2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 1
第 2 章 矩阵 代数
2.1 矩阵的概念
由 mn个数排成 行 列的数表 m n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
称为矩阵,记作 A．其 中 称作矩阵
ij
a A的第 i行第 j
列的元素,
两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的,
两个同型的矩阵,如果对应的元素也都一样,就说这两个矩阵相等,
若,即1=m A 是 n×1 的，
( )
n
aaaA,,,
21
L= 称为行矩阵或行向量；若
，即1=n A是 的，1×m
=
m
a
a
a
A
M
2
1
称为列矩阵或列向量；若 1== nm,这是一个 11× 的矩阵，只有一个元素,就看成是一个数,按数的规律进行运算,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 2
2.2 矩阵的运算
两个同型的矩阵可以做加法,它们的和是和它们同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相加．即
设 ( )
nm
ij
aA
×
=,( )
nm
ij
bB
×
=,则
( )
nm
ijij
baBA
×
+=+,
矩阵加法的运算性质,
（１） 交换律 ABBA +=+ ；
（２） 结合律 CBACBA ++=++ )()( ；
（３） 有零矩阵０，对任意矩阵 A，有
AAA =+=+ 00 ；
（４） 任意矩阵 A，都有负矩阵 A?,使得
0)( =?+ AA,
其中 ( )
ij
aA?=?,
设 k是一个数,( )
nm
ij
aA
×
=,则 数 k和矩阵 A
的数乘为
( )
nm
ij
kakA
×
=
设 lk,是两个常数,BA,是同型矩阵，则
（１） AA=1,00 =A ；
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 3
（２） AkllAk )()( = ；
（３） kBkABAk +=+ )( ；
（４） lAkAAlk +=+ )(,
设 ( )
lm
ij
aA
×
=,( )
nl
ij
bB
×
=,则
( )
nm
ij
cAB
×
=,
其中
ljiljijiij
bababac +++= L
2211
,
矩阵乘法有性质,
（１）结合律 CABBCA )()( = ；
（２）分配律 BCACCBA +=+ )（,
CBCABAC +=+ )(,
（３） k是常数，则
)()()( kBABkAABk ==,
z 设 BA,是 n阶方阵，则 BAAB =,
设矩阵 A是 n阶方阵,A可以自乘,k个 A相乘
k
A 叫 A的 k次幂,
矩阵的幂有性质,
（１）
lklk
AAA
+
= ；
（２） ( )
kl
l
k
AA =,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 4
设 A是 n阶方阵,
01
1
1
)( axaxaxaxf
n
n
n
n
++++=
L
是一个一元 n次多项式,
用 A代多项式中的,得到矩阵多项式 x
IaAaAaAaAf
n
n
n
n 01
1
1
)( ++++=
L
矩阵多项式还是一个 阶方阵,n
设 ( )
nm
ij
aA
×
=,则
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
称为矩阵 A的转置矩阵，记作
T
A,
转置有性质,
（１） ； AA
TT
=)(
（２）
TTT
BABA +=+ )( ；
（３） ；
TT
kAkA =)(
（ ４ ）
TTT
ABAB =)（；
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 5
例1 设 ()
T
1,0,1?=α,
T
A αα=,是正整数，求
n
n
AaI?,
例２（１）命题,0
2
=A,则 0=A,是否正确，
若正确，证明之，若不正确，举例说明,
（２） A是二阶矩阵，求满足 0
2
=A 的所有矩阵,
（３）证明 0
2
=A,且 AA
T
=,则 0=A,
例3 设
=
101
020
101
A,而 是整数，求2≥n
1
2
nn
AA,
例4 设
=
110
011
001
A,求
n
A,
例5 设 ()
T
4,3,2,1=α,
T
=
4
1
,
3
1
,
2
1
,1β,
T
A αβ=,则
=
n
A？
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 6
例6 设
=
332313
322212
312111
bababa
bababa
bababa
A,求
n
A,
2.3 逆矩阵
设 A是 n阶方阵，如果存在 阶方阵n B，使得
IBAAB ==
成立，则称 A为可逆矩阵,B是 A的逆矩阵,
矩 阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于０,
设 A是 n阶方阵，若 0≠A,则
*1
1
A
A
A =
,
其中,( )
T
ij
AA =
*
是 A的伴随矩阵,
设?
