2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 1
第 5 章 线性方程组
n元线性方程组
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
,
其中
n
xxx,,,
21
L 表示 个未知量,m是方程个数,表示第
n
ij
a i个方程中含
j
x 项的系数,
m
bbb,,,
21
L 叫常数项,
记系数矩阵为 ( )
ij
aA =,
=x
T
n
xxx ),,,(
21
L,常数项向量为
T
m
bbbb ),,,(
21
L=,则线性方程组可写作矩阵形式,
bAx =,
如果记 ()
T
m
aaa
121111
,,,L=α,
()
T
m
aaa
222122
,,,L=α,
( )
T
mnnnn
aaa,,,,
21
LL =α,则线性方程组可以表示成向量方程,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 2
bxxx
nn
=+++ ααα L
2211
,
若将一组数 代替未知量
n
ccc,,,
21
L
n
xxx,,,
21
L,使 方程组中的 m个等式都成立,就说 是方程组的一个解,方程组的全体解称为方程组的解集,解集相同的方程组称为同解方程组,
),,,(
21 n
ccc L
线性方程组中，如果常数项为０，即,称0=b
0=Ax 为齐次线性方程组．若常数项不为０，称
bAx = 为非齐次线性方程组,
对于非齐次线性方程组 bAx =,首 先是要判别给定的方程组是否有解？在有解的情况下,要知道方程组有多少解？如果解不唯一,那么这些解有什么性质？它们之间有什么联系与规律？当然最终要会求出方程组的解,
对于齐次线性方程组 0=Ax,一定有解，０就是它的一个解,称为零解,所以关心的是什么情况下会有非零解？这些非零解有什么性质？相互之间有什么联系和规律？以及求齐次线性方程组的非零解的方法等,
5.1 高斯消元法
解 方程组的最基本的方法是高斯消元法．设 n元线性方程组
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 3
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
,
矩阵
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
L
LLLLL
L
L
21
222221
111211
叫线性方程组的增广矩阵．记作 ( )bAA =,
所 谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形,
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
L
LLLLL
L
L
21
222221
111211
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 4
→→
+
0
0
1
22222
1111211
M
L
MMMMO
LL
LL
L
r
rrnrr
nr
nr
d
dcc
dccc
dcccc
根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论,
（１）若,方程组无解； 0
1
≠
+r
d
（２） 若 0
1
=
+r
d,方程组有解,这时又分两种情况,
nr = 情况１：,方程组有唯一解；
情况２,nr <,方程组有无穷多解,
例1 试 问 t取什么值时，线性方程组
=
=++
=+?
,
,4
,42
2
321
321
321
txtxx
txxx
xxx
无解，有唯一解，有无穷多解,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 5
5.2 非齐次线性方程组 bAx = 有解的条件
非 齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即
)()( ArAr =,
如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为
bxxx
nn
=+++ ααα L
2211
,
方程组有解就意味着 b可由系数矩阵 A的列向量组线性表出,或说 b是系数矩阵 A的列向量组的线性组合,
若 n元非齐次线性方程组 bAx = 有解,
当 nAr =)( 时，方程组 bAx = 有惟一解；
nAr <)( 时，方程组 bAx = 有无穷多解,
例 2 非齐次线性方程组 bAx =,其 中 A是矩阵，则
nm×
bAx = 有惟一解的充分必要条件是
（ ）,
nArA =)()( ；
nArB =)()( ；
mArC =)()( ；
nArD =)()( 且 为b A的列向量组的线性组合,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 6
5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,
若 A是 矩阵，则 nm×
齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 nAr <? )(,
齐次线性方程组 0=Ax 只有零解?系数矩阵 A列满秩,
对于一些特殊情况，还有以下几个结论,
（１）若 A是 阶方阵,n
齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 0=? A,
（２） 若 A是 阶方阵,齐次线性方程组n 0=Ax 只有零解 0≠? A,
（３）若 A是 矩阵，当nm× nm < 时，齐次线性方程组 0=Ax 必有非零解,
例 3 齐次线性方程组 0=Ax,仅有零解的充分必要条件是
AA)( 的行向量组线性无关；
AB)( 的行向量组线性相关；
AC)( 的列向量组线性无关；
