2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 1
第 4 章 向量组的线性相关性
复习本章内容要达到理解 维向量,向量的 n
线性组合与线性表示等概念.要正确理解向量组
线性相关和线性无关的定义,了解并会用向量组
线性相关性的有关性质及判别法.了解向量组的
极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量
组的极大线性无关组及秩.还要了解向量组等价
的概念,以及向量组的秩与矩阵的秩的关系,
4.1 向量的线性组合与线性表示
由 n个实数 组成的有序数组称
n
aaa,,,
21
L
为 维向量,记作 n
=
n
a
a
a
M
2
1
α,
其中
i
a 称为向量 α的第 个分量.这个向量是一 i
个列向量.行向量记作
( )
n
T
aaa,,,
21
L=α,
分量全为0的向量称为零向量,
记作,()
T
0000,,,L=
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 2
两 个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
(
T
n
bbb,,,
21
L=β ),若它们的对应分量全相等,

ii
ba =,则称向量ni,,2,1 L= α和 β 相等,
记作 βα =,
设两个 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
()
T
n
bbb,,,
21
L=β,定义
T
nn
bababa +++=+,,,
2211
Lβα,
称为向量 α与 β 的和,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
称 为向量
T
n
aaa=?,,,
21
Lα α的负向量,
于是定义向量的减法,
)(βαβα?+=?,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,k是实数,定义
()
T
n
kakakak,,,
21
L=α,
称为数 k与向量 α的数量乘法,简称数乘,
在 n维向量中只讨论这两种运算,
对任意 n维向量 γβα,,及任意实数 lk,,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 3
向量的加法及数量乘法满足以下8个性质,
(1) αββα +=+ ;
(2) () ( )γβαγβα ++=++ ;
(3) αα =+0 ;
(4) 0=?+)(αα ;
(5) αα =?1 ;
(6) αα )()( kllk = ;
(7) βαβα kkk +=+ )( ;
(8) ααα lklk +=+ )(,

s
ααα,,,
21
L 是 维向量,n
s
kkk,,,
21
L 是数,则
ss
kkk ααα +++ L
2211
称为向量
s
ααα,,,
21
L 的一个线性组合,

ss
kkk αααβ +++= L
2211
,称 β
可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示或线性表出,
β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示,即向量方程
ss
xxx αααβ +++= L
2211
有解.所以判断
一个向量能否由一个向量组线性表示,可以根据
方程组有解的充分必要条件来进行判断,β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表示,还可以看成是向量组 β,
s
ααα,,,
21
L 线性相关,所以也可以用向量组线
性相关的性质来判断,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 4
求向量线性表示的问题归根结底是解方程
组的问题,通常有两种方法来处理,一种方法是
写出待定的表示式,然后解线性方程组.另一种
方法是将向量按列写成矩阵,对矩阵施行行初等
变换化作行简化阶梯形,这时,非主元所在列的
向量可以由主元所在列的向量线性表示,表示式
中的系数恰是非主元所在列对应的分量,
例1 设,()
T
3,2,1
1
=α ( )
T
4,1,0
2
=α,
()
T
6,3,2
3
=α,( )
T
5,1,1?=β,试用
321
,,ααα 线性表示 β,
例2 设,()
T
2,0,4,1
1

()
T
3,1,7,2
2
=α,
()
T
2,1,1,0
3
=α,
(
T
a 4,,10,3=β ),取何值时,a β 可由
321
,,ααα 线性表示?写出表示式,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 5
4,2 向量组的线性相关与线性无关

