2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 1
第 6 章 向量 空间
6.1 向量空间与子空间
设 V 是 n维向量的集合，若 V∈? βα,,有
V∈+βα,则 称 V 关于加法封闭； 若 V∈?α,k是
常数，有 Vk ∈α,则称 V 关于数乘封闭,
设 V 是 维向量的非空集合，如果对于向量的加法和数乘向量这两种运算封闭，则称
n
V 是向量空间,
若向量空间 V 的非空子集合 W 是一个向量空间，
则称 W 是 V 的一个子空间,
6.2 基，维数与坐标，基变换与坐标变换，过渡矩阵
设 V 是一个向量空间，如果 V 中有 个线性无关的向量
r
r
ααα,,,
2
L
1
，且 V 中任一向量都可由这 r个向量线性表出,则称向量组
r
ααα,,
1
L,
2
是空间 V 的一个基,基中向量的个数 r称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r维向量空间,
设
n
ααα,,,
21
L是 维向量空间 V 的一个基，n α
是 V 中任一向量，那么 α 就可以由这个基唯一地线性表出，设
nn
aaa αααα +++=L
2211
,
则称有序数组 为向量
n
aaa,,,
21
Lα 在基
n
ααα,,,
21
L下的坐标，记作
()
T
n
aaaX,,,
21
L=,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 2
例1 已 知
4321
,,,αααα 是向量空间
4
R 的一个基，
则选项 也是
4
R 的一个基,
（A）
4321
αααα +?+,
4321
αααα +++,
321
ααα?+ ；
（B）
21
αα +,
32
αα +,
43
αα +,
41
αα + ；
（C）
21
αα?,
32
αα?,
43
αα?,
41
αα +? ；
（D）
31
2αα?,
42
αα +,
31
32 αα +,
42
5αα +?,
例 2 已知三维线性空间的一个基为
()
T
0,1,1
1
=α,( )
T
1,0,1
2
=α,
()
T
1,1,0
3
=α,求 ( )
T
0,0,2=α 在这个基下的坐标,
一个向量空间的基是不唯一的,设
n
ααα,,,
21
L
和
n
βββ,,,
21
L是 n维向量空间 V 的两个基,那么对于基
n
ααα,,,
21
L来说，
n
βββ,,L,
21
作为 维向量空间 V 的向量就可以由
n
n
ααα,,,
21
L线性表出,假设它们有如下关系,
+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
αααβ
αααβ
αααβ
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
2211
22221122
12211111
,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 3
令,
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
其中第 i列就是
i
β 在基
n
ααα,,,
21
L下的坐标,于是上式可写作
( ) ( )A
nn
αααβββ,,,,,,
2121
LL=,
称 是由基A
n
ααα,,,
21
L到基
n
βββ,,,
21
L的过渡矩阵,
过渡矩阵是可逆矩阵,
设
n
ααα,,,
21
L和
n
βββ,,,
21
L是 维向量空间 V 的两个基,由基
n
n
ααα,,,
21
L到基
n
βββ,,,
21
L
的过渡矩阵是,又P V∈α 在基
n
ααα,,,
21
L和
n
βββ,,,
1 2
L下的坐标分别是
()
T
n
xxxX,,,
21
L= 和 ( )
T
n
yyyY,,,
21
L=,
于是 ( ) ( )P
nn
αααβββ,,,,,,
2121
LL=,
且 ( )X
n
αααα,,,
21
L= 及 ( )Y
n
βββα,,,
21
L=,
则向量 α 在这两个基下的坐标有如下关系,
PYX =
或
XPY
1?
