2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 1
第 1 章 行列 式
1.1 行列式的概念
n阶行列式是一个数，是由 个数排成 行 列的方阵
2
n n n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
所决定的,
例如：二阶行列式
23241
43
21
=×?×=
二阶行列式一般的计算公式是
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
×?×=,
这个数是由两项的和构成的,每一项又是由取自不同行不同列的两个数的乘积组成的，且其中一项为正，
一项为负,
三阶行列式的计算公式是
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a ×+×?×=
,
在这个式子中如果把二阶行列式展开，就得到 6 项,
每一项由取自不同行不同列的 3个 数的乘积组成,其中 3项为正，3 项为负,
在 n阶行列式中，去掉元素 所在的第
ij
a i行和第
j列，剩下的是一个 1?n 阶行列式，叫做 的余子式，记作
ij
a
ij
M,那么 3 阶行列式就可写作,
131312121111
333231
232221
131211
MaMaMa
aa
a
a
a
aa
aa
+?=
再进一步，记
ij
ji
ij
MA
+
= )1(
称
ij
A 为 的代数余子式，则 3阶 行列式就可写作,
ij
a
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 3
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
++=,
同 样,n阶行列式
nn
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
1112121111
21
22221
11211
+++=L
L
LLLL
L
L
将其中的代数余子式全部展开,得到的是一个数,它是 项的代数和,其中每一项都是由取自不同行不同列的 n个数的乘积组成，其中一半是正项，一半是负项,显然,如 果在一个行列式中,有的元素是字母,
那么，行列式就是关于 的一个多项式,
!n
x
x
例1
xxxx
x
xx
x
=?==
2
)1(
11
1
110
11
00
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 4
例2
!
00
030
002
1
00
020
001
n
nn
==×=L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
例3
nn
nnn
nnnn
aaa
aa
a
a
aaa
aa
a
LL
L
LLL
L
L
LLLL
L
L
2211
2
22
11
21
2221
11
0
0
00
==
=
,
1.2 行列式的性质
行列式的最基本的性质是以下 4个,
性质 1 行列式中行列互换，其值不变,
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 5
性质 2 行列式中两行（列）对换，其值变号,
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
–
333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
,
性质 3 行 列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外,
=
333231
232221
131211
aaa
kakaka
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
k,
性质 4 行 列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和,
=+++
333231
232322222121
131211
aaa
bababa
aaa
+
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
bbb
aaa
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 6
由以上四条基本性质，还能推出下面几条性质,
性质 5 行 列式中如果有两行（列）元素对应相等，
则行列式的值为０,
性质 6 行列式中如果有两行 （列） 元 素对应成比例，
则行列式的值为０,
性质 7 行 列式中如果有一行（列）元素全为０，则行列式的值为０,
性质 8 行列式中某行（列）元素的 k倍加到另一行
（列）,其值不变,
例4 计算
n
N
2
1
,
例5 设
321
,,ααα 均为 3维 列向量，记矩阵
),,(
321
ααα=A,
)93
,42,(
321
321321
ααα
αααααα
++
++++=B
如果 1=A,那么 B =,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 7
行列式中常用的公式还有,
1．范德蒙德 (Vandermonde）行列式
∏
≤<≤

=
nij
ji
n
n
nn
n
aa
aaa
aaa
1
11
2
1
1
21
)(
111
L
LLLL
L
L
2,BA
B
A
=
0
0
，其中 BA,都是方阵,
3,BA
B
A
mn
)1(
0
0
=,其中 A是 阶方阵，n
B是 阶方阵,m
上面两个公式还可以推广为,
4,BA
BC
A
=
0
,其中 A是 阶 方 阵,n B是 阶方阵，
m
C是 的矩阵,nm×
或 BA
B
CA
=
0
，其 中 A是 阶方阵，n B是 阶方阵，
m
C是 的矩阵,mn×
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 8
5,BA
B
AC
mn
)1(
0
=,其中 A是 阶方阵，n
B是 阶方阵，m C是 mn× 的矩阵,
或 BA
CB
A
mn
)1(
0
=,其中 A是 阶 方 阵,n B
是 阶方阵，m C是 nm× 的矩阵,
例6 计 算
27811
9411
3211
1111
,
例7 计 算
n
n
00
001
010
L
L
LLLL
L
,
例8 计 算
44
33
22
11
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 9
1.3 行列式的计算
例 9 计算
1111
1111
1111
1111
+

+?

x
x
x
x
,
例 10 计算 阶行列式 n
1000
1000
00100
0010
0001
1
2
1
L
L
LLLLLL
L
L
L
n
n
a
a
a
a
,
例 11 计算
44434241
43333231
42322221
41312111
babababa
babababa
babababa
babababa
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 10
例 12 计算 阶行列式 n
abb
bab
bba
L
LLLL
L
L
,
例 13 计算：
n
an
a
a
na
L
LLLLL
L
L
L
00
002
001
21
2
1
0
,
例 14 计算
n
a
a
a
+
+
+
111
111
111
2
1
L
LLLL
L
L
,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 11
例 15 证明,
1
21000
12000
00210
00121
00012
+=

= nD
n
L
L
LLLLLL
L
L
L
例 16 计算 阶行列式 n
ba
abba
ba
abba
abba
+
+
+
+
+
1000
000
0010
001
000
L
L
LLLLLL
L
L
L
,
1.4 按行展开定理
行列式按行展开定理包含两部分,
（１） n阶行列式
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 12
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
=
等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即
ininiiii
AaAaAaD +++=L
2211
ni,,2,1L=
（２） n阶行列式 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即
D
0
2211
=+++
jninjiji
AaAaAaL,ji ≠
例 17 已知
011
111
412
,求第３列各元素代数余子式之和
332313
AAA ++,
例 18 求行列式
2235
0070
2222
0403
第４行各元素的余子式的和,
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列 式 1 — 13
例 19 求
x
x
x
xx
321
121
2132
312
中 的系数,
3
x
例 20 记行列式
3475344
53542333
32221222
3212




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
为,求方程)(xf 0)( =xf 有几个复根,
例 21 设
xxx
x
x
x
xf
++
=
631
2122
4221
421
)(,
证明 0)( =
′
xf 有小于１的正根,