均匀磁场：磁感应强度大小方向都相同大小：
方向在 v mFB
vv q
F
q
FB m
s i n?
恒定磁场：磁感应强度不随时间改变方向：该点的磁场方向
§ 13.2 毕奥 -萨伐尔定律一、毕奥 --萨伐尔定律
1,在空间任一点产生的磁场lI?d
lI?d
r
B?d
2
s i ndd
r
lIkB
2
0 s i nd
π4d r
lIB
rBlIB d,dd
的方向在 rlId
270 AN10π4
真空中的磁导率
P
2,任意形状载流导线的磁场
1,载流长直导线的磁场二、应用
PaOl
解：,lI?d
2
0 s i nd
π4d r
lIB
方向：垂直于板向里
I,L
lI?d
r
2
0 d
π4
d
r
rlIB
3
0 d
π4 r
rlI?
LL r
rlIBB
2
0 d
π4
d
L BB d
s in
a?
c o t)c o t ( aal
2?
1?
Pa
r
O
l
I,L
lI?d
各电流元在 P点产生的磁场方向相同
)s i n (
ar
a
IB ds i n
π4d
0?
2
1
s i nd
π4
0?
a
I
2
0 s i nd
π4d r
lIB
)c o s( c o s
π4 21
0
a
I
dc s cd 2al?
2s in
da?
（ 1）导线为无限长：
π,0 21
a
IB
π2
0
（ 2）导线为半无限长：
2/π,0 21或
π,2/π 21
a
IB
π4
0
讨论
aO
I,L
P
)c o s( c o s
π4 21
0
a
IB
x
x
B?d
Bd
P
I O
R
2,载流圆线圈 轴线上 的磁场
2
0
π4
dd
r
lIB
s ind BL
//dB
：lI?d
s i ndd // BB?
c o sdd BB
L BB //d L rlI 20 π4 s i nd
L lrI dπ4 s i n20 RrI π2π4 s i n20 20 2 s i nrIR
r
Rs in
lI?d
r
22 xRr
沿轴，和 I 方向符合右手螺旋法则。
(1)圆心处,x=0
R
IB
2
0
讨论
2/322
2
0
3
2
0
)(22 xR
IR
r
IRB
(2)张角为? 的圆弧电流在圆心处产生的 B：
π22
0
R
IB?
圆弧?
3,密绕载流直螺线管 轴线上 磁场已知 R,L,I，
单位长度匝数为 n
解,dl:
dN = ndx
1 2
dx
dN
r
P B?d
1x 2x
21 dxx BB 2/322
2
0
)(
d
2 xR
xnIRB
xnII dd
x
1 2
dx
dN
r
P B?d
1x 2x
x
方向：沿轴，和 I 符合右手螺旋法则。
120 c o sc o s
2
nI
1?
2?
)(
2 2
1
2
1
2
2
2
20
xR
x
xR
xnI
2
1
dx
x
BB
(1)有限长直螺线管内的磁场不均匀。
(2)无限长时：
管内,0,π
21 nIB 0 均匀管端,1点,0,2/π 21
2点,2/π,π
21
L/2-L/2
B
O
nI0?
讨论
2
0 nIB
外部磁场为零
120 c o sc o s
2
nIB
1?
2?1 2
P
三、运动电荷的磁场
+ + + ++
++
+ ++ ++++ I
2
0
π4
dd
r
rlIB
粒子,q>0,v
n：粒子的体密度
:dlI?
SnqjSI v
2
0 d
π4 r
rlSnq
v?
2
0 d
π4 r
rqlnSv?
ld
N
BB
d
d
20
π4 r
rqv?
r?
P? B?d
lnSN dd?
dN
对 q > 0,q < 0都成立运动电荷的磁场：
2
0
π4 r
rqB v?
2
0
π4
s i n
r
q
B
v
方向,方向rq v0
方向rq v0
大小：
r?
B?v?v?r
B?
例,电子绕半径为 r的圆周以速率 v运动。
求：中心处的磁场。
解,（ 1）用求运动电荷的磁场的方法
2
0
π4 r
eB v
2
0 )(
π4 r
reB v?
（ 2）用求电流的磁场的方法
r
IB
2
0
B?
v?-
r
r
qnqI
π2
v
单位长度带电RnI π2
r
n
π2
v?
一、磁感线
§ 13.3 磁通量 磁场的高斯定理
2,规定
(1) 方向：各点的切线方向
(2) 疏密：
Sd
a
b
S
B
d
d m? md?
1,定义 一组能形象地描绘磁场大小和方向的曲线。
NS NS
I
I 3,特点
(2) 是环绕电流的闭合曲线。
(3) 线和电流方向符合右手定则。
B?
(1) 不相交
B?I
B?
I
二、磁通量?m
1,定义 通过曲面的磁感线条数
2,通过面元 dS的磁通量
3,通过任一曲面的磁通量
SBS dm
闭合曲面,SB
S
d
m
外法线方向为正
SB dd m?
c o sd SB?
SB d
B
n?
