2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 1
第 4 章 向量组的线性相关性
复习本章内容要达到理解 维向量，向量的 n
线性组合与线性表示等概念．要正确理解向量组
线性相关和线性无关的定义，了解并会用向量组
线性相关性的有关性质及判别法．了解向量组的
极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量
组的极大线性无关组及秩．还要了解向量组等价
的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩的关系,
4．1 向量的线性组合与线性表示
由 n个实数 组成的有序数组称
n
aaa,,,
21
L
为 维向量，记作 n
=
n
a
a
a
M
2
1
α,
其中
i
a 称为向量 α的第 个分量．这个向量是一 i
个列向量．行向量记作
( )
n
T
aaa,,,
21
L=α,
分量全为０的向量称为零向量,
记作,()
T
0000，，，L=
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 2
两 个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
(
T
n
bbb,,,
21
L=β )，若它们的对应分量全相等,
即
ii
ba =,则称向量ni,,2,1 L= α和 β 相等,
记作 βα =,
设两个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
()
T
n
bbb,,,
21
L=β,定义
T
nn
bababa +++=+,,,
2211
Lβα,
称为向量 α与 β 的和,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
称 为向量
T
n
aaa=?,,,
21
Lα α的负向量,
于是定义向量的减法,
）（βαβα?+=?,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,k是实数，定义
()
T
n
kakakak,,,
21
L=α,
称为数 k与向量 α的数量乘法，简称数乘,
在 n维向量中只讨论这两种运算,
对任意 n维向量 γβα，，及任意实数 lk,,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 3
向量的加法及数量乘法满足以下８个性质,
（１） αββα +=+ ；
（２） () ( )γβαγβα ++=++ ；
（３） αα =+0 ；
（４） 0=?+）（αα ；
（５） αα =?1 ；
（６） αα )()( kllk = ；
（７） βαβα kkk +=+ )( ；
（８） ααα lklk +=+ )(,
设
s
ααα,,,
21
L 是 维向量,n
s
kkk,,,
21
L 是数，则
ss
kkk ααα +++ L
2211
称为向量
s
ααα,,,
21
L 的一个线性组合,
若
ss
kkk αααβ +++= L
2211
，称 β
可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示或线性表出,
β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示，即向量方程
ss
xxx αααβ +++= L
2211
有解．所以判断
一个向量能否由一个向量组线性表示，可以根据
方程组有解的充分必要条件来进行判断,β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示，还可以看成是向量组 β,
s
ααα,,,
21
L 线性相关，所以也可以用向量组线
性相关的性质来判断,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 4
求向量线性表示的问题归根结底是解方程
组的问题，通常有两种方法来处理，一种方法是
写出待定的表示式，然后解线性方程组．另一种
方法是将向量按列写成矩阵，对矩阵施行行初等
变换化作行简化阶梯形，这时，非主元所在列的
向量可以由主元所在列的向量线性表示，表示式
中的系数恰是非主元所在列对应的分量,
例1 设,()
T
3,2,1
1
=α ( )
T
4,1,0
2
=α,
()
T
6,3,2
3
=α,( )
T
5,1,1?=β,试用
321
,,ααα 线性表示 β,
例２ 设,()
T
2,0,4,1
1
=α
()
T
3,1,7,2
2
=α,
()
T
2,1,1,0
3
=α,
(
T
a 4,,10,3=β ),取何值时，a β 可由
321
,,ααα 线性表示？写出表示式,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 5
４,2 向量组的线性相关与线性无关
设
s
ααα,,,
21
L 是 维向量，若存在不全为 n
零的数,使得
s
kkk,,,
21
L
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
成立，则称向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关．否则
称为线性无关,
只有一个向量的向量组 { }α,如果 0=α,则
向量组是线性相关的；如果 0≠α,则向量组是
线性无关的,
一个不少于２个向量的向量组若线性相关,
则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余
向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个
向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组
是线性相关的,
这个命题的等价命题就是：向量组线性无关
的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由
其余向量线性表示,
这个命题中要特别注意的是＂有一个＂和
＂其余＂这两个词．一个向量组线性相关，则
至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而
不是每个向量都可以由其余向量线性表示,
例如,()
T
0,0,1
1
=α ( )
T
0,0,2
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 6
(
T