AD)( 的列向量组线性相关,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 7
例4 设齐次线性方程组
=?+
=++
=+
0
05
0
321
321
31
xxx
xxkx
kxx
,
k为何值时，方程组有非零解？
例 5 齐次线性方程组
=+
=?+
=+
=++
02
03
0
03
321
321
21
321
xxx
xkxx
xx
kxxx
当 k为何值时，只有零解？
5.4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组的解的结构
齐次线性方程组的解有两个重要性质,
（１） 若
1
ξ,
2
ξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的解,
则
1
ξ 与
2
ξ 的和
21
ξξ + 仍是 0=Ax 的解；
（２） 若 ξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的解,则 ξ 的任意常数倍 ξk 仍是 0=Ax 的解,
若 用 S表示齐次线性方程组 0=Ax 的全体解向量的集合,则性质１和性质２说明 S中任意两个向量的和在 S中,S中任一向量的常数倍也在 S中,就
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 8
是说 S对向量的线性运算是封闭的,所以 S是一个向量空间，它是 的一个子空间，称为齐次线性方程组
n
R
0=Ax 的解空间,
齐次线性方程组 0=Ax 的解空间的一个基称为齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系,
方程组 0=Ax 的基础解系是方程组的一组线性无关的解，其要点有三：首先它们都是方程组
0=Ax 的解，其次，它们是线性无关的．其三，它们是解集合中的一个极大线性无关组,或者说，方程组 0=Ax 任何一个解都可以由它们线性表出．因 此方程组的基础解系往往不是惟一的,
设 n元齐次线性方程组 0=Ax,系数矩阵 A的秩为 r，即 rAr =)(,则 方程组的基础解系有 rn?
个解向量,
若
t
ξξξ,,,
21
L 是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，则齐次线性方程组
0=Ax 的通解（一般解）是
tt
kkkx ξξξ +++= L
2211
,
其中 是任意常数,
t
kkk,,,
21
L
解 n元齐次线性方程组 0=Ax 的基本步骤,
（1） 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作简 化行阶梯形．假设这时有 r个非零行，则基础解系中有
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 9
rn? 个解向量；
（2） 选非主元所在列的变量为自由未知量，共 有
rn? 个自由未知量；
（3） 将自由未知量依次设为单位向量,求得 rn?
线性无关的解向量，就是所求的基础解系,
（4） 基础解系中的向量的线性组合就是一般解,
例6 设
321
,,ξξξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，试证明
3132121
2,,ξξξξξξξ +++? 也是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系,
例 7 求齐次线性方程组
=?+++
=+?
=?+++
=?+++
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的一个基础解系,
例 8 设有齐次线性方程组
=++++
=++++
=++++
,0)(
,02)2(2
,0)1(
21
21
21
n
n
n
xannxnx
xxax
xxxa
L
LLLLLLLLLL
L
L
)2( ≥n
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 10
试问 a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
例9 已 知3阶 矩 阵 A的第一行是 不全为零，矩阵
cbacba,,),,,(
=
k
B
63
642
321
( 为常数)，且k
OAB =,求线性方程组 0=Ax 的通解,
例10 设方程组 （１）,
=?
=+
0
0
42
21
xx
xx； 方程组 （２）,
=+?
=+?
0
0
432
421
xxx
xxx
,求方程组 （１） 和方程组（２）的公共解,
例 11 已知齐次线性方程组
（ i）
=++
=++
=++
,0
,0532
,032
321
322
321
axxx
xxx
xxx
和（ii）
=+++
=++
.0)1(2
,0
32
2
1
321
xcxbx
cxbxx
同解，求 a，,c的值,b
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 11
5.5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方程组的解的构造
对应的齐次线性方程组 0=Ax 称为非齐次线性方程组 bAx = 的导出组,
非齐次线性方程组也有两个性质,
（１） 若
21
,ηη 是非齐次线性方程组 bAx = 的两个解，则
21
ηη? 是导出组 0=Ax 的一个解,
（２）非齐次线性方程组 bAx = 的任一解 η与导出组 0=Ax 的解 ξ 的和 ξη+ 是非齐次线性方程组
bAx = 的解,
非齐次线性方程组 bAx = 的通解（一般解）是
非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解
系的线性组合,
设非齐次线性方程组 bAx =,
若 rAr =)(,η是 bAx = 的一个特解,
rn?