Sd
Sd
三、磁场的高斯定理磁力线是闭合曲线
（ 1）磁场是无源场；
（ 2）电磁学基本方程之一。
0dS SB S
说明例：求均匀磁场中半径为 R的半球面的磁通量解：
B?
平面球面
)π 2 BR （ BR 2π?
0 平面球面
例,求两根无限长直导线间的面 S的磁通量
a a a
bI I
解：
P
P点的磁场
r
IB
π2
0
1
r
ra
IB
3π2
0
2
)13 1(π2 0 rraIB
方向
dr
rbrraI d)13 1(π2 0
aa rbrraI 20m d)13 1(π2? 2lnπ0 Ib
SB dd m SB d?
方向方向
§ 13.4 安培环路定理
dL lB
选取一条磁力线作环路
0d lB 0d lB
L
磁场的环流一、无限长载流直导线的磁场：
1,一根无限长载流直导线
L
Ir
IB
π2
0
（ 1） L包围电流：
L
I
dBr?
c o sd lB?
L
I
LL BrlB?dd
π200 dπ2 I
lB d?
l?d
r?
d
dπ2 0 I? I0
B?
P
N
PNB?
π20
② I与 L成 左手 螺旋：
IlBL 0d
① I与 L成 右手 螺旋：
L rrI dπ2 0
dBr )c o s (dd lBlBc o sd lB
（ 2） L不包围电流：
lBlB dc o sd
lBlB dc o sd
0dL lB
dπ2 0 I?
dπ2 0 I
r
r?
d
L
I l
d
ld
B?B
)d(?rB
dBr?
knnn BBBBB
,...
121
nBBBB
21
L knL n lBlB dd1
knn BB
1
2,多根无限长载流直导线
10 I
内L
iI0?
I1 I2
InIn+1
In+k
20 I nI0 00
L knnnL lBBBBBlB d)(d 121
L lB d1 L lB d2 L n lB d
（ 4）说明磁场是有旋场（涡旋场）；
二、安培环路定理磁感应强度沿任意闭合路径的环流，等于穿过该路径的所有电流 代数和 的?0倍。
（ 1） 是所有电流（ L内外）产生的磁感应强度的代数和；
B?
（ 2） I 有正负,与 L成右手螺旋为正；
说明
（ 5）是电磁学基本方程之一。
（ 3）适用于恒定电流产生的磁场；
内L
iL IlB 0d?
3I
2I
1I
L
1I
1I
)(d 21110 IIIIlBL )( 210 II
0dL lB0?B
0?I
R
I
三、应用安培环路定理计算磁场
1,无限长直圆柱载流导线磁场的分布
（ 1）分析对称性解：
轴对称性大小：与柱同轴的任一圆周上各点 B相等方向：沿圆周切向
.
,P
（ 2）取半径为 r的同轴圆环为积分回路 L
内L
iL IlB 0d?
LL lBlB d0c o sd L lB d
内L
iIrB π2
0?
rB π2
内L
iI0?
2
0
π2 R
IrB
:Rr? I
R
rI
L
i 2
2
π
π
内 R
r
2
2
R
I
r
L
2
0
π2 R
IrB
内L
iIrB π2
0?
:Rr? I
R
rI
L
i 2
2
π
π
内
I
R
r
2
2
r
IB
π2
0:Rr? II
L
i
内
r
R
L
I
R r
B
圆柱面以 OO'为轴旋转 180o
R
O
O?
P B?
电流分布相同但磁场方向却不同，
矛盾！
2,均匀密绕长直螺线管内外的磁场分布内部磁场平行于中心轴线
RP
O
O?
B?
R P
O
O?
B?
通常 L>20R
解,磁场：
A B
D C
管内均匀（沿轴向），管外为零
ABL lBlB dd 内 BC lB d CD lB d外 DA lB d
ABlB 内? 0?
Inl AB0
0?0?
nIB 0内
R
R1
R2
3,螺绕环的磁场分布匝数 N
解：与环共轴的圆周上各点 B
大小相等，方向沿切向。
内L
iI0?
内L
iIrB π2
0?
L lB d rB π2 L lB d
R1 R
2
rRR 12
r
Nn
π2
nI0
21 RRr
r
NIB
π2
0
r
NIB
π2
0
管内：
内L
iIrB π2
0?
NII
L
i 0
内
0 B管外,0
内L
iI
若：
均匀
R1
R2
4,无限大平面电流的磁场分布面电流密度 i：垂直于电流方向的单位长度上的电流。
面对称,与板等距 的各点 B 大小相等方向平行于板
B?d
B?d
I
P
AB
C D
B?
CDBl?
iB 0
2
1
ABL lBlB dd BC lB d CD lB d DA lB d
ABBl? 0?
il AB0
0?
ABBl2?
与场点到平面的距离无关，为均匀磁场。
（ 1）分析对称性；
（ 2）选择合适的积分路径；
总结
（ 3）确定 I 的正负，列方程求解。
L上各点 B大小相等或部分上相等，
B或者与 L平行，或者与 L垂直，
B可提到积分号外；
安培环路定理具有普适性，它对具有对称性的磁场求解较方便。
§ 13.5 磁场对电流的作用一、安培力 安培定律：
BlIF dd
lI?d
B?