0,1,1
3
=α )，显然这个向量组是线性相
关的，其中
1
α 和
2
α 可以互相线性表示，但是
3
α
不能由
1
α,
2
α 线性表示．其余是指除它本身以
外的向量，因为每个向量是自然能由自己线性
表出的,
按定义，向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关当且
仅当向量方程
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
只有零解,
将向量
s
ααα,,,
21
L 按列排成一个矩阵,
记作,即 ＝（A A
s
ααα,,,
21
L ）,则向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关的充分必要条件是齐次
线性方程组
0=Ax
有非零解,
如果向量的个数比向量的维数多，也就是方
程组中方程的个数少于未知数个数，方程组一定
有非零解，因此有结论,
向量个数大于向量维数时向量组线性相关,
或更直接地说，任何 1+n 个 维向量线性相关,n
当向量个数和向量维数一样多时，矩阵 A
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 7
是方阵，方程组的解可以用行列式来判断，于是
有结论,
n个 n维向量
n
ααα,,,
21
L 线性相关的充分
必要条件是由向量排成的行列式等于０．即
n
ααα,,,
21
L ＝０,
向量组的线性相关性的定理很多，其中最重
要的是这几个,
（１）若
s
ααα,,,
21
L 线性无关，而
βααα,,,,
21 s
L 线性相关,则 β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表出，且表示法惟一,
（２）若
s
ααα,,,
21
L 可由
t
βββ,,,
21
L 线性
表出，且 ts >,则
s
ααα,,,
21
L 线性相关,
（３）若
s
ααα,,,
21
L 线性无关且可由
t
βββ,,,
21
L 线性表出，则 ts ≤,
以下这些性质也是很有用的,
（１） 包含零向量的向量组必线性相关,
（２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关,
则整个向量组线性相关,
（３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向
量组都线性无关,
（４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向
量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 8
向量组，则新的向量组也线性相关,
（５） 一个线性无关的向量组，如果每一个向
量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组,
则新向量组也线性无关,
例３向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关的充分条件是
)(A
s
ααα,,,
21
L 都不是零向量；
)(B
s
ααα,,,
21
L 除去向量组本身的任意部分
向量组都线性无关；
)(C 向量组
s
ααα,,,
21
L 的秩等于 ； s
)(D
s
ααα,,,
21
L 中任意两个向量都线性无关,
例４ 设 (),11
1
T
t=α
(),11
2
T
t=α ( )
T
t11
3
=α,
问 t为何值时
321
,,ααα 线性相关,
例5 设
21
,αα 是 维向量，令n
211
2ααβ +=,
212
ααβ +?=,
213
25 ααβ +=,则
321
,,)( βββA 必线性无关；
321
,,)( βββB 必线性相关；
)(C 仅当
21
,αα 线性无关时，
321
,,βββ 线性
无关；
)(D 仅当
21
,αα 线性相关时，
321
,,βββ 线性
相关,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 9
例６ 已知
321
,,ααα 线性无关，试判断
133221
54,,23 αααααα+ 是否线性无关,
例７ 已知向量组
321
,,ααα 线性相关,
432
,,ααα 线性无关，问
（１）
1
α 能否由
32
,αα 线性表示？证明你的结论；
（２）
4
α 能否由
321
,,ααα 线性表示？证明你的
结论,
例８ 设线 γβα,,性无关，又设 0≠δ,δγα,,
线性相关,δγβ,,也线性相关，证明 γδ k=,
其中 常数,0≠k
例９ 已知
4
R 中，
321
,,ααα 线性无关,
321
,,βββ 线性无关,
（１） 若 不能由
4
R∈γ
321
,,ααα 线性表出，则
γααα,,,
321
线性无关；
（２） 证明
4
R∈?δ 使得 δααα,,,
321
与
δβββ,,,
321
均线性无关,
例１０ 设 是 矩阵,是A mn× B nm× 矩阵,
满足 IAB =,试证明 的列向量线性无关,B
例１１ 设 BA,为满足 0=AB 的任意两个非零
矩阵，则必有
(A) 的列向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 10
(B) 的列向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
(C) 的行向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
(D) 的行向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
例１２ 设 是 n阶方阵，A α是 维列向量,n
若 0
1
≠
α
n
A,而 0=α
n
A,试证明
ααα
1
,,,
n
AA L 线性无关,
4．3 极大线性无关组
设有两个向量组（１）
s
ααα,,,
21
L,
（２）
t
βββ,,,
21
L,如果向量组（１）中每个
向量都能由向量组（２）线性表出，则称向量组
（１）能由向量组（２）线性表出,
如果向量组（１）能由向量组（２）线性表
出，且向量组（２）也能由向量组（１）线性表
出，则称这两个向量组等价，记作（１）?（２）,
向量组的等价是向量组之间的一种等价关系,
具有以下性质,
１） 反身性,（１）?（１） ；
２） 对称性：若（１）?（２）,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 11
则（２） （１） ；?