ξξξ,,,
21
L 是导出组的基础解系,
则 bAx = 的通解（一般解）是
rnrn
kkx
+++= ξξη L
11
,
其中 是任意常数,
rn
kk
,,
1
L
对 非齐次线性方程组的增广矩阵做矩阵的初等行变换,化成行简化阶梯形,最右边的那列就是方程组的一个特解,去掉最右边一列,剩下的是系数矩阵
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 12
的行简化阶梯形，据此就可求出基础解系,
例1 2 已 知
21
,ββ 是非齐次线性方程组 bAx = 的两个不同的解，
21
,αα 是导出组 0=Ax 的基础解系，
21
,kk 是任意常数，则 bAx = 的通解是
)(
2
)(
21211
21
ααα
ββ
+++
kkA ；
)(
2
)(
21211
21
ααα
ββ
++
+
kkB ；
)(
2
)(
21211
21
ββα
ββ
+++
kkC ；
)(
2
)(
21211
21
ββα
ββ
++
+
kkD,
例13 设 A为 阶方阵，若n α是非齐次线性方程组
bAx = 的解，
r
βββ,,,
21
L 是导出组 0=Ax 的基础解系，则
rArA <)()( ；
rArB ≥)()( ；
rrC
r
=),,,,()(
21
βββα L ；
1),,,,()(
21
+= rrD
r
βββα L,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 13
例 14 设 A是 矩阵，54× A的行向量线性无关,则错误的是
0)( =xAA
T
只有零解；
0)( =AxAB
T
必有无穷多解；
bxAbC
T
=?,)( 有惟一解；
bAxbD =?,)( 总有无穷多解,
例 15
321
,,ααα 是４元非齐次线性方程组 bAx =
的３个解向量，且 A的秩 3)( =Ar,已知
()
T
4,3,2,1
1
=α,( )
T
3,2,1,0
32
=+αα,k是任意常数，则线性方程组 bAx = 的通解为,
TT
kxA )1,1,1,1()4,3,2,1()( +=
TT
kxB )3,2,1,0()4,3,2,1()( +=
TT
kxC )5,4,3,2()4,3,2,1()( +=
TT
kxD )6,5,4,3()4,3,2,1()( +=
例 16 设 阶矩阵n A 的伴随矩阵 0
*
≠A,若
4321
,,,ξξξξ 是非齐次线性方程组 bAx = 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 14
(A) 不存在；
(B) 仅含一个非零解向量；
(C) 含有两个线性无关的解向量；
(D) 含有三个线性无关的解向量,
例 17 求线性方程组
=+?+
=+
=?++?
0
23
3252
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的通解,
例 18 已知方程组
=+?
=++?
=++
42
4
321
2
321
321
xxx
axaxx
axxx
有无穷多个解，求 a的取值,并求方程组的通解,
例 19 设线性方程组
=+++++
=+++
=+++
．14)4()2(3
,022
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
μλ
μλ
已知 是该方程组的一个解，
试求
T
1,1,1,1
（１） 方程组的全部阶，并用对应的齐次线性方 程组的基础解系表示全部解；
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 15
（２） 该方程组满足
32
xx = 的全部解,
例 20 设 ()
T
0,2,1
1
=α,
()
T
aa 3,2,1
2
+=α,
T
bab 2,2,1
3
+=α,
()
T
3,3,1?=β,试讨论 为何值时,ba,
（1） β 不能由
321
,,ααα 线性表示；
（2） β 可由
321
,,ααα 惟一地线性表示？并求出表示式；
（3） β 可由
321
,,ααα 线性表示,但表示式不惟一，
并求出表示式,
5.6 有关线性方程组的综合问题
1．有关矩阵的秩
例 21 设 A是 矩阵，nm× B 是 ln× 矩阵，且
0=AB,证明 nBrAr ≤+ )()(,
例 22 设 A是 矩阵，证明 nm×
)()()( AArArAAr
TT
==,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 16
2．方程组的几何意义
例 23 设 (),
3211
T
aaa=α
(),
3212
T
bbb=α ( ),
3213
T
ccc=α
()
T
ddd
3214
=α,( )
1111
cba=β,
( )
2222
cba=β,( )
3333
cba=β,
则三个平面
)3,2,1(,0 ==+++ idzcybxa
iiii
两两相交成三条平行直线的充分必要条件是
3),,,(,2),,()(
4321321
== ααααααα rrA ；
321
,,)( αααB 任两个均线性无关且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出；
321
,,)( αααC 线性相关且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出；
)(D
321
,,βββ 任两个均线性无关,但
321
,,βββ 线性相关,且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出,
第 5 章 线性方程组
n元线性方程组
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