=,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 4
例3 已知
3
R 的两个基为
=
1
1
1
1
α,
=
1
0
1
2
α,
=
1
0
1
3
α 和
=
1
2
1
1
β,
=
4
3
2
2
β,
=
3
4
3
3
β,求 由基
321
,,ααα 到基
321
,,βββ 的过渡矩阵,
例4 已知
4321
,,,αααα 是４维向量空间 V 的一个基
43211
ααααβ +++=,
4322
αααβ ++=,
433
ααβ +=,
44
αβ =,
（１） 证明
4321
,,,ββββ 是 V 的一个基；
（２） 求由基
4321
,,,ββββ 到基
4321
,,,αααα 的过渡矩阵；
（３） 求在基
4321
,,,αααα 和基
4321
,,,ββββ 下坐标相同的向量,
例５ 已知
3
R 的向量 γ 在基 ( )
T
1,0,1
1
=α,
，
()
T
1,1,1
2
=α ( )
T
0,0,1
3
=α 下的坐标是
，求()
T
1,0,1? γ 在基 ( )
T
0,2,1
1
=β,
,()
T
2,1,1
2
=β
(
T
1,1,0
3
=β )下的坐标,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 5
6.3 内积，正交化，标准正交基
设 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
()
T
n
bbb,,,
21
L=β,则称
βαβα
T
nn
bababa =+++=L
2211
),(
为向量 α 与 β 的内积,
向量的内积有以下性质,
（１） ( ) ( )αββα,,= ；
（２） ( ) ( ) ( )γβγαγβα,,,+=+ ；
（３） ( ) ( )βαβα,,kk =,其中 k为实数；
（４） ()0,≥αα,当且仅当 0=α 时,( ) 0,=αα,
当 ( ) 0,=βα 时，称向量 α 与 β 正交,
一组两两正交的非零向量称为正交向量组,
若
s
ααα,,,
21
L是正交向量组,则
s
ααα,,,
21
L
线性无关,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,定义向量的长度为
α ＝ ()αα,＝
22
2
2
1 n
aaa +++L,
当 α ＝１时，称 α 为单位向量,
对给定的向量 α,
α
α
是与 α 同方向的单位向量,
当向量空间的基是一个正交向量组时,称为正交基,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 6
当 向量空间的正交基的每个向量都是单位向量时，称为标准正交基（也叫规范正交基）,
设
s
ααα,,,
21
L是一组线性无关的向量,求一组与
s
ααα,,,
21
L等价的两两正交的单位向量的方法叫 施 密 特 （ Schmidt） 正 交 化 方 法,第 一 步 先 作 正 交化,
令
11
αβ =,
()
()
1
11
12
22
β
ββ
βα
αβ
，
，
=
,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,
( )
()
( )
()
( )
()
1
11
1
2
22
2
1
11
1
,
,
,
,
,
,
=
i
ii
isss
ss
β
ββ
βα
β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβL
第二步再对已经正交的向量作单位化,
,
1
1
1
β
β
γ =,
2
2
2
β
β
γ =
s
s
s
β
β
γ =,L
这是与
s
ααα,,,
21
L等价的两两正交的单位向量,
例６ 在
4
R 中求一个 b 单 位向量，使它与
，()
T
1,1,1,1
1
=α ( )
T
2,2,2,1
2
=α,
都正交,
T
3,3,1,2
3
=α
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 7
例７ 设 是秩为 2 的B 45× 矩阵,
()
T
3,2,1,1
1
=α,( )
T
1,4,1,1
2
=α,
(
T
9,8,1,5
3
=α )是齐次线性方程组
0=BX 的解向量,求 0=BX 的解空间的一个标准正交基,
例8 设
n
R 中向量
121
,,,
n
αααL线性无关，
21
,γγ 与
121
,,,
n
αααL都正交，试证明
21
,γγ
线性相关,
例9 设 是齐次线性方程组
T
n
bbb ),,,(
21
L=β
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
的一个非零解．令
()
T
n
aaa
112111
,,,L=α,( )
T
n
aaa
222212
,,,L=α,
T
mnmmm
aaa,,,,
21
LL=α,
若当 时nm <
m
ααα,,,
21
L线性无关,
试证明,,,,
21 m
αααLβ 线性无关,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 8
6.4 正交矩阵
满足条件 IAA
T
= 的实方阵称为正交矩阵,
性质,
（１） A是正交矩阵的充分必要条件是 ；
（２）若 是正交矩阵，则
T
AA =
1
A 1±=A ；
（３） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列
（行）向量是两两正交的单位向量,
A A n
（４） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列
（行）向量构成一组标准正交基；
A A n
（ ５ ） 若 A是正交矩阵则,
T
A
1?