F?d
s i nd,lBI大小
s inI l BF? F =? 方向？
B?
I,L
B
I,L
BlId:方向二、任意一段载流导线所受安培力
（ 1）均匀磁场、载流直导线
L lIBF ds i n?
L zzL yyL xx FFFFFF d,d,d
L BlIF d
讨论
（ 2）矢量积分，先投影，后积分。
s inI B L?
L
I
B?
b
x
y
I
B?
L
a
F?d
解：
例,求 均匀磁场中任一形状的通电导线所受的安培力。
lI?d
BlIF dd
lBIF dd?
s i nds i ndd lBIFF x
c o sdc o sdd lBIFF y
xx FF ds i nd lBI
00 d yBI 0?
yy FF dc o sd lBI
L xBI 0 d B IL?
ba BlIF d
BlI ba ]d[
BabI
任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与连接导线端点的载流直导线所受磁场力相同。
结论若为闭合电流?
!!! 注意：本结论仅对均匀磁场适用均匀磁场中，任一闭合载流线圈受的合力为零。
B I RF 2?
L BlIF d BlI L )d( 0?
例,无限长直导线 L1（ I1），旁边有一段共面的导线 L2（ I2 ），求,L2受到的安培力。
解,I1在 I2所在空间产生的磁场：
r
IB
π2
10 方向向内
lBIF dd 2? l
r
II d
π2
210
aa rrIIF 2 210 d2π2?
F?
I1
o a
I2
45a
lI?d2
rl d45c o sd
rrII d2π2 210 45c o sdd rl rd2?
2ln
π2
2 210 II
IL1
abF
cdF
n?
三、均匀磁场对载流线圈的作用
)2πs i n (1 B I LF ad
b
a
c
d
L1
L2I
B?
1,均匀磁场中
)
2
πs i n (
1 B I LF bc
c o s1B I L
c o s1B I L?
2
πs i n
2B I LF ab?
2B IL?
2
πs i n
2B I LF cd?
2B IL?
B?
合力为零
s i n22 1LFM ab?
构成力偶
abF
cdF
IL1
n?
B?
s inB I S?
s i n12 LB I L?
BSIM
定义,通电线圈的磁矩 SIp
m
BpM m
注意
（ 2）若线圈有 N匝：
（ 1）适用于任意形状的 平面 线圈
I
n?
（ 3）力矩总是倾向于使 pm转向 B的方向
SNIpm
= 0,M = 0
abF
cdF
I
2π
n?
B?
abF
cdF
I n?
B?
BpM m
abF
cdF?
In?
B?
=?/ 2,M最大
=?,M = 0
线圈稳定平衡线圈处于不稳定平衡线圈稳定平衡 线圈处于不稳定平衡
2,非均匀磁场中线圈 既有平动又有转动
0,0 MF一般情况下：
例,半径为 R的塑料圆盘表面带 电 （面密度 s），
置于均匀磁场中。圆盘绕其轴以角速度 w转动，求圆盘受的磁力矩。
解,取一圆环
rrI dπ2
π2
d sw
Irp dπd 2m?
mdd pBM?
R rrBM 0 3 dπ sw
rBr dπ 3sw?
BR
4
π 4sw?
w
B?
dr
dI
r
rr dws?
rr dπ 3ws?
R rrp 0 3m dπ ws 4π
4Rsw
五、磁力的功
0BI lF?
AAFlA
s i nB I SM?
dd MA
AAlBI l 0
SBI
ΔI?
ds i nB I S
)c o s(d?BSIdI?
1,载流导线在磁场中运动时
2,载流线圈在磁场中转动时
I
B?
B
F?
0l
A
C
A?
C?
d
)( 12 I
)(Δ 电流不变时?IA?
)(d21 电流变化时IA
21 dIA?ΔI?
结论 均匀磁场中，任意的闭合电流回路，不论位置改变还是形状改变，磁力的功都可表示为：
一、洛仑兹力
§ 13.6 磁场对运动电荷的作用
SnqI v? lnS BlqnS dd
v
BlIF dd
lnS
BlSnq
d
d
v++
+ +++
lI?d
lI?d
B?
F?d
N
Ff
d
d
Bq v
lnSN dd?
lnS
BlI
d
d
Sqn,
方向为 Bfq v:0
方向为 Bfq v:0
洛仑兹力不作功
Bqf v
0π,0 f：?
最大,
2
π f
s i nBqf v?
方向：
大小：
B? f?
v?
-
v?
B?
f?
+
f?
二、运动电荷在均匀磁场中的运动
0 Bqv
B? R R
mBq
2v
v?
qB
mR v?
v
RT π2?
回旋周期：
匀速直线运动
Bqf v? 匀速圆周运动回旋半径：
qB
mπ2?
B //.1 v
Bv.2
+ 0v?q
c o s// vvs invv
v
RT π2
qB
mR v
qB
mTh π2
//// vv
合运动：
螺旋运动运动轨迹：
螺旋线螺距：
qB
mπ2?
qB
m?s inv?