,
其中
n
xxx,,,
21
L 表示 个未知量,m是方程个数,表示第
n
ij
a i个方程中含
j
x 项的系数,
m
bbb,,,
21
L 叫常数项,
记系数矩阵为 ( )
ij
aA =,
=x
T
n
xxx ),,,(
21
L,常数项向量为
T
m
bbbb ),,,(
21
L=,则线性方程组可写作矩阵形式,
bAx =,
如果记 ()
T
m
aaa
121111
,,,L=α,
()
T
m
aaa
222122
,,,L=α,
( )
T
mnnnn
aaa,,,,
21
LL =α,则线性方程组可以表示成向量方程,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 2
bxxx
nn
=+++ ααα L
2211
,
若将一组数 代替未知量
n
ccc,,,
21
L
n
xxx,,,
21
L,使 方程组中的 m个等式都成立,就说 是方程组的一个解,方程组的全体解称为方程组的解集,解集相同的方程组称为同解方程组,
),,,(
21 n
ccc L
线性方程组中，如果常数项为０，即,称0=b
0=Ax 为齐次线性方程组．若常数项不为０，称
bAx = 为非齐次线性方程组,
对于非齐次线性方程组 bAx =,首 先是要判别给定的方程组是否有解？在有解的情况下,要知道方程组有多少解？如果解不唯一,那么这些解有什么性质？它们之间有什么联系与规律？当然最终要会求出方程组的解,
对于齐次线性方程组 0=Ax,一定有解，０就是它的一个解,称为零解,所以关心的是什么情况下会有非零解？这些非零解有什么性质？相互之间有什么联系和规律？以及求齐次线性方程组的非零解的方法等,
5.1 高斯消元法
解 方程组的最基本的方法是高斯消元法．设 n元线性方程组
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 3
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
,
矩阵
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
L
LLLLL
L
L
21
222221
111211
叫线性方程组的增广矩阵．记作 ( )bAA =,
所 谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形,
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
L
LLLLL
L
L
21
222221
111211
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 4
→→
+
0
0
1
22222
1111211
M
L
MMMMO
LL
LL
L
r
rrnrr
nr
nr
d
dcc
dccc
dcccc
根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论,
（１）若,方程组无解； 0
1
≠
+r
d
（２） 若 0
1
=
+r
d,方程组有解,这时又分两种情况,
nr = 情况１：,方程组有唯一解；
情况２,nr <,方程组有无穷多解,
例1 试 问 t取什么值时，线性方程组
=
=++
=+?
,
,4
,42
2
321
321
321
txtxx
txxx
xxx
无解，有唯一解，有无穷多解,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 5
5.2 非齐次线性方程组 bAx = 有解的条件
非 齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即
)()( ArAr =,
如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为
bxxx
nn
=+++ ααα L
2211
,
方程组有解就意味着 b可由系数矩阵 A的列向量组线性表出,或说 b是系数矩阵 A的列向量组的线性组合,
若 n元非齐次线性方程组 bAx = 有解,
当 nAr =)( 时，方程组 bAx = 有惟一解；
nAr <)( 时，方程组 bAx = 有无穷多解,
例 2 非齐次线性方程组 bAx =,其 中 A是矩阵，则
nm×
bAx = 有惟一解的充分必要条件是
（ ）,
nArA =)()( ；
nArB =)()( ；
mArC =)()( ；
nArD =)()( 且 为b A的列向量组的线性组合,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 6
5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,
若 A是 矩阵，则 nm×
齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 nAr <? )(,
齐次线性方程组 0=Ax 只有零解?系数矩阵 A列满秩,
对于一些特殊情况，还有以下几个结论,
（１）若 A是 阶方阵,n
齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 0=? A,
（２） 若 A是 阶方阵,齐次线性方程组n 0=Ax 只有零解 0≠? A,
（３）若 A是 矩阵，当nm× nm < 时，齐次线性方程组 0=Ax 必有非零解,
例 3 齐次线性方程组 0=Ax,仅有零解的充分必要条件是
AA)( 的行向量组线性无关；
AB)( 的行向量组线性相关；
AC)( 的列向量组线性无关；
AD)( 的列向量组线性相关,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 7
例4 设齐次线性方程组