３） 传递性：若（１）?（２）,（２）?（３）,
则（１） （３）,?
设向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个部分组．满足
１）
r
iii
ααα,,,
21
L 线性无关；
２）向量组
s
ααα,,,
21
L 的每一个向量都可以
由向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 线性表出，则称部分组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个
极大线性无关组,
显然，向量组的一个极大线性无关组与向量
组本身是等价的,
一般地，向量组的极大线性无关组不是惟一
的．按照定义，一个向量组的任意两个极大线性
无关组可以互相线性表出，因此，它们是等价的,
根据定理，两个等价的线性无关的向量组各
自所含的向量的个数必定相等．这就是说一个向
量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不
变量，它由向量组本身所确定,
满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形
Reduced Row Echelon Form (RREF),
（１） 所有零行都在矩阵的底部；
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 12
（２） 非零行的主元在前一行主元的右方；
（３） 主元为 1；
（４） 主元所在列除主元外的其它元素全为零,
例如,
00000
00000
22100
11021
任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化
作简化的行阶梯形,
利用简化行阶梯形可以解决的问题有,
（１）求极大线性无关组
（２）求向量间的线性关系
（３）求齐次线性方程组基础解系
（４）求非齐次线性方程组特解
求极大线性无关组的步骤,
（１） 将向量依次按列写成矩阵；
（２） 对矩阵施行行初等变换，化作简化行阶
梯形；
（３） 主元所在列向量构成一个极大线性无关
组；
（４） 非主元所在列向量和主元所在列向量的
关系由非主元列各分量表示,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 13
例如简化行阶梯形为
00000
21000
10210
20101
其中主元所在列是第１列，第２列，第４列，因
此一个极大线性无关组是
421
,,ααα,第３列无
主 元,
3
α ＝
0
0
2
1
＝
×+
×?
0
0
1
0
2
0
0
0
1
1 ＝
21
2αα +?,
同理,
5
α ＝
0
2
1
2
＝
×?
+
×
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
2
＝
321
22 ααα?+,
例1 ３ 求 向 量 组 ( )
T
0,0,1,1
1
=α,
()
T
1,1,1,0
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 14
()
T
1,1,2,1
3
=α,
()
T
1,2,3,1
4
=α,
(1,4,6,2
5
= )α 的一个极大线性无关组,
并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出,
例1 ４
s
ααα,,,
21
可被
t
βββ,,,
21
线性
表出，且秩相等，证明
t
βββ,,,
21
也可被
s
ααα,,,
21
线性表出,
4．4 向量组的秩
向量组的极大线性无关组中所含向量的个
数称为这个向量组的秩,
只含零向量的向量组的秩规定为０,
向量组的秩有两个重要性质,
（１） 设向量组（I）的秩为,向量组（II）
1
r
的秩为,若向量组（I）可以由向量组（II）
2
r
线性表示，则,
21
rr ≤
（２） 等价的向量组有相同的秩,
矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩
阵经过矩阵的初等变换转化成的．由于初等变换
不改变矩阵的秩，因此，等价的矩阵有相同的秩,
反过来，两个秩相等的同型矩阵，它们有相同的
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 15
等价标准形，再由矩阵等价的传递性和对称性,
这两个矩阵就等价,
向量组的等价是指两个向量组可以互相线性
表示，由线性表示和秩之间的联系，等价的向量
组有相同的秩．但是，反过来，两个向量组的秩
相等，只说明这两个向量组的极大线性无关组中
有一样多个向量，并没有涉及向量之间是否可线
性表出，因此，秩相等的向量组不一定等价,
例如向量组
1
α ＝ (),
T
0,0,0,1
2
α ＝,和向量组 ()
T
0,0,1,0
1
β ＝ ()，
T
0,1,0,0
2
β ＝ ( )
T
1,0,0,0
的秩都是２，但它们互相不能线性表出，自然就
不等价,
设 A是 矩阵，将矩阵的每个行（列）看作行（ 列 ） 向 量,矩 阵 的 个行 （列） 向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行（列）秩,
nm×
m
矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩,
求向量组的秩的一般步骤是,
（１） 将向量按列（或按行）写成矩阵；
（２） 对矩阵作初等变换，化成阶梯形；
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 16