角成与?Bv.3
磁聚焦在均匀磁场中某点 A 发射一束初速相差不大的带电粒子,它们的 与 之间的夹角 不尽相同,但都较小,这些粒子沿半径不同的螺旋线运动,因螺距近似相等,都相交于屏上同一点,此现象称之为磁聚焦。
v? B
+-
受力,)( BEqF v
三、带电粒子在电场和磁场中的运动
1,质谱仪
)( BEqF v0?
B
E vBqqE v?
选择出速度等于 v的粒子
qB
mR v?
Bf
Ef
速度选择器
v
q B Rm?
70 72 73 74 76
锗的质谱
+-
Bf
Ef
速度选择器用磁场和电场的组合把电荷量相等但质量不同的粒子分开来的仪器。
质谱线
v
q B Rm?
2,回旋加速器磁场：回旋作用电场：加速作用交变电场的周期等于粒子在磁场中作圆周运动的周期：
qB
mT π2?
粒子末速度：
qB
mR v?
m
q B R?v
末动能：
m
RBqmE
22
1 2222
k v
1932年劳伦斯研制第一台回旋加速器的 D型室。
此加速器可将质子和氘核加速到 1MeV的能量，
为此劳伦斯获得 1939年诺贝尔物理学奖。
我国于 1994
年建成的第一台强流质子加速器。
目前世界上最大的回旋加速器在美国费米加速实验室，环形管道的半径为 2公里。产生的高能粒子能量为 5000亿电子伏特。
世界第二大回旋加速器在欧洲加速中心，
加速器分布在法国和瑞士两国的边界，加速器在瑞士，储能环在法国。
产生的高能粒子能量为
280亿电子伏特。
EAS,Extensive Air Showers （广延大气簇射）
宇宙线,来自宇宙空间的高能粒子流
EAS阵列,在地面上布置粒子探测器，观测
EAS现象的实验系统。
原初粒子大气层海平面次级粒子
§ 13.7 霍尔效应
A1
A2
d
b
B?
d
IBVVV
BA
实验表明：
d
IBRV
H?
位于磁场中的载流体侧面出现电势差的现象一、霍尔效应
V：霍耳电势差
V
+ ++ + +
- -- - -
霍尔系数:HR
I
- - -
+ + +
二、产生霍尔效应的原因
B?
I
A1
A2
Bf
Ef
Bqf v?B洛仑兹力：
HE qEf?
HqEBq?v BE v?H
电场力：
平衡时：
：霍尔电场HE
SnqI v? n qd
IBV
d
IB
nq
1?
BA VVV
v+
I
B?A1
A2
v -
Ef
Bf
+ + +
- - -
bdnq v?
BbbE v H
nq
R 1H?
（ 1） q > 0,0,0
H VR
RH的正负反映了载流子的正负
d
IB
nq
V 1?
讨论
（ 2） q < 0,0,0
H VR
锌金属钾实测值（ m3C-1?1011） 计算值（ m3C-1?1011）
钠铜
-25.0
-42
-5.5
+3.3
-24.4
-47
-7.4
+4.6
B
V
II
V
B
p 型半导体 n 型半导体
f
v v
f
三、霍尔效应的应用
1,判断半导体的类型
0?V 0?V
利用此原理制成高斯计测量外界磁场。探头用霍尔元件制成，通过测量 V，折算成 B 。 探头高斯计
2,测量磁场
d
IBRV
H?
nq
R 1H?
3,测载流子浓度金属中载流子密度大,RH小；
半导体中载流子密度小,RH大。
—霍尔效应更显著
BV?
4,磁流体发电把燃料（油、
煤气和原子能反应堆）加热而产生的高温（约 3000K）
气体，以高速（约
1000 m/s）通过用耐高温材料制成的导电管。
电极发电通道导电气体
N
S
气体在高温情况下，原子中的一部分电子克服了原子核引力的束缚而变成自由电子，同时原子则因失去了电子而变成带正电的离子。
再在这种高温气流中加入少量容易电离的物质
（如钾和铯），更能促进气体的电离，从而提高气体的导电率，使气体差不多达到等离子状态。
如在垂直于气体运动的方向加上磁场，则气流中的正、负离子受洛仑兹力的作用，将分别向 两个相反方向偏转 。
结果在导电管两个电极上产生电势差。如果不断提供高温、高速的等离子气体，便能在电极上连续产生电能。
§ 13.1 磁场 磁感强度一、基本磁现象天然磁铁 – 磁铁矿（ Fe3O4）
人造磁铁,NS SN
（ 1）能吸引铁、钴、镍等物质 – 磁性
（ 2）具有两磁极,N极,S极
（ 3）目前还未发现磁单极同性磁极相排斥，异性磁极相吸引。
1,磁铁的作用
2,电流的磁效应
I
SN N
S
F?