A,仍是正交矩阵；
k
A
（６） 若 BA,都是正交矩阵,则 也是正交矩阵,AB
（ ７ ） 两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵,
例 10 α 是
n
R 的单位向量,证明矩阵
T
IA αα2?=
是正交矩阵,
第 6 章 向量 空间
6.1 向量空间与子空间
设 V 是 n维向量的集合，若 V∈? βα,,有
V∈+βα,则 称 V 关于加法封闭； 若 V∈?α,k是
常数，有 Vk ∈α,则称 V 关于数乘封闭,
设 V 是 维向量的非空集合，如果对于向量的加法和数乘向量这两种运算封闭，则称
n
V 是向量空间,
若向量空间 V 的非空子集合 W 是一个向量空间，
则称 W 是 V 的一个子空间,
6.2 基，维数与坐标，基变换与坐标变换，过渡矩阵
设 V 是一个向量空间，如果 V 中有 个线性无关的向量
r
r
ααα,,,
2
L
1
，且 V 中任一向量都可由这 r个向量线性表出,则称向量组
r
ααα,,
1
L,
2
是空间 V 的一个基,基中向量的个数 r称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r维向量空间,
设
n
ααα,,,
21
L是 维向量空间 V 的一个基，n α
是 V 中任一向量，那么 α 就可以由这个基唯一地线性表出，设
nn
aaa αααα +++=L
2211
,
则称有序数组 为向量
n
aaa,,,
21
Lα 在基
n
ααα,,,
21
L下的坐标，记作
()
T
n
aaaX,,,
21
L=,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 2
例1 已 知
4321
,,,αααα 是向量空间
4
R 的一个基，
则选项 也是
4
R 的一个基,
（A）
4321
αααα +?+,
4321
αααα +++,
321
ααα?+ ；
（B）
21
αα +,
32
αα +,
43
αα +,
41
αα + ；
（C）
21
αα?,
32
αα?,
43
αα?,
41
αα +? ；
（D）
31
2αα?,
42
αα +,
31
32 αα +,
42
5αα +?,
例 2 已知三维线性空间的一个基为
()
T
0,1,1
1
=α,( )
T
1,0,1
2
=α,
()
T
1,1,0
3
=α,求 ( )
T
0,0,2=α 在这个基下的坐标,
一个向量空间的基是不唯一的,设
n
ααα,,,
21
L
和
n
βββ,,,
21
L是 n维向量空间 V 的两个基,那么对于基
n
ααα,,,
21
L来说，
n
βββ,,L,
21
作为 维向量空间 V 的向量就可以由
n
n
ααα,,,
21
L线性表出,假设它们有如下关系,
+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
αααβ
αααβ
αααβ
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
2211
22221122
12211111
,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 3
令,
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
其中第 i列就是
i
β 在基
n
ααα,,,
21
L下的坐标,于是上式可写作
( ) ( )A
nn
αααβββ,,,,,,
2121
LL=,
称 是由基A
n
ααα,,,
21
L到基
n
βββ,,,
21
L的过渡矩阵,
过渡矩阵是可逆矩阵,
设
n
ααα,,,
21
L和
n
βββ,,,
21
L是 维向量空间 V 的两个基,由基
n
n
ααα,,,
21
L到基
n
βββ,,,
21
L
的过渡矩阵是,又P V∈α 在基
n
ααα,,,
21
L和
n
βββ,,,
1 2
L下的坐标分别是
()
T
n
xxxX,,,
21
L= 和 ( )
T
n
yyyY,,,
21
L=,
于是 ( ) ( )P
nn
αααβββ,,,,,,
2121
LL=,
且 ( )X
n
αααα,,,
21
L= 及 ( )Y
n
βββα,,,
21
L=,
则向量 α 在这两个基下的坐标有如下关系,
PYX =
或
XPY
1?
