第 03章 离散傅里叶变换及其快速算法邹江
zoujiang@public.wh.hb.cn
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform,DFT)是时间函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
3,1 讨论周期序列的 傅里叶级数及其性质。
3,2 导出有限长序列的傅里叶表示 —— 离散傅里叶变换，
并较详细地 介绍了离散傅里叶变换的基本性质，其中包括循环卷积的重要概念。
3,3 介绍利用循环卷积 计算线性卷积的方法。
3,4 讨论频率取样理论。
3,5 以较大篇幅介绍本章的重点内容 —— 快速傅里叶变换的时间抽选算法和频率抽选算法及一些细节上的考虑。
3,6 介绍变换点数 为合数时的快速傅里叶变换算法。
3,7 介绍快速傅里叶变换算法的应用实例。
3,8 介绍线性调频 Z变换。（参考）
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换对于周期为 T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
离散时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以 2π为周期的连续函数。
3,1 离散傅里叶级数及其性质
3,1,1 离散傅里叶级数 (DFS)定义一个周期为 N的周期序列 可表示为：
这样的周期序列的 Z变换是不收敛的。如果用离散傅里叶级数表示，则可以讨论其收敛性。
用傅里叶级数表示，其基波频率为,用复指数表示：
第 k次谐波为：
由于是周期序列，且 k次谐波也是周期为 N的序列：
因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从 0到 N-1的 N个谐波分量就足以表 示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为式中，乘以系数 1/N是为了下面计算的方便；
为 k次谐波的系数。
将上式两边同乘以 并从 n=0到 N-1求和，得到：
由复指数序列的正交性：
所以，
得到 周期序列的离散傅里叶级数表达式：
令则得到周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)变换对
n和 k均为离散变量。如果将 n当作时间变量,k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为 DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为 DFS的反变换。
由于故 是周期为 N的离散周期信号。
周期序列的信息可以用它在一个周期中的 N个值来代表。
3,1,2 离散傅里叶级数的性质
1,线性设周期序列 和 的周期都为 N，且若则有
2．周期序列的移位设 则如果 m>N，则 m=m1+Nm2
3．周期卷积设 和 都是周期为 N的周期序列，它们的
DFS系数分别为令则上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。
周期为 N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对 m都是周期为 N的周期序列，它们的乘积对 m也是以 N为周期的，
周期卷积仅在 一个周期内求和。
相乘和相加运 算仅在 m=0到 N-1的区间内进行。计算出
n=0到 N-1(一个周期 )的结果后，再将其进行周期延拓，
就得到周期卷积 。
周期卷积满足交换律两个周期序列的乘积 的 DFS为：
点击观看动画离散傅里叶级数性质汇总
zoujiang@public.wh.hb.cn
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform,DFT)是时间函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
3,1 讨论周期序列的 傅里叶级数及其性质。
3,2 导出有限长序列的傅里叶表示 —— 离散傅里叶变换，
并较详细地 介绍了离散傅里叶变换的基本性质，其中包括循环卷积的重要概念。
3,3 介绍利用循环卷积 计算线性卷积的方法。
3,4 讨论频率取样理论。
3,5 以较大篇幅介绍本章的重点内容 —— 快速傅里叶变换的时间抽选算法和频率抽选算法及一些细节上的考虑。
3,6 介绍变换点数 为合数时的快速傅里叶变换算法。
3,7 介绍快速傅里叶变换算法的应用实例。
3,8 介绍线性调频 Z变换。（参考）
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换对于周期为 T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
离散时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以 2π为周期的连续函数。
3,1 离散傅里叶级数及其性质
3,1,1 离散傅里叶级数 (DFS)定义一个周期为 N的周期序列 可表示为：
这样的周期序列的 Z变换是不收敛的。如果用离散傅里叶级数表示，则可以讨论其收敛性。
用傅里叶级数表示，其基波频率为,用复指数表示：
第 k次谐波为：
由于是周期序列，且 k次谐波也是周期为 N的序列：
因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从 0到 N-1的 N个谐波分量就足以表 示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为式中，乘以系数 1/N是为了下面计算的方便；
为 k次谐波的系数。
将上式两边同乘以 并从 n=0到 N-1求和，得到：
由复指数序列的正交性：
所以，
得到 周期序列的离散傅里叶级数表达式：
令则得到周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)变换对
n和 k均为离散变量。如果将 n当作时间变量,k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为 DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为 DFS的反变换。
由于故 是周期为 N的离散周期信号。
周期序列的信息可以用它在一个周期中的 N个值来代表。
3,1,2 离散傅里叶级数的性质
1,线性设周期序列 和 的周期都为 N，且若则有
2．周期序列的移位设 则如果 m>N，则 m=m1+Nm2
3．周期卷积设 和 都是周期为 N的周期序列，它们的
DFS系数分别为令则上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。
周期为 N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对 m都是周期为 N的周期序列，它们的乘积对 m也是以 N为周期的，
周期卷积仅在 一个周期内求和。
相乘和相加运 算仅在 m=0到 N-1的区间内进行。计算出
n=0到 N-1(一个周期 )的结果后，再将其进行周期延拓，
就得到周期卷积 。
周期卷积满足交换律两个周期序列的乘积 的 DFS为：
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