I
I I
电流周围具有磁性分子电流定向地排列起来，宏观上就会显示出 N,S 极来。
二、磁性的本质
N S
安培分子电流假说
1,一切磁现象的根源是电流（电荷的运动）
2,任何物体的分子中都存在着回路电流，称为分子电流，分子电流相当于基元磁铁。
S N
I
物质的磁性决定于分子电流对外磁效应的总和
解释了磁性和非磁性物体存在的原因
解释了磁体总有两极的原因
揭示了电流和磁体磁性的共同本质一切磁现象都来源于电荷的运动，磁相互作用本质上是运动电荷间的相互作用。
磁力是运动电荷之间的另一种力。
意义运动电荷 运动电荷磁场对外表现：
1,磁场对磁铁、电流、运动电荷有磁力作用；
2,载流导体在磁场中移动时，磁力对它作功。
三、磁场四、磁感应强度 B?
1,磁场对运动电荷作用的规律
q > 0NS
s i n,,vqF?
v,2
π
m qF时，?
BFF,v
F = 0 F Fm
v? v?
v
vv q
F
q
F m
s i n?
B
B?
mF
v
+
2,的定义B?
均匀磁场：磁感应强度大小方向都相同大小：
方向在 v mFB
vv q
F
q
FB m
s i n?
恒定磁场：磁感应强度不随时间改变方向：该点的磁场方向
§ 13.2 毕奥 -萨伐尔定律一、毕奥 --萨伐尔定律
1,在空间任一点产生的磁场lI?d
lI?d
r
B?d
2
s i ndd
r
lIkB
2
0 s i nd
π4d r
lIB
rBlIB d,dd
的方向在 rlId
270 AN10π4
真空中的磁导率
P
2,任意形状载流导线的磁场
1,载流长直导线的磁场二、应用
PaOl
解：,lI?d
2
0 s i nd
π4d r
lIB
方向：垂直于板向里
I,L
lI?d
r
2
0 d
π4
d
r
rlIB
3
0 d
π4 r
rlI?
LL r
rlIBB
2
0 d
π4
d
L BB d
s in
a?
c o t)c o t ( aal
2?
1?
Pa
r
O
l
I,L
lI?d
各电流元在 P点产生的磁场方向相同
)s i n (
ar
a
IB ds i n
π4d
0?
2
1
s i nd
π4
0?
a
I
2
0 s i nd
π4d r
lIB
)c o s( c o s
π4 21
0
a
I
dc s cd 2al?
2s in
da?
（ 1）导线为无限长：
π,0 21
a
IB
π2
0
（ 2）导线为半无限长：
2/π,0 21或
π,2/π 21
a
IB
π4
0
讨论
aO
I,L
P
)c o s( c o s
π4 21
0
a
IB
x
x
B?d
Bd
P
I O
R
2,载流圆线圈 轴线上 的磁场
2
0
π4
dd
r
lIB
s ind BL
//dB
：lI?d
s i ndd // BB?
c o sdd BB
L BB //d L rlI 20 π4 s i nd
L lrI dπ4 s i n20 RrI π2π4 s i n20 20 2 s i nrIR
r
Rs in
lI?d
r
22 xRr
沿轴，和 I 方向符合右手螺旋法则。
(1)圆心处,x=0
R
IB
2
0
讨论
2/322
2
0
3
2
0
)(22 xR
IR
r
IRB
(2)张角为? 的圆弧电流在圆心处产生的 B：
π22
0
R
IB?
圆弧?
3,密绕载流直螺线管 轴线上 磁场已知 R,L,I，
单位长度匝数为 n
解,dl:
dN = ndx
1 2
dx
dN
r
P B?d
1x 2x
21 dxx BB 2/322
2
0
)(
d
2 xR
xnIRB
xnII dd
x
1 2
dx
dN
r
P B?d
1x 2x
x
方向：沿轴，和 I 符合右手螺旋法则。
120 c o sc o s
2
nI
1?
2?
)(
2 2
1
2
1
2
2
2
20
xR
x
xR
xnI
2
1
dx
x
BB
(1)有限长直螺线管内的磁场不均匀。
(2)无限长时：
管内,0,π
21 nIB 0 均匀管端,1点,0,2/π 21
2点,2/π,π
21
L/2-L/2
B
O
nI0?
讨论
2
0 nIB
外部磁场为零
120 c o sc o s
2
nIB
1?
2?1 2
P
三、运动电荷的磁场
+ + + ++
++
+ ++ ++++ I
2
0
π4
dd
r
rlIB
粒子,q>0,v
n：粒子的体密度
:dlI?
SnqjSI v
2
0 d
π4 r
rlSnq
v?
2
0 d
π4 r
rqlnSv?
ld
N
BB
d
d
20
π4 r
rqv?
r?
P? B?d
lnSN dd?
dN
对 q > 0,q < 0都成立运动电荷的磁场：
2
0
π4 r
rqB v?
2
0
π4
s i n
r
q
B
v
方向,方向rq v0
方向rq v0
大小：
r?
B?v?v?r
B?
例,电子绕半径为 r的圆周以速率 v运动。
求：中心处的磁场。
解,（ 1）用求运动电荷的磁场的方法
2
0
π4 r
eB v
2
0 )(
π4 r
reB v?
（ 2）用求电流的磁场的方法
r
IB
2
0
B?
v?-
r
r
qnqI
π2
v
单位长度带电RnI π2
r
n
π2
v?