=
dc
ba
A,若 0≠?bcad,则
=
ac
bd
bcad
A
1
1
,
用矩阵的初等行变换．适合任何具体的数字矩阵,
( ) ( )
1?
→→ AIIA L
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 7
利用分块矩阵的逆矩阵公式,
=?
1
1
1
0
0
0
0
B
A
B
A
及
=?
0
0
0
0
1
1
1
A
B
B
A
逆矩阵有性质,
（１） ( ) AA =
1
1；
（２） ()
1
1
1
= A
k
kA,其中常数 0≠k ；
（３） (),其 中
11
1
= ABAB BA,都是可逆矩阵；
（４） ( ) ( )
T
T
AA
1
1
=,
例７ 设矩阵 A满足 04
2
=?+ IAA,求
1
)(
IA,
例８ 设 CBA,,是 阶方阵,满足n IABC =,求
( )
1
1
AC,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 8
例９ 设
=
113
34
221
tA,B为３阶非零矩阵，且 0=AB,求 t,
例1 ０
=
0011
0021
1200
2500
A,求?
1
=
A
例 1１ 已知 BABA +,,都可逆,证明
11
+ BA
可逆，并求 ( )
1
11
+ BA,
例 1２ 已知矩阵
=
120
0
3
1
2
001
A,
)()(
1
IAIAB?+=
，求矩阵
1
)(
+ BI,
例1 ３ 设 矩 阵
=
1000
2100
3210
2321
B,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 9
=
1000
2100
0210
1021
C,且
11
)2(
=? CABCI
T
，求矩阵 A,
z 矩阵可逆的等价命题
n阶矩阵 A可逆
A的行列式的值不为０
A满秩
A的列向量组线性无关
A的行向量组线性无关
以 A为系数矩阵的齐次线性方程组 0=Ax 只有零解
A可以通过一系列初等行变换化作单位矩阵
A可分解为一系列初等矩阵的乘积
A的列向量可作为 维向量空间 的一组基 n
n
R
n
R 中任意一个向量都可以由 A的列向量线性表出
对任意 维向量 b,方程组n bAx = 必有惟一解
A没有零特征值
T
AA 正定
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 10
例1 ４ 设 A是 阶方阵，且n,0≠A 若
T
AA =
*
，证明 A可逆,
例1 ５ 设 A是实矩阵，,0,<= AIAA
T
证 明
IA+ 不可逆,
2.4 矩阵方程
含 有未知矩阵的等式，如 BAX =,就是矩阵方程．矩阵方程的最基本形式是 BAX = 和
BXA =,其中 X是未知矩阵,
设 A是 n阶方阵,B是 mn× 矩阵,若 A可逆，
则矩阵方程 BAX = 有解，其解为
BAX
1?
=,
设 A是 n阶方阵,B是 nm× 矩阵,若 A可逆，
则矩阵方程 BXA = 有解，其解为
1?
= BAX,
这里要注意的是矩阵 A是可逆的,如果 A不是方阵或
A不可逆,这个公式就不能用了,一般来说,要用待定系数法求解,
例1 ６ 设
=
101
020
101
A,满足
XAIAX +=+
2
，求 X,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 11
例１７ 设
=
200
011
001
A,
=
100
020
001
B,且 BAAX =,求
100
X,
2.5 分块矩阵
在矩阵 A中,用一些横线和纵线将 A分成若干小矩阵,这些小矩阵称为矩阵 A的子块,以子块为元素的矩阵就叫分块矩阵．例如
=
4321
3100
2010
1001
A,
令 ()
T
321=α,则?