（３） 非零行的个数就是向量组的秩,
例 1５ 已知向量组 ( )
T
3,2,1
1
=α,
()
T
1,0,3
2
=α,( )
T
5,4,1
3
=α 与向
量组,()
T
a 0,2,
1
=β ( )
T
b 1,,1
2
=β,
(
T
2,3,2
3
=β )具有相同的秩，且
1
β 可
以由
321
,,ααα 线性表出，求 的值,ba,
例 1６ 已知向量组（I）
321
,,ααα,
（II）
321
,,ααα,
4
α,
和（III）
321
,,ααα,
5
α,
它们的秩为 r（I）＝ r（II）＝３,
r（III）＝４,
证明
45
αα? 和
321
,,ααα 线性无关,
例1 ７ 设 n维向量组
s
ααα,,,
21
)( ns <
线性无关,则
s
βββ,,,
21
线性无关的充分
必要条件是
)(A
s
ααα,,,
21
可由
s
βββ,,,
21
线性表出；
)(B
s
βββ,,,
21
可由
s
ααα,,,
21
线性表出；
)(C
s
ααα,,,
21
与
s
βββ,,,
21
等价；
)(D 矩阵 ( )
s
A ααα,,,
21
= 与矩阵
( )
s
B βββ,,,
21
= 等价,
第 4 章 向量组的线性相关性
复习本章内容要达到理解 维向量，向量的 n
线性组合与线性表示等概念．要正确理解向量组
线性相关和线性无关的定义，了解并会用向量组
线性相关性的有关性质及判别法．了解向量组的
极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量
组的极大线性无关组及秩．还要了解向量组等价
的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩的关系,
4．1 向量的线性组合与线性表示
由 n个实数 组成的有序数组称
n
aaa,,,
21
L
为 维向量，记作 n
=
n
a
a
a
M
2
1
α,
其中
i
a 称为向量 α的第 个分量．这个向量是一 i
个列向量．行向量记作
( )
n
T
aaa,,,
21
L=α,
分量全为０的向量称为零向量,
记作,()
T
0000，，，L=
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 2
两 个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
(
T
n
bbb,,,
21
L=β )，若它们的对应分量全相等,
即
ii
ba =,则称向量ni,,2,1 L= α和 β 相等,
记作 βα =,
设两个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
()
T
n
bbb,,,
21
L=β,定义
T
nn
bababa +++=+,,,
2211
Lβα,
称为向量 α与 β 的和,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
称 为向量
T
n
aaa=?,,,
21
Lα α的负向量,
于是定义向量的减法,
）（βαβα?+=?,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,k是实数，定义
()
T
n
kakakak,,,
21
L=α,
称为数 k与向量 α的数量乘法，简称数乘,
在 n维向量中只讨论这两种运算,
对任意 n维向量 γβα，，及任意实数 lk,,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 3
向量的加法及数量乘法满足以下８个性质,
（１） αββα +=+ ；
（２） () ( )γβαγβα ++=++ ；
（３） αα =+0 ；
（４） 0=?+）（αα ；
（５） αα =?1 ；
（６） αα )()( kllk = ；
（７） βαβα kkk +=+ )( ；
（８） ααα lklk +=+ )(,
设
s
ααα,,,
21
L 是 维向量,n
s
kkk,,,
21
L 是数，则
ss
kkk ααα +++ L
2211
称为向量
s
ααα,,,
21
L 的一个线性组合,
若
ss
kkk αααβ +++= L
2211
，称 β
可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示或线性表出,
β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示，即向量方程
ss
xxx αααβ +++= L
2211
有解．所以判断
一个向量能否由一个向量组线性表示，可以根据
方程组有解的充分必要条件来进行判断,β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示，还可以看成是向量组 β,
s
ααα,,,
21
L 线性相关，所以也可以用向量组线
性相关的性质来判断,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 4
求向量线性表示的问题归根结底是解方程
组的问题，通常有两种方法来处理，一种方法是
写出待定的表示式，然后解线性方程组．另一种
方法是将向量按列写成矩阵，对矩阵施行行初等
变换化作行简化阶梯形，这时，非主元所在列的
向量可以由主元所在列的向量线性表示，表示式
中的系数恰是非主元所在列对应的分量,
例1 设,()
T
3,2,1
1
=α ( )
T
4,1,0
2
=α,
()
T
6,3,2
3
=α,( )
T
5,1,1?=β,试用
321
,,ααα 线性表示 β,