一、磁感线
§ 13.3 磁通量 磁场的高斯定理
2,规定
(1) 方向：各点的切线方向
(2) 疏密：
Sd
a
b
S
B
d
d m? md?
1,定义 一组能形象地描绘磁场大小和方向的曲线。
NS NS
I
I 3,特点
(2) 是环绕电流的闭合曲线。
(3) 线和电流方向符合右手定则。
B?
(1) 不相交
B?I
B?
I
二、磁通量?m
1,定义 通过曲面的磁感线条数
2,通过面元 dS的磁通量
3,通过任一曲面的磁通量
SBS dm
闭合曲面,SB
S
d
m
外法线方向为正
SB dd m?
c o sd SB?
SB d
B
n?
Sd
Sd
三、磁场的高斯定理磁力线是闭合曲线
（ 1）磁场是无源场；
（ 2）电磁学基本方程之一。
0dS SB S
说明例：求均匀磁场中半径为 R的半球面的磁通量解：
B?
平面球面
)π 2 BR （ BR 2π?
0 平面球面
例,求两根无限长直导线间的面 S的磁通量
a a a
bI I
解：
P
P点的磁场
r
IB
π2
0
1
r
ra
IB
3π2
0
2
)13 1(π2 0 rraIB
方向
dr
rbrraI d)13 1(π2 0
aa rbrraI 20m d)13 1(π2? 2lnπ0 Ib
SB dd m SB d?
方向方向
§ 13.4 安培环路定理
dL lB
选取一条磁力线作环路
0d lB 0d lB
L
磁场的环流一、无限长载流直导线的磁场：
1,一根无限长载流直导线
L
Ir
IB
π2
0
（ 1） L包围电流：
L
I
dBr?
c o sd lB?
L
I
LL BrlB?dd
π200 dπ2 I
lB d?
l?d
r?
d
dπ2 0 I? I0
B?
P
N
PNB?
π20
② I与 L成 左手 螺旋：
IlBL 0d
① I与 L成 右手 螺旋：
L rrI dπ2 0
dBr )c o s (dd lBlBc o sd lB
（ 2） L不包围电流：
lBlB dc o sd
lBlB dc o sd
0dL lB
dπ2 0 I?
dπ2 0 I
r
r?
d
L
I l
d
ld
B?B
)d(?rB
dBr?
knnn BBBBB
,...
121
nBBBB
21
L knL n lBlB dd1
knn BB
1
2,多根无限长载流直导线
10 I
内L
iI0?
I1 I2
InIn+1
In+k
20 I nI0 00
L knnnL lBBBBBlB d)(d 121
L lB d1 L lB d2 L n lB d
（ 4）说明磁场是有旋场（涡旋场）；
二、安培环路定理磁感应强度沿任意闭合路径的环流，等于穿过该路径的所有电流 代数和 的?0倍。
（ 1） 是所有电流（ L内外）产生的磁感应强度的代数和；
B?
（ 2） I 有正负,与 L成右手螺旋为正；
说明
（ 5）是电磁学基本方程之一。
（ 3）适用于恒定电流产生的磁场；
内L
iL IlB 0d?
3I
2I
1I
L
1I
1I
)(d 21110 IIIIlBL )( 210 II
0dL lB0?B
0?I
R
I
三、应用安培环路定理计算磁场
1,无限长直圆柱载流导线磁场的分布
（ 1）分析对称性解：
轴对称性大小：与柱同轴的任一圆周上各点 B相等方向：沿圆周切向
.
,P
（ 2）取半径为 r的同轴圆环为积分回路 L
内L
iL IlB 0d?
LL lBlB d0c o sd L lB d
内L
iIrB π2
0?
rB π2
内L
iI0?
2
0
π2 R
IrB
:Rr? I
R
rI
L
i 2
2
π
π
内 R
r
2
2
R
I
r
L
2
0
π2 R
IrB
内L
iIrB π2
0?
:Rr? I
R
rI
L
i 2
2
π
π
内
I
R
r
2
2
r
IB
π2
0:Rr? II
L
i
内
r
R
L
I
R r
B
圆柱面以 OO'为轴旋转 180o
R
O
O?
P B?
电流分布相同但磁场方向却不同，
矛盾！
2,均匀密绕长直螺线管内外的磁场分布内部磁场平行于中心轴线
RP
O
O?
B?
R P
O
O?
B?
通常 L>20R
解,磁场：
A B
D C
管内均匀（沿轴向），管外为零
ABL lBlB dd 内 BC lB d CD lB d外 DA lB d
ABlB 内? 0?
Inl AB0
0?0?
nIB 0内
R
R1
R2
3,螺绕环的磁场分布匝数 N
解：与环共轴的圆周上各点 B
大小相等，方向沿切向。
内L
iI0?
内L
iIrB π2
0?
L lB d rB π2 L lB d
R1 R
2
rRR 12
r
Nn
π2
nI0
21 RRr
r
NIB
π2
0
r
NIB
π2
0
管内：
内L
iIrB π2
0?
