第 02章 离散时间信号和离散时间系统邹江
zoujiang@public.wh.hb.cn
2,4 离散时间信号和系统的频域描述
2,4,1 离散时间信号的傅里叶变换众所周知，连续时间信号 f(t)的傅里叶变换定义为：
而 f(jΩ)的傅里叶反变换定义为类似地，可以把离散时间信号 x(n)的傅里叶变换定义为
X(ejω)的傅里叶反变换定义为在物理意义上,X(ejω)表示序列 x(n)的频谱,ω为数字域频率。 X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为或用幅度和相位表示为例 2,9 求下列信号的傅里叶变换解离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：
(1)X(ejω)是以 2π为周期的 ω的连续函数。
(2)当 x(n)为实序列时,X(ejω)的幅值 | X(ejω) |在 0≤ω≤2π区间内是偶对称函数，相位 arg[X(ejω)]是奇对称函数。
值得注意的是，式 (2,34a)中右边的级数并不总是收敛的，
或者说并不是任何序列 x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当 序列 x(n)绝对可和，即时，式 (2,34a)中的级数才是绝对收敛的，或 x(n)的傅里叶变换存在。
2,4,2 离散时间信号的傅里叶变换的性质
(1) 序列的傅里叶变换的线性设 则
2．序列的移位设 则
3．序列的调制设 则
4．序列的折叠设 则
5．序列乘以 n
设 则
6．序列的复共轭设 则
7．序列的卷积设则
8．序列相乘设则
9．序列的傅里叶变换的对称性首先定义两个对称序列,共轭对称序列 xe(n)，定义为
xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列 xo(n)定义为 xo(n)=-xo*(-n)，
此处上标 *表示复共轭。
其中共轭对称实序列称为偶序列，而共轭反对称实序列称为奇序列。
序列的傅里叶变换 X(ejω)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即其中设复序列 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω),x(n)的实部 Re[x(n)]
和虚部 jIm[x(n)]的傅里叶变换分别为序列 x(n)的共轭对称分量 xe(n)和共轭反对称分量 xo(n)的傅里叶变换为若 x(n)为实序列，则这些对称性质将变得特别简单、有用：
2,4,3离散时间系统的频率响应一、线性非移变系统的频率响应系统的频率响应输入信号为系统输出称为单位取样响应为 h(n)的系统的频率响应。
二、系统频率响应的特点
(1)H(ejω)是 ω的连续函数；
(2) H(ejω)是 ω的以 2π为周期的函数；
(3) h(n)为实序列时 H(ejω)的幅值为偶对称的，相位为奇对称的 (在 区间 )
系统频率响应与单位取样响应的关系
H(ejω)是周期性连续函数，可以按傅里叶级数展开系统的单位取样响应与系统的频率响应互为傅里叶变换对
zoujiang@public.wh.hb.cn
2,4 离散时间信号和系统的频域描述
2,4,1 离散时间信号的傅里叶变换众所周知，连续时间信号 f(t)的傅里叶变换定义为：
而 f(jΩ)的傅里叶反变换定义为类似地，可以把离散时间信号 x(n)的傅里叶变换定义为
X(ejω)的傅里叶反变换定义为在物理意义上,X(ejω)表示序列 x(n)的频谱,ω为数字域频率。 X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为或用幅度和相位表示为例 2,9 求下列信号的傅里叶变换解离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：
(1)X(ejω)是以 2π为周期的 ω的连续函数。
(2)当 x(n)为实序列时,X(ejω)的幅值 | X(ejω) |在 0≤ω≤2π区间内是偶对称函数，相位 arg[X(ejω)]是奇对称函数。
值得注意的是，式 (2,34a)中右边的级数并不总是收敛的，
或者说并不是任何序列 x(n)的傅里叶变换都是存在的。
只有当 序列 x(n)绝对可和，即时，式 (2,34a)中的级数才是绝对收敛的，或 x(n)的傅里叶变换存在。
2,4,2 离散时间信号的傅里叶变换的性质
(1) 序列的傅里叶变换的线性设 则
2．序列的移位设 则
3．序列的调制设 则
4．序列的折叠设 则
5．序列乘以 n
设 则
6．序列的复共轭设 则
7．序列的卷积设则
8．序列相乘设则
9．序列的傅里叶变换的对称性首先定义两个对称序列,共轭对称序列 xe(n)，定义为
xe(n)=xe*(-n)；共轭反对称序列 xo(n)定义为 xo(n)=-xo*(-n)，
此处上标 *表示复共轭。
其中共轭对称实序列称为偶序列，而共轭反对称实序列称为奇序列。
序列的傅里叶变换 X(ejω)可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和，即其中设复序列 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω),x(n)的实部 Re[x(n)]
和虚部 jIm[x(n)]的傅里叶变换分别为序列 x(n)的共轭对称分量 xe(n)和共轭反对称分量 xo(n)的傅里叶变换为若 x(n)为实序列，则这些对称性质将变得特别简单、有用：
2,4,3离散时间系统的频率响应一、线性非移变系统的频率响应系统的频率响应输入信号为系统输出称为单位取样响应为 h(n)的系统的频率响应。
二、系统频率响应的特点
(1)H(ejω)是 ω的连续函数；
(2) H(ejω)是 ω的以 2π为周期的函数；
(3) h(n)为实序列时 H(ejω)的幅值为偶对称的，相位为奇对称的 (在 区间 )
系统频率响应与单位取样响应的关系
H(ejω)是周期性连续函数，可以按傅里叶级数展开系统的单位取样响应与系统的频率响应互为傅里叶变换对