=,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 4
例3 已知
3
R 的两个基为
=
1
1
1
1
α,
=
1
0
1
2
α,
=
1
0
1
3
α 和
=
1
2
1
1
β,
=
4
3
2
2
β,
=
3
4
3
3
β,求 由基
321
,,ααα 到基
321
,,βββ 的过渡矩阵,
例4 已知
4321
,,,αααα 是４维向量空间 V 的一个基
43211
ααααβ +++=,
4322
αααβ ++=,
433
ααβ +=,
44
αβ =,
（１） 证明
4321
,,,ββββ 是 V 的一个基；
（２） 求由基
4321
,,,ββββ 到基
4321
,,,αααα 的过渡矩阵；
（３） 求在基
4321
,,,αααα 和基
4321
,,,ββββ 下坐标相同的向量,
例５ 已知
3
R 的向量 γ 在基 ( )
T
1,0,1
1
=α,
，
()
T
1,1,1
2
=α ( )
T
0,0,1
3
=α 下的坐标是
，求()
T
1,0,1? γ 在基 ( )
T
0,2,1
1
=β,
,()
T
2,1,1
2
=β
(
T
1,1,0
3
=β )下的坐标,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 5
6.3 内积，正交化，标准正交基
设 n维向量 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,
()
T
n
bbb,,,
21
L=β,则称
βαβα
T
nn
bababa =+++=L
2211
),(
为向量 α 与 β 的内积,
向量的内积有以下性质,
（１） ( ) ( )αββα,,= ；
（２） ( ) ( ) ( )γβγαγβα,,,+=+ ；
（３） ( ) ( )βαβα,,kk =,其中 k为实数；
（４） ()0,≥αα,当且仅当 0=α 时,( ) 0,=αα,
当 ( ) 0,=βα 时，称向量 α 与 β 正交,
一组两两正交的非零向量称为正交向量组,
若
s
ααα,,,
21
L是正交向量组,则
s
ααα,,,
21
L
线性无关,
设 ( )
T
n
aaa,,,
21
L=α,定义向量的长度为
α ＝ ()αα,＝
22
2
2
1 n
aaa +++L,
当 α ＝１时，称 α 为单位向量,
对给定的向量 α,
α
α
是与 α 同方向的单位向量,
当向量空间的基是一个正交向量组时,称为正交基,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 6
当 向量空间的正交基的每个向量都是单位向量时，称为标准正交基（也叫规范正交基）,
设
s
ααα,,,
21
L是一组线性无关的向量,求一组与
s
ααα,,,
21
L等价的两两正交的单位向量的方法叫 施 密 特 （ Schmidt） 正 交 化 方 法,第 一 步 先 作 正 交化,
令
11
αβ =,
()
()
1
11
12
22
β
ββ
βα
αβ
，
，
=
,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,
( )
()
( )
()
( )
()
1
11
1
2
22
2
1
11
1
,
,
,
,
,
,
=
i
ii
isss
ss
β
ββ
βα
β
ββ
βα
β
ββ
βα
αβL
第二步再对已经正交的向量作单位化,
,
1
1
1
β
β
γ =,
2
2
2
β
β
γ =
s
s
s
β
β
γ =,L
这是与
s
ααα,,,
21
L等价的两两正交的单位向量,
例６ 在
4
R 中求一个 b 单 位向量，使它与
，()
T
1,1,1,1
1
=α ( )
T
2,2,2,1
2
=α,
都正交,
T
3,3,1,2
3
=α
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 7
例７ 设 是秩为 2 的B 45× 矩阵,
()
T
3,2,1,1
1
=α,( )
T
1,4,1,1
2
=α,
(
T
9,8,1,5
3
=α )是齐次线性方程组
0=BX 的解向量,求 0=BX 的解空间的一个标准正交基,
例8 设
n
R 中向量
121
,,,
n
αααL线性无关，
21
,γγ 与
121
,,,
n
αααL都正交，试证明
21
,γγ
线性相关,
例9 设 是齐次线性方程组
T
n
bbb ),,,(
21
L=β
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
的一个非零解．令
()
T
n
aaa
112111
,,,L=α,( )
T
n
aaa
222212
,,,L=α,
T
mnmmm
aaa,,,,
21
LL=α,
若当 时nm <
m
ααα,,,
21
L线性无关,
试证明,,,,
21 m
αααLβ 线性无关,
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向 量空间 6— 8
6.4 正交矩阵
满足条件 IAA
T
= 的实方阵称为正交矩阵,
性质,
（１） A是正交矩阵的充分必要条件是 ；
（２）若 是正交矩阵，则
T
AA =
1
A 1±=A ；
（３） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列
（行）向量是两两正交的单位向量,
A A n
（４） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列
（行）向量构成一组标准正交基；
A A n
（ ５ ） 若 A是正交矩阵则,
T
A
1?
A,仍是正交矩阵；
k
A
（６） 若 BA,都是正交矩阵,则 也是正交矩阵,AB
（ ７ ） 两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵,
例 10 α 是
n
R 的单位向量,证明矩阵
T
IA αα2?=
是正交矩阵,