=
4
T
I
A
α
α
是分块矩阵,对矩阵进行分块是为了简化计算,我们特别关注的是将矩阵按列分块,
( )
n
A ααα L
21
=,
其中，
i
α 是列向量,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 12
按行分块,
=
m
A
β
β
β
M
2
1
,
其中
i
β 是行向量，以及准对角矩阵,
=
s
A
A
A
A
O
2
1
,
其中
i
A 是方阵,
设
=
s
A
A
A
A
O
2
1
,
=
s
B
B
B
B
O
2
1
，其中的子块都是方
阵,并且假设以下涉及的运算都可行,关于准对角矩
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 13
阵的运算有以下一些重要结论,
（１） BA+ =
+
+
+
ss
BA
BA
BA
O
22
11；
（２） kA=
s
kA
kA
kA
O
2
1；
（３） AB=
ss
BA
BA
BA
O
22
11；
（４）
k
A =
k
s
k
k
A
A
A
O
2
1
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 14
（５）
1?
A =
1
1
2
1
1
s
A
A
A
O；
（６） A=
s
AAA L
21
,
（７） )()()()(
21 s
ArArArAr L++=
例 18 设 A为 阶可逆矩阵，n α为 维列向量,b为常数，分块矩阵
n
=
AA
I
P
T *
0
α
,?
=
b
A
Q
T
α
α
,
（１） 计算并化简 PQ；
（２） 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是
0
1
≠?
αα Ab
T
,
例 19 设?
=
BC
CA
D
T
,其中 A,B分别为 阶，
阶对称矩阵，
m
n C为 nm× 矩阵,计算 DPP
T
，其中
=
n
m
EO
CAE
P
1
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 15
例 20 设 CBA,,均为 阶 矩 阵,n E为 阶单位矩阵,n
若 ABEB +=,CAAC +=,则 CB? 为
（A） E,（B） E?,
（C） A,（D） A?,
第 2 章 矩阵 代数
2.1 矩阵的概念
由 mn个数排成 行 列的数表 m n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
称为矩阵,记作 A．其 中 称作矩阵
ij
a A的第 i行第 j
列的元素,
两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的,
两个同型的矩阵,如果对应的元素也都一样,就说这两个矩阵相等,
若,即1=m A 是 n×1 的，
( )
n
aaaA,,,
21
L= 称为行矩阵或行向量；若
，即1=n A是 的，1×m
=
m
a
a
a
A
M
2
1
称为列矩阵或列向量；若 1== nm,这是一个 11× 的矩阵，只有一个元素,就看成是一个数,按数的规律进行运算,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 2
2.2 矩阵的运算
两个同型的矩阵可以做加法,它们的和是和它们同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相加．即
设 ( )
nm
ij
aA
×
=,( )
nm
ij
bB
×
=,则
( )
nm
ijij
baBA
×
+=+,
矩阵加法的运算性质,
（１） 交换律 ABBA +=+ ；
（２） 结合律 CBACBA ++=++ )()( ；
（３） 有零矩阵０，对任意矩阵 A，有
AAA =+=+ 00 ；
（４） 任意矩阵 A，都有负矩阵 A?,使得
0)( =?+ AA,
其中 ( )
ij
aA?=?,
设 k是一个数,( )
nm
ij
aA
×
=,则 数 k和矩阵 A
的数乘为
( )
nm
ij
kakA
×
=
设 lk,是两个常数,BA,是同型矩阵，则
（１） AA=1,00 =A ；
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 3