=?+
=++
=+
0
05
0
321
321
31
xxx
xxkx
kxx
,
k为何值时，方程组有非零解？
例 5 齐次线性方程组
=+
=?+
=+
=++
02
03
0
03
321
321
21
321
xxx
xkxx
xx
kxxx
当 k为何值时，只有零解？
5.4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组的解的结构
齐次线性方程组的解有两个重要性质,
（１） 若
1
ξ,
2
ξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的解,
则
1
ξ 与
2
ξ 的和
21
ξξ + 仍是 0=Ax 的解；
（２） 若 ξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的解,则 ξ 的任意常数倍 ξk 仍是 0=Ax 的解,
若 用 S表示齐次线性方程组 0=Ax 的全体解向量的集合,则性质１和性质２说明 S中任意两个向量的和在 S中,S中任一向量的常数倍也在 S中,就
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 8
是说 S对向量的线性运算是封闭的,所以 S是一个向量空间，它是 的一个子空间，称为齐次线性方程组
n
R
0=Ax 的解空间,
齐次线性方程组 0=Ax 的解空间的一个基称为齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系,
方程组 0=Ax 的基础解系是方程组的一组线性无关的解，其要点有三：首先它们都是方程组
0=Ax 的解，其次，它们是线性无关的．其三，它们是解集合中的一个极大线性无关组,或者说，方程组 0=Ax 任何一个解都可以由它们线性表出．因 此方程组的基础解系往往不是惟一的,
设 n元齐次线性方程组 0=Ax,系数矩阵 A的秩为 r，即 rAr =)(,则 方程组的基础解系有 rn?
个解向量,
若
t
ξξξ,,,
21
L 是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，则齐次线性方程组
0=Ax 的通解（一般解）是
tt
kkkx ξξξ +++= L
2211
,
其中 是任意常数,
t
kkk,,,
21
L
解 n元齐次线性方程组 0=Ax 的基本步骤,
（1） 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作简 化行阶梯形．假设这时有 r个非零行，则基础解系中有
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 9
rn? 个解向量；
（2） 选非主元所在列的变量为自由未知量，共 有
rn? 个自由未知量；
（3） 将自由未知量依次设为单位向量,求得 rn?
线性无关的解向量，就是所求的基础解系,
（4） 基础解系中的向量的线性组合就是一般解,
例6 设
321
,,ξξξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，试证明
3132121
2,,ξξξξξξξ +++? 也是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系,
例 7 求齐次线性方程组
=?+++
=+?
=?+++
=?+++
07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
的一个基础解系,
例 8 设有齐次线性方程组
=++++
=++++
=++++
,0)(
,02)2(2
,0)1(
21
21
21
n
n
n
xannxnx
xxax
xxxa
L
LLLLLLLLLL
L
L
)2( ≥n
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 10
试问 a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
例9 已 知3阶 矩 阵 A的第一行是 不全为零，矩阵
cbacba,,),,,(
=
k
B
63
642
321
( 为常数)，且k
OAB =,求线性方程组 0=Ax 的通解,
例10 设方程组 （１）,
=?
=+
0
0
42
21
xx
xx； 方程组 （２）,
=+?
=+?
0
0
432
421
xxx
xxx
,求方程组 （１） 和方程组（２）的公共解,
例 11 已知齐次线性方程组
（ i）
=++
=++
=++
,0
,0532
,032
321
322
321
axxx
xxx
xxx
和（ii）
=+++
=++
.0)1(2
,0
32
2
1
321
xcxbx
cxbxx
同解，求 a，,c的值,b
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 11
5.5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方程组的解的构造
对应的齐次线性方程组 0=Ax 称为非齐次线性方程组 bAx = 的导出组,
非齐次线性方程组也有两个性质,
（１） 若
21
,ηη 是非齐次线性方程组 bAx = 的两个解，则
21
ηη? 是导出组 0=Ax 的一个解,
（２）非齐次线性方程组 bAx = 的任一解 η与导出组 0=Ax 的解 ξ 的和 ξη+ 是非齐次线性方程组
bAx = 的解,
非齐次线性方程组 bAx = 的通解（一般解）是
非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解
系的线性组合,
设非齐次线性方程组 bAx =,
若 rAr =)(,η是 bAx = 的一个特解,
rn?