s
ααα,,,
21
L 是 维向量,若存在不全为 n
零的数,使得
s
kkk,,,
21
L
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
成立,则称向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关.否则
称为线性无关,
只有一个向量的向量组 { }α,如果 0=α,则
向量组是线性相关的;如果 0≠α,则向量组是
线性无关的,
一个不少于2个向量的向量组若线性相关,
则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余
向量线性表示.反之,若一个向量组中,有一个
向量可以由其余向量线性表示,那么这个向量组
是线性相关的,
这个命题的等价命题就是:向量组线性无关
的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由
其余向量线性表示,
这个命题中要特别注意的是"有一个"和
"其余"这两个词.一个向量组线性相关,则
至少有一个向量可以由其余向量线性表示,而
不是每个向量都可以由其余向量线性表示,
例如,()
T
0,0,1
1
=α ( )
T
0,0,2
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 6
(
T
0,1,1
3
=α ),显然这个向量组是线性相
关的,其中
1
α 和
2
α 可以互相线性表示,但是
3
α
不能由
1
α,
2
α 线性表示.其余是指除它本身以
外的向量,因为每个向量是自然能由自己线性
表出的,
按定义,向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关当且
仅当向量方程
0
2211
=+++
ss
kkk ααα L
只有零解,
将向量
s
ααα,,,
21
L 按列排成一个矩阵,
记作,即 =(A A
s
ααα,,,
21
L ),则向量组
s
ααα,,,
21
L 线性相关的充分必要条件是齐次
线性方程组
0=Ax
有非零解,
如果向量的个数比向量的维数多,也就是方
程组中方程的个数少于未知数个数,方程组一定
有非零解,因此有结论,
向量个数大于向量维数时向量组线性相关,
或更直接地说,任何 1+n 个 维向量线性相关,n
当向量个数和向量维数一样多时,矩阵 A
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 7
是方阵,方程组的解可以用行列式来判断,于是
有结论,
n个 n维向量
n
ααα,,,
21
L 线性相关的充分
必要条件是由向量排成的行列式等于0.即
n
ααα,,,
21
L =0,
向量组的线性相关性的定理很多,其中最重
要的是这几个,
(1)若
s
ααα,,,
21
L 线性无关,而
βααα,,,,
21 s
L 线性相关,则 β 可由
s
ααα,,,
21
L 线性表出,且表示法惟一,
(2)若
s
ααα,,,
21
L 可由
t
βββ,,,
21
L 线性
表出,且 ts >,则
s
ααα,,,
21
L 线性相关,
(3)若
s
ααα,,,
21
L 线性无关且可由
t
βββ,,,
21
L 线性表出,则 ts ≤,
以下这些性质也是很有用的,
(1) 包含零向量的向量组必线性相关,
(2) 一个向量组中如果有部分向量线性相关,
则整个向量组线性相关,
(3) 一个线性无关的向量组其中任何部分向
量组都线性无关,
(4) 一个线性相关的向量组,如果每一个向
量都删去同一序号的分量,得到一个维数较低的
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 8
向量组,则新的向量组也线性相关,
(5) 一个线性无关的向量组,如果每一个向
量在同一位置增加分量,得到维数更高的向量组,
则新向量组也线性无关,
例3向量组
s
ααα,,,
21
L 线性无关的充分条件是
)(A
s
ααα,,,
21
L 都不是零向量;
)(B
s
ααα,,,
21
L 除去向量组本身的任意部分
向量组都线性无关;
)(C 向量组
s
ααα,,,
21
L 的秩等于 ; s
)(D
s
ααα,,,
21
L 中任意两个向量都线性无关,
例4 设 (),11
1
T
t=α
(),11
2
T
t=α ( )
T
t11
3
=α,
问 t为何值时
321
,,ααα 线性相关,
例5 设
21
,αα 是 维向量,令n
211
2ααβ +=,
212
ααβ +?=,
213
25 ααβ +=,则
321
,,)( βββA 必线性无关;
321
,,)( βββB 必线性相关;
)(C 仅当
21
,αα 线性无关时,
321
,,βββ 线性
无关;
)(D 仅当
21
,αα 线性相关时,
321
,,βββ 线性
相关,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 9
例6 已知
321
,,ααα 线性无关,试判断
133221
54,,23 αααααα+ 是否线性无关,
例7 已知向量组
321
,,ααα 线性相关,
432
,,ααα 线性无关,问
(1)
1
α 能否由
32
,αα 线性表示?证明你的结论;
(2)
4
α 能否由
321
,,ααα 线性表示?证明你的
结论,
例8 设线 γβα,,性无关,又设 0≠δ,δγα,,
线性相关,δγβ,,也线性相关,证明 γδ k=,
其中 常数,0≠k
例9 已知
4
R 中,
321
,,ααα 线性无关,
321
,,βββ 线性无关,
(1) 若 不能由
4
R∈γ
321
,,ααα 线性表出,则
γααα,,,
321
线性无关;
(2) 证明
4
R∈?δ 使得 δααα,,,
321