（２） AkllAk )()( = ；
（３） kBkABAk +=+ )( ；
（４） lAkAAlk +=+ )(,
设 ( )
lm
ij
aA
×
=,( )
nl
ij
bB
×
=,则
( )
nm
ij
cAB
×
=,
其中
ljiljijiij
bababac +++= L
2211
,
矩阵乘法有性质,
（１）结合律 CABBCA )()( = ；
（２）分配律 BCACCBA +=+ )（,
CBCABAC +=+ )(,
（３） k是常数，则
)()()( kBABkAABk ==,
z 设 BA,是 n阶方阵，则 BAAB =,
设矩阵 A是 n阶方阵,A可以自乘,k个 A相乘
k
A 叫 A的 k次幂,
矩阵的幂有性质,
（１）
lklk
AAA
+
= ；
（２） ( )
kl
l
k
AA =,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 4
设 A是 n阶方阵,
01
1
1
)( axaxaxaxf
n
n
n
n
++++=
L
是一个一元 n次多项式,
用 A代多项式中的,得到矩阵多项式 x
IaAaAaAaAf
n
n
n
n 01
1
1
)( ++++=
L
矩阵多项式还是一个 阶方阵,n
设 ( )
nm
ij
aA
×
=,则
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
称为矩阵 A的转置矩阵，记作
T
A,
转置有性质,
（１） ； AA
TT
=)(
（２）
TTT
BABA +=+ )( ；
（３） ；
TT
kAkA =)(
（ ４ ）
TTT
ABAB =)（；
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 5
例1 设 ()
T
1,0,1?=α,
T
A αα=,是正整数，求
n
n
AaI?,
例２（１）命题,0
2
=A,则 0=A,是否正确，
若正确，证明之，若不正确，举例说明,
（２） A是二阶矩阵，求满足 0
2
=A 的所有矩阵,
（３）证明 0
2
=A,且 AA
T
=,则 0=A,
例3 设
=
101
020
101
A,而 是整数，求2≥n
1
2
nn
AA,
例4 设
=
110
011
001
A,求
n
A,
例5 设 ()
T
4,3,2,1=α,
T
=
4
1
,
3
1
,
2
1
,1β,
T
A αβ=,则
=
n
A？
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 6
例6 设
=
332313
322212
312111
bababa
bababa
bababa
A,求
n
A,
2.3 逆矩阵
设 A是 n阶方阵，如果存在 阶方阵n B，使得
IBAAB ==
成立，则称 A为可逆矩阵,B是 A的逆矩阵,
矩 阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于０,
设 A是 n阶方阵，若 0≠A,则
*1
1
A
A
A =
,
其中,( )
T
ij
AA =
*
是 A的伴随矩阵,
设?
=
dc
ba
A,若 0≠?bcad,则
=
ac
bd
bcad
A
1
1
,
用矩阵的初等行变换．适合任何具体的数字矩阵,
( ) ( )
1?
→→ AIIA L
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 7
利用分块矩阵的逆矩阵公式,
=?
1
1
1
0
0
0
0
B
A
B
A
及
=?
0
0
0
0
1
1
1
A
B
B
A
逆矩阵有性质,
（１） ( ) AA =
1
1；
（２） ()
1
1
1
= A
k
kA,其中常数 0≠k ；
（３） (),其 中
11
1
= ABAB BA,都是可逆矩阵；
（４） ( ) ( )
T
T
AA
1
1
=,
例７ 设矩阵 A满足 04
2
=?+ IAA,求
1
)(
IA,
例８ 设 CBA,,是 阶方阵,满足n IABC =,求
( )
1
1
AC,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 8
例９ 设
=
113
34
221
tA,B为３阶非零矩阵，且 0=AB,求 t,
例1 ０
=
0011
0021
1200
2500
A,求?