NII
L
i 0
内
0 B管外,0
内L
iI
若：
均匀
R1
R2
4,无限大平面电流的磁场分布面电流密度 i：垂直于电流方向的单位长度上的电流。
面对称,与板等距 的各点 B 大小相等方向平行于板
B?d
B?d
I
P
AB
C D
B?
CDBl?
iB 0
2
1
ABL lBlB dd BC lB d CD lB d DA lB d
ABBl? 0?
il AB0
0?
ABBl2?
与场点到平面的距离无关，为均匀磁场。
（ 1）分析对称性；
（ 2）选择合适的积分路径；
总结
（ 3）确定 I 的正负，列方程求解。
L上各点 B大小相等或部分上相等，
B或者与 L平行，或者与 L垂直，
B可提到积分号外；
安培环路定理具有普适性，它对具有对称性的磁场求解较方便。
§ 13.5 磁场对电流的作用一、安培力 安培定律：
BlIF dd
lI?d
B?
F?d
s i nd,lBI大小
s inI l BF? F =? 方向？
B?
I,L
B
I,L
BlId:方向二、任意一段载流导线所受安培力
（ 1）均匀磁场、载流直导线
L lIBF ds i n?
L zzL yyL xx FFFFFF d,d,d
L BlIF d
讨论
（ 2）矢量积分，先投影，后积分。
s inI B L?
L
I
B?
b
x
y
I
B?
L
a
F?d
解：
例,求 均匀磁场中任一形状的通电导线所受的安培力。
lI?d
BlIF dd
lBIF dd?
s i nds i ndd lBIFF x
c o sdc o sdd lBIFF y
xx FF ds i nd lBI
00 d yBI 0?
yy FF dc o sd lBI
L xBI 0 d B IL?
ba BlIF d
BlI ba ]d[
BabI
任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力,与连接导线端点的载流直导线所受磁场力相同。
结论若为闭合电流?
!!! 注意：本结论仅对均匀磁场适用均匀磁场中，任一闭合载流线圈受的合力为零。
B I RF 2?
L BlIF d BlI L )d( 0?
例,无限长直导线 L1（ I1），旁边有一段共面的导线 L2（ I2 ），求,L2受到的安培力。
解,I1在 I2所在空间产生的磁场：
r
IB
π2
10 方向向内
lBIF dd 2? l
r
II d
π2
210
aa rrIIF 2 210 d2π2?
F?
I1
o a
I2
45a
lI?d2
rl d45c o sd
rrII d2π2 210 45c o sdd rl rd2?
2ln
π2
2 210 II
IL1
abF
cdF
n?
三、均匀磁场对载流线圈的作用
)2πs i n (1 B I LF ad
b
a
c
d
L1
L2I
B?
1,均匀磁场中
)
2
πs i n (
1 B I LF bc
c o s1B I L
c o s1B I L?
2
πs i n
2B I LF ab?
2B IL?
2
πs i n
2B I LF cd?
2B IL?
B?
合力为零
s i n22 1LFM ab?
构成力偶
abF
cdF
IL1
n?
B?
s inB I S?
s i n12 LB I L?
BSIM
定义,通电线圈的磁矩 SIp
m
BpM m
注意
（ 2）若线圈有 N匝：
（ 1）适用于任意形状的 平面 线圈
I
n?
（ 3）力矩总是倾向于使 pm转向 B的方向
SNIpm
= 0,M = 0
abF
cdF
I
2π
n?
B?
abF
cdF
I n?
B?
BpM m
abF
cdF?
In?
B?
=?/ 2,M最大
=?,M = 0
线圈稳定平衡线圈处于不稳定平衡线圈稳定平衡 线圈处于不稳定平衡
2,非均匀磁场中线圈 既有平动又有转动
0,0 MF一般情况下：
例,半径为 R的塑料圆盘表面带 电 （面密度 s），
置于均匀磁场中。圆盘绕其轴以角速度 w转动，求圆盘受的磁力矩。
解,取一圆环
rrI dπ2
π2
d sw
Irp dπd 2m?
mdd pBM?
R rrBM 0 3 dπ sw
rBr dπ 3sw?
BR
4
π 4sw?
w
B?
dr
dI
r
rr dws?
rr dπ 3ws?
R rrp 0 3m dπ ws 4π
4Rsw
五、磁力的功
0BI lF?
AAFlA
s i nB I SM?
dd MA
AAlBI l 0
SBI
ΔI?
ds i nB I S
)c o s(d?BSIdI?
1,载流导线在磁场中运动时
2,载流线圈在磁场中转动时
I
B?
B
F?
0l
A
C
A?
C?
d
)( 12 I
)(Δ 电流不变时?IA?
)(d21 电流变化时IA
21 dIA?ΔI?
结论 均匀磁场中，任意的闭合电流回路，不论位置改变还是形状改变，磁力的功都可表示为：
一、洛仑兹力
§ 13.6 磁场对运动电荷的作用
SnqI v? lnS BlqnS dd
v
BlIF dd
lnS
BlSnq
d
d
v++
+ +++
lI?d
lI?d
B?
F?d
N
Ff
d
d
Bq v
lnSN dd?
lnS
BlI
d
d
Sqn,
方向为 Bfq v:0
方向为 Bfq v:0
洛仑兹力不作功
Bqf v
0π,0 f：?
