第 03章 离散傅里叶变换及其快速算法邹江
zoujiang@public.wh.hb.cn
这意味着，对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采 样而不丢失任何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有着十分重要的意 义。 DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用数字技术处理的新领域。
这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样来逼近，可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性以及所带来的误差。
3,4 频率取样频率取样是指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样 。
本节讨论在什么条件下能够用得到的频谱取样值无失真地恢复原信号或系统。
设任意长序列 x(n)绝对可和，其 Z变换表示为如果在单位圆上对 X(z)进行等角距取样，取样点数为 M，则得根据 DFT的定义，对 X(k)求反变换得根据上面两式可得：
因为所以上式表明，在 z平面的单位圆上对序列的 Z变换进行等角距取样，
将导致时间序列的周期延拓。这一结果与对连续时间信号取样导致频谱周期延拓类似。
现在我们来考察 xp(n)与原序列 x(n)的关系，看它如何才能代表原序列 x(n)。
xp(n)是原非周期信号 x(n)的周期延拓序列，因此 xp(n)是一个周期序列，其主值为在 x(n)为有限长度 N的情况下，如果取样点 M≥N，那么 x(n)周期延拓的结果不会产生混叠。这时,xp(n)的主值 xN(n)与原序列 x(n)一样，
因此 xN(n)完全能代表原序列 x(n)。
如果 M<N，即延拓的周期 M小余有限序列的长度 N，则 x(n)周期延拓后一定产生混叠，因而 xN(n)不能无失真地代表原信号 x(n)。在
x(n)为无限长的情况下，对 Z变换取样必然导致混叠失真，因此 xN(n)
不能代表原序列 x(n)。（见下图）
因此，对于长度为 N的有限长序列，对 Z变换取样即频率取样不失真的条件，是取样点数 M应等于或大于原序列的长度 N，即 M≥N。
在 M＝ N时,Z变换的取样即 DFT X(k)，利用 IDFT公式可由 X(k)恢复原序列 x(n)，即这就是频域采样定理。
改写为 其中上式就是用 X(z)在单位圆上的 N个取样值 X(k)表示 X(z)的内插公式，
内插函数为对于有限长序列 x(n)，满足频域采样定理时,M点频域采样 X(k)就足以不失真地代表序列的特性。因此，由此 M个采样值 X(k)应能完全地表达整个 X(z)函数及频率特性 X(ejω)。即由 M点 X(k)可内插恢复出
X(z)或 X(ejω)。
因为 所以如果 则可以得到傅里叶变换的内插公式，
结论：
长度为 N的序列 x(n)，其 N个频域取样值 X(k)可以不失真地代表它,X(k)还能完整的表示序列的 Z变换 X(z)和傅里叶变换
。
zoujiang@public.wh.hb.cn
这意味着，对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采 样而不丢失任何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有着十分重要的意 义。 DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用数字技术处理的新领域。
这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样来逼近，可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性以及所带来的误差。
3,4 频率取样频率取样是指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样 。
本节讨论在什么条件下能够用得到的频谱取样值无失真地恢复原信号或系统。
设任意长序列 x(n)绝对可和，其 Z变换表示为如果在单位圆上对 X(z)进行等角距取样，取样点数为 M，则得根据 DFT的定义，对 X(k)求反变换得根据上面两式可得：
因为所以上式表明，在 z平面的单位圆上对序列的 Z变换进行等角距取样，
将导致时间序列的周期延拓。这一结果与对连续时间信号取样导致频谱周期延拓类似。
现在我们来考察 xp(n)与原序列 x(n)的关系，看它如何才能代表原序列 x(n)。
xp(n)是原非周期信号 x(n)的周期延拓序列，因此 xp(n)是一个周期序列，其主值为在 x(n)为有限长度 N的情况下，如果取样点 M≥N，那么 x(n)周期延拓的结果不会产生混叠。这时,xp(n)的主值 xN(n)与原序列 x(n)一样，
因此 xN(n)完全能代表原序列 x(n)。
如果 M<N，即延拓的周期 M小余有限序列的长度 N，则 x(n)周期延拓后一定产生混叠，因而 xN(n)不能无失真地代表原信号 x(n)。在
x(n)为无限长的情况下，对 Z变换取样必然导致混叠失真，因此 xN(n)
不能代表原序列 x(n)。（见下图）
因此，对于长度为 N的有限长序列，对 Z变换取样即频率取样不失真的条件，是取样点数 M应等于或大于原序列的长度 N，即 M≥N。
在 M＝ N时,Z变换的取样即 DFT X(k)，利用 IDFT公式可由 X(k)恢复原序列 x(n)，即这就是频域采样定理。
改写为 其中上式就是用 X(z)在单位圆上的 N个取样值 X(k)表示 X(z)的内插公式，
内插函数为对于有限长序列 x(n)，满足频域采样定理时,M点频域采样 X(k)就足以不失真地代表序列的特性。因此，由此 M个采样值 X(k)应能完全地表达整个 X(z)函数及频率特性 X(ejω)。即由 M点 X(k)可内插恢复出
X(z)或 X(ejω)。
因为 所以如果 则可以得到傅里叶变换的内插公式，
结论：
长度为 N的序列 x(n)，其 N个频域取样值 X(k)可以不失真地代表它,X(k)还能完整的表示序列的 Z变换 X(z)和傅里叶变换
。