1
=
A
例 1１ 已知 BABA +,,都可逆,证明
11
+ BA
可逆，并求 ( )
1
11
+ BA,
例 1２ 已知矩阵
=
120
0
3
1
2
001
A,
)()(
1
IAIAB?+=
，求矩阵
1
)(
+ BI,
例1 ３ 设 矩 阵
=
1000
2100
3210
2321
B,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 9
=
1000
2100
0210
1021
C,且
11
)2(
=? CABCI
T
，求矩阵 A,
z 矩阵可逆的等价命题
n阶矩阵 A可逆
A的行列式的值不为０
A满秩
A的列向量组线性无关
A的行向量组线性无关
以 A为系数矩阵的齐次线性方程组 0=Ax 只有零解
A可以通过一系列初等行变换化作单位矩阵
A可分解为一系列初等矩阵的乘积
A的列向量可作为 维向量空间 的一组基 n
n
R
n
R 中任意一个向量都可以由 A的列向量线性表出
对任意 维向量 b,方程组n bAx = 必有惟一解
A没有零特征值
T
AA 正定
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 10
例1 ４ 设 A是 阶方阵，且n,0≠A 若
T
AA =
*
，证明 A可逆,
例1 ５ 设 A是实矩阵，,0,<= AIAA
T
证 明
IA+ 不可逆,
2.4 矩阵方程
含 有未知矩阵的等式，如 BAX =,就是矩阵方程．矩阵方程的最基本形式是 BAX = 和
BXA =,其中 X是未知矩阵,
设 A是 n阶方阵,B是 mn× 矩阵,若 A可逆，
则矩阵方程 BAX = 有解，其解为
BAX
1?
=,
设 A是 n阶方阵,B是 nm× 矩阵,若 A可逆，
则矩阵方程 BXA = 有解，其解为
1?
= BAX,
这里要注意的是矩阵 A是可逆的,如果 A不是方阵或
A不可逆,这个公式就不能用了,一般来说,要用待定系数法求解,
例1 ６ 设
=
101
020
101
A,满足
XAIAX +=+
2
，求 X,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 11
例１７ 设
=
200
011
001
A,
=
100
020
001
B,且 BAAX =,求
100
X,
2.5 分块矩阵
在矩阵 A中,用一些横线和纵线将 A分成若干小矩阵,这些小矩阵称为矩阵 A的子块,以子块为元素的矩阵就叫分块矩阵．例如
=
4321
3100
2010
1001
A,
令 ()
T
321=α,则?
=
4
T
I
A
α
α
是分块矩阵,对矩阵进行分块是为了简化计算,我们特别关注的是将矩阵按列分块,
( )
n
A ααα L
21
=,
其中，
i
α 是列向量,
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 12
按行分块,
=
m
A
β
β
β
M
2
1
,
其中
i
β 是行向量，以及准对角矩阵,
=
s
A
A
A
A
O
2
1
,
其中
i
A 是方阵,
设
=
s
A
A
A
A
O
2
1
,
=
s
B
B
B
B
O
2
1
，其中的子块都是方
阵,并且假设以下涉及的运算都可行,关于准对角矩
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 13
阵的运算有以下一些重要结论,
（１） BA+ =
+
+
+
ss
BA
BA
BA
O
22
11；
（２） kA=
s
kA
kA
kA
O
2
1；
（３） AB=
ss
BA
BA
BA
O
22
11；
（４）
k
A =
k
s
k
k
A
A
A
O
2
1
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 14
（５）
1?
A =
1
1
2
1
1
s
A
A
A
O；
（６） A=
s
AAA L
21
,
（７） )()()()(
21 s
ArArArAr L++=
例 18 设 A为 阶可逆矩阵，n α为 维列向量,b为常数，分块矩阵
n
=
AA
I
P
T *
0
α
,?
=
b
A
Q
T
α
α
,
（１） 计算并化简 PQ；
（２） 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是
0
1
≠?
αα Ab
T
,
例 19 设?
=
BC
CA
D
T
,其中 A,B分别为 阶，
阶对称矩阵，
m
n C为 nm× 矩阵,计算 DPP
T
，其中
=
n
m
EO
CAE
P
1
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩 阵代数 2 — 15
例 20 设 CBA,,均为 阶 矩 阵,n E为 阶单位矩阵,n
若 ABEB +=,CAAC +=,则 CB? 为
（A） E,（B） E?,
（C） A,（D） A?,