最大,
2
π f
s i nBqf v?
方向：
大小：
B? f?
v?
-
v?
B?
f?
+
f?
二、运动电荷在均匀磁场中的运动
0 Bqv
B? R R
mBq
2v
v?
qB
mR v?
v
RT π2?
回旋周期：
匀速直线运动
Bqf v? 匀速圆周运动回旋半径：
qB
mπ2?
B //.1 v
Bv.2
+ 0v?q
c o s// vvs invv
v
RT π2
qB
mR v
qB
mTh π2
//// vv
合运动：
螺旋运动运动轨迹：
螺旋线螺距：
qB
mπ2?
qB
m?s inv?
角成与?Bv.3
磁聚焦在均匀磁场中某点 A 发射一束初速相差不大的带电粒子,它们的 与 之间的夹角 不尽相同,但都较小,这些粒子沿半径不同的螺旋线运动,因螺距近似相等,都相交于屏上同一点,此现象称之为磁聚焦。
v? B
+-
受力,)( BEqF v
三、带电粒子在电场和磁场中的运动
1,质谱仪
)( BEqF v0?
B
E vBqqE v?
选择出速度等于 v的粒子
qB
mR v?
Bf
Ef
速度选择器
v
q B Rm?
70 72 73 74 76
锗的质谱
+-
Bf
Ef
速度选择器用磁场和电场的组合把电荷量相等但质量不同的粒子分开来的仪器。
质谱线
v
q B Rm?
2,回旋加速器磁场：回旋作用电场：加速作用交变电场的周期等于粒子在磁场中作圆周运动的周期：
qB
mT π2?
粒子末速度：
qB
mR v?
m
q B R?v
末动能：
m
RBqmE
22
1 2222
k v
1932年劳伦斯研制第一台回旋加速器的 D型室。
此加速器可将质子和氘核加速到 1MeV的能量，
为此劳伦斯获得 1939年诺贝尔物理学奖。
我国于 1994
年建成的第一台强流质子加速器。
目前世界上最大的回旋加速器在美国费米加速实验室，环形管道的半径为 2公里。产生的高能粒子能量为 5000亿电子伏特。
世界第二大回旋加速器在欧洲加速中心，
加速器分布在法国和瑞士两国的边界，加速器在瑞士，储能环在法国。
产生的高能粒子能量为
280亿电子伏特。
EAS,Extensive Air Showers （广延大气簇射）
宇宙线,来自宇宙空间的高能粒子流
EAS阵列,在地面上布置粒子探测器，观测
EAS现象的实验系统。
原初粒子大气层海平面次级粒子
§ 13.7 霍尔效应
A1
A2
d
b
B?
d
IBVVV
BA
实验表明：
d
IBRV
H?
位于磁场中的载流体侧面出现电势差的现象一、霍尔效应
V：霍耳电势差
V
+ ++ + +
- -- - -
霍尔系数:HR
I
- - -
+ + +
二、产生霍尔效应的原因
B?
I
A1
A2
Bf
Ef
Bqf v?B洛仑兹力：
HE qEf?
HqEBq?v BE v?H
电场力：
平衡时：
：霍尔电场HE
SnqI v? n qd
IBV
d
IB
nq
1?
BA VVV
v+
I
B?A1
A2
v -
Ef
Bf
+ + +
- - -
bdnq v?
BbbE v H
nq
R 1H?
（ 1） q > 0,0,0
H VR
RH的正负反映了载流子的正负
d
IB
nq
V 1?
讨论
（ 2） q < 0,0,0
H VR
锌金属钾实测值（ m3C-1?1011） 计算值（ m3C-1?1011）
钠铜
-25.0
-42
-5.5
+3.3
-24.4
-47
-7.4
+4.6
B
V
II
V
B
p 型半导体 n 型半导体
f
v v
f
三、霍尔效应的应用
1,判断半导体的类型
0?V 0?V
利用此原理制成高斯计测量外界磁场。探头用霍尔元件制成，通过测量 V，折算成 B 。 探头高斯计
2,测量磁场
d
IBRV
H?
nq
R 1H?
3,测载流子浓度金属中载流子密度大,RH小；
半导体中载流子密度小,RH大。
—霍尔效应更显著
BV?
4,磁流体发电把燃料（油、
煤气和原子能反应堆）加热而产生的高温（约 3000K）
气体，以高速（约
1000 m/s）通过用耐高温材料制成的导电管。
电极发电通道导电气体
N
S
气体在高温情况下，原子中的一部分电子克服了原子核引力的束缚而变成自由电子，同时原子则因失去了电子而变成带正电的离子。
再在这种高温气流中加入少量容易电离的物质
（如钾和铯），更能促进气体的电离，从而提高气体的导电率，使气体差不多达到等离子状态。
如在垂直于气体运动的方向加上磁场，则气流中的正、负离子受洛仑兹力的作用，将分别向 两个相反方向偏转 。
结果在导电管两个电极上产生电势差。如果不断提供高温、高速的等离子气体，便能在电极上连续产生电能。
