第 02章 离散时间信号和离散时间系统邹江
zoujiang@public.wh.hb.cn
2,7 系统函数描述线性非移变系统的方式：
线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、
系统函数。
设 x(n),y(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应,X(z),Y(z)和 H(z)分别表示相应的 Z变换。
系统函数定义为它是单位取样响应 h(n)的 Z变换。
1,系统函数的定义
2、系统函数与系统差分方程的关系线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述：
对上式两边求 Z变换，利用线性性质和时不变性质，得因此可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。
系统函数还可以进一步分解成：
式中,{dk)和 {cr}分别表示 H(z)在 z平面上的极点和零点。
这样，系统函数可以用 z平面上的极点、零点和常数 A来确定。
例 根据系统函数求差分方程求该系统的差分方程。
为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将 H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：
于是，
其差分方程就是
3,系统函数的收敛域与系统的稳定性已知线性非移变系统稳定的充要条件：
当 |z|=1时，上式变成这就是系统稳定的充要条件。
因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。
这也意味着，如果系统函数 H(z)的收敛域包括单位圆，
则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数 H(z)
的收敛域一定也包括单位圆。
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是例 2,21 设一个线性非移变系统的系统函数为试画出极 -零点分布图，并确定 H(z)的收敛域和稳定性。
解 对 H(z)的分母进行因式分解得极点为 z1=-1/4,z2=-1/2；零点为 z1=0,z2=1/2。
(1)若收敛域是极点 z2=-1/2所在的圆的外部区域，且说明该系统的 Z变换没有正幂项，根据 z变换的定义式，说明 n≥0时 x(n)才有定义，那么系统是因果的。
(2)若收敛域选的是极点 z1=-1/4所在的圆的内部区域，且那么系统是逆因果的，系统的收敛域为因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。
(3)若收敛域是极点 z1=-1/4与 z2=-1/2所在的两个圆之间的环域，即则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。
系统的收敛域为因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。
说明 Z变换没有负幂项，根据 z
变换的定义式，说明 n≤0时 x(n)
才有定义，
从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。
要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极点的外面，又包括单位圆。
很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内。
系统的描述方法小结
用系统的数学定义描述,y(n)=T[x(n)]
用系统的单位取样响应 h(n)来描述但并不是每个系统都能写出其单位取样响应。
差分方程描述系统需附加初始条件，一些瞬态响应求解困难，系统的频率特性不清楚。
系统函数描述系统易于定性分析，了解系统的稳定性，系统的频率特性清楚，但不易分析其瞬态响应。
系统的稳定性判别方法
直接由定义判别：
若 |x(n)|≤M，则 |y(n)|＜ ∞
对于线性非移变系统，可由其单位取样响应绝对可和或系统函数的收敛域包含单位圆判别。
对于因果线性非移变系统，由其系统函数的收敛域或其极点位置判别。
zoujiang@public.wh.hb.cn
2,7 系统函数描述线性非移变系统的方式：
线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、
系统函数。
设 x(n),y(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应,X(z),Y(z)和 H(z)分别表示相应的 Z变换。
系统函数定义为它是单位取样响应 h(n)的 Z变换。
1,系统函数的定义
2、系统函数与系统差分方程的关系线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述：
对上式两边求 Z变换，利用线性性质和时不变性质，得因此可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。
系统函数还可以进一步分解成：
式中,{dk)和 {cr}分别表示 H(z)在 z平面上的极点和零点。
这样，系统函数可以用 z平面上的极点、零点和常数 A来确定。
例 根据系统函数求差分方程求该系统的差分方程。
为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将 H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：
于是，
其差分方程就是
3,系统函数的收敛域与系统的稳定性已知线性非移变系统稳定的充要条件：
当 |z|=1时，上式变成这就是系统稳定的充要条件。
因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。
这也意味着，如果系统函数 H(z)的收敛域包括单位圆，
则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数 H(z)
的收敛域一定也包括单位圆。
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是例 2,21 设一个线性非移变系统的系统函数为试画出极 -零点分布图，并确定 H(z)的收敛域和稳定性。
解 对 H(z)的分母进行因式分解得极点为 z1=-1/4,z2=-1/2；零点为 z1=0,z2=1/2。
(1)若收敛域是极点 z2=-1/2所在的圆的外部区域，且说明该系统的 Z变换没有正幂项，根据 z变换的定义式，说明 n≥0时 x(n)才有定义，那么系统是因果的。
(2)若收敛域选的是极点 z1=-1/4所在的圆的内部区域，且那么系统是逆因果的，系统的收敛域为因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。
(3)若收敛域是极点 z1=-1/4与 z2=-1/2所在的两个圆之间的环域，即则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。
系统的收敛域为因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。
说明 Z变换没有负幂项，根据 z
变换的定义式，说明 n≤0时 x(n)
才有定义，
从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。
要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极点的外面，又包括单位圆。
很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内。
系统的描述方法小结
用系统的数学定义描述,y(n)=T[x(n)]
用系统的单位取样响应 h(n)来描述但并不是每个系统都能写出其单位取样响应。
差分方程描述系统需附加初始条件，一些瞬态响应求解困难，系统的频率特性不清楚。
系统函数描述系统易于定性分析，了解系统的稳定性，系统的频率特性清楚，但不易分析其瞬态响应。
系统的稳定性判别方法
直接由定义判别：
若 |x(n)|≤M，则 |y(n)|＜ ∞
对于线性非移变系统，可由其单位取样响应绝对可和或系统函数的收敛域包含单位圆判别。
对于因果线性非移变系统，由其系统函数的收敛域或其极点位置判别。