例２ 设,()
T
2,0,4,1
1
=α
()
T
3,1,7,2
2
=α,
()
T
2,1,1,0
3
=α,
(
T
a 4,,10,3=β ),取何值时，a β 可由
321
,,ααα 线性表示？写出表示式,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 5
４,2 向量组的线性相关与线性无关
设
s
ααα,,,
21
L 是 维向量，若存在不全为 n
零的数,使得
s
kkk,,,
21
L
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
成立，则称向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关．否则
称为线性无关,
只有一个向量的向量组 { }α,如果 0=α,则
向量组是线性相关的；如果 0≠α,则向量组是
线性无关的,
一个不少于２个向量的向量组若线性相关,
则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余
向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个
向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组
是线性相关的,
这个命题的等价命题就是：向量组线性无关
的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由
其余向量线性表示,
这个命题中要特别注意的是＂有一个＂和
＂其余＂这两个词．一个向量组线性相关，则
至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而
不是每个向量都可以由其余向量线性表示,
例如,()
T
0,0,1
1
=α ( )
T
0,0,2
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 6
(
T
0,1,1
3
=α )，显然这个向量组是线性相
关的，其中
1
α 和
2
α 可以互相线性表示，但是
3
α
不能由
1
α,
2
α 线性表示．其余是指除它本身以
外的向量，因为每个向量是自然能由自己线性
表出的,
按定义，向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关当且
仅当向量方程
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
只有零解,
将向量
s
ααα,,,
21
L 按列排成一个矩阵,
记作,即 ＝（A A
s
ααα,,,
21
L ）,则向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关的充分必要条件是齐次
线性方程组
0=Ax
有非零解,
如果向量的个数比向量的维数多，也就是方
程组中方程的个数少于未知数个数，方程组一定
有非零解，因此有结论,
向量个数大于向量维数时向量组线性相关,
或更直接地说，任何 1+n 个 维向量线性相关,n
当向量个数和向量维数一样多时，矩阵 A
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 7
是方阵，方程组的解可以用行列式来判断，于是
有结论,
n个 n维向量
n
ααα,,,
21
L 线性相关的充分
必要条件是由向量排成的行列式等于０．即
n
ααα,,,
21
L ＝０,
向量组的线性相关性的定理很多，其中最重
要的是这几个,
（１）若
s
ααα,,,
21
L 线性无关，而
βααα,,,,
21 s
L 线性相关,则 β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表出，且表示法惟一,
（２）若
s
ααα,,,
21
L 可由
t
βββ,,,
21
L 线性
表出，且 ts >,则
s
ααα,,,
21
L 线性相关,
（３）若
s
ααα,,,
21
L 线性无关且可由
t
βββ,,,
21
L 线性表出，则 ts ≤,
以下这些性质也是很有用的,
（１） 包含零向量的向量组必线性相关,
（２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关,
则整个向量组线性相关,
（３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向
量组都线性无关,
（４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向
量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 8
向量组，则新的向量组也线性相关,
（５） 一个线性无关的向量组，如果每一个向
量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组,
则新向量组也线性无关,
例３向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关的充分条件是
)(A
s
ααα,,,
21
L 都不是零向量；
)(B
s
ααα,,,
21
L 除去向量组本身的任意部分
向量组都线性无关；
)(C 向量组
s
ααα,,,
21
L 的秩等于 ； s
)(D
s
ααα,,,
21
L 中任意两个向量都线性无关,
例４ 设 (),11
1
T
t=α
(),11
2
T
t=α ( )
T
t11
3
=α,
问 t为何值时
321
,,ααα 线性相关,