δβββ,,,
321
均线性无关,
例10 设 是 矩阵,是A mn× B nm× 矩阵,
满足 IAB =,试证明 的列向量线性无关,B
例11 设 BA,为满足 0=AB 的任意两个非零
矩阵,则必有
(A) 的列向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 10
(B) 的列向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
(C) 的行向量组线性相关,的行向量组线 A B
性相关
(D) 的行向量组线性相关,的列向量组线 A B
性相关
例12 设 是 n阶方阵,A α是 维列向量,n
若 0
1

α
n
A,而 0=α
n
A,试证明
ααα
1
,,,
n
AA L 线性无关,
4.3 极大线性无关组
设有两个向量组(1)
s
ααα,,,
21
L,
(2)
t
βββ,,,
21
L,如果向量组(1)中每个
向量都能由向量组(2)线性表出,则称向量组
(1)能由向量组(2)线性表出,
如果向量组(1)能由向量组(2)线性表
出,且向量组(2)也能由向量组(1)线性表
出,则称这两个向量组等价,记作(1)?(2),
向量组的等价是向量组之间的一种等价关系,
具有以下性质,
1) 反身性,(1)?(1) ;
2) 对称性:若(1)?(2),
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 11
则(2) (1) ;?
3) 传递性:若(1)?(2),(2)?(3),
则(1) (3),?
设向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个部分组.满足
1)
r
iii
ααα,,,
21
L 线性无关;
2)向量组
s
ααα,,,
21
L 的每一个向量都可以
由向量组
r
iii
ααα,,,
21
L 线性表出,则称部分组
r
iii
ααα,,,
21
L 是向量组
s
ααα,,,
21
L 的一个
极大线性无关组,
显然,向量组的一个极大线性无关组与向量
组本身是等价的,
一般地,向量组的极大线性无关组不是惟一
的.按照定义,一个向量组的任意两个极大线性
无关组可以互相线性表出,因此,它们是等价的,
根据定理,两个等价的线性无关的向量组各
自所含的向量的个数必定相等.这就是说一个向
量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不
变量,它由向量组本身所确定,
满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形
Reduced Row Echelon Form (RREF),
(1) 所有零行都在矩阵的底部;
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 12
(2) 非零行的主元在前一行主元的右方;
(3) 主元为 1;
(4) 主元所在列除主元外的其它元素全为零,
例如,
00000
00000
22100
11021
任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化
作简化的行阶梯形,
利用简化行阶梯形可以解决的问题有,
(1)求极大线性无关组
(2)求向量间的线性关系
(3)求齐次线性方程组基础解系
(4)求非齐次线性方程组特解
求极大线性无关组的步骤,
(1) 将向量依次按列写成矩阵;
(2) 对矩阵施行行初等变换,化作简化行阶
梯形;
(3) 主元所在列向量构成一个极大线性无关
组;
(4) 非主元所在列向量和主元所在列向量的
关系由非主元列各分量表示,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 13
例如简化行阶梯形为
00000
21000
10210
20101
其中主元所在列是第1列,第2列,第4列,因
此一个极大线性无关组是
421
,,ααα,第3列无
主 元,
3
α =
0
0
2
1