ξξξ,,,
21
L 是导出组的基础解系,
则 bAx = 的通解（一般解）是
rnrn
kkx
+++= ξξη L
11
,
其中 是任意常数,
rn
kk
,,
1
L
对 非齐次线性方程组的增广矩阵做矩阵的初等行变换,化成行简化阶梯形,最右边的那列就是方程组的一个特解,去掉最右边一列,剩下的是系数矩阵
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 12
的行简化阶梯形，据此就可求出基础解系,
例1 2 已 知
21
,ββ 是非齐次线性方程组 bAx = 的两个不同的解，
21
,αα 是导出组 0=Ax 的基础解系，
21
,kk 是任意常数，则 bAx = 的通解是
)(
2
)(
21211
21
ααα
ββ
+++
kkA ；
)(
2
)(
21211
21
ααα
ββ
++
+
kkB ；
)(
2
)(
21211
21
ββα
ββ
+++
kkC ；
)(
2
)(
21211
21
ββα
ββ
++
+
kkD,
例13 设 A为 阶方阵，若n α是非齐次线性方程组
bAx = 的解，
r
βββ,,,
21
L 是导出组 0=Ax 的基础解系，则
rArA <)()( ；
rArB ≥)()( ；
rrC
r
=),,,,()(
21
βββα L ；
1),,,,()(
21
+= rrD
r
βββα L,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 13
例 14 设 A是 矩阵，54× A的行向量线性无关,则错误的是
0)( =xAA
T
只有零解；
0)( =AxAB
T
必有无穷多解；
bxAbC
T
=?,)( 有惟一解；
bAxbD =?,)( 总有无穷多解,
例 15
321
,,ααα 是４元非齐次线性方程组 bAx =
的３个解向量，且 A的秩 3)( =Ar,已知
()
T
4,3,2,1
1
=α,( )
T
3,2,1,0
32
=+αα,k是任意常数，则线性方程组 bAx = 的通解为,
TT
kxA )1,1,1,1()4,3,2,1()( +=
TT
kxB )3,2,1,0()4,3,2,1()( +=
TT
kxC )5,4,3,2()4,3,2,1()( +=
TT
kxD )6,5,4,3()4,3,2,1()( +=
例 16 设 阶矩阵n A 的伴随矩阵 0
*
≠A,若
4321
,,,ξξξξ 是非齐次线性方程组 bAx = 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 14
(A) 不存在；
(B) 仅含一个非零解向量；
(C) 含有两个线性无关的解向量；
(D) 含有三个线性无关的解向量,
例 17 求线性方程组
=+?+
=+
=?++?
0
23
3252
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的通解,
例 18 已知方程组
=+?
=++?
=++
42
4
321
2
321
321
xxx
axaxx
axxx
有无穷多个解，求 a的取值,并求方程组的通解,
例 19 设线性方程组
=+++++
=+++
=+++
．14)4()2(3
,022
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
μλ
μλ
已知 是该方程组的一个解，
试求
T
1,1,1,1
（１） 方程组的全部阶，并用对应的齐次线性方 程组的基础解系表示全部解；
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 15
（２） 该方程组满足
32
xx = 的全部解,
例 20 设 ()
T
0,2,1
1
=α,
()
T
aa 3,2,1
2
+=α,
T
bab 2,2,1
3
+=α,
()
T
3,3,1?=β,试讨论 为何值时,ba,
（1） β 不能由
321
,,ααα 线性表示；
（2） β 可由
321
,,ααα 惟一地线性表示？并求出表示式；
（3） β 可由
321
,,ααα 线性表示,但表示式不惟一，
并求出表示式,
5.6 有关线性方程组的综合问题
1．有关矩阵的秩
例 21 设 A是 矩阵，nm× B 是 ln× 矩阵，且
0=AB,证明 nBrAr ≤+ )()(,
例 22 设 A是 矩阵，证明 nm×
)()()( AArArAAr
TT
==,
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线 性方程组 5— 16
2．方程组的几何意义
例 23 设 (),
3211
T
aaa=α
(),
3212
T
bbb=α ( ),
3213
T
ccc=α
()
T
ddd
3214
=α,( )
1111
cba=β,
( )
2222
cba=β,( )
3333
cba=β,
则三个平面
)3,2,1(,0 ==+++ idzcybxa
iiii
两两相交成三条平行直线的充分必要条件是
3),,,(,2),,()(
4321321
== ααααααα rrA ；
321
,,)( αααB 任两个均线性无关且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出；
321
,,)( αααC 线性相关且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出；
)(D
321
,,βββ 任两个均线性无关,但
321
,,βββ 线性相关,且
4
α 不能由
321
,,ααα 线性表出,