例5 设
21
,αα 是 维向量，令n
211
2ααβ +=,
212
ααβ +?=,
213
25 ααβ +=,则
321
,,)( βββA 必线性无关；
321
,,)( βββB 必线性相关；
)(C 仅当
21
,αα 线性无关时，
321
,,βββ 线性
无关；
)(D 仅当
21
,αα 线性相关时，
321
,,βββ 线性
相关,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 9
例６ 已知
321
,,ααα 线性无关，试判断
133221
54,,23 αααααα+ 是否线性无关,
例７ 已知向量组
321
,,ααα 线性相关,
432
,,ααα 线性无关，问
（１）
1
α 能否由
32
,αα 线性表示？证明你的结论；
（２）
4
α 能否由
321
,,ααα 线性表示？证明你的
结论,
例８ 设线 γβα,,性无关，又设 0≠δ,δγα,,
线性相关,δγβ,,也线性相关，证明 γδ k=,
其中 常数,0≠k
例９ 已知
4
R 中，
321
,,ααα 线性无关,
321
,,βββ 线性无关,
（１） 若 不能由
4
R∈γ
321
,,ααα 线性表出，则
γααα,,,
321
线性无关；
（２） 证明
4
R∈?δ 使得 δααα,,,
321
与
δβββ,,,
321
均线性无关,
例１０ 设 是 矩阵,是A mn× B nm× 矩阵,
满足 IAB =,试证明 的列向量线性无关,B
例１１ 设 BA,为满足 0=AB 的任意两个非零
矩阵，则必有
(A) 的列向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 10
(B) 的列向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
(C) 的行向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
(D) 的行向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
例１２ 设 是 n阶方阵，A α是 维列向量,n
若 0
1
≠
α
n
A,而 0=α
n
A,试证明
ααα
1
,,,
n
AA L 线性无关,
4．3 极大线性无关组
设有两个向量组（１）
s
ααα,,,
21
L,
（２）
t
βββ,,,
21
L,如果向量组（１）中每个
向量都能由向量组（２）线性表出，则称向量组
（１）能由向量组（２）线性表出,
如果向量组（１）能由向量组（２）线性表
出，且向量组（２）也能由向量组（１）线性表
出，则称这两个向量组等价，记作（１）?（２）,
向量组的等价是向量组之间的一种等价关系,
具有以下性质,
１） 反身性,（１）?（１） ；
２） 对称性：若（１）?（２）,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 11
则（２） （１） ；?
３） 传递性：若（１）?（２）,（２）?（３）,
则（１） （３）,?
设向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个部分组．满足
１）
r
iii
ααα,,,
21
L 线性无关；
２）向量组
s
ααα,,,
21
L 的每一个向量都可以
由向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 线性表出，则称部分组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个
极大线性无关组,
显然，向量组的一个极大线性无关组与向量
组本身是等价的,
一般地，向量组的极大线性无关组不是惟一
的．按照定义，一个向量组的任意两个极大线性
无关组可以互相线性表出，因此，它们是等价的,
根据定理，两个等价的线性无关的向量组各
自所含的向量的个数必定相等．这就是说一个向
量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不
变量，它由向量组本身所确定,
满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形
Reduced Row Echelon Form (RREF),
（１） 所有零行都在矩阵的底部；
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 12
（２） 非零行的主元在前一行主元的右方；
（３） 主元为 1；
（４） 主元所在列除主元外的其它元素全为零,
例如,
00000
00000
22100
11021
任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化
作简化的行阶梯形,
利用简化行阶梯形可以解决的问题有,
（１）求极大线性无关组
（２）求向量间的线性关系
（３）求齐次线性方程组基础解系
（４）求非齐次线性方程组特解
求极大线性无关组的步骤,
（１） 将向量依次按列写成矩阵；
（２） 对矩阵施行行初等变换，化作简化行阶
梯形；
（３） 主元所在列向量构成一个极大线性无关
组；
（４） 非主元所在列向量和主元所在列向量的
关系由非主元列各分量表示,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 13
例如简化行阶梯形为
00000
21000
10210
20101
其中主元所在列是第１列，第２列，第４列，因
此一个极大线性无关组是
421
,,ααα,第３列无
主 元,
3
α ＝
0
0
2
1
＝
×+
×?