×+
×?
0
0
1
0
2
0
0
0
1
1 =
21
2αα +?,
同理,
5
α =
0
2
1
2

×?
+
×
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
1
2

321
22 ααα?+,
例1 3 求 向 量 组 ( )
T
0,0,1,1
1
=α,
()
T
1,1,1,0
2
=α,
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 14
()
T
1,1,2,1
3
=α,
()
T
1,2,3,1
4
=α,
(1,4,6,2
5
= )α 的一个极大线性无关组,
并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出,
例1 4
s
ααα,,,
21
可被
t
βββ,,,
21
线性
表出,且秩相等,证明
t
βββ,,,
21
也可被
s
ααα,,,
21
线性表出,
4.4 向量组的秩
向量组的极大线性无关组中所含向量的个
数称为这个向量组的秩,
只含零向量的向量组的秩规定为0,
向量组的秩有两个重要性质,
(1) 设向量组(I)的秩为,向量组(II)
1
r
的秩为,若向量组(I)可以由向量组(II)
2
r
线性表示,则,
21
rr ≤
(2) 等价的向量组有相同的秩,
矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩
阵经过矩阵的初等变换转化成的.由于初等变换
不改变矩阵的秩,因此,等价的矩阵有相同的秩,
反过来,两个秩相等的同型矩阵,它们有相同的
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 15
等价标准形,再由矩阵等价的传递性和对称性,
这两个矩阵就等价,
向量组的等价是指两个向量组可以互相线性
表示,由线性表示和秩之间的联系,等价的向量
组有相同的秩.但是,反过来,两个向量组的秩
相等,只说明这两个向量组的极大线性无关组中
有一样多个向量,并没有涉及向量之间是否可线
性表出,因此,秩相等的向量组不一定等价,
例如向量组
1
α = (),
T
0,0,0,1
2
α =,和向量组 ()
T
0,0,1,0
1
β = (),
T
0,1,0,0
2
β = ( )
T
1,0,0,0
的秩都是2,但它们互相不能线性表出,自然就
不等价,
设 A是 矩阵,将矩阵的每个行(列)看作行( 列 ) 向 量,矩 阵 的 个行 (列) 向量构成一个向量组,该向量组的秩称为矩阵的行(列)秩,
nm×
m
矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩,
求向量组的秩的一般步骤是,
(1) 将向量按列(或按行)写成矩阵;
(2) 对矩阵作初等变换,化成阶梯形;
2006 春 季 班 线性代数 第4章 向量组的线性相关性 4— 16
(3) 非零行的个数就是向量组的秩,
例 15 已知向量组 ( )
T
3,2,1
1
=α,
()
T
1,0,3
2
=α,( )
T
5,4,1
3
=α 与向
量组,()
T
a 0,2,
1
=β ( )
T
b 1,,1
2
=β,
(
T
2,3,2
3
=β )具有相同的秩,且
1
β 可
以由
321
,,ααα 线性表出,求 的值,ba,
例 16 已知向量组(I)
321
,,ααα,
(II)
321
,,ααα,
4
α,
和(III)
321
,,ααα,
5
α,
它们的秩为 r(I)= r(II)=3,
r(III)=4,
证明
45
αα? 和
321
,,ααα 线性无关,
例1 7 设 n维向量组
s
ααα,,,
21
)( ns <
线性无关,则
s
βββ,,,
21
线性无关的充分
必要条件是
)(A
s
ααα,,,
21
可由
s
βββ,,,
21
线性表出;
)(B
s
βββ,,,
21
可由
s
ααα,,,
21
线性表出;
)(C
s
ααα,,,
21

s
βββ,,,
21
等价;
)(D 矩阵 ( )
s
A ααα,,,
21
= 与矩阵
( )
s
B βββ,,,
21
= 等价,