0
0
1
0
2
0
0
0
1
1 ＝
21
2αα +?,
同理,
5
α ＝
0
2
1
2
＝
×?
+
×
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
2
＝
321
22 ααα?+,
例1 ３ 求 向 量 组 ( )
T
0,0,1,1
1
=α,
()
T
1,1,1,0
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 14
()
T
1,1,2,1
3
=α,
()
T
1,2,3,1
4
=α,
(1,4,6,2
5
= )α 的一个极大线性无关组,
并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出,
例1 ４
s
ααα,,,
21
可被
t
βββ,,,
21
线性
表出，且秩相等，证明
t
βββ,,,
21
也可被
s
ααα,,,
21
线性表出,
4．4 向量组的秩
向量组的极大线性无关组中所含向量的个
数称为这个向量组的秩,
只含零向量的向量组的秩规定为０,
向量组的秩有两个重要性质,
（１） 设向量组（I）的秩为,向量组（II）
1
r
的秩为,若向量组（I）可以由向量组（II）
2
r
线性表示，则,
21
rr ≤
（２） 等价的向量组有相同的秩,
矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩
阵经过矩阵的初等变换转化成的．由于初等变换
不改变矩阵的秩，因此，等价的矩阵有相同的秩,
反过来，两个秩相等的同型矩阵，它们有相同的
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 15
等价标准形，再由矩阵等价的传递性和对称性,
这两个矩阵就等价,
向量组的等价是指两个向量组可以互相线性
表示，由线性表示和秩之间的联系，等价的向量
组有相同的秩．但是，反过来，两个向量组的秩
相等，只说明这两个向量组的极大线性无关组中
有一样多个向量，并没有涉及向量之间是否可线
性表出，因此，秩相等的向量组不一定等价,
例如向量组
1
α ＝ (),
T
0,0,0,1
2
α ＝,和向量组 ()
T
0,0,1,0
1
β ＝ ()，
T
0,1,0,0
2
β ＝ ( )
T
1,0,0,0
的秩都是２，但它们互相不能线性表出，自然就
不等价,
设 A是 矩阵，将矩阵的每个行（列）看作行（ 列 ） 向 量,矩 阵 的 个行 （列） 向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行（列）秩,
nm×
m
矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩,
求向量组的秩的一般步骤是,
（１） 将向量按列（或按行）写成矩阵；
（２） 对矩阵作初等变换，化成阶梯形；
2006 春 季 班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4— 16
（３） 非零行的个数就是向量组的秩,
例 1５ 已知向量组 ( )
T
3,2,1
1
=α,
()
T
1,0,3
2
=α,( )
T
5,4,1
3
=α 与向
量组,()
T
a 0,2,
1
=β ( )
T
b 1,,1
2
=β,
(
T
2,3,2
3
=β )具有相同的秩，且
1
β 可
以由
321
,,ααα 线性表出，求 的值,ba,
例 1６ 已知向量组（I）
321
,,ααα,
（II）
321
,,ααα,
4
α,
和（III）
321
,,ααα,
5
α,
它们的秩为 r（I）＝ r（II）＝３,
r（III）＝４,
证明
45
αα? 和
321
,,ααα 线性无关,
例1 ７ 设 n维向量组
s
ααα,,,
21
)( ns <
线性无关,则
s
βββ,,,
21
线性无关的充分
必要条件是
)(A
s
ααα,,,
21
可由
s
βββ,,,
21
线性表出；
)(B
s
βββ,,,
21
可由
s
ααα,,,
21
线性表出；
)(C
s
ααα,,,
21
与
s
βββ,,,
21
等价；
)(D 矩阵 ( )
s
A ααα,,,
21
= 与矩阵
( )
s
B βββ,,,
21
= 等价,
